Tính điều khiển được của các hệ điều khiển rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−−⋆−−− VÕ THỊ DIỆU VY TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chun ngành: Cử Nhân Tốn Ứng Dụng Người hướng dẫn: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Đà Nẵng, 5/2015 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Đại số tuyến tính 1.2 Giải tích thực 1.3 Phương trình vi phân 18 1.4 Một số vấn đề hệ điều khiển 21 Tính điều khiển hệ rời rạc 28 2.1 Hệ điều khiển rời rạc 28 2.2 Tiêu chuẩn điều khiển hệ điều khiển rời rạc 40 2.3 Điều kiện đủ hệ điều khiển phi tuyến rời rạc 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 −2− Lời nói đầu Lý thuyêt điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỉ gần Công cụ lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp tốn học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Tính điều khiển hệ động lực khởi xướng ý tưởng kết quan trọng R.Kalman từ năm 60, chứng minh điều kiện tính điều khiển hệ tuyến tính đơn giản Cơng cụ để nghiên cứu vấn đề tính điều khiển phương pháp toán học đại số tuyến tính, giải tích thực phương trình vi phân Cùng với phát triển toán điều khiển cho hệ liên tục, người ta quan tâm nghiên cứu hệ động lực mô tả phương trình điều khiển tốn học với thời gian rời rạc Lý động lực cho việc nghiên cứu hệ rời rạc nhu cầu toán đặt từ thực tiễn, mà nói chung hệ thường mơ tả phương trình sai phân hay rời rạc Mặt khác, đơi làm việc với hệ rời rạc mà địi hỏi kỹ thuật Dựa phép xấp xỉ hay rời rạc hóa hệ vi phân người ta nhận kết sâu sắc có ý nghĩa mà với cơng cụ tốn học vi phân thơng thường khơng giải Khi xét tính điều khiển hệ liên tục, ta thường áp dụng phương pháp rời rạc hóa dựa điều kiện điều khiển hệ rời rạc xấp xỉ để nhận tiêu chuẩn điều khiển cho hệ liên tục Đề tài gồm chương: −3− Chương 1: Một số khái niệm sở lý thuyết điều khiển toán học Chương 2: Tính điều khiển hệ rời rạc Em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn Hoàng Thành, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn em suốt trình thực đề tài mình, hướng dẫn cho em cài đặt sử dụng Latex giúp em thu nhiều kiến thức bổ ích q trình hồn thành đề tài Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đà Nẵng, ngày 01 tháng năm 2015 Sinh viên Võ Thị Diệu Vy −4− Chương Kiến thức sở 1.1 Đại số tuyến tính Ma trận A=[aij ], i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n với số thực aij ∈ R có m hàng n cột, gọi ma trận (n × m) chiều A′ ma trận chuyển vị A cách hoán vị hàng thành cột cột thành hàng Khi A ma trận (n × m)chiều A′ (m × n) chiều Cho hệ thống n véc tơ {a1 , a2 , , an}, ∈ Rn Hệ thống gọi độc lập tuyến tính từ λ1a1 + λ2 a2 + + λn = 0, λi ∈ R, i = 1, 2, , n (1.1) suy λ1 = λ2 = = λn = Ngược lại có véc tơ (λ1 , λ2 , , λn) = cho (1.1) thỏa mãn hệ gọi phụ thuộc tuyến tính Hạng ma trận A-(n × m) chiều kí hiệu rank A xác định số cực đại số hàng (hoặc cột)của ma trận độc lập tuyến tính Ta nói ma trận A -(n × n) không suy biến định thức khác 0: det A = hay rank A =n Cho A-(n × n) ma trận vuông cấp n Một số λ ∈ R gọi giá trị riêng ma trận A tồn véc tơ khác không v ∈ R cho Av = λv Véc tơ v gọi véc tơ riêng A Tập giá trị riêng A kí hiệu λ(A) Các giá trị riêng A xác định nghiệm phương trình đa thức đặc trưng A: det (λI −A)=0 hay p(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + + an−1 λ + an = Định lý 1.1 (Cayley-Hamilton) Mọi ma trận A-(n × n) chiều nghiệm đa thức đặc trưng nó: p(A) = An + a1 A(n−1) + a2 A(n−2) + + a(n−1) A + an I Định lý 1.2 (Jordan) Mọi ma trận A-(n × n) chiều đưa dạng Jordan sau phép biến đổi ma trận không suy biến P   J ···    J ···    A → P AP −1 =   · · · · · · · · · · · ·   · · · · · · · · · Jr   λk bk · · · 0    λk · · · 0      Jk = · · · · · · · · · · · · · · · , bk =    0 ··· λ b  k k  0 · · · λk Jk = [λk ], k = 1, r, [λk ] kí hiệu ma trận vng chéo với phần tử đường chéo λk λ1 , λ2 , · · · λk giá trị riêng A Nếu bội λk m số chiều Jk (m × m) Cho ma trận A- (n × n) chiều, A=[aij ],i,j =1,2, ,n Chuẩn ma trận A xác định n n 1/2 A = |aij | i=1 j=1 −6− cho hàm số đa thức tùy ý bậc n n ck λk , f (λ) = (1.2) k=0 n = ∞ chuỗi giả thiết hội tụ Hàm ma trận A xác định n ck Ak f (A) = k=0 ví dụ, f (λ) = eλ , ta có eA = + 1 A + A2 + + An + 1! n! n! Định lý 1.3 (công thức Sylvester) Cho A ma trận (n × n) chiều, với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn khác Cho f(λ) hàm đa thức bậc n dạng (1.2) Khi n f (A) = Zk f (λk ) k=1 đóZk xác định Zk = (A − λ1 I)(A − λ2 I) (A − λk−1I)(A − λk+1 I) (A − λn I) (λ − λ1 )(λ − λ2 ) (λk − λk−1)(λk − λk+1) (λk − λn ) = A − λj I λk − λj j=1 j=k Ma trận A gọi xác định dương i) < Ax, x >≥ 0, ∀x ∈ Rn ii) < Ax, x >> 0nếu = Trong ký hiệu tích vơ hướng hai véc tơ x = (x1 , x2, , xn), y = (y1, y2 , , yn) xác đinh n < x, y >= xi yi i=1 −7− Nếu A=A′ , A gọi ma trận đối xứng Ta ln có AA′ ma trận đối xứng (AB)′ = B ′ A′ Nếu A không suy biến, tức là, det A = tồn ma trận ngược A−1 : I = A−1 = AA−1 Nếu A ma trận xác định dương tồn ma trận ngược A−1 ta có khẳng định sau Định lý 1.4 Các điều kiện sau tương đương: i) A ma trận xác đinh dương ii) ∃c > 0, < Ax, x >≥ c x , ∀ ∈ Rn Định lý 1.5 (Điều kiện Sylvester) Ma trận A-(n × n) xác định dương detDi > 0, i = 1, 2, , n D1 = a11 , D2 = 1.2   a11 a12 a13    , D3 =  a a a  21 22 23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 Giải tích thực Định lý 1.6 (Định lý phạm trù Baire) Một không gian metric đầy