Phương pháp khoảng tin cậy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - - Đề tài: PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG TIN CẬY Giáo viên hướng dẫn : Th.S Tôn Thất Tú Sinh viên thực : Đoàn Thị Mỹ Duyên Lớp : 10CTT1 Đà Nẵng, tháng 05/2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chƣơng I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Đại lƣợng ngẫu nhiên II Hàm phân phối .5 III.Các tham số đặc trƣng ĐLNN .10 BẢNG TỔNG KẾT MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƢỜNG GẶP .13 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG TIN CẬY 14 I Ƣớc lƣợng khoảng .14 II Khoảng tin cậy cho tham số phân phối chuẩn .15 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 15 1.1 Phƣơng sai  biết 15 1.2 Phƣơng sai  chƣa biết 17 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ p 19 Khoảng tin cậy cho phƣơng sai  phân phối chuẩn N (  ,  ) 25 3.1 Kỳ vọng toán  biết 25 3.2 Kỳ vọng toán  chƣa biết 26 Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối Poisson 27 Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối mũ 28 5.1 Phƣơng pháp 1: 28 5.2 Phƣơng pháp 2: 29 6.Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối 31 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………… 34 LỜI CẢM ƠN Trong suốt khóa học (2010-2014) trƣờng Đại học Sƣ phạm – ĐHĐN, với nỗ lực thân giúp đỡ thầy cô giáo trƣờng, đặc biệt thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ tơi có tri thức vững vàng để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đầu tiên cho xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hƣớng dẫn Th.S Tơn Thất Tú ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi, theo sát bảo hƣớng cho tơi lời khun q báu nhƣ cung cấp thông tin khoa học để định hƣớng tốt làm luận văn tốt nghiệp Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ Phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy cho tơi kiến thức chuyên môn làm sở để thực tốt luận văn tốt nghiệp tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa học Nhân tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi vật chất lẫn tinh thần suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Trong trình làm luận văn, đƣợc giúp đỡ nhiệt tình nhà trƣờng, thầy giáo hƣớng dẫn, cố gắng hoàn thành luận văn nhƣng điều kiện thời gian, kiến thức chƣa đủ rộng sâu sắc nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn để tạo điều kiện cho luận văn tơi đƣợc hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! ………………….………………… Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán thực tế dẫn đến việc nghiên cứu hay nhiều dấu hiệu định tính (mức độ hài lịng khách hàng, đánh giá chất lƣợng sản phẩm,…) hay định lƣợng (thu nhập bình quân nhân dân, suất giống trồng,…) đặc trƣng cho phần tử tập hợp Để giải toán ta cần dựa vào tham số (chƣa biết) mà ta quan tâm, thơng tin thu đƣợc từ mẫu liệu ta phải xác định khoảng giá trị để khoảng chứa tham số với xác suất cho trƣớc Khoảng đƣợc