bai tap on thi toan 12

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ.. Khảo sát sự biến [r]

Trang 1

GV chuyên Toán: Phạm Đào Thanh Tú

BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013

Mục lục

1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp 2

2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học 4

3 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp 8

4 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học 8

5 Bài tập về phương trình lượng giác trong các đề thi đại

9 Bài tập hệ phương trình trong các đề thi đại học 13

10 Bài tập tích phân trong các đề thi tốt nghiệp 15

11 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học 16

12 Bài tập số phức trong các đề thi tốt nghiệp 17

13 Bài tập số phức trong các đề thi đại học 18

14 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp 20

15 Bài tập hình học trong các đề thi đại học 24

Trang 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2.1.4 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3− 2x2+ mx + 1 đạtcực tiểu tại x = 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 6x2+ m = 0

có 3 nghiệm thực phân biệt

1.6 Cho hàm số f (x) = x − 2√

x2+ 12 Giải bất phương trình f0(x) 5 0.1.7 Cho hàm số y = 2x + 1

x − 2

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếptuyến bằng −5

Trang 3

1.8 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x2− ln(1 −2x) trên đoạn [−2; 0].

1.9 Cho hàm số y = x3− 3x2

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 3x2− m = 0

có ba nghiệm phân biệt

1.10 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2x − 1

x − 3trên đoạn [0; 2]

1.11 Cho hàm số y = x4− 2x2

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

độ x = −2

1.12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x + 9

xtrên đoạn [2; 4]

1.13 Cho hàm số y = −x3+ 3x2− 2, gọi đồ thị của hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).1.14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = −x +

1 − 4

x + 2 trên đoạn [−1; 2].

1.15 Cho hàm số y = 2x + 1

x + 1 , gọi đồ thị của hàm số là (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi quađiểm A(−1; 3)

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồthị (C)

1.16 Xác định tham số m để hàm số y = x3− 3mx2+ (m2− 1)x + 2 đạtcực đại tại điểm x = 2

Trang 4

2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học

2.1 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ m2 (1) với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành bađỉnh của một tam giác vuông

2.2 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 3m3 (1) với m là tham số thực

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao chotam giác OAB có diện tích bằng 48

2.3 Cho hàm số y = 2

3x

3− mx2− 2(3m2− 1)x +2

3 (1) với m là tham sốthực

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 saocho x1x2+ 2(x1+ x2) = 1

2.4 Cho hàm số y = −x + 1

2x − 1.

2 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị(C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góccủa các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng k1+ k2 đạtgiá trị lớn nhất

2.5 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ m (1) với m là tham số thực

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho

OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trụctung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Trang 5

2.6 Cho hàm số y = 2x + 1

x + 1.

2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểmphân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằngnhau

2.7 Cho hàm số y = x3− 2x2+ (1 − m)x + m (1) với m là tham số thực

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x21+ x22+ x23 < 4

2.8 Cho hàm số y = 2x + 1

x + 1.

2 Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểmphân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng √3 (O làgốc tọa độ)

2.9 Cho hàm số y = −x4− x2+ 6

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuônggóc với đường thẳng y = 1

6x − 1.

2.10 Cho hàm số y = x + 2

2x + 3 (1).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B

và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ

2.11 Cho hàm số y = 2x4− 4x2 (1)

Trang 6

2 Với các giá trị nào của m thì phương trình x2|x2− 2| = m có đúng

6 nghiệm thực phân biệt ?

2.12 Cho hàm số y = x4− (3m + 2)x2+ 3m có đồ thị là (Cm), m là thamsố

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệtđều có hoành độ nhỏ hơn 2

2.13 Cho hàm số y = 4x3− 6x2+ 1 (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếptuyến đó đi qua điểm M (−1; −9)

2.14 Cho hàm số y = x3− 3x2+ 4 (1)

2 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc

k (k > −3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

2.15 Cho hàm số y = −x3+ 3x2+ 3(m2− 1)x − 3m2− 1 (1), m là thamsố

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của

đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O

2.16 Cho hàm số y = 2x

x + 1.

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắthai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4.2.17 Cho hàm số y = 2x3− 9x2+ 12x − 4

Trang 7

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|3 − 9x2+12|x| = m

2.18 Cho hàm số y = x3− 3x + 2

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m.Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.2.19 Cho hàm số y = −x3+ 3mx2+ 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1), m làtham số

2 Tìm k để phương trình −x3+ 3x2+ k3− 3k2 = 0 có ba nghiệm phânbiệt

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thịhàm số (1)

2.20 Cho hàm số y = 1

3x

3− 2x2+ 3x (1) có đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minhrằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

2.21 Cho hàm số y = x3− 3x2+ m (1), m là tham số

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng vớinhau qua gốc tọa độ

Trang 8

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.

2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1 Tìm m để tiếptuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.2.24 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 9x + 1 (1), m là tham số

2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị của hàm số (1) thuộc đường thẳng

y = x + 1

BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA VÀ LOGARIT

3x2−xy+y2 = 814.2 Giải bất phương trình: 2 log3(4x − 3) + log1

(log2(3y − 1) = x

4x+ 2x = 3y2 (với x, y ∈ R)

4.6 Giải bất phương trình: log0,7

log6 x

2+ x

x + 4

< 0

Trang 9

4.11 Giải bất phương trình: log1

đề thi đại học

5.1 Giải phương trình: √

3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1

5.2 Giải phương trình: 1 + sin 2x + cos 2x

(1 + 2 sin x)(1 − sin x) =

√3

5.5 Giải phương trình: 1

sin x+

1sin

x −3π2

= 4 sin

7π

4 − x

5.6 Giải phương trình: 1 + sin2x cos x + 1 + cos2x sin x = 1 + sin 2x.5.7 Giải phương trình: 2 cos6x + sin6x − sin x cos x

√

2 − 2 sin x = 0.

5.8 Giải phương trình: cos23x cos 2x − cos2x = 0

5.9 Giải phương trình: cot x − 1 = cos 2x

1 + tan x+ sin

2x −1

2sin 2x.

Trang 10

5.10 Giải phương trình: 2(cos x +√

3 sin x) cos x = cos x −√3 sin x + 1.5.11 Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.5.12 Giải phương trình: (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.5.13 Giải phương trình: sin x+cos x sin 2x+√

3 cos 3x = 2(cos 4x+sin3x).5.14 Giải phương trình: sin3x −√3 cos3x = sin x cos2x −√3 sin2x cos x.5.15 Giải phương trình: 2 sin22x + sin 7x − 1 = sin x

5.16 Giải phương trình: cot x + sin x1 + tan x tanx

2

= 4

5.17 Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0

5.18 Giải phương trình: 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2x

5.19 Giải phương trình: cot x − tan x + 4 sin 2x = 2

sin 2x.5.20 Giải phương trình: sin23x − cos24x = sin25x − cos26x

5.21 Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =√

2 cos 2x.5.22 Giải phương trình: sin 2x + 2 cos x − sin x − 1

tan x +√3 = 0.

5.23 Giải phương trình: sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

5.24 Giải phương trình:√

3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0

5.25 Giải phương trình: 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x

5.26 Giải phương trình:sinx

2 + cos

x2

2

+√3 cos x = 2

5.27 Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0

5.28 Giải phương trình: cos4x+sin4x+cosx −π

4

sin3x − π

4

−3

2 = 0.5.29 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.5.30 Giải phương trình: sin2x

2 −

π4

tan2x − cos2x

2 = 0.

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

3x + 1 −√6 − x + 3x2− 14x − 8 = 0

6.4 Giải phương trình: √

2x − 1 + x2− 3x + 1 = 0

6.5 Giải phương trình: 2px + 2 + 2√x + 1 −√x + 1 = 4

Trang 11

BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

8.1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 Tìm số hạng chứa

x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của nx2

14 −

1x

8.3 Tìm số nguyên dương n sao cho C2n+11 − 2.2C2

2n+1 + 3.22C2n+13 −4.23C2n+14 + · · · + (2n + 1).22nC2n+12n+1 = 2005 (Cnk là số tổ hợp chập k của

Trang 12

8.6 Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáoviên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4học sinh được gọi có cả nam và nữ.

