15 tích phân đổi biến.[r]
(1)PHẦN II: TÍNH TÍCH PHÂN (2) BÀI 15 tích phân đổi biến p 1) òsin x t = 8cos x +1 Þ KQ = HD: Đặt p ò 2) 8cos x +1dx sin 2x ( cos x +2 ) HD: Đặt p 3) t = cos x + Þ KQ = ò sin 2x dx 4sin x + cos x p sin 2x dx =ò 3sin x +1 t = 3sin x +1 Þ KQ = p 72 4sin x + cos x p Đặt dx sin 2x dx ò HD: 13 cos 2x ò esin 2x +1 dx 4) p t = sin 2x +1 Þ KQ =HD: Đặt 1æ 1ö ç - ÷ ÷ ç ÷ èe e ø 2ç (3) p ò sin 2x(1 + sin x) 5) dx p HD: p ò sin 2x(1 + sin x) p 2 p dx = ò 2sin x.cos x(1 + sin x) dx p Đặt t = sin x Þ KQ =- 17 e2 6) ln x + ò x dx HD: Đặt t = ln x Þ KQ = e7 7) dx ò x.3 ln x +1 t = ln x +1 Þ KQ = HD: Đặt e3 8) ln x dx ln x +1 ò x t = ln x +1 Þ KQ = HD: Đặt 9) ò 14 - x dx x +1 HD: Đặt t = x +1 Þ KQ = 3 10) ò x x +1dx HD: Đặt t = x +1 Þ KQ = 116 15 (4) p ò 11) e tan x +2 dx cos x HD: Đặt t = tan x + Þ KQ = e - e ò 12) x- e x dx HD: Đặt t = x - Þ KQ = 2(e - 1) p ò sin 13) ò sin HD: p x.cos x dx = ò sin x.(1 - cos x) cos x dx t = cos x Þ KQ = Đặt ln 14) HD: 15 dx ò + e- x ln dx ò + e- x p Đặt x.cos x dx p 15) ln =ò e x dx x e +1 æö 3÷ t = e x +1 Þ KQ = ln ç ÷ ç ÷ ç è2 ø Đặt p dx ò cos4 x HD: dx p ò cos4 x = ò 0 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN t = tan x Þ KQ = + tan x cos x dx (5) p 1) ò(4x + 5)sin 2x dx HD: Đặt ìïï u = 4x + Þ KQ = p+ í ïïî dv = sin 2x dx p ò (3x 2) p HD: Đặt ìïï u = 3x - p Þ KQ = - í ïïî dv = cos3x dx ln 3) 2).cos 3x dx ò 2x.e x dx ln ìï u = 2x ïí Þ KQ = 10ln - 4ln - ïï dv = e x dx HD: Đặt î 4) ò(x +1).e2x dx ìï u = x +1 15e6 - ï Þ KQ = í ïï dv = e 2x dx HD: Đặt ïî 5) ò(3x - 4).e- 2x dx ìï u = 3x - - 7e- - ïí Þ KQ = - 2x ï dx HD: Đặt ïî dv = e (6) 6) ò(6x + 5)ln x dx ìï u = ln x 29 ïí Þ KQ = 26ln 2 ï HD: Đặt ïî dv = (6x + 5)dx 7) ò(3x + 2x) ln(x + 2) ìï u = ln(x + 2) 14 ïí Þ KQ = 28ln 2 ï HD: Đặt ïî dv = (3x + 2x) dx 8) ò ln(x +1) x2 dx ïìï u = ln(x +1) ï Þ KQ = 3ln - ln í dx ïï dv = 2 ï x î HD: Đặt ò[ ln(x - 1) - ln(x +1)] dx 9) HD: 3 ò[ ln(x - 1) Þ KQ = ln p 10) òe x ln(x +1) ] dx = òln(x - 1)dx - 27 64 cos x dx òln(x +1) dx = A +B (7) ïìï u = cos x ep +1 Þ KQ =í ïï dv = e x dx HD: Đặt î CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP p x - 2x + ò x - dx 1) ò x - 2x + 15 dx = ò (x - + )dx Þ KQ = + 2ln x- x- 2 4x - ò x2 - 2) x- x- ln ò ex ln ò ex Đặt dx HD: Đặt 4x - ò x2 3) HD: + )dx Þ KQ = 2ln x - x +1 dx = ò ( dx 8e- x - dx 8e- x - HD: ln =ò t = e x Þ KQ =- e x dx e 2x - 2e x - ln (8) p dx ò sin x.cos x 4) p HD: p p dx 4dx ò sin x.cos2 x = ò sin 2x Þ p KQ = p p ò sin 3x sin 5x dx p 5) 12 HD: p p ò sin 3x sin 5x dx ò (cos 2x - p 12 cos8x)dx p 12 Þ KQ = ( - + ) p ò 6) p ò p p + cos x sin x HD: + cos x sin x 7) òx dx p dx = ò - x dx p dx sin x p +ò p cos x sin x dx Þ KQ = - 3+ (9) HD: Đặt òx - x dx =ò- (x - x) dx + ò (x - x) dx Þ KQ = 8) x dx x- ò1 + t = x - Þ KQ = HD: Đặt 9) 2 ò x(e 2x 11 - 4ln + 3x +1)dx HD: ò x(e 2x 1 e2 37 + 3x +1)dx = ò xe dx + ò x 3x +1dx Þ KQ = + 36 2x p 10) òcos x.ln(sin x +1) dx p HD: Đặt 11) ò x(e