Tính xác suất để Đội tuyển Việt Nam ghi đươc 3 bàn thắng trong 5 tình huống sút xa đó.[r]
(1)(2) LỜI GIẢI THAM KHẢO TỪ DIỄN ĐÀN TOÁN THPT TẠP CHÍ TH-TT www.k2pi.net ne t ĐỀ SỐ 04 NĂM 2013 Câu I.2 Cho hàm số y = x − 6x + 9x + (C ) Tìm trên trục hoành điểm A cho tam giác với ba đỉnh là A và hai điểm cực trị hàm số (C ) có chu vi nhỏ a) Lời giải :(diennhoc123) f (x) = 3x − 12x + " x =1 f (x) = ⇔ x =3 k2 pi Từ đó suy hai điểm cực trị hàm số (C ) là B (1; 5) và C (3; 1) Điểm A nằm trên trục hoành có tọa độ dạng A(a; 0) Chu vi tam giác ABC là: 2p = AB + BC +C A = Áp dụng bất đẳng thức q ta có: q x2 + y + q q p (a − 1)2 + 52 + 22 + 42 + (3 − a)2 + 12 p (a − 1)2 + 52 + Từ đó suy chu vi tam giác ABC nhỏ ⇔ z2 + t q ¡ ¢2 ≥ (x + z)2 + y + t q p p (3 − a)2 + 12 ≥ 42 + 62 = 13 µ ¶ a −1 8 = ⇔ a = ⇒ A ;0 3−a 3 Hoặc có thể giải theo cách sử dụng phương pháp hình học: Ta có B,C nằm cùng phía so với trục hoành và B (1; −5) là điểm đối xứng B qua trục hoành Phương trình đường thẳng B 0C : ww w x −3 y −1 = ⇔ 3x − y − = 3−1 1+5 ¢ ¡ Gọi M là giao điểm B 0C với trục hoành thì M 83 ; Ta có: C ∆ABC ⇔ (AB + AC ) ³ Câu II.1 Tìm nghiệm x ∈ 0; Lời giải (xuannambka): AB + AC = AB + AC ≥ B 0C = const ¡ ¢ ⇒ C ∆ABC ⇔ A ≡ M ⇒ A 83 ; π´ phương trình : cos 6x (1 + sin x) + cos2 x = + cos 5x sin 2x ⇔ cos 6x (1 + 2sinx) + 2cos2 x − − cos 5xsin2x = ⇔ cos 6x + cos 2x + 2sinxcos6x − sin 2xcos5x = ⇔ cos 6x + cos 2x + sin 3x − sin 5x = ⇔ cos 4xcos2x − cos 4xsinx = π kπ x=− + cos 4x = cos 4x = π k2π ´ ⇔ ³π (k ∈ Z ) ⇔ ⇔ x = + −x cos 2x = cos cos 2x = sinx 6π x = − + k2π ³ π´ π 3π π Vì x ∈ 0; , suy nghiệm phương trình là:x = ; x = ; x = 8 " (3) ¡ ¢ Giải phương trình : (x − 1) log3 (x + 1) + log4 (x + 2) = 5x − Lời giải (Mai Tuấn Long ): ne t Câu II.2 ĐK : x > −1 Ta có x = không phải là nghiệm PT, chia hia vế PT cho: 4(x − 1) P T ⇔ log3 (x + 1) + log4 (x + 2) = 5x − 4(x − 1) Ta thấy : VT = log3 (x + 1) + log4 (x + 2) là hàm đồng biến; 5x − là hàm nghịch biến trên các khoảng (-1;1) và (1; +∞) 4(x − 1) ⇒ trên khoảng P T có nghiệm thì nghiệm đó là trên khoảng đó VP = Câu III k2 pi Trên khoảng (-1;1) có x=0 thỏa mãn PT ⇒ x = là nghiệm Lại có trên khoảng (1; +∞) có x = thỏa mãn P T Vậy PT có hai nghiệm là x = 0; x = Tính tích phân : I = Lời giải (Mai Tuấn Long): Z π µ ¶ x + sin x d x x +1 ¶ µZ π ¶ Z πµ Z π Z π 2 d (x + 1) 1 2 2x I= + x − x cos 2x d x = + d (x ) − x.d (sin 2x) x2 + x2 + π µ ¶ π2 1 1R π = l n(x + 1) + x |0 − x sin 2x|02 + 02 sin2x.d x ¶ 4 µ2 π π π2 1 2 = l n(x + 1) + x |0 − x sin 2x|0 − cos 2x|02 µ ¶ 42 π2 π = ln +1 + + 16 0 0 ww w Câu IV Cho lăng với AB = a, AC = 2a , AC tạo ³ 0trụ ´đứng ABC A B C Đáy ABC là tam giác vuông A 0 với mặt phẳng B C C B góc α Mặt phẳng qua A vuông góc với B C cắt BC H , cắt CC E Tính thể tích khối chóp A H AE Lời giải ( Mai Tuấn Long): Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với B’C AH ⊂ (P ) ⇒ AH ⊥ B 0C B B ⊥ (ABC ) ⇒ AH ⊥ B B AH ⊂ ((ABC ) H = ACá , B B 