Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nằm trên O.. Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Copyright c 201[r]
(1)HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley www.hexagon.edu.vn Cho tam giác ABC nhọn, BE, CF là các đường cao M là trung điểm BC N là giao AM và EF X là hình chiếu N trên BC Y, Z theo thứ tự là hình chiếu X trên AB, AC Chứng minh N là trực tâm tam giác AY Z Geometry Mathley Vietnamese ••• Round 1-2011 Cho hình lục giác ABCDEF có tất các góc 120◦ Gọi P, Q, R, S, T, V là trung điểm các cạnh hình lục giác ABCDEF Chứng minh √ p(ABCDEF ), p(P QRST V ) ≥ đó p(.) ký hiệu chu vi đa giác Nguyễn Tiến Lâm Đại học Ngoại Thương Hà Nội Nguyễn Minh Hà Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC nhọn tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H, đường cao AD AO cắt BC E Đường thẳng qua D song song OH cắt AB, AC M, N I là trung điểm AE DI cắt AB, AC P, Q M Q cắt N P T Chứng minh D, O, T thẳng hàng Trần Quang Hùng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) đôi cắt nhau; đường tròn cắt hai đường tròn hai điểm phân biệt Gọi (X1 ) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O1 ) và tiếp xúc với các đường tròn (O2 ), (O3 ); tương tự xác định các đường tròn (X2 ), (X3 ) Gọi (Y1 ) là đường tròn tiếp xúc với (O1 )và tiếp xúc ngoài với các đường tròn (O2 ), (O3 ), tương tự xác định các đường tròn (Y2 ), (Y3 ) Gọi (Z1 ), (Z2 ) là hai đường tròn cùng tiếp xúc với ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) Chứng minh X1 Y1 , X2 Y2 , X3 Y3 , Z1 Z2 đồng quy Nguyễn Văn Linh Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2011 HEXAGON (2) English Let ABCDEF be a hexagon having all interior angles equal to 120◦ each Let P, Q, R, S, T, V be the midpoints of the sides of the hexagon ABCDEF Prove the inequality √ p(ABCDEF ), p(P QRST V ) ≥ Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn where p(.) denotes the perimeter of the polygon Nguyễn Tiến Lâm Đại học Ngoại Thương Hà Nội Let ABC be an acute triangle with its altitudes BE, CF M is the midpoint of BC N is the intersection of AM and EF X is the projection of N on BC Y, Z are respectively the projections of X onto AB, AC Prove that N is the orthocenter of triangle AY Z Nguyễn Minh Hà Đại học Sư phạm Hà Nội Let ABC be an acute triangle with incenter O, orthocenter H, altitude AD AO meets BC at E Line through D parallel to OH meet AB, AC at M, N , respectively Let I be the midpoint of AE, and DI intersect AB, AC at P, Q respectively M Q meets N P at T Prove that D, O, T are collinear Trần Quang Hùng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Given are three circles (O1 ), (O2 ), (O3 ), pairwise intersecting each other, that is, every single circle meets the other two circles at two distinct points Let (X1 ) be the circle externally tangent to (O1 ) and internally tangent to the circles (O2 ), (O3 ); circles (X2 ), (X3 ) are defined in the same manner Let (Y1 ) be the circle internally tangent to (O1 ) and externally tangent to the circles (O2 ), (O3 ), the circles (Y2 ), (Y3 ) are defined in the same way Let (Z1 ), (Z2 ) be two circles internally tangent to all three circles (O1 ), (O2 ), (O3 ) Prove that the four lines X1 Y1 , X2 Y2 , X3 Y3 , Z1 Z2 are concurrent Nguyễn Văn Linh Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN (3) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 2-2011 Vietnamese Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và M là điểm nằm ngoài tam giác ABC Ký hiệu Sa , Sb , Sc tương ứng là diện tích các tam giác M BC, M CA, M AB Giả sử Sb Sc = Sa Sb + Sa Sc , chứng minh OM ≥ R Nguyễn Tiến Lâm Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC không cân Đường tròn (O) qua B, C cắt các đoạn BA, CA điểm thứ hai F, E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường thẳng CF M, N cho M nằm C và F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACF cắt đường thẳng BE P, Q cho P nằm B và E Đường thẳng qua N vuông góc AN cắt BE R Đường thẳng qua Q vuông góc AQ cắt CF S Gọi U là giao điểm SP và N R, còn V là giao điểm RM với QS Chứng minh ba đường thẳng N Q, U V và RS đồng quy Trần Quang Hùng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Một đường thẳng bất kì qua H cắt đường tròn (O) hai điểm P và Q Qua P, Q kẻ các đường vuông góc với AP, AQ, các đường này cắt đường thẳng BC hai điểm M, N Chứng minh đường thẳng qua P và vuông góc với OM và đường thẳng qua Q và vuông góc với ON cắt điểm nằm trên đường tròn (O) Nguyễn Văn Linh Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy I Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc EF, F D, DE cho IM, IN, IP theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh AM, BN, CP đồng quy điểm thuộc OI Nguyễn Minh Hà Đại học Sư phạm Hà Nội, ĐHQGHN Copyright c 2011 HEXAGON (4) English Let ABC be an equilateral triangle with circumcircle of center O and radius R Point M is exterior to the triangle such that Sb Sc = Sa Sb +Sa Sc , where Sa , Sb , Sc are the areas of triangles M BC, M CA, M AB respectively Prove that OM ≥ R Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Nguyễn Tiến Lâm Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Let ABC be a scalene triangle A circle (O) passes through B, C, intersecting the line segments BA, CA at F, E respectively The circumcircle of triangle ABE meets the line CF at two points M, N such that M is between C and F The circumcircle of triangle ACF meets the line BE at two points P, Q such that P is betweeen B and E The line through N perpendicular to AN meets BE at R; the line through Q perpendicular to AQ meets CF at S Let U be the intersection of SP and N R, V be the intersection of RM and QS Prove that three lines N Q, U V and RS are concurrent Trần Quang Hùng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Let ABC be a triagle inscribed in a circle (O) A variable line through the orthocenter H of the triangle meets the circle (O) at two points P , Q Two lines through P, Q that are perpendicular to AP , AQ respectively meet BC at M, N respectively Prove that the line through P perpendicular to OM and the line through Q