gọi khoảng tin cậy với độ tin cậy cho Phƣơng pháp khoảng tin cậy đƣợc nhà Toán học Pháp Pierre Simon Laplace (17491827) nghiên cứu rộng rãi đầu kỉ XIX đƣợc hoàn thiện nhà thống kê Mỹ gốc Ba Lan Jerry Neyman (1984-1981) vào năm 1937 Để góp phần làm rõ thêm phƣơng pháp xây dựng khoảng tin cậy đề tài “phƣơng pháp khoảng tin cậy” đƣợc chọn làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp tơi Mục đích chọn đề tài Tìm hiểu nghiên cứu phƣơng pháp khoảng tin cậy vận dụng lý thuyết ƣớc lƣợng khoảng để giải số toán ƣớc lƣợng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phƣơng pháp ƣớc lƣợng khoảng Ở dừng lại mức độ nghiên cứu vận dụng lý thuyết ƣớc lƣợng khoảng để xây dựng ƣớc lƣợng tham số thống kê Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Hệ thống hóa kết tác giả nghiên cứu liên quan đến ƣớc lƣợng tham số nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho có thích thú với mơn lý thuyết xác suất Tóm tắt nội dung khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chƣơng: Trang Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị, bao gồm kiến thức liên quan đến đại lƣợng ngẫu nhiên Chƣơng 2: Phƣơng pháp khoảng tin cậy Bao gồm: Định nghĩa, qui tắc chung, khoảng tin cậy cho tham số phân phối; vài tập sử dụng phƣơng pháp ƣớc lƣợng khoảng để tìm khoảng tin cậy cho tham số Trang PHẦN NỘI DUNG Chƣơng I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Đại lƣợng ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho (, A, P) không gian xác suất Ánh xạ X :   đƣợc gọi đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN) X hàm đo đƣợc, tức là: a  , {  : X ()  a} A Để đơn giản ta kí hiệu [X  B]  {  : X ()  B} Định lý (i) Nếu X ,Y ĐLNN (, A, P); a, b số thực aX  bX; X  Y ; X / Y (Y  0), max( X ,Y ), min( X ,Y ) ĐLNN (, A, P ) (ii) Nếu X ĐLNN (, A, P ), g hàm đo đƣợc g X ĐLNN (, A, P) ĐLNN độc lập 3.1 Các định nghĩa (i) Hai ĐLNN X1 , X2 đƣợc gọi độc lập với số thực a1 , a2 ta có: P([X1  a1 ]  [X2  a2 ])  P( X1  a1 ).P( X2  a2 ) (ii) Nhóm n ĐLNN X1 , X2 , , Xn đƣợc gọi độc lập với số thực  n  n a1 , a2 , , an ta có: P  [X k  ak ]    P( X k  ak )  k 1  k 1 (iii) Dãy ĐLNN {Xn , n  1} đƣợc gọi độc lập đôi hai ĐLNN dãy độc lập (iv) Dãy ĐLNN {Xn , n  1} đƣợc gọi độc lập tập hữu hạn ĐLNN dãy độc lập 3.2 Tính chất: Nếu {X1 , X2 , , Xn} ĐLNN độc lập, g1 , g2 , , gn hàm Borel đo đƣợc {gi ( Xi ),i  1, n} độc lập Trang II Hàm phân phối Định nghĩa: Trong không gian xác suất (, A, P) cho ĐLNN X Ta gọi hàm thực F ( x ) đƣợc xác định hệ thức: F( x)  FX ( x)  P( X  x),  hàm phân phối X Rõ ràng X ĐLNN ( X  x )  A nên hàm phân phối xác định với x Tính chất: Hàm phân phối F ( x ) X (, A, P) có tính chất: (i)  F( x )  x  (ii) Nếu x1  x2 F( x1 )  F( x2 ) (iii) lim F( x )  1, lim F( x )  x  x  (iv) F( x) liên tục trái Phân phối rời rạc phân phối liên tục tuyệt đối 3.1 Phân phối rời rạc 3.1.1 Định nghĩa: ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối rời rạc miền giá trị X tập hữu hạn hay đếm