Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với P và cắt Q theo một đường tròn có chu vi 2 π.. 1,0 điểm Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng.[r]
(1)TRƯỜNG THPT M.V LÔMÔNÔXỐP LẦN THỨ NHẤT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) C©u (2,0 ®iÓm) Cho hàm số : y x (2m 1) x ( m 2) x m có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m = 2 Tìm m để (Cm) trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương C©u (2,0 ®iÓm) (tan x.cot x 1)cos3 x ( sin x 2cosx 1) Giải phương trình: log x + y = 3log8 ( x y + 2) x + y +1 x y = Giải hệ phương trình: ln( x 3) dx x C©u (1,0 ®iÓm) Tính tích phân I C©u 4(1,0 ®iÓm): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, AB = a Góc cosφ = mặt phẳng (A’BC) và (BCC’B’) φ Tính theo a thể tích khối chóp A’BCC’B’ biết a 2 b2 c2 c2 a2 C©u 5: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) b c A Theo chương trình Chuẩn: Câu 6a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A , biết phương trình các M 3; đường thẳng AB, BC là x y 0 và x y 1 0 , đường thẳng AC qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C x − y +3 z −3 = = và hai −1 mặt phẳng (P):2 x+ y −2 z +9=0 ,(Q): x − y + z +4=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo đường tròn có chu vi π z 2i 2 Câu 8a (1,0 điểm) : Cho số phức z thoả mãn và phần ảo z Tìm z Câu 7a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d: B Theo chương trình Nâng cao Câu 6b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x + 2y + = 0, trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C Câu 7b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – = 0, đường thẳng (): x y z 2 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z – = Hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (), vuông góc với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) n n Câu 8b (2,0 điểm) : Cho n là số nguyên dương thỏa Cn Cn Cn Cn 255 Hãy tìm số hạng chứa x14 x 3x khai triển P(x) = n HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM - ĐỀ THI THỬ KHỐI A, A1 – 2013 Lần Câu I Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x 3x x 0 y'=3x + 6x; y'=0 x TXĐ: R lim y ; lim y x Giới hạn: x Bảng biến thiên: x y’ y + 0,25 -2 0 - + -4 Hàm số đạt cực đại x = -2, ycđ =0 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, ycđ = - Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-2);( 0; ) và nghịch biến trên khoảng (-2;0) Đồ thị : Tìm m để (Cm) trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Xét phương trình hoành độ giao điểm: x (2 m 1) x ( m 2) x m 0 x 1 x 1 x 2mx m 0 x 2mx m 0 (1) Để (Cm) trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương, phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt khác1 m m ' 0 S0 m 0 2m1 P m 3m 0 3m đk Câu II 0,25 0,25 0,25 (t anx.cot 2x 1)cos x ( sin x 2cosx 1) 1.Giải phương trình: Đk: sin2x Phương trình tương đương với: s inx.cos2x sin 2x.cos x cos3 x ( s inx cos x 1) sin 2x.cos x s inx cos3 x ( s inx cos x 1) cos x s inx 1 s in2x.cos x 2 cos(x ) x k2π và x = k2 3 2 x= k2 (k Z) So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm: Giải hệ phương trình: 0,25 log x + y = 3log8 ( x y + 2) 2 2 x + y +1 x y = 