0C 0C = α ⇒ AH ⊥ (B B 0C 0C ) ⇒ AH ⊥ BC ⇒ AC p p p 1 2a 4a 2 Trong ∆ABC có: = + ⇒ AH = ; C H = AC − AH = AH AB AC 2p 5 p p 2a 5 − 25si n2α AH 2a Trong ∆AC H có: AC = = ⇒ A A = AC 02 − A 0C 02 = si nα 5si nα 5si nα p 2a − 5si n α 0 ∆A A H là tam giác vuông A ⇒ S A A H = A A AH = 5si nα Lại có: C H ⊥ AH ;C H ⊥ A A ⇒ C H ⊥ (A A H ) ⇒ d (C ; A A H ) = C H CC ∥ A A ⇒ CC ∥ (A A H ) ⇒p C E ∥p (A A H ) ⇒ d (E ; A A H ) = d (C ; A A H ) = C H 5a − 5si n α ⇒ VE A A H = C H S A A H = 75si nα p Bài toán xác định khi: − 5si n α > ⇔ < α < ar c si n( ) (4) p p p 5a − 5si n α với < α < ar c si n( ) Vậy thể tích khối chóp E.AA’H là: 75si nα ne t Lời giải ( Phạm Kim Chung): Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, đặt A A = m, m > Ta có : A (0; 0; 0) , B (a; 0; 0) , C (0; 2a; 0) , A (0; 0; m) , B (a; 0; m) , −−→ +) Đườngthẳng AC có véc-tơ phương là i: AC (0; 2a; m) h −−→ −→ −−→ −→ +) Mà : BC (−a; 2a; 0) , BC (−a; 2a; m) ⇒ BC ; BC = (2am; am; 0) , nên véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng − (B 0C BC ) là : → n (2; 1; 0) Theo bài : ¯ −−→¯ s ¯→ ¯ − ¯ n AC ¯ 2a sin α = ¯ ¯ ¯−−→¯ = p ⇒ m = 2a −1 ¯ ¯ − 5sin2 α ¯→ 20a + 5m n ¯ ¯ AC ¯ −−→ ¡ ¢ k2 pi +) Mặt phẳng β qua A nhận véc-tơ B 0C (−a; 2a; −m) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình −ax+2a y − mz = 0: −−→ −→ → u +) Ta lại có : BC (−a; 2a; 0) ,CC (0; 0; m) Nên : đường thẳng BC qua B nhận − (−1; 2; 0) làm véc tơ x = a − t1 phương có phương trình : y = 2t (t ∈ R) z =0 µ ¶ ¡ ¢ 4a 2a ; ;0 Do H = BC ∩ β ⇒ H 5 → 0; 1) làm véc-tơ phương nên có phương trình : đường thẳng CC qua C và nhận − u (0; ¶ µ ¡ ¢ 4a mà E = CC ∩ β ⇒ E 0; 2a; m r 1 ¯¯−−→ h−−→0 −→i¯¯ 4a m 8a Từ đó ta có : V AH E A = ¯ AH AA ; AE ¯ = = −1 15 15 5sin2 α Câu V x =0 y = 2a z = t2 (t ∈ R) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : ww w a3 2b 3c 3 + + ≤ 4 2 b − 2b + c + a − 2a − 3c + a + b + a − 2b − 6a + 11 Lời giải (khanhtoanlihoa): Ta có: b − 2b + ≥ (c + + − 3c) + (a + − 2a) + ≥ (a + + + + a + − 6a) + (b + − 2b ) + ≥ a3 + b3 + c 3 = ⇒ đpcm ⇒VT ≤ 2 Dấu " = " a = b = c = CâuVI.a.1 Trong mặt phẳng Ox y cho A (−2; 1) , B (1; 5) ,C (4; 0) Gọi G, H là trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Viết phương trình đường tròn qua A,G, H Lời giải (Lữa Cưa): Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: G (1; 2) Giả sử H (a; b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên: ~ BC ~ =0 AH ~ =0 B~H AC ⇔ (a + 2) − (b − 1) = (a − 1) − (b − 5) = Giả sử đường tròn qua điểm A,G, H có dạng: x + y + 2ax + 2b y + c = ⇔ 16 27 23 b= a= (5) − 4a + 2b + c = + 2a + 4b + c = ⇔ 5017 32a 46b + + +c = 729 27 343 756 343 b=− 252 175 c =− 378 a= ne t Ta có hệ phương trình: Từ đó, thay lại có phương trình đường tròn k2 pi Câu VI.a.2 Trong không gian Ox y z cho A (1; 2; 3),B (3; 4; −1) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x + y + 2z + = Tìm tọa độ điểm M ∈ (P ) cho M A + M B nhỏ Lời giải (ledinhmanqb): (Giải