perpendicular to ON meet each other at a point on the circle (O) Nguyễn Văn Linh Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Let ABC be a triangle inscribed in a circle of radius O The angle bisectors AD, BE, CF are concurrent at I The points M, N, P are respectively on EF, F D, and DE such that IM, IN , IP are perpendicular to BC, CA, AB respectively Prove that the three lines AM, BN , CP are concurrent at a point on OI Nguyễn Minh Hà Đại học Sư phạm Hà Nội, ĐHQGHN (5) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 3-2011 Vietnamese Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm Giả sử Q là điểm nằm góc BAC, trên tia AQ lấy điểm P cho OP vuông góc với AQ Đường thẳng OP cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác BP Q, CP Q theo thứ tự I, J Chứng minh OI = OJ Hồ Quang Vinh Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Cho tam giác ABC, đường thẳng δ và số k, khác và 1, điểm M chạy trên δ Các điểm E, F ME F theo thứ tự thuộc M B, M C cho M =M = k Các điểm P, Q theo thứ tự thuộc AB, AC B MC cho P E, QF vuông góc với δ Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với P Q luôn qua điểm cố định Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P1 , P2 là hai điểm mặt phẳng; P1 A, P1 B, P1 C cắt (O) điểm thứ hai là A1 , B1 , C1 ; P2 A, P2 B, P2 C cắt (O) điểm thứ hai A2 , B2 , C2 a) A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 giao BC, CA, AB A3 , B3 , C3 Chứng minh ba điểm A3 , B3 , C3 thẳng hàng b) P là điểm trên đường thẳng P1 P2 ; A1 P, B1 P, C1 P cắt (O) điểm thứ hai là A4 , B4 , C4 Chứng minh ba đường thẳng A2 A4 , B2 B4 , C2 C4 đồng quy điểm trên P1 P2 Trần Quang Hùng Trường chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Một đường tròn (O0 , R0 ) tiếp xúc với (O) I cho R < R0 P là điểm bất kì trên (O) Các tia P A, P B, P C cắt (O0 ) A1 , B1 , C1 Gọi A2 B2 C2 là tam giác tạo các giao điểm các đường thẳng đối xứng với B1 C1 qua BC, C1 A1 qua CA, A1 B1 qua AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 tiếp xúc với (O) Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương Hà Nội Copyright c 2011 HEXAGON (6) English AB, AC are tangent to a circle (O); B, C are the points of tangency Q is a point iside the angle BAC, on the ray AQ, take a point P suc that OP is perpendicular to AQ The line OP meets the circumcircles triangles BP Q and CP Q at I, J Prove that OI = OJ Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Hồ Quang Vinh Given a triangle ABC, a line δ and a constant k, distinct from and 1, M a variable point on the E F =M = k Points P, Q are on line δ Points E, F are on M B, M C respectively such that M MB MC AB, AC such that P E, QF are perpendicular to δ Prove that the line through M perpendicular to P Q has a fixed point Nguyễn Minh Hà A triangle ABC is inscribed in circle (O) P1 , P2 are two points in the plane of the triangle; P1 A, P1 B, P1 C meet (O) again at A1 , B1 , C1 ; P2 A, P2 B, P2 C meet (O) again at A2 , B2 , C2 a) A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 intersect BC, CA, AB at A3 , B3 , C3 Prove that three points A3 , B3 , C3 are collinear b) P is a point on the line P1 P2 ; A1 P, B1 P, C1 P meet (O) again at A4 , B4 , C4 Prove that three lines A2 A4 , B2 B4 , C2 C4 are concurrent Trần Quang Hùng A triangle ABC is inscribed in the circle (O, R) A circle (O0 , R0 ) is internally tangent to (O) at I such that R < R0 P is a point on the circle (O) Rays P A, P B, P C meet (O0 ) at A1 , B1 , C1 Let A2 B2 C2 be the triangle formed by the intersections of the line symmetric to B1 C1 about BC, the line symmetric to C1 A1 about CA and the line symmetric to A1 B1 about AB Prove that the circumcircle of A2 B2 C2 is tangent to (O) Nguyễn Văn Linh (7) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 4-2011 Vietnamese Lấy năm điểm Ki , i = 1, 2, 3, và P trên cùng đường tròn Ký hiệu P (i, j) là khoảng cách từ P đến đường thẳng nối Ki với Kj Chứng minh P (1, 2)P (3, 4) = P (1, 4)P (2, 3) = P (1, 3)P (2, 4) Bùi Quang Tuấn Minh Khai, Hà Nội, Việt Nam Cho tam giác ABC Đường tròn (K) tiếp xúc đoạn thẳng AC, AB E, F (K) cắt đoạn thẳng BC M, N cho N nằm B và M F M giao EN I Đường tròn ngoại tiếp các tam giác IF N và IEM cắt J khác I Chứng minh IJ qua A và KJ vuông góc IJ Trần Quang Hùng Trường chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Cho tam giác ABC không cân A Gọi (O) và (I) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác (I) tiếp xúc với AC, AB E và F Các điểm M và N thuộc (I) cho EM k F N k BC Gọi P, Q là giao điểm BM, CN với (I) Chứng minh i) BC, EP, F Q đồng quy điểm, gọi điểm đó là K ii) đường tròn ngoại tiếp các tam giác BP K, CQK cùng tiếp xúc với (I) và cùng qua điểm thuộc (O) Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC có E là tâm đường tròn Euler Qua E kẻ các đường thẳng P S, M Q, N R song song với BC, CA, AB (R, Q thuộc BC; N, P thuộc AC; M, S thuộc AB) Chứng minh bốn đường thẳng Euler các tam giác ABC, AM N, BSR, CP Q đồng quy Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương Hà Nội Copyright c 2011 HEXAGON (8) English Five points Ki , i = 1, 2, 3, and P are chosen arbitrarily on the same circle Denote by P (i, j) the distance from P to the line passing through Ki and Kj Prove that P (1, 2)P (3, 4) = P (1, 4)P (2, 3) = P (1, 3)P (2, 4) ••• www.hexagon.edu.vn Bùi Quang Tuấn Let ABC be a triangle (K) is an arbitrary circle tangent to the lines AC, AB at E, F respectively (K) cuts BC at M, N such that N lies between B and M F M intersects EN at I The circumcircles of triangles IF N and IEM meet each other at J distinct from I Prove that IJ passes through A and KJ is perpendicular to IJ Trần Quang Hùng Let ABC be a triangle not being isosceles at A Let (O) and (I) denote the circumcircle and incircle of the triangle (I) touches AC and AB at E, F respectively Points M and N are on the circle (I) such that EM k F N k BC Let P, Q be the intersections of BM, CN and (I) Prove that i) BC, EP, F Q are concurrent, and denote by K the point of concurrency ii) the circumcircles of triangle BP K, CQK are all tangent to (I) and all pass through a common point on the circle (O) Geometry Mathley Nguyễn Minh Hà Let ABC be a triangle with E being the centre of its Euler circle Through E, construct the lines P S, M Q, N R parallel to BC, CA, AB (R, Q are on the line BC; N, P on the line AC; M, S on the line AB) Prove that the four Euler lines of triangles ABC, AM N, BSR, CP Q are concurrent Nguyễn Văn Linh (9) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 5-2012 Vietnamese Cho hai đường thẳng a, b cắt O và điểm M không thuộc a, b Đường tròn (C) thay đổi, luôn qua O, M cắt a, b theo thứ tự A, B khác O Chứng minh trung điểm AB luôn thuộc đường thẳng cố định Hạ Vũ Anh Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc Cho hình chữ nhật ABCD, gọi U, V là hai điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật đó Biết các đường thẳng AU, CV cắt P ; các đường thẳng BU, DV cắt Q, phân biệt với P Chứng minh 1 ≥ − 2 PQ UV AC Michel Bataille Sainte Catherine, Rouen, France Cho tam giác ABC nhọn không cân Gọi `a là đường thẳng qua hai tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A với các đường thẳng AB, AC và da là đường thẳng qua A song song với đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp I và trung điểm BC Định nghĩa tương tự với các đường thẳng `b , db , `c , dc Các đường thẳng `a , `b , `c cắt đôi tạo thành tam giác M N P Chứng minh các đường thẳng da , db và dc đồng quy và giao điểm đó nằm trên đường thẳng Euler tam giác M N P Lê Phúc Lữ Sinh viên Đại học FPT, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi P là điểm tùy ý mặt phẳng tam giác ABC Các điểm A0 , B , C là đối xứng P qua các đường thẳng BC, CA, AB; X là giao điểm, khác A, đường tròn đường kính AP và đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C Các điểm Y, Z xác định tương tự Chứng minh năm đường tròn (O), (AB C ), (BC A0 ), (CA0 B ), (XY Z) có điểm chung Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Copyright c 2011 HEXAGON (10) English Let a, b be two lines intersecting each other at O Point M is not on either a or b A variable circle (C) passes through O, M intersecting a, b at A, B respectively, distinct from O Prove that the midpoint of AB is on a fixed line Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Hạ Vũ Anh Let ABCD be a rectangle and U, V two points of its circumcircle Lines AU, CV intersect at P and lines BU, DV intersect at Q, distinct from P Prove that 1 ≥ − P Q2 U V AC Michel Bataille Let ABC be an acute triangle, not being isoceles Let `a be the line passing through the points of tangency of the escribed circles in the angle A with the lines AB, AC produced Let da be the line through A parallel to the line that joins the incenter I of the triangle ABC and the midpoint of BC Lines `b , db , `c , dc are defined in the same manner Three lines `a , `b , `c intersect each other and these intersections make a triangle called M N P Prove that the lines da , db and dc are concurrent and their point of concurrency lies on the Euler line of the triangle M N P Lê Phúc Lữ Let ABC be a triangle inscribed in a circle (O) Let P be an arbitrary point in the plane of triangle ABC Points A0 , B , C are the reflections of P about the lines BC, CA, AB respectively; X is the intersection, distinct from A, of the circle with diameter AP and the circumcircle of triangle AB C Points Y, Z are defined in the same way Prove that five circles (O), (AB C ), (BC A0 ), (CA0 B ), (XY Z) have a point in common Nguyễn Văn Linh (11) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 6-2012 Vietnamese Chứng minh tam giác bán kính đường tròn ngoại tiếp R trung bình cộng các khoảng cách đại số (có hướng) từ tâm nội tiếp và các tâm bàng tiếp Ia , Ib , Ic tới tiếp tuyến τ đường tròn ngoại tiếp Nói cách khác ký hiệu δ(P ) là khoảng cách từ điểm P tới tiếp tuyến τ đường tròn ngoại tiếp thì ta có thể chọn các dấu cộng trừ hợp lý để δ(I) ± δ(Ia ) ± δ(Ib ) ± δ(Ic ) = 4R Luis González Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo, Venezuela Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AX, BY, CZ tam giác đồng quy H Dựng các đường tròn (Ka ), (Kb ), (Kc ) ngoại tiếp các tam giác AY Z, BZX, CXY Dựng đường tròn (K) tiếp xúc với ba đường tròn (Ka ), (Kb ), (Kc ) Chứng minh (K) tiếp xúc với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho AB là dây cung bất kì đường tròn (O) Hai đường tròn (X) và (Y ) nằm cùng phía với dây cung AB cho chúng cùng tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với AB C, D;C nằm A và D) Gọi H là giao điểm XY và AB M là điểm chính cung AB không chứa (X), (Y ) Biết HM cắt (O) lần thứ hai I Gọi IX, IY giao AB K, J Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IKJ tiếp xúc với (O) Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Cho tam giác ABC, P là điểm A1 là hình chiếu P lên BC A2 là trung điểm AA1 A2 P cắt BC A3 A4 đối xứng A1 qua A3 Chứng minh P A4 luôn qua điểm cố định Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2011 HEXAGON (12) English Show that the circumradius R of a triangle ABC equals the arithmetic mean of the oriented distances from its incenter I and three excenters Ia ; Ib ; Ic to any tangent τ to its circumcircle In other words, if δ(P ) denotes the distance from a point P to τ ; then with appropripriate choices of signs, we have δ(I) ± δ(Ia ) ± δ(Ib ) ± δ(Ic ) = 4R Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Luis González Let ABC be an acute triangle, and its altitudes AX, BY, CZ concurrent at H Construct circles (Ka ), (Kb ), (Kc ) circumscribing the triangles AY Z, BZX, CXY Construct a circle (K) that is internally tangent to all the three circles (Ka ), (Kb ), (Kc ) Prove that (K) is tangent to the circumcircle (O) of the triangle ABC Đỗ Thanh Sơn Let AB be an arbitrary chord of the circle (O) Two circles (X) and (Y ) are on the same side of the chord AB such that they are both internally tangent to (O) and they are tangent to AB at C, D respectively, C is between A and D Let H be the intersection of XY and AB, M the midpoint of arc AB not containing X and Y Let HM meet (O) again at I Let IX, IY intersect AB again at K, J Prove that the circumcircle of triangle IKJ is tangent to (O) Nguyễn