đƣợc Lúc đó, ta cịn gọi X ĐLNN rời rạc Kí hiệu: Im( X ) tập giá trị X 3.1.2 Hàm mật độ phân phối rời rạc a Định nghĩa: Giả sử X ĐLNN rời rạc với Im( X )  {xi ,i  I}, I  {1,2, , n} hay I  N  P( X  xi ) Khi đó: f ( x )  f X ( x )  P( X  x )    0 neáu x  xi neáu x  xi , i  I đƣợc gọi hàm mật độ rời rạc X , hay mật độ X b Tính chất: Nếu X ĐLNN rời rạc với miền giá trị ( xi ,i  I ) hàm mật độ f ( x ) thì: (i)  f (x )  iI i (ii) Với x  , F ( x )   iI , xi  x f ( xi ) Trang (iii) Với a, b  : a  b có P(a  X  b)   iI :a xi  b f ( xi ) Với ĐLNN rời rạc có miền giá trị {xi ,i  I} ta thƣờng diễn tả mật độ rời rạc dƣới dạng bảng nhƣ sau, gọi bảng phân phối: x x1 P  X  xi  p1 x2 p2 xi xn pi pn 3.1.3 Một số phân phối rời rạc thường gặp a Phép thử Bernoulli phân phối nhị thức  Phép thử Bernoulli Dãy n phép thử thỏa điều kiện sau gọi dãy phép thử Bernoulli: + Mỗi phép thử có hai biến cố đối nhau, kí hiệu T (thành công) B  T c (thất bại) + Các biến cố T , B phép thử dãy độc lập + P(T )  const qua phép thử  Phân phối nhị thức ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối nhị thức tham số n, p nếu:  Im( X )  {0,1,2, , n}   k k nk   P[ X  k ]  Cn p (1  p) k  0, n p số,  p  Kí hiệu: X B(n, p) Đặc biệt n  B(1, p) có tên gọi phân phối Bernoulli tham số p b Phân phối Poisson Giả sử  số thực dƣơng, ta nói X ĐLNN có phân phối Poisson với tham số  nếu: Im( X )  (0,1,2, ) P( X  k )  Kí hiệu: X e   k k  Im( X ) k! P( ) Rõ ràng hệ xác suất: e   k pk   0, k  Im( X ) k! Trang  e   k k  e   e  e  k! k 0 k 0 k !    pk   k 0 3.2 Phân phối liên tục tuyệt đối 3.2.1 Định nghĩa: ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối liên tục tuyệt đối (lttđ) hàm phân phối X lttđ 3.2.2 Hàm mật độ phân phối liên tục tuyệt đối a Định nghĩa: ĐLNN X có phân phối lttđ tồn hàm f ( x )  cho: x F( x )   f (u)du x   Khi ta gọi f ( x ) hàm mật độ X Cũng từ định nghĩa ta có: f (x)  dF ( x ) (hầu khắp nơi) dx b Tính chất: Nếu X ĐLNN có phân phối lttđ tới hàm mật độ f ( x ) thì: (i)    f ( x)dx  (ii) x  , P( X  x )  b (iii) a, b  , a  b, P(a  X  b)   f (x)dx  Fx (b)  Fx (a) a 3.2.3 Một số phân phối lttđ thường gặp a Phân phối đều: ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối [a, b] nếu:   f ( x)  fX ( x)   b  a 0  Trang neáu x  [a, b] x  [a, b] Khi hàm phân phối có dạng: 0  x x a F ( x )   f (u)du    b  a 1 neáu x  a neáu a  x  b x  b Kí hiệu: X U (a, b) b Phân phối mũ: ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối mũ tham số  (  0) nếu:  e  x neáu x  f (x )   neáu x  0 Khi hàm phân phối có dạng: 1  e  x F( x)   0 Kí hiệu: X neáu x  neáu x  Exp( ) c Phân phối chuẩn: ĐLNN X đƣợc gọi có phân phối chuẩn N (, ) nếu: f ( x)   ( x   )2 2 e 2 x  ,  số,   Kí hiệu: X N (, ) Khi   0,  1, ta có phân phối chuẩn tắc X f (x)  2 e  x2 N (0,1), với hàm mật độ là: x  d Phân phối bình phƣơng Nếu X1 , X2 , , Xn ĐLNN độc lập, Xi N (0,1) Y  X12  X22   Xn2 có phân phối đƣợc gọi phân phối Khi bình phƣơng n bậc tự Kí hiệu: Y  (n) Trang Khi ta chọn