Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ.. Khảo sát sự biến [r]
(1)GV chuyên Toán: Phạm Đào Thanh Tú BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013 Mục lục Bài tập khảo sát hàm số các đề thi tốt nghiệp 2 Bài tập khảo sát hàm số các đề thi đại học Bài tập lũy thừa và logarit các đề thi tốt nghiệp Bài tập lũy thừa và logarit các đề thi đại học Bài tập phương trình lượng giác các đề thi đại học Bài tập phương trình chứa thức các đề thi đại học 10 Bài tập bất phương trình chứa thức các đề thi đại học 11 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton các đề thi đại học 11 Bài tập hệ phương trình các đề thi đại học 13 10 Bài tập tích phân các đề thi tốt nghiệp 15 11 Bài tập tích phân các đề thi đại học 16 12 Bài tập số phức các đề thi tốt nghiệp 17 13 Bài tập số phức các đề thi đại học 18 14 Bài tập hình học các đề thi tốt nghiệp 20 15 Bài tập hình học các đề thi đại học 24 (2) BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài tập khảo sát hàm số các đề thi tốt nghiệp 1.1 Cho hàm số y = f (x) = x4 − 2x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 , biết f 00 (x0 ) = −1 1.2 Tìm các giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f (x) = x − m2 + m trên đoạn [0; 1] −2 x+1 2x + 1.3 Cho hàm số y = 2x − 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = x+2 1.4 Xác định giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 + mx + đạt cực tiểu x = 1 1.5 Cho hàm số y = x3 − x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3 − 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt √ 1.6 Cho hàm số f (x) = x − x2 + 12 Giải bất phương trình f (x) 2x + 1.7 Cho hàm số y = x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến −5 (3) 1.8 Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số f (x) = x2 − ln(1 − 2x) trên đoạn [−2; 0] 1.9 Cho hàm số y = x3 − 3x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3 − 3x2 − m = có ba nghiệm phân biệt 1.10 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x − x−3 trên đoạn [0; 2] 1.11 Cho hàm số y = x4 − 2x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = −2 1.12 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f (x) = x + x trên đoạn [2; 4] 1.13 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 2, gọi đồ thị hàm số là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm uốn (C) 1.14 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f (x) = −x + trên đoạn [−1; 2] 1− x+2 2x + 1.15 Cho hàm số y = , gọi đồ thị hàm số là (C) x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(−1; 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) 1.16 Xác định tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + đạt cực đại điểm x = (4) Bài tập khảo sát hàm số các đề thi đại học 2.1 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 (1) với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông 2.2 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 (1) với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích 48 2 2.3 Cho hàm số y = x3 − mx2 − 2(3m2 − 1)x + 3 thực (1) với m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 cho x1 x2 + 2(x1 + x2 ) = 2.4 Cho hàm số y = −x + 2x − 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1 , k2 là hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A và B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn 2.5 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m (1) với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC; đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại (5) 2.6 Cho hàm số y = 2x + x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành 2.7 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1) với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 2.8 Cho hàm số y = 2x + x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) √ hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O là gốc tọa độ) 2.9 Cho hàm số y = −x4 − x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − 2.10 Cho hàm số y = x+2 2x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc toạ độ 2.11 Cho hàm số y = 2x4 − 4x2 (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) (6) Với các giá trị nào m thì phương trình x2 |x2 − 2| = m có đúng nghiệm thực phân biệt ? 2.12 Cho hàm số y = x4 − (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm ), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 2.13 Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M (−1; −9) 2.14 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > −3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB 2.15 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − số (1), m là tham Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O 2.16 Cho hàm số y = 2x x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B và tam giác OAB có diện tích 2.17 Cho hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − (7) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2|x|3 − 9x2 + 12|x| = m 2.18 Cho hàm số y = x3 − 3x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt 2.19 Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 tham số (1), m là Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm k để phương trình −x3 + 3x2 + k − 3k = có ba nghiệm phân biệt Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 2.20 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) điểm uốn và chứng minh ∆ là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ 2.21 