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) ĐK x y 0,25 (3) (1) x + y = x y +2 x + y = x y+4 x y 4 0,25 x y 2 y 2 x y y 4 x Thay y 4 x vào (2) ta có : x + 4x Từ đó tìm cặp nghiệm(2;2) Câu III ln(x 3) I dx x Tính tích phân Đặt 0,25 x 4x + = x + 4x 1 x x 2 0,25 u ln(x 3) dx dv x2 2x du x v x 0,25 ln(x 3) dx ln12 I 2 ln 2J x x 3 1 0,25 x 1 t , x 3 t Đặt tiếp: x tan t dx 3(1 tan t)dt , đổi cận 0,25 I l n ln12 3dt ln12 2 l n 3 3 Câu IV Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm đáy ABC, I, M là trung điểm BC và B’C’ a A 'O (ABC); A ' M AI ; Ta có: 0,25 A’ C B’ 0,25 M a2 a A'I x ( x ); IM x 4 AI BC BC (A ' AIM) A ' I BC A ' ˆIMφhay A'IMˆ 180 0 A O B I C’ ˆ , ΔAIM có : A'M2 A ' I2 IM2 2A ' I.IMcos *A 'IM 0,25 0,25 3a a2 a2 x x x x2 x a 4 a3 VA 'BCC 'B' 2VA 'ABC A 'O.SABC ˆ 1800 , ΔAIM có : A'M A ' I2 IM 2A ' I.IMcos(1800 ) *A 'IM 0,25 3a a a a x x x x2 x 4 4 a3 VA 'BCC 'B' 2VA 'ABC A 'O.SABC 24 1 Câu b c a x ; y ; z xyz=1 VT x y2 z a b c Đặt : Không tính tổng quát, giả sử x là số lớn số x,y,z nghĩa là: x y; x z x và yz 1 Ta có: 0,25 0,25 (4) (y z)2 (yz 1) 1 Xét : 0 2 yz 2 2 yz 1 y 1 z (1 y )(1 z )(1 yz) 1 y 1 z 1 1 2 VT 2 2 1 2 2 1 x yz x 1 x 1 y 1 z 1 x 1 2t , t VT 2.t t f (t).Ta có : f '(t) 0 x 1 1 t Đặt 1 (0; ] f(t) f( ) f (t) đồng biến trên 2 Dấu = xảy a=b=c Câu 6a AB: x y 0 và BC: x y 0 B( 2; 1) t DBC cho MD//AB, phương trình MD: x y 0 x y 0 x 0 D(0;1) x 3y y Toạ độ điểm D là nghiệm hệ A M(3;0) Gọi C(t; t + 1).Do MDC cân M, nên MD = MC t 0 (t 3) (t 1)2 10 t 2 C B D Với t = thì C(0;1) D (loại) Với t = thì C(2;3) MC có phương trình 3x y 0 , đt MC cắt AB A Toạ độ điểm A là nghiệm hệ: x 3y 0 x 4 A(4; 3) 3x y 0 y Câu 7a Gọi I là tâm mặt cầu, Id nên I(1-t; -3+2t; 3+t) Mặt cầu tiếp xúc với (P) nên mặt cầu 2(1 t) 2t 2t 2t R d (I;(P)) 1 có bán kính Mặt cầu cắt (Q) theo đường tròn có chu vi π đường tròn giao tuyến có bán kính (1 t) 2t t 2t 11 r 1 d (I;(Q)) R r2 1 1 t 4 2t 2t 11 t 23 1 Bình phương hai vế, giải phương trình ta t 4 I ( 3;5;7), R 2 23 21 29 t I ( ; 20; ), R 7 2 2 2 Phương trình mặt cầu là ( x 3) ( y 5) ( z 7) 4 21 29 ( x )2 ( y 20)2 ( z ) 49 2 Câu 8a Đặt z a bi (a, b R) , z có phần ảo nên z a 4i a 4i 2i 2 (a 1) 22 2 Giải phương trình tìm a = và a =-1 Vậy z = 3+4i và z = -1+4i Câu 6b Ta có C thuộc (d) C(–2y – 1; y) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) 2y y G ; G là trọng tâm ABC x y AB: x – y + = 0; AB = 2 AB = (–2; –2) AB: 0,25 2y 3 y 6 1 xG yG y 3 d (G; AB ) 2 = 0,25 0,25 y 1 SGAB AB.d (G; AB ) 2 2 = |y| = y = ± * y = C(–7; 3) * y = –3 C(5; –3) Vậy C(–7; 3) hay C(5; –3) Câu 7b u n (P) có VTPT là P = (1; 2; –2) có VTCP là = (2; 1; 2) 0,25 (Q) // () và vuông góc (P) nên (Q) có VTPT là: n Q n P , u = (6; –6; –3) = 3(2; –2; –1) (Q): 2x – 2y – z + D = 2 0,25 (S) có tâm là I(1; –3; 2) và bán kính R = 4 2.1 2.( 3) D D 6 4 D 18 22 22 12 (Q) tiếp xúc (S) d(I; (Q)) = R Vậy (Q): 2x – 2y – z + = hay (Q): 2x – 2y – z – 18 = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 8b 8 k 0 P(x) = (1 + x + 3x ) = 2k m 14 0 m k 8 m, k Z YCBT Vậy số hạng chứa x C8k 3x2 x 14 k = k k k m k m m k m k m 2k m C C (3 x ) x C8 Ck x k k 0 m 0 = k 0 m0 0,25 m 0 k 7 7 m 2 k 8 8 là: ( C C C C )x14 0,25 (6)