Văn Linh Let P be an arbitrary variable point in the plane of a triangle ABC A1 is the projection of P onto BC, A2 is the midpoint of line segment P A1 , A2 P meets BC at A3 , A4 is the reflection of P about A3 Prove that P A4 has a fixed point Trần Quang Hùng (13) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Geometry Mathley ••• www.hexagon.edu.vn Round 7-2012 Vietnamese Cho tứ giác ABCD nội tiếp Biết E là giao điểm AB và CD, F là giao điểm AD và CB, I là giao điểm AC và BD Các đường tròn (F AB), (F CD) cắt F I K, L Chứng minh EK = EL Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC không đều, nội tiếp đường tròn Γ có tâm O, bán kính R và đường tròn nội tiếp tam giác có tâm I, tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Một đường tròn tâm I bán kính ρ cắt các tia [ID), [IE), [IF ) A0 , B , C ρ IK = Chứng minh trực tâm K ∆A0 B C nằm trên đường thẳng OI và IO R Michel Bataille Sainte Catherine, Rouen, France Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD AB giao CD E, AD giao BC F Hai đường thẳng bất kì qua E cắt AD, BC M, N, P, Q (M, N ∈ AD, P, Q ∈ BC) Hai đường thẳng bất kì qua F cắt AB, CD X, Y, Z, T (X, Y ∈ AB, Z, T ∈ CD) Gọi d1 , d2 là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ E tới đường tròn nội tiếp các tam giác F XY, F ZT ; d3 , d4 là các tiếp tuyến thứ hai kẻ từ F tới đường tròn nội tiếp các tam giác EM N, EP Q Chứng minh d1 , d2 , d3 , d4 cắt tạo thành tứ giác ngoại tiếp Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (K) qua B, C Đường tròn (O1 ) tiếp xúc AB, AC và tiếp xúc với (K) Đường tròn (O2 ) tiếp xúc DB, DC và tiếp xúc với (K) Chứng minh hai tiếp tuyến chung ngoài (O1 ) và (O2 ) song song với AD Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2011 HEXAGON (14) English Let ABCD be a concyclic quadrilateral Suppose that E is the intersection of AB and CD, F is the intersection of AD and CB; I is the intersection of AC and BD The circumcircles (F AB), (F CD) meet F I at K, L Prove that EK = EL ••• www.hexagon.edu.vn Nguyễn Minh Hà A non-equilateral triangle ABC is inscribed in a circle Γ with centre O, radius R and its incircle has centre I and touches BC, CA, AB at D, E, F , respectively A circle with centre I and radius ρ intersects the rays [ID), [IE), [IF ) at A0 , B , C ρ IK = Show that the orthocentre K of ∆A0 B C is on the line OI and that IO R Michel Bataille Let ABCD be a tangential quadrilateral Let AB meet CD at E, AD intersect BC at F Two arbitrary lines through E meet AD, BC at M, N, P, Q respectively (M, N ∈ AD, P, Q ∈ BC) Another arbitrary pair of lines through F intersect AB, CD at X, Y, Z, T respectively (X, Y ∈ AB, Z, T ∈ CD) Suppose that d1 , d2 are the second tangents from E to the incircles of triangles F XY, F ZT ; d3 , d4 are the second tangents from F to the incircles of triangles EM N, EP Q Prove that the four lines d1 , d2 , d3 , d4 meet each other at four points and these intersections make a tangential quadrilateral Geometry Mathley Nguyễn Văn Linh Let ABCD be a quadrilateral inscribed in the circle (O) Let (K) be an arbitrary circle passing through B, C Circle (O1 ) tangent to AB, AC and is internally tangent to (K) Circle (O2 ) touches DB, DC and is internally tangent to (K) Prove that one of the two external common tangents of (O1 ) and (O2 ) is parallel to AD Trần Quang Hùng (15) Hanoi Open Mathematical Olympiad ••• www.hexagon.edu.vn HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Round 8-2012 Vietnamese Cho tam giác ABC, gọi ABDE, BCF Z, CAKL là các hình chữ nhật đồng dạng dựng phía ngoài tam giác Gọi A0 là giao điểm EF với ZK, B là giao điểm KZ với DL, và C là giao điểm DL với EF Chứng minh AA0 qua trung điểm đoạn thẳng B C Kostas Vittas National Technical University of Athens, Greece Cho tam giác ABC, d là đường thẳng qua A và song song BC Lấy trên d điểm M khác A I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC K, L đối xứng M qua IB, IC BK giao CL N Chứng minh AN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC không cân, (O), H theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác Đường thẳng qua A và song song với OH lại cắt (O) K Đường thẳng qua K và song song với AH lại cắt (O) L Đường thẳng qua L song song với OA cắt OH E Chứng minh các điểm B, C, O, E cùng thuộc đường tròn Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Hai đường thẳng d1 và d2 bất kì vuông góc với và qua H d1 cắt BC, CA, AB X1 , Y1 , Z1 Gọi A1 B1 C1 là tam giác tạo các đường thẳng qua X1 và vuông góc với BC, qua Y1 và vuông góc với CA, qua Z1 và vuông góc với AB Tương tự ta xác định tam giác A2 B2 C2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 tiếp xúc với điểm nằm trên (O) Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Copyright c 2011 HEXAGON (16) Hanoi Open Mathematical Olympiad ••• www.hexagon.edu.vn English Let ABC be a triangle and ABDE, BCF Z, CAKL be three similar rectangles constructed externally of the triangle Let A0 be the intersection of EF and ZK, B the intersection of KZ and DL, and C the intersection of DL and EF Prove that AA0 passes through the midpoint of the line segment B C Kostas Vittas Let ABC be a triangle, d a line passing through A and parallel to BC A point M distinct from A is chosen on d I is the incenter of triangle ABC, K, L are the the points of symmetry of M about IB, IC Let BK meet CL at N Prove that AN is tangent to circumcircle of triangle ABC Đỗ Thanh Sơn Let ABC be a scalene triangle, (O) and H be the circumcircle and its orthocenter A line through A is parallel to OH meets (O) at K A line through K is parallel to AH, intersecting (O) again at L A line through L parallel to OA meets OH at E Prove that B, C, O, E are on the same circle Trần Quang Hùng Let ABC a triangle inscribed in a circle (O) with orthocenter H Two lines d1 and d2 are mutually perpendicular at H Let d1 meet BC, CA, AB at X1 , Y1 , Z1 respectively Let A1 B1 C1 be a triangle formed by the line through X1 perpendicular to BC, the line through Y1 perpendicular to CA, the line through Z1 perpendicular perpendicular to AB Triangle A2 B2 C2 is defined in the same manner Prove that the