(n, k là các số nguyên dương, k 5 n, Ck

n là số tổ hợp chập k của n phầntử)

8.8 Tìm hệ số của số hạng chứa x10trong khai triển nhị thức Niutơn của(2 + x)n, biết: 3nC0

n− 3n−1C1

n+ 3n−2C2

n− 3n−3C3

n+ + (−1)nCn= 48(n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)

8.9 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n = 4) Biết rằng, số tập con gồm

4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm

k ∈ {1, 2, , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất

8.10 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp

đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?

8.11 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câuhỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thểlập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao chotrong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và

số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?

8.12 Cho n là số nguyên dương Tính tổng Cn0+2

Trang 13

học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong

3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

8.17 Tính giá trị của biểu thức M = A4n+1+ 3A3n+1

(n + 1)! , biết rằng C

2 n+1+2Cn+22 + 2Cn+32 + Cn+42 = 149, n là số nguyên dương, Akn là số chỉnh hợpchập k của n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử

8.18 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

3

√

x + √41x

(5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = 0xy(x2+ y2) + 2 = (x + y)29.3 Giải hệ phương trình:

((4x2+ 1)x + (y − 3)√5 − 2y = 04x2+ y2+ 2√3 − 4x = 7 .9.4 Giải hệ phương trình:

(

x + y −√xy = 3

√

x + 1 +√y + 1 = 49.6 Giải hệ phương trình:

(

xy + x + 1 = 7y

x2y2+ xy + 1 = 13y2

Trang 14

(2x3− (y + 2)x2+ xy = m

x2 + 1 = 09.13 Giải hệ phương trình:

(

xy + x + y = x2− 2y2

2√2y − y√x − 1 = 2x − 2y9.14 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

(

ex− ey = ln(1 + x) − ln(1 + y)

y − x = a9.16 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

(√

x +√y = 1

x√x + y√y = 1 − 3m

Trang 15

BÀI TẬP TÍCH PHÂN

Tính các tích phân sau: (Từ bài 10.1 đến bài 10.14)

Trang 16

11 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học

Tính các tích phân sau: (từ bài 11.1 đến bài 11.28)

0

sin 2xp

Z

0

tan4xcos 2x dx

e

Z

1

ln xx(2 + ln x)2 dx 11.22 I =

e

Z

1

2x − 3x

ln x dx

Trang 17

11.29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2− 4x + 3|

12.1 Giải phương trình sau trên tập số phức

8z2− 4z + 1 = 012.2 Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i Xác định phần thực vàphần ảo của số phức z1− 2z2

12.3 Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 − 4i Xác định phần thực vàphần ảo của số phức z1.z2

Trang 18

12.4 Giải phương trình sau trên tập số phức

(z − i)2+ 4 = 012.5 Giải phương trình sau trên tập số phức

13.1 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2+ 2z + 10 = 0 Tínhgiá trị của biểu thức

A = |z1|2+ |z2|213.2 Tìm số phức z thỏa mãn: |z − (2 + i)| =√

Trang 19

13.14 Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i)z = 1 − 9i.

13.15 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +2(1 + 2i)

1 + i = 7 + 8i Tìm môđuncủa số phức w = z + 1 + i

13.16 Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức

z2+ 3(1 + i)z + 5i = 0

Trang 20

BÀI TẬP HÌNH HỌC

14.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuôngtại B và BA = BC = a Góc giữa đường thẳng A0B với mặt phẳng (ABC)bằng 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a

14.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 2; 1), B(0; 2; 5)

và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x − y + 5 = 0

1 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B

2 Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB

14.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 2) và đườngthẳng ∆ có phương trình x − 1

1 Viết phương trình của đường thẳng đi qua O và A

2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O Chứng minh ∆tiếp xúc với (S)

14.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45◦ Tính thể tích khối chópS.ABCD theo a

14.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 0) và mặtphẳng (P ) có phương trình 2x + 2y − z + 1 = 0

1 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) Viết phương trìnhmặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P )

2 Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng(P )

14.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 3), B(−1; −2; 1)

và C(−1; 0; 2)

1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Tiêu đề	Bài Tập Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Đại Học
Người hướng dẫn	GV Chuyên Toán: Phạm Đào Thanh Tú
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài Tập
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	290,93 KB