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (1), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ 2.22 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị 2.23 Gọi (Cm ) là đồ thị hàm số y = m − x + (*) (m là tham số) 3 (8) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = 2 Gọi M là điểm thuộc (Cm ) có hoành độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 2.24 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + (1), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA VÀ LOGARIT 3.1 3.2 3.3 3.4 Bài tập lũy thừa và logarit các đề thi tốt nghiệp Giải Giải Giải Giải phương phương phương phương trình: trình: trình: trình: log2 (x − 3) + log4 log3 x = 72x+1 − 8.7x + = log22 x − 14 log4 x + = 25x − 6.5x + = Bài tập lũy thừa và logarit các đề thi đại học ( log2 (x2 + y ) = + log2 (xy) 4.1 Giải hệ phương trình: 2 3x −xy+y = 81 4.2 Giải bất phương trình: log3 (4x − 3) + log (2x + 3) 4.3 Giải phương trình: 3.8x+ 4.12x − 18x − 2.27x = log (y − x) − log = 4 y 4.4 Giải hệ phương trình: x2 + y = 25 ( log2 (3y − 1) = x 4.5 Giải hệ phương trình: (với x, y ∈ R) 4x + 2x = 3y x2 + x 4.6 Giải bất phương trình: log0,7 log6 < x+4 (9) √ √ √ x x 4.7 Giải phương trình: 2+1 + − − 2 = 4.8 Giải bất phương trình: ( log5 (4x + 144) − log5 < + log5 2x−2 + √ √ x−1+ 2−y =1 4.9 Giải hệ phương trình: log9 (9x2 ) − log3 y = 4.10 Giải bất phương trình: logx (log3 (9x − 72)) x2 − 3x + 4.11 Giải bất phương trình: log = x 4.12 Giải phương trình: log2 (4x + 15.2x + 27) + log2 = x 4.2 − 2 4.13 Giải phương trình: 2x +x − 4.2x −x − 22x + = 2+x−x2 = 4.14 Giải phương trình: 2x −x −2 23x = 5y − 4y 4.15 Giải hệ phương trình: 4x + 2x+1 =y 2x + BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài tập phương trình lượng giác các đề thi đại học 5.1 Giải phương trình: 5.2 Giải phương trình: 5.3 Giải phương trình: 5.4 Giải phương trình: 5.5 Giải phương trình: 5.6 Giải phương trình: 5.7 Giải phương trình: 5.8 Giải phương trình: 5.9 Giải phương trình: √ sin 2x + cos 2x = cos x − 1 + sin 2x + cos 2x √ = sin x sin 2x + cot2 x π (1 + sin x + cos 2x) sin x + = √1 cos x + tan x √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) 1 7π = sin + −x 3π sin x sin x − + sin x cos x + + cos2 x sin x = + sin 2x cos6 x + sin6 x − sin x cos x √ = − sin x cos2 3x cos 2x − cos2 x = cos 2x cot x − = + sin2 x − sin 2x + tan x (10) √ √ 5.10 Giải phương trình: 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + 5.11 Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x 5.12 Giải phương trình: (sin 2x + cos 2x) cos√x + cos 2x − sin x = x) 5.13 Giải phương trình: sin x+cos√x sin 2x+ cos 3x = 2(cos √ 4x+sin 3 5.14 Giải phương trình: sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x 5.15 Giải phương trình: sin2 2x + sin 7x − = sin x x 5.16 Giải phương trình: cot x + sin x + tan x tan = 5.17 Giải phương trình: + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 5.18 Giải phương trình: sin x − = 3(1 − sin x) tan2 x 5.19 Giải phương trình: cot x − tan x + sin 2x = sin 2x 5.20 Giải phương trình: sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2√6x 5.21 Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = cos 2x sin 2x + cos x − sin x − √ 5.22 Giải phương trình: = tan x + 5.23 Giải phương trình: √ sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = 5.24 Giải phương trình: cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = 5.25 Giải phương trình: sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x x x 2 √ 5.26 Giải phương trình: sin + cos + cos x = 2 5.27 Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x −π 1 = 0. π 4 5.28 Giải phương trình: cos x+sin x+cos x − sin 3x − − = 4 5.29 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x x π x − tan2 x − cos2 = 5.30 Giải phương trình: sin2 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Bài tập phương trình chứa thức các đề thi đại học Giải Giải Giải Giải Giải phương phương phương phương phương trình: trình: trình: trình: trình: √ √ 2√ 3x − + √ 6x − −√8 = 2+x−6 √ √ − x + 4 − x = 10 − 3x √3x + − 26 − x + 3x − 14x − = 2x − + x √− 3x + 1√ = p x + + x + − x + = 10 (11) BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bài tập bất phương trình chứa thức các đề thi đại học 7.1 Giải bất phương trình: 7.2 Giải bất phương trình: 7.3 Giải bất phương trình: 7.4 Giải bất phương trình: 7.5 Giải bất phương trình: √ x− x p = 1 − 2(x2 √ − x + 1) √ √ p5x − − x − > 2x − 2(x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ x −√3 x−3 √ x+1+ √ x2 − 4x + = x (x − 3x) 2x2 − 3x − = BÀI TẬP TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton các đề thi đại học n−1 8.1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n Tìm số hạng chứa n = C n nx − , x 6= x5 khai triển nhị thức Niu-tơn 14 x 26 8.2 Tìm hệ nsố số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn 1 n + x7 biết C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = 220 − (n nguyên x4 dương, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) 8.3 Tìm số nguyên dương n cho C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 − 2n+1 2n k 4.2 C2n+1 + · · · + (2n + 1).2 C2n+1 = 2005 (Cn là số tổ hợp chập k n phần tử) 8.4 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+ x2 (1 − x)] n √ 8.5 Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newton + x5 x biết n+1 n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) (n là số nguyên dương, x > 0, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) 11 (12) 8.6 Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam và nữ 8.7 Chứng minh ! n+1 1 + k+1 = k k n + Cn+1 Cn+1 Cn (n, k là các số nguyên dương, k n, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) 8.8 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n , biết: 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cn2 − 3n−3 Cn3 + + (−1)n Cnn = 48 (n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) 8.9 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n = 4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1, 2, , n} cho số tập gồm k phần tử A là lớn 8.10 Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam và nữ ? 