bài toán phương pháp đại số) Gọi điểm M (a; b; c) ∈ (P ), nghĩa là 2a + b + 2c + = −−→ −−→ Ta có AB = 24, M A = (1 − a; − b; − c), M B = (3 − a; − b; −1 − c) Xét −→ −−→ −−→ −−→ −−→ AB = AB = ( AM + M B )2 = AM + M B + AM M B −−→ −−→ AB + 2M A.M B ⇒ M A2 + M B = 24 + [(1 − a)(3 − a) + (2 − b)(4 − b) + (3 − c)(−1 − c)] ¡ ¢ = a + b + c − 4a − 6b − 2c + 20 ¤ £ = (a + 2)2 + (b − 1)2 + (c + 3)2 − 4(2a + b + 2c + 9) + 42 = 2(a + 2)2 + 2(b − 1)2 + 2(c + 3)2 + 84 ≥ 84 = Do đó ¡ ¢ M A + M B = 84 ⇐⇒ a = −2, b = 1, c = −3 Vậy điểm M (−2; 1; −3) là điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu VII.a Trong đợt tập quân sự, Tiểu đội thuộc Trung đội 11A có 15 chiến sĩ gồm nam, nữ Theo lệnh Trung đội trưởng, Tiểu đội chạy từ chỗ nghỉ bãi tập và xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính sác xuất để người đứng đầu và cuối hang là nữ ww w Lời giải (Mai Tuấn Long): Số cách Xếp 15 người thành hàng dọc là: P 15 = 15! ⇒ |Ω| = 15! Số cách xếp hai nữ vào hai vị trí đầu và cuối là: A 26 Số cách xếp h/s còn lại là: P = 9! ⇒ Số cách xếp 15 người thành hàng dọc cho người đứng đầu và cuối là nữ là: A 26 P = 30.9! Gọi A là biến cố xếp 15 người thành hàng dọc cho người đứng đầu và cuối là nữ ⇒ |A| = 30.9! |A| 30.9! = ⇒ P (A) = |Ω| 15! Câu VI.b.1 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) có phương trình x + y +8x +4y +16 = và đường thẳng (d ) có phương trình x + y −5 = Tìm trên (d ) điểm M , trên (C ) điểm N cho O là trung điểm đoạn M N Lời giải (ledinhmanqb): Gợi ý : Gọi M (a; − a) ∈ (d ) Vì N đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên ta có N (−a; a − 5) Để N ∈ (C ) thì p 7± (−a) + (a − 5) − 8a + 4(a − 5) + 16 = ⇐⇒ a = 2 Từ đó suy tọa độ M , N (6) Câu VI.b.2 Trong không gian Ox y z cho hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình d1 : x −7 = ne t x −3 y −1 z −1 y −3 z −9 = ; d2 : = = Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với d1 , d2 −7 Lời giải (ledinhmanqb): HD : - Chứng minh (d ), (d2 ) chéo nhau; - Gọi I , R là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng Gọi M1 , N1 là hai tiếp điểm mặt cầu với (d1 ), (d2 ) Gọi M , N là hai điểm đầu mút đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó Khi đó ta có 2R = I M1 + I N1 ≥ M1 N1 ≥ M N Suy R mi n = M N Tức là mặt cầu cần tìm có tâm là trung điểm M N và có bán kính M N k2 pi Câu VII.b Xác suất sút bóng từ xa ghi bàn thắng Đội tuyển bóng đá Quốc gia Việt Nam là 0, Trong trận chung kết Việt Nam gặp Thái Lan, các cầu thủ Việt Nam đã lần thực sút xa Tính xác suất để Đội tuyển Việt Nam ghi đươc bàn thắng tình sút xa đó Lời giải (Mai Tuấn Long): Xác suất bóng vòa lưới là: 0,7 nên xác suất bóng không vào lưới là 0,3 Số các TH bóng vào lưới lần sút là: C 53 = 10 Gọi A là biến cố có bàn thắng ghi ⇒ P (A) = C 53 (0, 7)3 (0, 3)2 = 10.(0, 7)3 (0, 3)2 ww w ———————Hết—————Xn gửi lờ cảm ơn tới các thành viên đã tham gia post đề và thảo luận trên diễn đàn (7)