circumcircles of triangles A1 B1 C1 and A2 B2 C2 touch each other at a point on (O) Nguyễn Văn Linh (17) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Round 9-2012 Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Vietnamese Cho tam giác ABC Gọi (O), (I) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB A0 , B0 , C0 BC, CA, AB theo thứ tự cắt B0 C0 , C0 A0 , A0 B0 A1 , B1 , C1 Chứng minh OI qua trực tâm các tam giác A0 B0 C0 , A0 B1 C1 , B0 C1 A1 , C0 A1 B1 Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC, gọi ABDE, BCF Z và CAKL là ba hình chữ nhật tùy ý dựng phía ngoài tam giác đó Gọi M là giao điểm EF với ZK Gọi N là giao điểm các đường thẳng qua F, Z vuông góc với F L, ZD tương ứng Chứng minh A, M, N thẳng hàng Kostas Vittas National Technical University of Athens, Greece Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Kí hiệu (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) là các đường tròn bất kì qua các cặp điểm (A, B); (B, C); (C, D); (D, A) Gọi X, Y, Z, T là giao điểm thứ hai (O1 ) và (O2 ), (O2 ) và (O3 ), (O3 ) và (O4 ), (O4 ) và (O1 ) (a) Chứng minh X, Y, Z, T cùng thuộc đường tròn có tâm I (b) Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng O1 O3 , O2 O4 , OI thẳng hàng Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M thuộc trung trực BC I1 , I2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác M AB, M AC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AI1 I2 luôn thuộc đường thẳng cố định M di chuyển Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2011 HEXAGON (18) English Let ABC be a triangle with (O), (I) being the circumcircle, and incircle respectively Let (I) touch BC, CA, and AB at A0 , B0 , C0 ; let BC, CA, and AB intersect B0 C0 , C0 A0 , A0 B0 at A1 , B1 , and C1 respectively Prove that OI passes through the orthocenter of four triangles A0 B0 C0 , A0 B1 C1 , B0 C1 A1 , C0 A1 B1 Nguyễn Minh Hà www.hexagon.edu.vn Let ABDE, BCF Z and CAKL be three arbitrary rectangles constructed outside a triangle ABC Let EF meet ZK at M , and N be the intersection of the lines through F, Z perpendicular to F L, ZD Prove that A, M, N are collinear Kostas Vittas Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle (O) Let (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) be the circles going through (A, B); (B, C); (C, D); (D, A) Let X, Y, Z, T be the second intersection of the pairs of the circles: (O1 ) and (O2 ), (O2 ) and (O3 ), (O3 ) and (O4 ), (O4 ) and (O1 ) (a) Prove that X, Y, Z, T are on the same circle of radius I (b) Prove that the midpoints of the line segments O1 O3 , O2 O4 , OI are collinear Let ABC be a triangle inscribed in a circle (O), and M be some point on the perpendicular bisector of BC Let I1 , I2 be the incenters of triangles M AB, M AC Prove that the incenters of triangles AI1 I2 are on a fixed line when M varies on the perpendicular bisector Trần Quang Hùng Mathley Geometry ••• Nguyễn Văn Linh (19) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Round 10-2012 Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Vietnamese Cho tam giác ABC không cân A, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, (O) là đường tròn ngoại tiếp Đường tròn (Ob ) tiếp xúc với BA, BC và tiếp xúc với (O) B1 Đường tròn (Oc ) tiếp xúc với CA, CB và tiếp xúc với (O) C1 Gọi S là giao điểm BC với B1 C1 Chứng minh ∠AIS = 90◦ Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC nhọn không cân có (O), (I) là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác Gọi A1 là giao điểm trục đẳng phương (O) và (I) với đường thẳng BC Giả sử A2 là tiếp điểm không nằm trên BC tiếp tuyến kẻ từ A1 đến (I) Các điểm B1 , B2 , C1 , C2 xác định tương tự Chứng minh (a) các đường thẳng AA2 , BB2 , CC2 đồng quy (b) tâm đẳng phương các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCA2 , CAB2 và ABC2 nằm trên đường thẳng OI Lê Phúc Lữ Sinh viên Đại học FPT, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d là tiếp tuyến A (O) P là điểm D, E, F là hình chiếu P lên BC, CA, AB DE, DF cắt d M, N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt CA, AB K, L khác E, F Chứng minh KN cắt LM điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho n-giác nội và ngoại tiếp A1 A2 A3 An Kí hiệu Ii là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Ai−1 Ai Ai+1 ; Ai(i+1) là giao điểm Ai Ai+2 và Ai−1 Ai+1 ; Ii(i+1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Ai Ai(i+1) Ai+1 (i = 1, n) Chứng minh 2n điểm I1 , I2 , , In , I12 , I23 , , In1 cùng thuộc đường tròn Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại Thương, Hà Nội Copyright c 2012 HEXAGON (20) English Let ABC be a triangle with two angles B, C not having the same measure, I be its incircle, (O) its circumcircle Circle (Ob ) touches BA, BC and is internally tangent to (O) at B1 Circle (Oc ) touches CA, CB and is internally tangent to (O) at C1 Let S be the intersection of BC and B1 C1 Prove that ∠AIS = 90◦ Let ABC be an acute triangle, not isoceles triangle and (O), (I) be its circumcircle and incircle respectively Let A1 be the the intersection of the radical axis of (O), (I) and the line BC Let A2 be the point of tangency (not on BC) of the tangent from A1 to (I) Points B1 , B2 , C1 , C2 are defined in the same manner Prove that (a) the lines AA2 , BB2 , CC2 are concurrent (b) the radical centers circles through triangles BCA2 , CAB2 and ABC2 are all on the line OI Lê Phúc Lữ Let ABC be a triangle inscribed in a circle (O) d is the tangent at A of (O); P is an arbitrary point in the plane D, E, F are the projections of P on BC, CA, AB Let DE, DF intersect the line d at M, N respectively The circumcircle of triangle DEF meets CA, AB at K, L distinct from E, F Prove that KN meets LM at a point on the circumcircle of triangle DEF Trần Quang Hùng Let A1 A2 A3 An be a bicentric polygon with n sides Denote by Ii the incenter of triangle Ai−1 Ai Ai+1 ; Ai(i+1) the intersection of Ai Ai+2 and Ai−1 Ai+1 ; Ii(i+1) is the incenter of triangle Ai Ai(i+1) Ai+1 (i = 1, n) Prove that there exist 2n points I1 , I2 , , In , I12 , I23 , , In1 on the same circle Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Nguyễn