phần tử từ tổng thể n phần tử số lần suất dấu hiệu quan tâm Xi phân phối với X Nhƣ X  n  X tần suất ƣớc n i 1 i lƣợng điểm xác suất hay tỉ lệ p  EX Mặc khác n X có phân phối nhị thức B(n, p) từ EX  p DX  k p(1  p) (với f  tần suất mẫu suất dấu hiệu n p quan tâm)  Định lý: Tần suất mẫu f  k hàm ĐLNN có phân bố xấp xỉ chuẩn n với kì vọng Ef  p vào phƣơng sai: Df  Đặt U  ( f  p) n 1 Với u 1  Chọn 1    p(1  p) Ta có: u   np  p(1  p) với điều kiện  n  n(1  p)  U  u 1   u 1    ( f  p) n p(1  p) u 1   ub Giải hệ bất phƣơng trình p : n( f  p)2  p(1  p)ub2  nf  2nfp  np  pub2  p2ub2   (n  ub2 ) p2  (2nf  ub2 ) p  nf  Giải tìm nghiệm phƣơng trình trên: 1 nf  ub2  ub nf (1  f )  ub2 p1 , p2  n  ub Vậy khoảng tin cậy cần tìm ( p1 , p2 ) với p1  p2 Tuy nhiên, cơng thức khoảng tin cậy phức tạp nên ngƣời ta sử dụng thực hành Trang 20 Nhận xét: Nếu n lớn, ĐLNN X   p 1  p   n  p, , có phân phối chuẩn N X    n n i 1 i   ta khơng biết p nên ta đƣợc Df hay độ lệch chuẩn   khơng biết Khi ta coi Df  p(1  p) n f (1  f ) n Để dùng xấp xỉ ta dùng điều kiện sau đây:  nf  10   n(1  f )  10 Lúc ĐLNN f p Df  ( f  p) n có phân bố xấp xỉ chuẩn tắc N (0,1) f (1  f ) Ta có khoảng tin cậy cho tỉ lệ: f  u1 f (1  f ) f (1  f )  p  f  u1 n n Ta xét số trƣờng hợp đặc biệt cách chọn 1   2  0; 1  2   ; 1      Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy p độ tin cậy   Khoảng đối xứng Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy tối thiểu f   p  f    p  f   f    p    u 1  f (1  f ) n   u1 f (1  f ) n Ví dụ 3: Lấy ngẫu nhiên 300 hộp từ kho đồ hộp để kiểm tra thấy có 15 hộp bị hỏng Với độ tin cậy 95% tìm: a) Khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ hộp không bị hỏng b) Tỉ lệ hộp không bị hỏng tối thiểu Bài giải: Tần xuất hộp không bị hỏng: f  15  0,05 300 Độ tin cậy:    0,95    0, 05 Trang 21 Phân vị: u 1   u0,975  1,96; u1  u0,95  1, 65 a) Sai số ƣớc lƣợng   u 1 f (1  f ) 0,05(1  0,05)  1,96  0,025 n 300  Khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ hộp không bị hỏng: f    p  f   hay 0, 025  p  0, 075 f (1  f ) 0, 05(1  0, 05)  1, 65  0, 02 n 300 b) Sai số ƣớc lƣợng:   u1 Tỉ lệ hộp không bị hỏng tối thiểu là: f    p   hay 0,03  p   1 nf  ub2  ub nf (1  f )  ub2 Nếu áp dụng công thức: p1 , p2  tỉ lệ hộp n  ub không bị hỏng tối thiểu: (0,033;0,075) Lƣu ý: (i) Có thể xác định kích thƣớc mẫu cho điều kiện hạn chế độ dài sai số khoảng tin cậy đối xứng Ví dụ: Khoảng ƣớc lƣợng đối xứng p với độ tin cậy   là: f (1  f ) f (1  f )  p  f  u1  n n f  u1 Sai số ƣớc lƣợng:   u 1  f (1  f ) n Độ dài khoảng tin cậy: l  2  2u 1  f (1  f ) n Giả sử l   Từ suy 4.u  n 1  2 f (1  f ) (ii) Có thể suy khoảng tin cậy cho kích thƣớc tổng thể số lƣợng cá thể mang dấu hiệu nghiên cứu từ khoảng tin cậy cho tỉ lệ Giả sử khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ p1  p  p2 Gọi N kích thƣớc tổng thể nghiên cứu, M số lƣợng cá thể tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu Lúc ta có tỉ lệ dấu hiệu nghiên