đủ thuộc phạm trù hai, tức là, X không gian metric đầy đủ ∞ X= Mi , i=1 int M i0 với i0 ≥ • Khơng gian véc tơ X K tập hợp có hai phép toán: *Phép cộng véc tơ xác định cho cặp phần tử x, y ∈ X phần tử thuộc X kí hiệu x+y Phép cộng thỏa mãn điều −8− kiện: i) (x + y) + z = x + (y + z) (luật kết hợp) ii) x + y = y + x (luật giao hốn) iii) Tồn véc tơ có tính chất x + = x với véc tơ x iv) Mọi véc tơ x có véc tơ đối −x với tính chất x + (−x) = *Phép nhân vô hướng xác định cho cặp phần tử a ∈ k, x ∈ X phần tử ∈ X kí hiệu ax Phép nhân thỏa mãn điều kiện: i) (ab)x = a(bx) (luật kết hợp) ii) (a + b)x = ax + bx (luật phân phối trái) iii) a(x + y) = ax + ay (luật phân phối phải) iv) 1.x = x Trong a,b phần tử tùy ý phần tử đơn vị K Các điều kiện gọi hệ tiên đề không gian véc tơ Các phần tử không gian véc tơ X gọi véc tơ, phần tử K gọi phần tử vơ hướng • Khơng gian Banach X khơng gian metric tuyến tính đầy đủ (X,ρ), metric ρ(.) thỏa mãn i) ρ(x, y) = ρ(x − y, 0) ii) ρ(αx, 0) = |α| ρ(x, 0), ∀α ∈ R(hoặc C), x ∈ X , ρ(x, 0) thường gọi chuẩn X kí hiệu x = ρ(x, 0) • M khơng gian Banach X gọi giới nội tồn số a > cho x ≤ a, ∀x ∈ M M gọi tập compact không gian Banach X với dãy xn ⊂ M trích dãy hội tụ tới x0 ∈ M Trường hợp X không gian hữu hạn chiều, M compact đóng giới nội Tập M ⊂ X gọi tập lồi với x,y ∈ M −9− λ ∈ [0, 1] λx + (1 − λ)y ∈ M • xạ f (x) : X → Y gọi liên tục x0 với ε > tồn δ > cho ρ(f (x), f (x0)) < ε, ∀x ∈ Vδ (x0) Định lý 1.7 (Định lí điểm bất động) i) Cho X không gian Banach, f (x) : X → X ánh xạ liên tục Nếu f (X) ⊂ M , M tập lồi Compact tồn x ∈ M , cho f(x)=x ii) Cho X không gian metric đầy đủ,f (.) : X → X ánh xạ co, tức là, tồn số K ∈ (0, 1) cho với x1 , x2 ∈ X : ρf (x1), f (x2) ≤ Kρ(x1, x2), có phần tử x0 ∈ X , cho f (x0) = x0 (nguyên lí ánh xạ co) • Nếu X khơng gian Banach trang bị hàm tích vơ hướng : X × X → R thỏa mãn i) = ii) < x1 + x2 , y >=< x1 , y > + < x2 , y > iii) (λx, y) = λ < x, y > iv) < x, x >≥ 0, < x, x >= x=0 x = (x, x) X gọi khơng gian Hilbert Các khơng gian Hilbert dùng chương sau không gian l2 - không gian tất dãy số αn cho ∞ |α|2 < +∞ n=1 không gian Lp ([0, T ], X), ≤ p < +∞ không gian tất hàm x(t) ∈ Lp ([0, T ]), X cho T x(t) x(t) = − 10 − p p dt < +∞ Từ định lý trên, ta thấy khác biệt tính điều khiển hệ rời rạc liên tục Bây ta nghiên cứu tính điều khiển hệ rời rạc có hạn chế điều khiển u(k) ∈ Ω, thấy khác giũa cá tiêu chuẩn điều khiển hệ rời rạc hệ liên tục Xét hệ rời rạc có hạn chế điều khiển sau  x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k ∈ Z + x(k) ∈ Rn , u(k) ∈ Ω ⊆ Rm (2.4) Trong Ω tập cho trước Rm , ∈ Ω Chú ý trường hợp hệ (2.4)với hạn chế tên tập điều khiển u(k) ∈ Ω tập đạt điều khiển xác định tương