Minh Hà Nguyễn Văn Linh (21) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Round 11-2012 Cho lục giác ABCDEF các các cạnh AB, CD, EF và m đơn vị, các cạnh BC, DE, F A cùng n đơn vị Các đường chéo AD, BE, CF có độ dài tương ứng là x, y, và z đơn vị Chứng minh bất đẳng thức 1 + + ≥ xy yz zx (m + n)2 Nguyễn Văn Quý Sinh viên lớp K56 A1T, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B, C đường tròn (O) cắt T Gọi M, N là các điểm thuộc tia BT, CT cho BM = BC = CN Đường thẳng M N cắt CA, AB theo thứ tự E, F ; BE giao CT P , CF giao BT Q Chứng minh AP = AQ Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Vietnamese Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC cân với AB = AC và gọi M là điểm thuộc miền tam giác Nếu BM cắt AC D, chứng minh DM AM = và ∠AM B = 2∠ABC DA AB Michel Bataille Sainte Catherine, Rouen, France Cho tam giác ABC, với P là điểm mặt phẳng tam giác đó Các đường thẳng AP, BP , CP cắt các cạnh BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Gọi A2 , B2 , C2 là các điểm Miquel tứ giác toàn phần AB1 P C1 BC, BC1 P A1 CA, CA1 P B1 AB Chứng minh sáu đường tròn ngoại tiếp các tam giác AP A2 , BP B2 , CP C2 , BA2 C, AB2 C, AC2 B đồng quy điểm Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại thương, Hà Nội Copyright c 2012 HEXAGON (22) English Let ABCDEF be a hexagon with sides AB, CD, EF being equal to m units, sides BC, DE, F A being equal to n units The diagonals AD, BE, CF have lengths x, y, and z units Prove the inequality 1 + + ≥ xy yz zx (m + n)2 Let ABC be a triangle inscribed in the circle (O) Tangents at B, C of the circles (O) meet at T Let M, N be the points on the rays BT, CT respectively such that BM = BC = CN The line through M and N intersects CA, AB at E, F respectively; BE meets CT at P , CF intersects BT at Q Prove that AP = AQ Trần Quang Hùng Let ABC be a triangle such that AB = AC and let M be a point interior to the triangle If BM meets AC at D show that DM AM = if and only if ∠AM B = 2∠ABC DA AB Michel Bataille Let ABC be a triangle and P be a point in the plane of the triangle The lines AP, BP , CP meets BC, CA, AB at A1 , B1 , C1 , respectively Let A2 , B2 , C2 be the Miquel point of the complete quadrilaterals AB1 P C1 BC, BC1 P A1 CA, CA1 P B1 AB Prove that the circumcircles of the triangles AP A2 , BP B2 , CP C2 , BA2 C, AB2 C, AC2 B have a point of concurrency Nguyễn Văn Linh Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Nguyễn Văn Quý (23) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Round 11-2012 Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Vietnamese Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, gọi P là điểm bên tam giác đó Các điểm D, E, F là điểm đối xứng P qua BC, CA, AB tương ứng Nếu Q là giao điểm HD và EF , chứng minh tỉ lệ HQ/HD không phụ thuộc vào vị trí P Luis González Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo, Venezuela Gọi K là trung điểm đoạn thẳng cố định AB; hai đường tròn (O) và (O0 ) có bán kính thay đổi cho đường thẳng OO0 qua K và K nằm đường tròn (O); hai đường tròn đó qua A và cắt C khác A; tâm O0 nằm trên (O) và O nằm (O0 ) Giả sử M là trung điểm đoạn AC, H là hình chiếu C trên trung trực đoạn AB Xét điểm I di động trên cung AC đường tròn (O0 ), phần nằm phía (O) và không nằm trên đường thẳng OO0 Gọi J là điểm đối xứng với I qua O Tiếp tuyến (O0 ) I cắt đường thẳng AC N Đường tròn (O0 JN ) cắt đường thẳng IJ P khác J Đường tròn (OM P ) cắt đường thẳng M I Q khác M Chứng minh (a) giao điểm các đường thẳng P Q và O0 I nằm trên đường tròn (O) (b) tồn vị trí I cho đường thẳng AI cắt đường tròn (O) R và đường thẳng BI cắt đường tròn (O0 ) S thì các đường thẳng AS và KR cắt điểm nằm trên (O) (c) giao điểm G các đường thẳng KC và HB di chuyển trên đường cố định Lê Phúc Lữ Sinh viên Đại học FPT, Tp Hồ Chí Minh Giả sử E, F là hai điểm trên cạnh CA, AB tam giác ABC Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Tiếp tuyến E, F (K) cắt T Chứng minh (a) T nằm trên BC và BE cắt CF điểm thuộc đường tròn (K); (b) EF, P Q, BC đồng quy biết BE cắt F T M , CF cắt ET N , AM và AN cắt đường tròn (K) P, Q khác A Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc Gọi M là điểm Miquel tứ giác toàn phần tạo các đường thẳng AB, BC, CD, DA L là giao điểm thứ hai hai đường tròn (M AC) và (M BD) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác LAB, LBC, LCD, LDA cùng nằm trên đường tròn ω và đường tròn (M AC), (M BD), ω đôi trực giao Nguyễn Văn Linh Sinh viên Đại học Ngoại thương, Hà Nội Copyright c 2012 HEXAGON (24) English Let ABC be an acute triangle with orthocenter H; and P a point interior to the triangle Points D, E, F are the reflections of P about BC, CA, AB If Q is the intersection of HD and EF , prove that the ratio HQ/HD is independent of the choice of P Mathley Geometry ••• www.hexagon.edu.vn Luis González Let K be the midpoint of a fixed line segment AB, two circles (O) and (O0 ) with variable radius each such that the straight line OO0 is through K and K is inside (O); the two circles meet at A and C; center O0 is on the circumference of (O) and O is interior to (O0 ) Assume that M is the midpoint of AC, H the projection of C onto the perpendicular bisector of segment AB Let I be a variable point on the arc AC of circle (O0 ) that is inside (O), I is not on the line OO0 Let J be the reflection of I about O The tangent of (O0 at I meets AC at N Circle (O0 JN ) meets IJ at P , distinct from J, circle (OM P ) intersects M I at Q distinct from M Prove that (a) the intersection of P Q and O0 I is on the circumference of (O) (b) there exist a location of I such that the line segment AI meets (O) at R and the straight line BI meets (O0 ) at S, then the lines AS and KR meets at a point on the circumference of (O) (c) the intersection G of lines KC and HB moves on a fixed line Lê Phúc Lữ Points E, F are chosen on the sides CA, AB of triangle ABC Let (K) be the circumcircle of triangle AEF The tangents at E, F of (K) intersect at T Prove that (a) T is on BC if and only if BE meets CF at a point on the circle (K); (b) EF, P Q, BC are concurrent given