cứu p  M / N Trang 22 Suy p1  M / N  p2 Từ đó, ta đƣợc khoảng tin cậy cho M N tùy theo yêu cầu tốn Ví dụ 4: Cần phải lập mẫu ngẫu nhiên với kích thƣớc tối thiểu để tỉ lệ phế phẩm mẫu 0,2 độ dài khoảng tin cậy đối xứng không vƣợt 0,05 độ tin cậy ƣớc lƣợng 0,95 Bài giải: Gọi n kích thƣớc mẫu cần lấy, tỉ lệ phế phẩm: f  0, Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: ( f   ; f   ), với   u 1  f (1  f )  n Độ dài khoảng tin cậy: l  2  0,05    0,025 Độ tin cậy:    0,95    0,05; u 1 4.u  Suy ra: n  1  2 f (1  f )    u0,975  1,96  u0,975  3,8416 4.3,8416.0, 2(1  0, 2)  3933,8 0, 0252 Vậy n  3934 Ví dụ 5: Sản lƣợng xi măng bán ngày có phân phối chuẩn Điều tra sản lƣợng bán 150 ngày, ta thu đƣợc số liệu sau đây: Sản lƣợng xi măng X 5-9 9-13 Số ngày n i 13-17 17-21 21-25 25-29 29-33 33-37 15 27 26 30 23 19 (Đơn vị X tính theo tấn) a) Với độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy đối xứng cho số tiền bán trung bình ngày Biết giá xi măng 50 triệu b) Ngày có sản lƣợng xi măng bán 17 ngày cao điểm Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho số ngày cao điểm 1000 ngày bán với độ tin cậy 98% c) Với độ tin cậy 99% tìm khoảng tin cậy đối xứng cho số lƣợng xi măng trung bình bán ngày cao điểm Bài giải: a) Dạng thu gọn: Sản lƣợng xi măng 11 15 19 23 27 31 35 Số ngày n i 15 27 26 30 23 19 Trang 23 Các thông số đặc trƣng mẫu: n  150; x  24,12; S  2,243 Độ tin cậy:    0,95    0,05; u 1 Sai số ƣớc lƣợng:   1,96  2,243 150  u 0,975  1,96   0,359 Khoảng tin cậy cho sản lƣợng trung bình bán ngày: x      x   hay 23,761    24,479 Khoảng tin cậy cho số tiền trung bình bán ngày: 23,761.50.106    24,479.50 106 hay 118,805.107    122,395.107 b) Tần suất ngày cao điểm: f  k 27  26  30  23  19   0,787 n 150 Độ tin cậy:    0,98    0,02;u 1 Sai số ƣớc lƣợng:   2,33   u 0,99  2,33 0,787.0,213  0,078 150 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ ngày cao điểm: f    p  f   hay 0,709  p  0,865 Gọi M số ngày cao điểm 1000 ngày Ta có tỉ lệ ngày cao điểm p  M / 1000 Từ đó, ta thu đƣợc 0,709  M / 1000  0,865 hay 709  M  865 c) Mẫu liệu thu gọn ngày cao điểm: Sản lƣợng xi măng 19 23 27 31 35 Số ngày n i 27 26 30 23 19 Các thông số đặc trƣng: n  125; x  26,392; S  2,16 Độ tin cậy:    0,99  0,01;u 1 Sai số ƣớc lƣợng   2,58 2,16 125   u 0,995  2,58  0,498 Vậy khoảng tin cậy cho sản lƣợng trung bình bán ngày ngày cao điểm: x      x   hay 25,894    26,89 (tấn) Trang 24 Khoảng tin cậy cho phƣơng sai  phân phối chuẩn N (  ,  ) N (, ) Tập hợp tập Giả sử X ĐLNN có phân bố chuẩn X hợp giá trị có X Xét mẫu ngẫu nhiên có kính thƣớc n Nhƣ trình bày chƣơng trƣớc, phƣơng sai mẫu S12 ƣớc lƣợng không chệch cho phƣơng sai  tập hợp Việc tìm khoảng tin cậy cho  đƣợc dựa định lý quan trọng sau đây:  Định lý: Nếu tập hợp có phân bố chuẩn ĐLNN T  n 1  S12 có phân  với n  bậc tự n 1 Dựa vào định lý trên, ta có: T  2 S 12  (n  1) với: S12  n ( Xi  X )2   n  i 1 3.1 Kỳ vọng toán  biết Khi ta có: T  2 Chọn thống kê: T   (X i 