ứng k−1 Rk = x= F (k, i + 1)B(i)u(i), u(i) ∈ Ω i=0 Tk = {x| − F (k, 0)x ∈ Rk } = {x| − F (k, 0)x ∈ C(k)Ωk } Ta dẫn số tính chất tập đạt điều khiển hệ rời rạc Ta bỏ qua chứng minh suy trực tiếp từ định nghĩa P1 Nếu Ω tập lồi tập ∞ Rk , Tk R = ∞ k Tk R ,T = k−0 k−0 tập lồi P2 A(k) Rk ⊆ Rk+1 , ∀k ∈ Z + P3Tk ⊆ Tk+1 , ∀ ∈ Z + P4 Nếu A(.), B(.) ma trận số Rk ⊆ Rk+1 AR ⊆ R Định lý sau cho tiêu chuẩn để hệ (2.4), A( ), B(.) ma trận số, đạt hoàn toàn Định lý 2.3 (Xem [10]) Xét hệ (2.4), giả sử A(.), B(.) ma trận số Ω tập lồi Hệ đạt địa phương (và hoàn toàn − 35 − Ω nón lồi ) i) ∃k0 > : rank[B, AB, , Ak0−1 B] = n ii) không tồn véc tơ riêng A’, ứng với giá trị riêng không âm, nằm (BΩ)+ Chứng minh: Giả sử hệ LR, hệ khơng đạt hạn chế điều khiển, tức với u(k) ∈ Rk = spΩ, GR Đặt W = spΩ Lý luận tương tự chứng minh định trước, hệ (2.4) với u(k)∈ W GN sau bước hữu hạn k0 > Khi ta có [B, AB, , Ak0−1B](W k ) = Rn hay điều kiện i) thỏa mãn Để chứng minh điều kiện ii), giả sử phản chứng ∃x0 = 0, A′x0 = λx0, λ ≥ x0 ∈ (BΩ)+ Vì hệ LR, với tùy ý x1 ∈ Rn , nên có ǫ > cho ǫx1 đạt từ điều khiển đó, tức có dãy điều khiển (u(0), u(1), , u(k0 − 1)) cho k0 −1 F (k0, i + 1)B(i)u(i) ǫx1 = i=0 Nhân vô hướng hai vế đẳng thức với x0 , nhận xét x − ∈ (BΩ)+, ta có: k0 −1 ǫ x0 , x1 = k0 −1 x0 , F (k0, i + 1)Bu(i) = i=0 x0F (k0 , i + 1)x0, Bu(i) i=0 k0 −1 λk0 −i−1 x0, Bu(i) ≥ = i=0 Từ suy x0 = 0, x1 tùy ý Rn , mâu thuẫn với giả thuyết khác x0 Ngược lại giả sử điều kiện i),ii) thỏa mãn, ta − 36 − chứng minh hệ LR Tương tự từ điều kiện ii) suy intR = Đặt K = conR, int = theo tính chất P4, dễ kiểm tra AR ⊆ K Vậy, giả sử hệ không LR, tức là, 0∄R K = rn áp dụng định lý Krein - Rutman mở rộng cho ma trận số A nón K, ta có ∃x0 ∈ K + : A′ x0 = λx0 , λ ≥ Điều vừa nhận mâu thuẫn với giả thuyết ii) BΩ ⊆ K ⇒ K + ⊆ (BΩ)+ Định lý chứng minh Những nghiên cứu tiêu chuẩn tính điều khiển 0(GNC) phát triển chứng minh tương tự cho hệ dừng, hệ không dừng (2.4) Định lý 2.4 (Xem [10]) Xét hệ (2.4), dó A(.),B(.) ma trận số, Ω tập lồi Hệ điều khiển địa phương (và hoàn tồn, Ω nón lồi) khiển i) ImF (k0 , 0) ⊆ ImC(k)với k0 > ii) Khơng tồn vec tơ riêng A′, ứng với giá trị riêng dương (BΩ)+ Từ định lý ta nhận thấy rằng, hệ rời rạc, điều kiện điều khiển GR GNC khác điều kiện ii) mà giá trị riêng khơng âm dương Các ví dụ sau cho thấy rõ điều Ví dụ 2.5 Xét tính điều khiển hệ (2.4) đó: 1 A= ,B = , Ω = {(u1, u2) ∈ Rn |u1 ≥ 0, u2 ∈ R} 1 Ta có: Ω = {(u1, u2) ∈ R2 |u1 ≥ 0} − 37 − BΩ = {(u2, u1)|u1 ≥ 0} = {(v1, v2)|v2 ≥ 0} (BΩ)+ = {(x1, x2)| < x, v >≥ 0∀v = (v1, v2) ∈ BΩ} = {(x  1, x2 )|x1 v1 + x2 v2 ≥ 0; v2 ≥ 0} x1 v1 + x2 v2 ≥ ⇒ (∗) v ≥  chọn v2 = ⇒ x v ≥ 0∀v ∈ R  1   x v ≥0   1 ⇒ chọn v1 = ⇒ x1 ≥   ⇒ x1 =   chọn v1 = −1 ⇒ x1 ≤   x2 v2 ≥ Từ x1 = (∗) ⇒ ⇒ x2 ≥ v ≥ Vậy : ⇒ (BΩ)+ = {(x1, x2) ∈ R2|x1 = 0, x2 ≥ 0} Ta có : Ma trận chuyển vị A là: A′ = Đa thức đặt trưng: det(A′ − λE) = 2−λ 1 1−λ det=(A′ − λE) = ⇒ (2 − λ)(1 − λ) = ⇒ λ(A) = 1, Với x=(x1 , x2 ) vec tơ riêng ứng với trị riêng λ Khi  x nghiệm hệ (2 − λ)x1 = x + (1 − λ)x = Khi λ = ta có: x1 = 0, x2 ∈ R ⇒ vectơ riêng A′ ứng với λ = là: {(x − 1, x2) ∈ R2 |x1 = 0, x2 ∈ R} Tương tự, ta có : Vectơ riêng A′ ứng với λ = là: − 38 − {(x1, x2) ∈ R2 |x1 = x2 } Như vậy, thấy tập vectơ riêng A′ ứng với λ = λ = nằm trong(BΩ)+ Hệ cho khơng GR Ví dụ 2.6    x (k + 1) = x1 (k) + x2(k) − u2(k),    x2(k + 1) = −x2 (k) + u1(k),     ui (k) ≥ Ta có: A(k) = 1 −1 , B(k) = −1 Ta có: Ω = {(u1, u2 ) ∈ R2 |u1 ≥ u2 ≥ 0} BΩ = {(−u2, u1)|u1 ≥ 0, u2 ≥ 0} = {(v1, v2)|v1 ≤ 0, v2 ≥ 0} (BΩ)+ = {(x1, x2)| < x, v >≥ 0∀v = (v1, v2) ∈ BΩ} = {(x1, x2)|x1v1 + x2v2 ≥ 0, v1 ≤; v2 ≥ 0} Ta có:    x v + x2 v2 ≥    1 v1 ≤     v2 ≥  chọn v1 = ⇒ ⇒ x2 ≥ 0(∗) x v ≥ 2  chọn v2 = x v ≥ ⇒ x1 ≤ 0(∗∗) 1 − 39 − Từ (∗)và(∗∗) ⇒ (BΩ)+ = {(x1 , x2) ∈ R2 |x1 ≤ 0, x2 ≥ 0} Ta có : Ma trận chuyển vị A là: A′ = −1 Đa thức đặt trưng: det(A′ − λE) = 1−λ −1 − λ det=(A′ −λE) = ⇒ (1−λ)(−1−λ) = ⇒ λ(A) = 1, −1 Với x=(x1 , x2 ) vec tơ riêng ứng với trị riêng λ Khi  x nghiệm hệ (1 − λ)x1 = x + (−1 − λ)x = Khi λ = ta có: x1 = 2x2 ⇒ vectơ riêng A′ ứng với λ = là: {(x − 1, x2) ∈ R2 |x1 = 2x2} Như vậy, thấy vectơ riêng tập nằm trong(BΩ)+ Vậy hệ cho GR, λ = > nên hệ GNC 2.2 Tiêu chuẩn điều khiển hệ điều khiển rời rạc Đối với hệ điều khiển với thời gian rời rạc  x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k ∈ Z + x(k) ∈ X, u(k) ∈ Ω ⊂ U (2.5) Ta có tiêu chuẩn điều khiển tương tự sau Định lý 2.5 (Xem [10]) Giả sử Ω tập lồi, ∈ Ω, ri Ω = ∅ Hệ (2.5) không gian Banach X, U đạt địa phương i) ∃N > : sp {BW, ABW, AN −1} = X , W = sp Ω ii) Không tồn x∗0 ∈ (BΩ)+ : A∗ x0 = λx0 , λ ≥ Ví dụ 2.7 Xét hệ (2.5) X = U = l2 Ω = {u = (u1, u2, u3) ∈ l2 : u1 = u2 = = uN −1 = 0}, N > 0, − 40 − Và toán tử A : l2 → l2 , B cho A(β1 , β2 ) = (β2 , β3 ), B = I Ta thấy A∗ A∗(β1, β2 ) = (0, β1, β2 ), A∗ rõ ràng khơng có véc tơ riêng Hơn ta có sp {BW, ABW, AN −1} = l2 điều kiện i), ii) Định lý (2.5) thỏa mãn Hệ GR 2.3 Điều kiện đủ hệ điều khiển phi tuyến rời rạc  x(k + 1) = f (x(k), u(k)), k ∈ Z + , x(0) = x , u(k) ∈ Rm , x(k) ∈ Rn , (2.6) hệ tuyến tính xấp xỉ (2.6)    x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z + ,    x(0) = x0, u(k) ∈ Rm , x(k) ∈ Rn ,     A = ∂f (0,0) , B = ∂f (0,0) ∂x ∂u (2.7) Định lý 2.6 (Xem [10]) Hệ rời rạc phi tuyến (2.6), f (0, 0) = hàm f (x, u) khả vi liên tục theo (x, u) đạt địa phương hồn tồn hệ tuyến tính (2.7) đạt hoàn toàn Chương kết thúc kết tính điều khiển