that BE meets F T at M , CF meets ET at N , AM and AN intersects (K) at P, Q distinct from A Trần Quang Hùng Quadrilateral ABCD has two diagonals AC, BD that are mutually perpendicular Let M be the Miquel point of the complete quadrilateral formed by lines AB, BC, CD, DA Suppose that L is the intersection of two circles (M AC) and (M BD) Prove that the circumcenters of triangles LAB, LBC, LCD, LDA are on the same circle called ω and that three circles (M AC), (M BD), ω are pairwise orthogonal Nguyễn Văn Linh (25) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn Round 13-2012 Vietnamese Cho tam giác ABC không vuông, E là điểm trên đường thẳng BC cho ∠AEB = ∠BAC và ∆A là đường thẳng vuông góc với BC E Đường tròn γ có đường kính BC cắt BA lần D Với vị trí M trên γ (M khác B), đường thẳng BM cắt ∆A M và đường thẳng AM cắt γ lần M 00 (a) Chứng minh p(A) = AM × DM 00 không phụ thuộc vào vị trí điểm M (b) Cho B, C cố định, và A di chuyển Chứng minh p(A) d(A,∆A ) không phụ thuộc vào vị trí A Michel Bataille Rue Sainte Catherine, France Trong tam giác ABC đường tròn chín điểm (N ) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I) và ba đường tròn bàng tiếp (Ia ), (Ib ), (Ic ) các điểm Feuerbach F, Fa , Fb , Fc Các tiếp tuyến đường tròn (N ) F, Fa , Fb , Fc lập thành tứ điểm P QRS Chứng minh đường thẳng Euler tam giác ABC là đường thẳng Newton P QRS Luis González Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo, Venezuela Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N là trung điểm AD, BC Một đường thẳng qua giao điểm P hai đường chéo AC, BD, cắt AD, BC S, T Biết BS giao AT Q Chứng minh AD, BC, P Q đồng quy và các điểm M, S, T, N cùng thuộc đường tròn Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC và điểm P mặt phẳng tam giác Đường thẳng P A, P B, P C cắt trung trực BC, CA, AB Oa , Ob và Oc Gọi (Oa ) là đường tròn tâm Oa và qua B, C; hai đường tròn (Ob ), (Oc ) xác định tương tự Hai đường tròn (Ob ), (Oc ) cắt A1 , khác A Các điểm B1 , C1 xác định tương tự Gọi Q là điểm mặt phẳng tam giác ABC QB, QC cắt (Oc ), (Ob ) A2 , A3 khác B, C Tương tự ta có B2 , B3 , C2 , C3 Gọi (Ka ), (Kb ), (Kc ) là các đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 , B1 B2 B3 , và C1 C2 C3 Chứng minh (a) ba đường tròn (Ka ), (Kb ), (Kc ) có cùng điểm chung (b) hai tam giác Ka Kb Kc , ABC đồng dạng Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2012 HEXAGON (26) English Let ABC be a triangle with no right angle, E on the line BC such that ∠AEB = ∠BAC and ∆A the perpendicular to BC at E Let the circle γ with diameter BC intersect BA again at D For each point M on γ (M is distinct from B), the line BM meets ∆A at M and the line AM meets γ again at M 00 (a) Show that p(A) = AM × DM 00 is independent of the chosen M Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn (b) Keeping B, C fixed, and let A vary Show that p(A) d(A,∆A ) is independent of A Michel Bataille In a triangle ABC, the nine-point circle (N ) is tangent to the incircle (I) and three excircles (Ia ), (Ib ), (Ic ) at the Feuerbach points F, Fa , Fb , Fc Tangents of (N ) at F, Fa , Fb , Fc bound a quadrangle P QRS Show that the Euler line of ABC is a Newton line of P QRS Luis González Let ABCD be a quadrilateral inscribed in circle (O) Let M, N be the midpoints of AD, BC A line through the intersection P of the two diagonals AC, BD meets AD, BC at S, T respectively Let BS meet AT at Q Prove that three lines AD, BC, P Q are concurrent if and only if M, S, T, N are on the same circle Đỗ Thanh Sơn Let P be an arbitrary point in the plane of triangle ABC Lines P A, P B, P C meets the perpendicular bisectors of BC, CA, AB at Oa , Ob , Oc respectively Let (Oa ) be the circle with center Oa passing through two points B, C; two circles (Ob ), (Oc ) are defined in the same manner Two circles (Ob ), (Oc ) meets at A1 , distinct from A Points B1 , C1 are defined in the same manner Let Q be an arbitrary point in the plane of ABC and QB, QC meets (Oc ) and (Ob ) at A2 , A3 distinct from B, C Similarly, we have points B2 , B3 , C2 , C3 Let (Ka ), (Kb ), (Kc ) be the circumcircles of triangles A1 A2 A3 , B1 B2 B3 , C1 C2 C3 Prove that (a) three circles (Ka ), (Kb ), (Kc ) have a common point (b) two triangles Ka Kb Kc , ABC are similar Trần Quang Hùng (27) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn Round 14-2012 Vietnamese Đường tròn (K) qua đỉnh B, C tam giác ABC và cắt cạnh CA, AB E, F khác C, B Đoạn BE giao với CF điểm G Gọi M, N là đối xứng điểm A qua F, E; gọi P, Q là đối xứng C, B qua AG Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác BP M và CQN có bán kính Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC và đường tròn chín điểm Euler nó tiếp xúc với các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng Fa , Fb , Fc Chứng minh AFa là phân giác góc ∠CAB và AFa là phân giác ∠Fb AFc Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Giả sử L là giao điểm BE và CF ; G là trọng tâm tam giác DEF ; K là điểm đối xứng L qua G Biết DK cắt EF P , Q thuộc EF cho QF = P E Chứng minh ∠DGE + ∠F GQ = 180◦ Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Hai tam giác ABC và P QR có chung đường tròn ngoại tiếp Gọi Ea , Eb , Ec là tâm đường tròn Euler tam giác P BC, QCA, RAB Giả sử da là đường thẳng qua Ea và song song với AP ; db , dc xác định tương tự Chứng minh ba đường thẳng da , db , dc đồng quy Nguyễn Tiến Lâm, Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Copyright c 2012 HEXAGON (28) English A circle (K) is through the vertices B, C of the triangle ABC and intersects its sides CA, AB respectively at E, F distinct from C, B Line segment BE meets CF at G Let M, N be the symmetric points of A about F, E respectively Let P, Q be the reflections of C, B about AG Prove that the circumcircles of triangles BP M , CQN have radii of the same length ••• www.hexagon.edu.vn Trần Quang Hùng The nine-point Euler circle of triangle ABC is tangent to the excircles in the angle A, B, C at Fa , Fb , Fc respectively Prove that AFa bisects the angle ∠CAB if and only if AFa bisects the angle ∠Fb AFc Đỗ Thanh Sơn Let ABC be a triangle