b Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.. c Nếu a>b+c thì a-c>b Tức là: Ta có thể chuyển mộ[r]
(1)MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a b, + a lớn b , kí hiệu a b, 2) Một số tính chất bất đẳng thức: a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu) b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với cùng số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều c) Nếu a>b+c thì a-c>b Tức là: Ta có thể chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế này sang vế và phải đổi dấu số hạng đó d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức cùng chiều ta bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức cùng chiều f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc (2) Nếu a>b và c<0 thì ac Tức là: Nhân vế bất đẳng thức với cung số dương thfbất đẳng thức không đổi chiều Nhân vế bất đẳng thức với cùng số âm thì bất đẳng thức đổi chiều g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế dương thì ta bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều h) Nếu thì Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì Nếu a>b và n nguyên dưong thì Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh - Lưu ý : A2 (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với A ; dấu '' = '' xảy A = - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Côsi hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ) Dấu “ = “ xảy và a=b Giải: (3) Với a,b không âm Dấu “ = “ xảy và a=b Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh ta biến đổi tương đương đó bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức hiển nhiên đúng là bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Ví dụ: Chứng minh thì Giải Bất đẳng thức xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n > phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = (n = n0) (4) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n phương pháp quy nạp toán học N) Thì ta nên chú ý sử dụng - Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức Côsi trường hợp tổng quát Với thì Giải: Dùng phương pháp quy nạp: + Với n = đúng + Với n = k đúng cần chứng minh (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy: Với số a,b không âm ta có: Dấu "=" xảy a=b Chứng minh: Dấu "=" xảy a=b (5) Dạng tổng quát bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy): Cho n là số tự nhiên thì Dấu "=" xảy Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho số dương ta có: (1) (2) Nhân vế (1) và (2) ta Dấu "=" xảy a=b=c Cách khác: Dấu "=" xảy a=b=c Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski Cho a, b, c là số thực thì viết Dấu "=" xảy Tổng quát: Dấu "=" xảy (6) Ví dụ: Cho Chứng minh rằng: Giải: Phương pháp phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , là điều trái nhược , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều đúng + Phủ định suy hai điều trái ngược + Phủ định suy kết luận Ví dụ: Chứng minh không có số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức: Giải: Giả sử tồn số dương thỏa mãn bất đẳng thức (7) Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được: Mà theo bất đẳng thức Cô-sy thì Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức trên Phương pháp làm trội, làm giảm Dùng tính chất BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn Ví dụ: Với n là số tự nhiên thì: Giải: Với số tự nhiên k>1 ta có: Thay k = 2,3,4 n cộng các vế các bất đẳng thức ta được: Phương pháp dùng miền giá trị hàm số: Để chứng minh b < f(x) < a với x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = có nghiệm <=> b < f(x) < a Từ đó suy đpcm (8) Ví dụ: Chứng minh rằng: Giải: Đặt (*) (x;y) thỏa mãn (*) và phương trình: có nghiệm có nghiệm Với y= thì x = Với y khác thì Phương pháp dùng tính chất tỉ số: Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có: Nếu thì Nếu thì Nếu d > và thì Ví dụ: Cho a,b,c > chứng minh rằng: Giải: Ta có: (9) Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh 10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a/ b/ c/ d/ dấu = A.B >0 e/ dấu = A>B>0 A<0 Ví dụ: Chứng minh rằng: Giải: Ta có: BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Bài 1: Cho hai số thực Chứng minh : Bài 2: Cho ba số thực Bài 3: Cho số thực Chứng minh : Cmr : Bài 4: Cho các số thực dương có tổng Chứng minh rằng: (10) Bài 5: Cho Bài 6: Cho Chứng minh : Chứng minh : Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh: Bài 8: Cho Chứng minh: Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng: Bài 10: Cho và Bài 11: Cho Chứng minh: Chứng minh : Bài 12: Cho ba số thực dương Bài 13: Cho a,b,c > và Cmr : Cmr : Híng dÉn gi¶i Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa tổng các bình phương luôn không âm Bài 3: Cách làm tương tự bài Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (11) Bài : Biến đổi tương đương tạo thành tích số không âm Bài : Biến đổi tương đương Biến đổi tạo thành biểu thức không âm Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cosi phát là xong : Bài 8: Tương tự bài Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: (đã chứng minh bài 8) Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử: (p là nửa chu vi ) Bài 10:Biến đổi lại áp dụng bài là xong Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi lần cho số Bài 12: Cộng hai vế BĐT với thì BĐT cần chứng minh trở thành Áp dụng bất đẳng thức bài 11 là xong ! Bài 13 : BĐT (12) áp dụng bài 11 xong ! (13)