8.11 Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít ? 22 − 1 23 − 8.12 Cho n là số nguyên dương Tính tổng Cn0 + Cn + Cn + n+1 −1 n + Cn (Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) n+1 8.13 Cho đa giác A1 A2 A2n (n = 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1 , A2 , , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1 , A2 , , A2n , tìm n + C + + C 2n−1 = 8.14 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C2n 2n 2n 2048 với Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử 8.15 Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 8.16 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn 12 (13) học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A4 + 3A3n+1 8.17 Tính giá trị biểu thức M = n+1 , biết Cn+1 + (n + 1)! 2 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149, n là số nguyên dương, Akn là số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử √ 8.18 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton x+ √ x với x > 8.19 Với n là số nguyên dương,gọi a3n−3 là hệ số x3n−3 khai n triển thành đa thức x2 + (x + 2)n Tìm n để a3n−3 = 26n BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tập hệ phương trình các đề thi đại học 9.1 Giải hệ phương trình: 9.2 Giải hệ phương trình: 9.3 Giải hệ phương trình: 9.4 Giải hệ phương trình: 9.5 Giải hệ phương trình: 9.6 Giải hệ phương trình: 9.7 Giải hệ phương trình: x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y x2 + y − x + y = ( 5x2 y − 4xy + 3y − 2(x + y) = xy(x2 + y ) + = (x + y)2 ( √ (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = √ 4x2 + y + − 4x = x2 + y + x3 y + xy + xy = − x4 + y + xy(1 + 2x) = − ( √ x + y − xy = √ √ x+1+ y+1=4 x − = y − x y 2y = x3 + ( xy + x + = 7y x2 y + xy + = 13y 13 (14) ( x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + 9.8 Giải hệ phương trình: x2 + 2xy = 6x + x2 + 3x = y2 9.9 Giải hệ phương trình: 2+2 y 3y = x2 ( xy + x − = 9.10 Giải hệ phương trình: 2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = 9.11 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: ( 2x3 − (y + 2)x2 + xy = m x2 + x − y = − 2m x(x + y + 1) − = 9.12 Giải hệ phương trình: (x + y)2 − +1=0 x2 ( xy + x + y = x2 − 2y 9.13 Giải hệ phương trình: √ √ 2y − y x − = 2x − 2y 9.14 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 x + + y + = x y 1 3 x + + y + = 15m − 10 x y 9.15 Chứng minh với a > hệ phương trình sau có nghiệm ( ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y) y−x=a 9.16 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: (√ √ x+ y =1 √ √ x x + y y = − 3m 14 (15) BÀI TẬP TÍCH PHÂN 10 Bài tập tích phân các đề thi tốt nghiệp Tính các tích phân sau: (Từ bài 10.1 đến bài 10.14) π Z2 sin 2x dx − cos2 x 10.1 I = Ze ln2 x dx x 10.2 I = Z1 3x2 10.3 I = x3 + Z1 dx 10.4 I = 0 Z1 Zπ √ 10.5 I = 3x + dx (1 + ex )x dx 10.6 I = x(1 + cos x) dx Z1 x2 (x − 1)2 dx 10.7 I = Ze √ 10.8 I = Zln 10.9 I = (ex − 1)2 ex dx π Z2 10.10 I = 0 Z1 10.11 I = π 10.12 I = (2 sin x + 3) cos x dx cos2 x sin x dx (x + sin2 x) cos x dx Z2 π Z 10.13 I = dx x2 − 5x − + ln x dx x π Z2 10.14 I = cos x dx + sin x 10.15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = ex , y = và đường thẳng x = 10.16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = ln x, x = 1, x = e và trục Ox 10.17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x3 và y = 4x 10.18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x3 + 11x − và y = 6x2 15 (16) 11 Bài tập tích phân các đề thi đại học Tính các tích phân sau: (từ bài 11.1 đến bài 11.28) √ Z Z4 dx x x2 + √ 11.1 I = √ π Z2 11.3 I = Z2 |x2 − x| dx 11.5 I = 11.7 I = 1 + ln x ln x dx x Z3 sin x + sin 2x √ dx + cos x ln(x2 − x) dx 11.6 I = π Z2 x √ dx 1+ x−1 11.4 I = Ze √ − sin2 x dx + sin 2x 11.2 I = π Z2 sin 2x cos x dx + cos x 11.8 I = π Z2 11.9 I = e sin x Z + cos x cos x dx 11.10 I = π 0 Zln 11.11 I = ln Ze 11.13 I = dx x e + 2e−x − Z 11.12 I = x3 ln2 x dx 11.14 I = Z4 ln x dx x3 x(1 + sin 2x) dx cos3 x − cos2 x dx 11.18 I = Z3 Z3 Z1 11.19 I = dx x e −1 Ze 11.21 I = tan4 x dx cos 2x π 11.16 I = π 11.17 I = (x − 2)e2x dx π Z6 Z2 Z2 11.15 I = sin 2x p dx cos2 x + sin2 x ln x dx x(2 + ln x)2 + ln x dx (x + 1)2 x2 + ex + 2x2 ex dx + 2ex Ze 11.22 I = 2x − ln x dx x 11.20 I = 1 16 (17) π Z1 11.23 I = Z3 x3 x4 + 3x2 +2 dx 11.24 I = 0 Z4 Z3 11.25 I = √ 4x − dx 2x + + 11.26 I = + x sin x dx cos2 x + ln(x + 1) dx x2 π Z4 x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x π π Z4 sin x − 11.28 I = dx sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) 11.27 I = 11.29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = |x2 − 4x + 3| và y = x + r x2 và 11.30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = − x2 y= √ 11.31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = (e + 1)x và y = (1 + ex ) x 11.32 Cho hình H giới hạn các đường y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox BÀI TẬP SỐ PHỨC 12 Bài tập số phức các đề thi tốt nghiệp 12.1 Giải phương trình sau trên tập số phức 8z − 4z + = 12.2 Cho hai số phức z1 = + i và z2 = − 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 − 2z2 12.3 Cho hai số phức z1 = + 5i và z2 = − 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 z2 17 (18) 12.4 Giải phương trình sau trên tập số phức (z − i)2 + = 12.5 Giải phương trình sau trên tập số phức (1 − i)z + − i = − 5i 25i biết z = − 4i z 12.7 Tìm bậc hai số phức 12.6 Tìm các số phức 2z + z và z= 13 + 9i − 5i 1−i Bài tập số phức các đề thi đại học 13.1 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 √ 13.2 Tìm số phức z thỏa mãn: |z − (2 + i)| = 10 và z.z = 25 13.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = √ √ 13.4 Tìm phần ảo số phức z biết z =√( + i)2 (1 − 2i) (1 − 3i)3 13.5 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm môđun số phức 1−i z + iz 13.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i)z| √ 13.7 Tìm số phức z thỏa mãn: |z| = và z là số ảo 13.8 Tìm tất các số phức z, biết z = |z|2 + z 13.9 Tính môđun số phức z, biết (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = − 2i 13.10 Cho số phức z thỏa mãn w = + z + z2 5(z + i) = − i Tính môđun số phức z+1 18 (19) √ 5+i 13.11 Tìm số phức z, biết z − − = z √ !3 1+i 13.12 Tìm phần thực và phần ảo số phức z = 1+i √ 13.13 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z −2 3iz−4 = Viết dạng lượng giác z1 và z2 13.14 Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i)z = − 9i 2(1 + 2i) 13.15 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = + 8i Tìm môđun 1+i số phức w = z + + i 13.16 Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức z + 3(1 + i)z + 5i = 19 (20) BÀI TẬP HÌNH HỌC 14 Bài tập hình học các đề thi tốt nghiệp 14.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B và BA = BC = a Góc đường thẳng A0 B với mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C theo a 14.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 2; 1), B(0; 2; 5) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x − y + = Viết phương trình tham số đường thẳng qua A và B Chứng minh (P ) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB 14.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 2) và đường x−1 y−3 z thẳng ∆ có phương trình = = 2 1 Viết phương trình đường thẳng qua O và A Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và qua O Chứng minh ∆ tiếp xúc với (S) 14.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 14.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x + 2y − z + = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A và song song với mặt phẳng (P ) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng (P ) 14.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 3), B(−1; −2; 1) và C(−1; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 20 (21) Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A 14.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 14.8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 14.9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình x y+1 z−1 = = −2 1 Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆ 14.10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, \ = 120◦ Tính thể cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC tích khối chóp S.ABC theo a 14.11 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P ) có phương trình: ( (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 36 (P ) : x + 2y + 2z + 18 = Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P ) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua T và vuông góc với (P ) Tìm toạ độ giao điểm d và (P ) 14.12 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) và đường thẳng d có phương trình: y−2 z+3 x+1 = = −1 21 (22) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d 14.13 Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có phương trình 2x − 3y + 6z + 35 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng N M khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) 14.14 Trong không gian Oxyz cho điểm M (−2; 1; −2) và đường thẳng d x−1 y+1 z có phương trình = = −1 Chứng minh đường thẳng OM song song với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d x−2 = 14.15 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình y+1 z−1 = và mặt phẳng (P ) có phương trình x − y + 3z + = Tìm tọa độ giao điểm M d và (P ) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P ) 14.16 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và (d0 ) có phương trình x = −1 + t x−1 y+2 z−1 (d) : = = và (d ) : y = − 2t z = −1 + 3t Chứng minh hai đường thẳng (d) và (d0 ) vuông góc 22 (23) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm K(1; −2; 1) và vuông góc với đường thẳng (d0 ) 14.17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; −1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; −1; 2) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng Gọi A0 là hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A0 , B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A0 14.18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; −1),B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) và G là trọng tâm ∆ABC Viết phương trình đường thẳng