lớp hệ phi tuyến với thời gian chậm rời rạc dạng x(k) = f (k, x(k − 1), x(k − h), u(k)), k = 1, , N (2.8) x(k) ∈ Rn , u(k) ∈ Ω ⊆ Rm , h > 0, n > số h > ta gọi độ chậm hệ ta xét nghiệm hệ (2.8) với điều kiện chậm ban đầu sau x(k) = x0, k = −h, h + 1, , −1, − 41 − Từ nay, để đơn giản, ta cho x0 = 0, trường hợp khác chứng minh tương tự Như với giá trị chậm ban đầu cho với điều khiển chấp nhận uN = (u(1), , u(N )), u(i) ∈ Ω ⊆ Rm , nghiệm hệ x(k, x0, u) xác định Ký hiệu R tập đạt hệ cho R = {x ∈ Rn : ∃u(k) ∈ Ω ⊆ Rm , k = 1, , N, x(N, 0, u) = x} x(N, 0, u) nghiệm hệ (2.8) với x(0) = ứng với điều khiển uN = (u(1), u(2), , u(N)) Đưa vào sử dụng hàm số, thường gọi hàm Hamilton hệ (2.8) H(k, p(k), x, y, u) =< p(k), f (k, x, y, u) >, xét biến phân đạo hàm H(.): ∂H(k, p, x, y, u) , δu > ∂u ∂f (k, x, y, u) δu >, =< p(k), ∂u p(k) nghiệm hệ phương trình liên hợp sau δu H(k, p, x, u) =< p(k − 1) = p(k)[ ∂H(k, x, y, u) ′ ∂H(k, x, y, u) ′ ] +[ ] p(k + h − 1), (2.9) ∂x(k − 1) ∂x(k − 1) p(N ) = p(N + 1) = = p(N + h − 1) = Tương ứng với hệ (2.8) ta xét hệ liên hợp xấp xỉ tuyến tính dạng Φ(s, k − 1) = Φ(s, k) ∂f (k, x, y, u) ∂f (k, x, y, u) + Φ(s, k − + h) , (2.10) ∂x(k − 1) ∂x(k − 1) Φ(k, k) = I, Φ(s, k) = với k > s Bằng số biến đổi đơn giản ta chứng tỏ ma trận Φ(s, k) thỏa mãn điều kiện sau i) Φ(k, k − 1) = ∂f (k, x, y, u) ∂x(k − 1) − 42 − ii) Nếu K > s : Φ(k+s, k) = ∂f (k + s, x(k + s − 1), x(h + s − h), u(k + s)) Φ(k+s−1, k), ∂x(k + s − 1) k ≤ s: Φ(k+s, k) = + ∂f (k + s, x(k + s − 1), x(h + s − h), u(k + s)) Φ(k+s−1, k) ∂x(k + s − 1) ∂f (k + s, x(k + s − 1), x(h + s − h), u(k + s)) Φ(k + s − h, k) ∂x(k + s − 1) iii) Nếu p(k) nghiệm hệ (2.9) Φ(s, k) thỏa mãn (2.10)thì p′ (N )Φ(N, k) = p(k), k = 1, 2, , N − (2.11) Định lý sau đây, thường gọi nguyên lý cực đại điều khiển được, cho ta phương pháp tương tự tìm điều kiện đủ để hệ chậm rời rạc (2.8) đạt hoàn toàn Định lý 2.7 (Xem [10])(Nguyên lý cực đại điều khiển được) Giả sử với k = 1, 2, , N , hàm số f (k, x, y, u) khả vi liên tục theo (x, y, u) Giả sử x∗ (k) nghiệm hệ (2.8) ứng với điều khiển chấp nhận u∗ (k), intΩ = φ Giả sử RC(Ω, u∗(k)) tập lồi, T C(R, x∗(k)) = Rn Khi tồn véc tơ v ∈ Rn , v = cho δuH(k, p, x∗(K − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ≤ 0, k = 1, 2, , N, với δu∗ (k) ∈ RC(Ω, u∗(k)), p(k) nghiệm (2.9) p(N ) = v Hơn nữa, u ∗ (k) ∈ intΩ, ∂H(k, p(k), x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) =0 ∂u(k) − 43 − Chứng minh: Giả sử x∗ (k) nghiệm hệ (2.9) ứng với điều khiển chấp nhận u∗ (k) Xét hệ phương trình biến phân sau ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ δx (k − 1) δx (k) = ∂x(k − 1) ∗ ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ + δx (k − h) ∂x(k − 1) ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ δu (k) + ∂u(k − 1) k = 1, 2, , N, (2.12) δx∗(k) ∈ cl RC(Ω, u∗(k)), δx∗(k − h) = δx∗(0) = Từ tính chất ta có k ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ δx (k) = Φ(k, s) δu (s) ∗(k − 1) ∂u s=1 ∗ (2.13) Đặt δU ∗ (k) = [δu∗(1), , δu∗(k)], ∂F (1, 0, 0, u∗(1)) , , F (k, x , u ) = [Φ(k, 1) ∂u(1) ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) Φ(k, k) ] ∂u(k) ∗ ∗ hệ (2.13) viết lại dạng δx∗ (k) = F (k, u∗(k), u∗(k))δU ∗(k), k = 1, 2, , N Gọi R1 (δ(x(N )) tập đạt hệ biến phân (2.12) xác định R1 (δ(x∗(N )) = {x = δ(x∗ (N )), x = x∗(N, 0, δu) : ∀δx∗ (k) ∈ cl RC(Ω, u∗(k))} ta chứng minh R1 (δ(x∗(N )) ⊆ T C(R, x∗(N )) − 44 − (2.14) Thật vậy, lấy tùy ý a ∈ R1 (δ(x∗(N )) Sẽ tồn biến phân δx∗ (k) ∈ cl RC(Ω, u∗(k)), cho a = F (k, x∗, u∗)δ(U ∗(N )) Theo định nghĩa nón radianRC(.), tìm số ε1 > cho ∀ε ∈ (0, ε1), u∗(k) ∈ Ω u1(k) = u ∗ (k) + εδu∗(k), nghiệm x1(k) k ∗ x1(k) = x (k) + Φ(k, s) s=1 ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ δu (s) ∂u∗(k − 1) +o(k, ε) với k = N ta có x1(N ) = x∗(N ) + εa + o(ε, k) ∈ R1 (δ(x∗(N )) điều suy bao hàm thức (2.14) Việc chứng minh định lý kết thúc sau: Vì T C(R1 , x∗(N )) = Rn , nên R1 , (x∗ (N )) = Rn , R1 , (x∗(N )) tập lồi, nên theo định lý tách tập lồi, tồn véc tơ v = Rn , v = 0, cho < v, x >≤ 0, ∀x ∈ R1 (x∗(N )) Cho p(k) nghiệm hệ (2.9) với p(N ) = v , ta có N ∂f (k, x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ∗ p(k) < p(N ), x (N ) >= δu (k) ∗ (k − 1) ∂u k=1 ∗ ≤ Lấy δu∗ (i) = với i = k, δu∗(i) = δu∗ (k) với i = k , ta có δH(k, p(k), x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) ≤ 0, với δu∗ (k) ∈ clRC(Ω, u∗(k)) Nếu u∗ (k) ∈ intΩ, RC(Ω, u∗(k)) = Rm , ta có ∂H(k, p(k), x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) = ∂u∗(k) − 45 − Định lý chứng minh Như hệ định lý (2.7), định lý sau cho điều kiện đủ để hệ đạt hoàn toàn theo dạng tiêu chuẩn hạn Kalman Định lý 2.8 (Xem [10]) Giả sử điều kiện Định lý (2.7) thỏa mãn ∈ intΩ Giả sử tập đạt R hệ (2.8) đóng Hệ (2.8) đạt hoàn toàn rankF (N, x, u) = n , ∀(x, u) ∈ Rn × Rm Chứng minh: Giả sử phản chứng R = Rn Ta có phần tử x0 ∈ R cho T C(R, x0) = Rn Nếu điều khơng đúng, T C(R, x0) = Rn , với x0 ∈ R Vì R tập đóng, nên có phần tử x = R cho Vδ (x) ∩ R = φ Mặt khác T C(R, x0) = Rn , nên x ∈ T C(R, x0) Khi tồn số β > cho với λ ∈ (0, β), ta có x1 = x0 + λ(x − x0) + o(λ) ∈ R, x − x1 = (1 − λ(x − x0)) + o(λ) ≤ (1 − λ)δ + λ o(λ) λ Từ đẳng thức trên, ta tìm số λ > đủ nhỏ cho x − x1 < δ Điều có nghĩa x1 ∈ Vδ (x), điều Vậy điều khẳng định T C(R, x0) = Rn chứng minh Để kết thúc chứng minh định lý, ta lấy nghiệm tùy ý x∗ (k) hệ (2.8) với x∗ (N ) = x0 , ứng với điều khiển