giáo trình giải tích cơ sở hay và đầy đủ nhất

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Khơng gian metric §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Phiên chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy (Typing by thuantd ) Ngày 10 tháng 11 năm 2004 A Tóm tắt lý thuyết Khơng gian metric Định nghĩa Cho tập X 6= ∅ Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) ≥ d(x, y) = ⇔ x = y ii d(x, y) = d(y, x) iii d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d metric X cặp (X, d) gọi không gian metric Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định " m #1/2 X (xi − yi ) , x = (x1 , , xm ), y = (y1 , , ym ) d(x, y) = i=1 metric Rm , gọi metric thông thường Rm Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên Rm ta có metric khác d1 (x, y) = m X |xi − yi | i=1 d2 (x, y) = max |xi − yi | 1≤i≤m Ví dụ Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm thực x = x(t) liên tục [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a≤t≤b metric C[a,b] , gọi metric hội tụ Sự hội tụ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, cần làm rõ) phần tử x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x (X, d) n→∞ d xn → x xn → x lim xn = x Như vậy, lim xn = x (X, d) có nghĩa n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ε Ta ý rằng, metric khác tập X sinh hội tụ khác Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy {xn } hội tụ x dãy hội tụ x Nếu lim xn = x, lim yn = y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ n→∞ n→∞ Ví dụ Trong Rm ta xét metric thông thường Xét phần tử a = (a1 , , am ) dãy {xn } với xn = (xn1 , , xnm ) Ta có v u m uX d(xn , a) = t (xni − )2 ≥ |xni − |, ∀i = 1, , m i=1 Từ suy ra: lim xn = a (Rm , d) ⇐⇒ lim xni = R, ∀i = 1, , n n→∞ n→∞ Ví dụ Trong C[a,b] ta xét "metric hội tụ đều" Ta có d xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε) a≤t≤b ⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t) =⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] n→∞ Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] điều kiện cần để lim xn = x C[a,b] với metric n→∞ hội tụ Chú ý giúp ta dự đoán phần tử giới hạn Không gian metric đầy đủ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Tính chất Nếu {xn } hội tụ dãy Cauchy Nếu dãy {xn } dãy Cauchy có dãy hội tụ x {xn } hội tụ x Định nghĩa Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Ví dụ Khơng gian Rm với metric d thông thường đầy đủ Thật vậy, {xn }, xn = (xn1 , , xnm ) ( xét ntùyk ý dãy nCauchy d(x , x ) ≥ |xi − xki | (i = 1, , m) ⇒ lim |xni − xki | = 0,  Vì lim d(xn , xk ) = n,k→∞ n,k→∞ nên ta suy dãy {xni }n (i = 1, , m) dãy Cauchy R, chúng hội tụ R đầy đủ  Đặt = lim xni (i = 1, m) xét phần tử a = (a1 , , am ), ta có lim xn = a (Rm , d) n→∞ n→∞ Ví dụ Khơng gian C[a,b] với metric hội tụ d đầy đủ Giả sử {xn } dãy Cauchy (C[a,b] , d) Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| ≤ d(xn , xm ) Từ giả thiết lim d(xn , xm ) = ta n,m→∞ có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ  Lập hàm x xác định x(t) = lim xn (t), t ∈ [a, b] Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] lim d(xn , x) = Cho ε > tùy ý Do {xn } dãy Cauchy, ta tìm n0 thỏa ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Như ta có |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] Cố định n, t cho m → ∞ bất đẳng thức ta có |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] Như vậy, ta chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| ≤ ε a≤t≤b Từ suy ra: • Dãy hàm liên tục {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t), hàm x(t) liên tục [a, b] • lim d(xn , x) = n→∞ Đây điều ta cần chứng minh B Bài tập Bài Cho không gian metric (X, d) Ta định nghĩa d1 (x, y) = d(x, y) + d(x, y) , x, y ∈ X Chứng minh d1 metric X Chứng minh d xn −→ x ⇐⇒ d xn −→ x Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1 ) đầy đủ Giải Hiển nhiên d1 ánh xạ từ X × X vào R Ta kiểm tra d1 thỏa mãn điều kiện metric (i) Ta có: d1 (x, y) ≥ d(x, y) ≥ d1 (x, y) = ↔ d(x, y) = ↔ x = y d(y, x) d(x, y) (ii) d1 (y, x) = = = d(x, y) + d(y, x) + d(x, y) (iii) Ta cần chứng minh d(x, y) d(x, z) d(z, y) ≤ + + d(x, y) + d(x, z) + d(z, y) Để gọn, ta đặt a = d(x, y), b = d(x, z), c = d(z, y) Ta có a ≤ b + c; a, b, c ≥ (do tính chất d)
a b+c t ≤ hàm tăng [0, ∞) 1+a 1+b+c 1+t a b c ⇒ ≤ + 1+a 1+b+c 1+b+c b c ≤ + (đpcm) 1+b 1+c ⇒ d  Giả sử xn −→ x Ta có lim d(xn , x) = d1 (xn , x) = d(xn , x) + d(xn , x) d Do đó, lim d1 (xn , x) = hay xn −→ x d  Giả sử xn −→ x Từ lim d1 (xn , x) = d(xn , x) = d1 (xn , x) − d1 (xn , x) d ta suy lim d(xn , x) = hay xn −→ x Xét tùy ý dãy Cauchy {xn } (X, d1 ), ta cần chứng minh {xn } hội tụ (X, d1 )  Ta có lim d1 (xn , xm ) = n,m→∞ d1 (xn , xm ) − d1 (xn , xm ) ⇒ lim d(xn , xm ) = hay {xn } dãy Cauchy (X, d) d(xn , xm ) = n,m→∞ ⇒ {xn } hội tụ (X, d) (vì (X, d) đầy đủ)  Đặt x = lim xn (trong (X, d)), ta có x = lim xn (X, d1 ) (do câu 2) n→∞ n→∞ Bài Cho không gian metric (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) Trên tập X = X1 × X2 ta định nghĩa d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) Chứng minh d metric X Giả sử xn = (xn1 , xn2 ) (n ∈ N∗ ), a = (a1 , a2 ) Chứng minh ( d1 a1 xn1 −→ d n x −→ a ⇐⇒ n d2 x2 −→ a2 Giả sử (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) đầy đủ Chứng minh (X, d) đầy đủ Bài Ký hiệu S tập hợp dãy số thực x = {ak }k Ta định nghĩa ∞ X |ak − bk | d(x, y) = , k + |a k − bk | k=1 x = {ak }, y = {bk } Chứng minh d metric X Giả sử xn = {ank }k , n ∈ N∗ , x = {ak }k Chứng minh d xn −→ x lim ank = ak , ∀k ∈ N∗ ⇐⇒ n→∞ Chứng minh (S, d) đầy đủ Bài Trên X = C[0,1] xét metric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)| 0≤x≤1 Z1 |x(t) − y(t)| dt d1 (x, y) = d d 1 Chứng minh: (xn −→ x) ⇒ (xn −→ x) Bằng ví dụ dãy xn (t) = n(tn − tn+1 ), chứng minh chiều "⇐" câu 1) khơng Chứng minh (X, d1 ) khơng đầy đủ GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Khơng gian metric Phiên chỉnh sửa - có phần bổ sung trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Nội dung mơn Cơ sở Chun ngành: Tốn Giải tích Phương pháp Giảng dạy Tốn Phần 1: Khơng gian metric Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Tập mở Tập đóng Phần trong, bao đóng tập hợp Ánh xạ liên tục khơng gian metric Các tính chất: • Liên hệ với hội tụ • Liên hệ với ảnh ngược tập mở, tập đóng • Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phơi Tập compắc Các tính chất bản: • Hệ có tâm tập đóng • Tính chất compắc hội tụ • Ảnh tập compắc qua ánh xạ liên tục Phần 2: Độ đo tích phân σ–đại số tập hợp Độ đo tính chất Các tính chất độ đo Lebesgue R (không xét cách xây dựng) Hàm số đo Các tính chất • Các phép tốn số học, lấy max, hàm đo • Lấy giới hạn hàm đo (không xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin) Tích phân theo độ đo Các tính chất (khơng xét tính liên tục tuyệt đối) Các định lý Levi, Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân Phần 3: Giải tích hàm Chuẩn không gian vectơ Chuẩn tương đương Không gian Banach Ánh xạ tuyến tính liên tục Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục (khơng xét ánh xạ liên hợp, ánh xạ compắc, nguyên lý bản) Khơng gian Hilbert Phân tích trực giao Chuổi Fourier theo hệ trực chuẩn Hệ trực chuẩn đầy đủ §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Phần có thêm phần bổ sung trước Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khơng gian metric Định nghĩa Cho tập X 6= ∅ Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) > d(x, y) = ⇔ x = y ii d(x, y) = d(y, x) iii d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d metric X cặp (X, d) gọi không gian metric Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định " d(x, y) = m X #1/2 (xi − yi )2 , x = (x1 , x2 , , xm ), y = (y1 , y2 , , ym ) i=1 metric Rm , gọi metric thông thường Rm Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên Rm ta có metric khác d1 (x, y) = m X |xi − yi | i=1 d2 (x, y) = max |xi − yi | 16i6m Ví dụ Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm thực x = x(t) liên tục [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a6t6b metric C[a,b] , gọi metric hội tụ 1.2 Sự hội tụ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, cần làm rõ) phần tử x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x (X, d) n→∞ d xn → x xn → x lim xn = x Như vậy, lim lim xn = x (X, d) có nghĩa n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n > n0 ⇒ d(xn , x) < ε Ta ý rằng, metric khác tập X sinh hội tụ khác Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy {xn } hội tụ x dãy hội tụ x Nếu lim xn = x, lim yn = y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ n→∞ n→∞ m Ví dụ Trong R ta xét metric thông thường Xét phần tử a = (a1 , , am ) dãy {xn } với xn = (xn1 , xn2 , , xnm ) Ta có v u m uX d(xn , a) = t (xni − )2 > |xni − |, ∀i = 1, 2, , m i=1 Từ suy ra: lim xn = a (Rm , d) ⇐⇒ lim xni = R, ∀i = 1, 2, , n n→∞ n→∞ Ví dụ Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ Ta có d xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε) a6t6b ⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t) =⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] n→∞ Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] điều kiện cần để lim xn = x C[a,b] với metric hội n→∞ tụ Chú ý giúp ta dự đốn phần tử giới hạn 1.3 Khơng gian metric đầy đủ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m > n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Tính chất Nếu {xn } hội tụ dãy Cauchy Nếu dãy {xn } dãy Cauchy có dãy hội tụ x {xn } hội tụ x Định nghĩa Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Ví dụ Không gian Rm với metric d thông thường đầy đủ Thật vậy, {xn }, xn = (xn1 , , xnm ) ( xét ntùyk ý dãy nCauchy k d(x , x ) > |xi − xi | (i = 1, , m) • Vì ⇒ lim |xni − xki | = 0, lim d(xn , xk ) = n,k→∞ n,k→∞ nên ta suy dãy {xni }n (i = 1, , m) dãy Cauchy R, chúng hội tụ R đầy đủ • Đặt = lim xni (i = 1, 2, , m) xét phần tử a = (a1 , , am ), ta có lim xn = a (Rm , d) n→∞ n→∞ Ví dụ Khơng gian C[a,b] với metric hội tụ d đầy đủ Giả sử {xn } dãy Cauchy (C[a,b] , d) Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| d(xn , xm ) Từ giả thiết lim d(xn , xm ) = ta n,m→∞ có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ ... d1 ) khơng đầy đủ GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Không gian metric Phiên chỉnh sửa - có phần bổ sung trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Nội dung mơn Cơ sở Chun ngành: Tốn Giải tích Phương... d1 metric X Chứng minh d xn −→ x ⇐⇒ d xn −→ x Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1 ) đầy đủ Giải Hiển nhiên d1 ánh xạ từ X × X vào R Ta kiểm tra d1 thỏa mãn điều kiện metric (i) Ta có: d1... d1 metric X Chứng minh d xn −→ x ⇐⇒ d xn −→ x Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1 ) đầy đủ Giải Hiển nhiên d1 ánh xạ từ X × X vào R Ta kiểm tra d1 thỏa mãn điều kiện metric (i) Ta có: d1