òcos x.ln(sin x +1)dx = òln t dt Þ 2x + 3x +1)dx p 12) òcos x.ln(sin x +1) dx KQ = 2ln - (10) 13) - ln 14) 2x - ò x2 ò 4x + dx e x + e x dx ln TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 12303 8cos2 x sin x I dx sin x cos x Câu (11) Câu cot x tan x tan x I dx sin x Câu Câu I cos x cos xdx 4sin x dx cos x I 2 Câu I sin xdx dx I cos x Câu Ta có: I (1 tan2 x tan4 x )d (tan x ) Câu sin x.cos x I dx cos x Câu I sin2 x tan xdx I sin2 x (2 cos2 x )dx Câu dx I sin x.cos x Câu 10 28 15 (12) Câu 11 sin x I sin x Câu 12 2 Đặt t sin x I = I e = sin x cos2 x cos2 x Câu 13 I dx I esin x sin x.cos3 x dx 11 t e (1 t )dt 0 sin x dx cos2 x dx cos2 x 7 12 3 sin x cos2 x sin x dx = x sin x I dx cos x Câu 14 Đặt ( t )sin t sin t x t dx dt I dt dt I 2 cos t cos t dx I sin x.cos x Câu 15 (13) dx I 4 2 sin x.cos x Ta có: dt t tan x dx t2 Đặt cos x I dx (cos x sin x 3) Câu 16 I t cos x sin x 32 Đặt sin x I dx cos x Câu 17 2sin x (2 cos2 x 1) I dx 2 cos x Ta có: Đặt t cos x I 2 ln Câu 18 ) dx cos2 x tan( x I tan x I dx (tan x 1) Ta có: Đặt t tan x I dt (t 1) 1 tan x I dx cos x Câu 19 (14) 6 tan x tan3 x I dx dx 2 2 cos x sin x cos x(1 tan x) Ta có: 3 t3 1 I dt ln 1 t Đặt t tan x Câu 20 cos x I dx sin x cos x Ta có: I 15 sin x cos x I dx 2 sin x cos x dt t 2 ln( Đặt t cos x 15 4) ln( 2) (15) PHẦN III: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ìï y = x - 3x + ïï ï y =x- í ïï ï x = 0, x = 1) îï 2) y = x - 3x + và trục Ox BÀI Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 1) y = x - 2x và y = x 2) y = x và y = x y = ( x - 1) 3) y = x - x và 2x + y= x- BÀI Cho hàm số: 1) Khảo sát sự biến thiên vả vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiệm cận ngang và hai đường thẳng x = 2, x = 3) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ a) Tính diện tích (H) b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh (H) quay vòng quanh trục Ox (16) 69 (CÑ KT Y teá I 2006) (17) 1 2 2n 2n 2n C2n 2n Ta coù: 42n = (1 + 3)2n = C2n C2n C2n C2n 1 2 2n 2n 2n C2n 2n 22n = (1 – 3)2n = C2n C2n C2n C2n 2n C02n C22n 32 C2n 2n 42n + 22n = 42n + 22n = 2.215(216 + 1) (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 22n = 216 n = 70 (CĐ Xây dựng số 2006) Theo khai triển nhị thức Newton ta có: n n n n (a + b)n = Cn a Cna b Cnb n n n n Với a = 3, b = – 2n = (3 – 1)n = Cn Cn ( 1) Cn Với a = 1, b = 1 n 2n = (1 + 1)n = Cn Cn Cn n n n n n Vaäy: Cn Cn ( 1) Cn Cn Cn Cn 71 (CÑ KT Y teá 2005) ÑK: x N, x ≥ (x 1)! x! 3 20 (x 2)! BPT 2!(x 1)! x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 2x2 – x – 10 < – < x < Kết hợp điều kiện x = 72 (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) k k 45 2k k y Soá haïng toång quaùt: C15 ( 1) x 45 2k 29 k 8 k=8 Vaäy heä soá cuûa x29y8 laø: C15 = 6435 73 (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: k k k Tk+1 = Cn ( 2) x Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Cn 2Cn 4Cn = 71 n N, n n N, n n(n 1) 2n 71 n 2n 35 n = (18) (19)