chấp nhận u∗ (k) cho T C(R, x0) = Rn − 46 − Sử dụng Định lý (2.7), ta tìm véc tơ v ∈ R, v = 0, cho với k = 1, 2, , N, ∂H(k, p(k), x∗(k − 1), x∗(k − h), u∗(k)) = ∂u∗(k) p(k) thảo mãn phương trình (2.9) p(N ) = v Mặt khác, v ′F (N, x∗, u∗) = p(N )F (N, x∗, u∗) ∂H(1, p(1), x∗(0), x∗(1 − h), u∗(1)) , , =[ ∂u(1) ∂H(N, p(N ), x∗(N − 1), x∗(N − h), u∗(N )) ] ∂u(N ) = 0, = nên rankF (N, x∗, u∗) < n Điều mâu thuẫn với giả thiết Định lý chứng minh Nhận xét 2.2 Ta thay giả thiết R tập đóng giả thiết R tập lồi chứa 0, ∈ / intR, T C(R, x0) = Rn Bằng cách chứng minh tương tự định lý ta có định lý sau Định lý 2.9 (Xem [10]) Giả sử R tập lồi f (k, 0, 0, 0) = 0, k = 1, 2, , N Giả sử điều kiện định lý (2.8) thỏa mãn Khi hệ (2.8) đạt phương rankF (N, 0, 0) = n (2.15) Trường hợp f (k, x, u) = Ax + Bu, điều kiện (2.15) trở thành tiêu chuẩn hạn Kalman cho hệ tuyến tính rời rạc − 47 − Kết luận Trong khóa luận em hệ thống lại số kiến thức sở giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm phương trình vi phân Nghiên cứu tốn điều khiển hệ mơ tả hệ dộng lực với thời gian rời rạc Các tiêu chuẩn điều kiện để hệ điều khiển có cấu trúc từ đơn giản đến phức tạp điều khiển được, định lý tính điều khiển số toán liên quan trình bày với đầy đủ chứng minh chi tiết ví dụ minh họa − 48 − Tài liệu tham khảo [1] Boltianskii V.G Mathematical Methods of Optimal Control Moskva, Nauka, 1969 [2] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1992 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Korobov V.I and Son N.K, Controllability of linear systems with constrained control in Banach spaces Diff Equations USSR, 16 (1980), 1010 - 1012 [5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Thế Hoàn, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [7] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1994 [8] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [9] Sontag, Mathematical Control Theory,1998 [10] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển Tốn học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2001 [11] Zabczyk, Classical Control Theory, 1976 − 49 − ... biệt tính điều khiển hệ rời rạc liên tục Bây ta nghiên cứu tính điều khiển hệ rời rạc có hạn chế điều khiển u(k) ∈ Ω, thấy khác giũa cá tiêu chuẩn điều khiển hệ rời rạc hệ liên tục Xét hệ rời rạc. .. điều khiển hệ rời rạc 28 2.1 Hệ điều khiển rời rạc 28 2.2 Tiêu chuẩn điều khiển hệ điều khiển rời rạc 40 2.3 Điều kiện đủ hệ điều khiển phi tuyến rời rạc 41 Kết luận... thời gian t1 > iv) rank[A/B] = n − 27 − Hệ Chương Tính điều khiển hệ rời rạc 2.1 Hệ điều khiển rời rạc Xét hệ động lực mô tả phương trình điều khiển rời rạc dạng  x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k),