inscribed in circle (I) that is tangent to the sides BC, CA, AB at points D, E, F respectively Assume that L is the intersection of BE and CF ; G is the centroid of triangle DEF ; K is the symmetric point of L about G If DK meets EF at P , Q is on EF such that QF = P E, prove that ∠DGE + ∠F GQ = 180◦ Nguyễn Minh Hà Two triangles ABC and P QR have the same circumcircles Let Ea , Eb , Ec be the centers of the Euler circles of triangles P BC, QCA, RAB Assume that da is a line through Ea parallel to AP ; db , dc are defined in the same manner Prove that three lines da , db , dc are concurrent Mathley Problem Solving Corner Nguyễn Tiến Lâm, Trần Quang Hùng (29) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn Round 15-2012 Vietnamese Cho tam giác ABC không cân Đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB A0 , B0 , và C0 Các điểm A1 , B1 và C1 theo thứ tự thuộc BC, CA, AB cho BA1 = CA0 , CB1 = AB0 , AC1 = BC0 Chứng minh các đường tròn (IAA1 ), (IBB1 ), (ICC1 ) cùng qua điểm khác I Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D là điểm trên BC (K) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (K) cắt AO E khác A (a) Chứng minh B, K, O, E cùng thuộc đường tròn gọi là đường tròn (L) (b) (L) giao AB F khác B G thuộc (L) cho EG k OF GK cắt AD S SO cắt BC T Chứng minh O, E, T, C cùng thuộc đường tròn Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R), trực tâm H Đường đối trung qua A, B, C cắt trung trực BC, CA, AB D, E, F Gọi M, N, P là hình chiếu H lên các đường thẳng OD, OE, OF Chứng minh OH OM ON OP = + + R OD OE OF Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tam giác ABC cố định D là điểm cố định trên cạnh BC P là điểm cố định trên AD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BP D cắt AB E khác B Q là điểm di chuyển trên AP BQ, CQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BP D, CP D F, Z khác B, C Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EF Z luôn qua điểm cố định khác E và điểm cố định đó nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CP D Kostas Vittas National Technical University of Athens, Greece Copyright c 2012 HEXAGON (30) English Let ABC be a non-isosceles triangle The incircle (I) of the triangle touches sides BC, CA, AB at A0 , B0 , and C0 Points A1 , B1 , and C1 are on BC, CA, AB such that BA1 = CA0 , CB1 = AB0 , AC1 = BC0 Prove that the circumcircles (IAA1 ), (IBB1 ), (ICC1 ) are all through a common point, distinct from I ••• www.hexagon.edu.vn Nguyễn Minh Hà Let O be the centre of the circumcircle of triangle ABC Point D is on the side BC Let (K) be the circumcircle of ABD (K) meets AO at E that is distinct from A (a) Prove that B, K, O, E are on the same circle that is called (L) (b) (L) intersects AB at F distinct B Point G is on (L) such that EG k OF GK meets AD at S; SO meets BC at T Prove that O, E, T, C are on the same circle Trần Quang Hùng Triangle ABC has circumcircle (O, R), and orthocenter H The symmedians through A, B, C meet the perpendicular bisectors of BC, CA, AB at D, E, F respectively Let M, N, P be the perpendicular projections of H on the line OD, OE, OF Prove that OM ON OP OH = + + R2 OD OE OF Mathley Problem Solving Corner Đỗ Thanh Sơn Let ABC be a fixed triangle Point D is an arbitrary point on the side BC Point P is fixed on AD The circumcircle of triangle BP D meets AB at E distinct from B Point Q varies on AP Let BQ and CQ meet the circumcircles of triangles BP D, CP D respectively at F, Z distinct from B, C Prove that the circumcircle EF Z is through a fixed point distinct from E and this fixed point is on the circumcircle of triangle CP D Kostas Vittas (31) HEXAGON® inspiring minds always Geometry Mathley Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn Round 16-2012 Vietnamese Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC giao BD E Gọi M, N, P, Q đối xứng với E qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đường thẳng Euler các tam giác M AB, N BC, P CD, QDA đồng quy Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Cho tứ giác ABCD và điểm P M, N thuộc AC, BD cho P M k BC, P N k AD AC giao BD E Chứng minh trực tâm các tam giác EBC, EAD, EM N thẳng hàng và P thuộc đường thẳng AB Đỗ Thanh Sơn Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F ID, IE, IF theo thứ tự cắt EF, F D, DE X, Y, Z Các đường thẳng `a , `b , `c theo thứ tự qua A, B, C và vuông góc với Y Z, ZX, XY Chứng minh `a , `b , `c đồng quy điểm thuộc đường thẳng nối I và trọng tâm tam giác ABC Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) Đường tròn đường kính IA cắt (O) A1 khác A, tương tự có B1 , C1 B1 C1 cắt BC A2 , tương tự có B2 , C2 Chứng minh O là trực tâm tam giác A2 B2 C2 Trần Minh Ngọc Sinh viên Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Copyright c 2012 HEXAGON (32) English Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle (O) and its diagonal AC intersects BD at E Let M, N, P, Q be the reflections of E about the sides AB, BC, CD, DA Prove that the Euler line of the triangles M AB, N BC, P CD, QDA are concurrent Let ABCD be a quadrilateral ABCD and a point P in the plane of the quadrilateral Let M, N be on the sides AC, BD respectively such that P M k BC, P N k AD AC meets BD at E Prove that the orthocenter of triangles EBC, EAD, EM N are concurrent if and only if P is on the line AB Đỗ Thanh Sơn The incircle (I) of a triangle ABC touches BC, CA, AB at D, E, F Let ID, IE, IF intersect EF, F D, DE at X, Y, Z, respectively The lines `a , `b , `c through A, B, C respectively and are perpendicular to Y Z, ZX, XY Prove that `a , `b , `c are concurrent at a point that is on the line segment joining I and the centroid of triangle ABC Nguyễn Minh Hà Trường chuyên ĐHSPHN, Đại học Sư phạm Hà Nội A triangle ABC is inscribed in the circle (O), and has incircle (I) The circles with diameter IA meets (O) at A1 distinct from A Points B1 , C1 are defined in the same manner Line B1 C1 meets BC at A2 , and points B2 , C2 are defined in the same manner Prove that O is the orthocenter of triangle A2 B2 C2 Trần Minh Ngọc Mathley Problem Solving Corner ••• www.hexagon.edu.vn Trần Quang Hùng (33)