OG Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B, C Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S) 14.19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) và đường thẳng d có phương trình x = + 10t (P ) : x + 9y + 5z + = và d : y = + t z = −1 − 2t với t ∈ R Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P ) x−2 y−2 z+3 = = Chứng 31 −5 minh hai đường thẳng d1 và d chéo Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d1 Cho đường thẳng d1 có phương trình Viết phương trình tổng quát và phương trình chính tắc đường thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng (P ) và (Q) 23 (24) 2 14.20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( (S) : x + y + x + 2y − = z − 2x + 2y + 4z − = và hai đường thẳng (∆1 ) : x − 2z = x−1 y z và (∆2 ) : = = −1 −1 Chứng minh (∆1 ) và (∆2 ) chéo Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (∆1 ) và (∆2 ) 15 Bài tập hình học các đề thi đại học 15.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a 15.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD cho CN = 2N D 11 Giả sử M ; và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − = 2 Tìm tọa độ điểm A x+1 15.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = y z−2 = và điểm I(0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d hai điểm A và B cho tam giác IAB vuông I 15.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 +y = Viết phương trình chính tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn và (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông x+1 15.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = y z−2 = , mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + = và điểm A(1; −1; 2) Viết 1 phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) M và N cho A là trung điểm đoạn thẳng M N 24 (25) 15.6 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a 15.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1 ) : x2 + y = 4, (C2 ) : x2 + y − 12x + 18 = và đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) tiếp xúc với d và cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A và B cho AB vuông góc với d x−1 15.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = y z = và hai điểm A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu −2 qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d 15.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh hình thoi có phương trình x2 + y = Viết phương trình chính tắc elip (E) qua các đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 15.10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cắt các trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM 15.11 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông, tam giác A0 AC vuông cân, A0 C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB C và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD0 ) theo a 15.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD có phương trìnhlà x + 3y = và x − y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M − ; Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD 15.13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = và điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo đường tròn có bán kính 15.14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x−y+3 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A và B, cắt trục Oy C và D cho AB = CD = x−1 15.15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = y+1 z = và hai điểm A(1; −1; 2), B(2; −1; 0) Xác định tọa độ điểm M −1 thuộc d cho tam giác AM B vuông M 15.16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, 25 (26) AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a 15.17 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = và đường tròn (C) : x2 + y − 4x − 2y = Gọi I là tâm (C), M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến M A và M B đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích 10 15.18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; −2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho M A = M B = x2 y 15.19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O và có diện tích lớn 15.20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 4x − 4y − 4z = và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB 15.21 Cho lăng trụ √ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD1 A1 ) và (ABCD) 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) theo a 15.22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x−y −4 = và d : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM.ON = x−2 = 15.23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y+1 z = và mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi I là giao điểm −2 −1 ∆ và (P√ ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho M I vuông góc với ∆ và M I = 14 ;1 15.24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng các điểm D, E, F Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có 26 (27) phương trình y − = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương x+2 15.25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = y−1 z+5 = và hai điểm A(−2; 1; 1), B(−3; −1; 2) Tìm toạ độ điểm M −2 √ thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác M AB có diện tích 15.26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) √ [ = 30◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC và Biết SB = 2a và SBC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a 