1  )  i nS02 2  (n) với S 2 n   (X i   )2  n i 1 nS 02 2  (n) Chọn cặp 1  cho 1  2   , tìm Từ giả thiết T  n    phân vị P T  21 (n)  1 P T  12 (n)      Từ suy ra: P 21 (n)  T  12 (n)    hay khoảng tin cậy    nS nS 02    là:  ;  1 (n ) 2 (n )    Ta xét số trƣờng hợp đặc biệt cách chọn 1   2  0; 1  2   ; 1     Ta đƣợc bảng tổng hợp: Trang 25 Khoảng tin cậy cho phƣơng sai cho tham số  với độ tin cậy   Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu   nS 02   nS 02 ;   ( n )   (n )    1 2    nS 02   ;   ( n )     nS 02  ;      1 (n )  3.2 Kỳ vọng toán  chưa biết Ta chọn ĐLNN T  n 1  S 12 Khi T  (n  1) ta xét số trƣờng hợp cụ thể cách chọn 1   2  0; 1     ; 1  2   Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy cho phƣơng sai cho tham số  với độ tin cậy   Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu  (n  1)S 12   ;   2 (n  1)      (n  1)S 12 (n  1)S 12  ;   ( n  1)   (n  1)   1  2    (n  1)S 12  ;      1 (n  1)  Ví dụ 6: Kích thƣớc chi tiết máy ĐLNN có phân phối chuẩn Trong mẫu 30 chi tiết máy đƣợc kiểm tra ta tính đƣợc x  0,47 S  0,032 Tìm khoảng tin cậy có độ dài bé 95% cho phƣơng sai kích thƣớc chi tiết máy Bài giải: Từ giả thiết ta có n  30; x  0,47; S1  0,032;  0,05 2 Tra bảng  0,025 (29)  16,047;  0,975 (29)  45,72 Suy khoảng tin cậy cần tìm  (30  1).0,0322 (30  1).0,0322  ;   hay (0,000649;0.001851)   (29)   (29) 0,975 0,025   Ví dụ 7: Điều tra doanh số hàng tháng 27 công ty kinh doanh loại hàng có số liệu nhƣ sau: Doanh số X (triệu đồng) 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 Số công ty (ni ) Trang 26 Với   11,7 độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy cho phƣơng sai có doanh số cao cơng ty Bài giải: Đầu tiên xác định đặc trƣng mẫu: n  27; nS02  0,62 Độ tin cậy:    0,975    0,025;  0,025 (27)  14,573  0,62  Vậy khoảng tin cậy cần tìm:  ;  hay (;0,0425) 14,573   Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối Poisson  Định lý: Giả sử X1 , X2 , , Xn dãy ĐLNN độc lập phân bố với giá trị trung bình  độ lệch chuẩn  Khi trung bình cộng X  X1  X2   Xn có phân bố xấp xỉ chuẩn với n giá trị trung bình  độ lệch chuẩn  n Nhận xét: + Từ định lý: X   n có phân phối xấp xỉ N (0,1) + Đối với phân phối Poisson: D( X )  E( X )   T Đặt: T  X   Ta có: u 1 Đặt: u 1  X   n có phân phối xấp xỉ N (0,1)  n Chọn 1    U  u 1  u  1    X   n u 1   ub Giải hệ bất phƣơng trình  : n( X   )2  ub2  n  n( X )2  2nX  ub2   n  (2nX  ub2 )  n( X )2  Trang 27 Giải tìm nghiệm phƣơng trình trên: 1 nX  ub2  ub nX  ub2 1 , 2  n Vậy khoảng tin cậy cần tìm (1 , 2 ) với 1  2 Ví dụ 8: Số lƣợng bệnh nhân đến xét nghiệm máu trung tâm ngày tuân theo luật phân phối poisson Điều tra số bệnh nhân đến khám 300 ngày, ta đƣợc số liệu sau: Số bệnh nhân 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Số ngày 11 13 21 23 24 17 22 19 27 28 21 28 12 13 12 Với độ tin cậy 98% tìm khoảng tin cậy cho số bệnh nhân trung bình đến khám ngày trung tâm Bài giải: Đầu tiên xác định đặc trƣng mẫu: n  