15.27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ các đỉnh A và C 15.28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường x+1 y z−3 thẳng d : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua −2 điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox 15.29 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M và N cho tam giác AM N vuông cân A x−1 15.30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = z y−3 = và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) 15.31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm √ CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a 15.32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = và d2 : 3x − y = Gọi (T ) là đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông √ B Viết phương trình (T ), biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương x−1 y 15.33 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = 27 (28) z+2 và mặt phẳng (P ) : x − 2y + z = Gọi C là giao điểm ∆ với −1 √ (P ), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết M C = 15.34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x + y − = Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho 15.35 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường x+2 y−2 z+3 thẳng ∆ : = = Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B và C cho BC = 15.36 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, góc hai mặt phẳng (A0 BC) và (ABC) 60◦ Gọi G là trọng tâm tam giác A0 BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 15.37 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(−4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương 15.38 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), đó b, c dương và mặt phẳng (P ) : y − z + = Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) x2 + 15.39 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3) và elip (E) : y = Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm (E) cho F1 có hoành độ âm; M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F2 x y−1 15.40 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = z Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM 15.41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) AC là điểm H thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM là đường cao tam 28 (29) giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a 15.42 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương 15.43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x + y + z − = và (Q) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 15.44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và ∆ là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên ∆ Viết phương trình đường thẳng∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH 15.45 Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng x = + t x−2 y−1 z ∆1 : y = t và ∆2 : = = 2 z=t Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 15.46 Cho hình chóp có đáy S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 60◦ Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp theo S.ABCD theo a 15.47 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB 15.48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z − = và mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó 15.49 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y + 4x + 4y + = và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + = với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB lớn 15.50 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + y z+9 x−1 x+1 = = , ∆2 : = 2z − = và hai đường thẳng ∆1 : 1 29 (30) y−3 z+1 = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) 15.51 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có BB = a, góc đường thẳng BB và mặt phẳng (ABC) 60◦ ; tam giác ABC vuông \ = 60◦ Hình chiếu vuông góc điểm B lên mặt phẳng C và BAC (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A0 ABC theo a 15.52 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + y = và hai đường thẳng ∆1 : x − y = và ∆2 : x − 7y = Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1 ) biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1 , ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C) 15.53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2; −1; 1) và D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P ) khoảng cách từ D đến (P ) 15.54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC 18 15.55 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x−2y + 2z − = và hai điểm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P ) hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ 15.56 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA0 = 2a, A0 C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A0 C , I là giao điểm AM và A0 C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 15.57 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình là 7x − 2y − = và 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC 15.58 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ) 30 (31) 15.59 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y = Gọi I là tâm (C) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) \ cho IM C = 30◦ x+2 15.60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = z y−2 = và mặt phẳng (P ) : x + 2y − 3z + = Viết phương trình −1 đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ 31 (32)