300; x  19,27 Độ tin cậy:    0,98    0, 02; u 1   u0,99  2,33 1 300.19,27   (2,33)2  2,33 300.19,27  (2,33)2 1   18,69 300 1 300.19,27   (2,33)2  2,33 300.19,27  (2,33)2 2   19,87 300 Vậy khoảng tin cậy cho số bệnh nhân trung bình đến khám ngày trung tâm là: (18,69;19,87) Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối mũ 5.1 Phương pháp 1: Chọn thống kê: T  X    1 n   n  X   T có phân phối xấp   2 xỉ N (0,1) Từ giả thiết T có phân phối xấp xỉ N (0,1) Chọn cặp 1  cho 1  2   , tìm phân vị P(T  ua )  1 P(T  u1 )    Trang 28 Từ suy ra: P(u  T  u1 )    hay khoảng tin cậy    là:  u 1  u1 1  1   1      n X  n X     Ta xét số trƣờng hợp đặc biệt cách chọn 1   2  0; 1  2   ; 1     Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy cho tham số  phân phối mũ Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu  u 1  ;  1  1   n X   1  1 u  1 ;  u   1     X  n 1 X  n 2        u  1  1 ;      X  n  5.2 Phương pháp 2:  Định lý: Giả sử X1 , X2 , , Xn dãy ĐLNN độc lập có phân phối mũ Exp( ) , ĐLNN: n   Xi G(1, n) i 1 Chứng minh: Ta có: Xi Exp( )  x  x neáu x   e 1  e Khi đó: f X ( x )   FX ( x )   i i neáu x  0 0 Đặt Y i   X i , ta cần chứng minh Y i neáu x  neáu x  Exp ( )  G(1,1) y   y FY ( x )  P(Yi  y )  P( Xi  y )  P  Xi     e    e  y hàm phân i   phối Exp (1)  Yi G(1,1) Mặt khác: n n n i 1 i 1 i 1 Yi   Xi    Xi G(1, n) (đpcm) Áp dụng: n Chọn thống kê T    Xi i 1 Trang 29 Từ giả thiết T G(1, n) Chọn cặp 1  2   , tìm phân vị P(T  G )  1 , P(T  G1 )    2 Suy ra: P(G  T  G1 )    Ta xét số trƣờng hợp đặc biệt cách chọn 1   2  0; 1     ; 1  2   Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy cho tham số  phân phối mũ Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu   G ; G     nX nX 1    G1   ; nX     G ;     nX  Ví dụ 9: Thời gian sử dụng loại thiết bị điện tử tuân theo luật phân phối mũ với tham số  Điều tra thời gian sử dụng 100 thiết bị loại này, ta đƣợc bảng số liệu sau: Thời gian (năm) 1-3 3-6 6-10 10-12 12-16 16-19 19-22 Số thiết bị 40 23 13 12 Với độ tin cậy 98%, tìm khoảng tin cậy cho tham số  Bài giải: Dạng thu gọn: Thời gian (năm) 4 3 Số thiết bị 40 23 13 12 Các thông số đặc trƣng mẫu: n  100; x  2, 05 Độ tin cậy:    0,98    0, 02; u 1   u0,99  2,33; u  u0,01  2,32 2 Vậy khoảng tin cậy cần tìm:       2,32  1 ;  2,33  1   hay (0,375;0,601)  2, 05  100  2, 05    100 Trang 30 Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số  phân phối  Định lý: Cho X1 , X2 , , Xn dãy ĐLNN độc lập phân phối U (0, ) Khi ĐLNN T  X( n )  với X( n)  max( X1 , X2 , , Xn ), có hàm mật độ là: fT (t)  nt n1;0  t  Chứng minh: Ta có: fT (t)  FT' (t) X  Mà FT (t )  P(T  t )  P  ( n )  t        P(max( X1, X2 , , Xn )   t)  n  n  P  [Xi   t ]    P( Xi   t ) (1)  i 1  i 1 Vì Xi 0  x U(0, ) nên FXi ( x )    1 n neáu x  neáu a  x   neáu x   t n t i 1  n (1)   FX ( t )   i i 1  fT (t)  FT' (t)  nt n1 (đpcm) Áp dụng: Cho X1 , X2 , , Xn mẫu kiệu từ phân phối U (a, b) Đặt Y i  X i  a;   b  a Chọn thống kê T  Y (n )  có phân phối khơng phụ thuộc vào  với hàm mật độ fT ( x)  nx n1; x [0;1] Chọn cặp 1  2   , tìm phân vị: P(T  t )  1 , P(T  t1 )    Suy ra: P(t  T  t1 )    Trang 31 Ta xét số trƣờng hợp đặc biệt cách chọn 1   2  0; 1     ; 1  2   Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy cho tham số   b  a phân phối Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu    Y( n ) Y( n )  t ; t   1     2   Y( n )   ;  t     Y( n )  ;      t1  Nhận xét: Để tìm phân vị T với hàm mật độ fT ( x)  nx n1; x [0;1], xét phƣơng P(T  t )   ,  [0,1] trình:   t nx n1dx    (t )n    t  n  Ví dụ 10: Thời gian tàu SE đến ga A theo quy định vào lúc 13h Tuy nhiên nhiều nguyên nhân, thời gian tàu đến ga dao động khoảng [a, b] biết a  12,9h Thống kê thời gian đến ga A 10 ngày, ta đƣợc số liệu sau: 13 12,9 13,1 13,3 13,15 13,2 13,3 13,1 13,3 13,3 Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy cho độ dài khoảng thời gian dao động thời điểm tàu SE đến ga A Bài giải: Các giá trị Yi  Xi  a : 0,1 0,2 0,4 0,25 0,3 0,4 0,2 0,4 0,4 Các số đặc trƣng mẫu: n  10; Y( n)  Y(10)  0,4 Các phân vị: t 1   t0,975  10 0,975  0,997; t  t0,025  10 0,025  0,692 2 Vậy khoảng tin cậy cho độ dài khoảng thời gian dao động thời điểm tàu SE đến ga A là:  0,4 0,4  ;   hay (0,401; 0,578)  0,997 0,692  Trang 32 KẾT LUẬN Khóa luận hệ thống hóa kết liên quan đến tham số chƣa biết Nội dung khóa luận trình bày đầy đủ định nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến phƣơng pháp khoảng tin cậy đƣa vào số ví dụ minh họa cho phƣơng pháp Từ ví dụ ta xây dựng đƣợc khoảng tin cậy cho tham số số phân phối thƣờng gặp Tơi mong khóa luận nguồn tài liệu có ích cho bạn đọc nghiên cứu xác suất thống kê chƣơng ƣớc lƣợng tham số phần ƣớc lƣợng khoảng Vì thời gian hiểu biết có hạn nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đƣợc q thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận tơi đƣợc hồn thiện Trang 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Thống kê ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Đinh Văn Gắng (2012), Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Tống Đình Quỳ (2007), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Bách Khoa Hà Nội [4] Đặng Ngọc Dục - Nguyễn Ngọc Siêng (2010), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nhà xuất Đà Nẵng [5] Barnes J.W (1994) Statistical analysis for engineers and scientists, McGraw Hill Trang 34 ... u1 khoảng tin cậy tối đa  là:     X  u1  n Bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy  với độ tin cậy   (  biết) Khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy tối thiểu X ...   ; 1  2   Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy  với độ tin cậy   (  chƣa biết) Khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy tối thiểu X     X      X ...  2   Ta đƣợc bảng tổng hợp: Khoảng tin cậy cho phƣơng sai cho tham số  với độ tin cậy   Khoảng tin cậy tối đa Khoảng tin cậy có độ dài bé Khoảng tin cậy tối thiểu  (n  1)S 12   ;