Giải các bài toán bằng phương pháp số

C TRƢỜN N N C ƢP KHOA TOÁN M ================ K ÓA LUẬN TỐT N ỆP Đề tài: Ả CÁC B TOÁN BẰN P ƢƠN P ÁP Ố Giáo viên hướng dẫn : T Nguyễn Thị Thùy Dƣơng inh viên th hi n : Võ Văn Trung Lớp : 11ST Đà Nẵng, 05 /2015 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp LỜ CẢM ƠN Quyển luận văn hoàn thành nhờ ủng hộ, động viên mặt tinh thần gia đình, bạn bè, giúp đỡ nhiệt tình q thầy khoa Tốn Các thầy dẫn cho tơi hình thức trình bày luận văn cho đẹp, cho lời khuyên cảm thấy khó khăn Đặc biệt Nguyễn Thị Thùy Dương tận tình bảo, giải đáp vấn đề thắc mắc cho ý kiến quý báu từ nội dung đến hình thức trình bày luận văn Xin chân thành cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cho suốt thời gian học tập trường Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Võ Văn Trung SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khố luận tốt nghiệp LỜ NĨ ẦU 1.Lí chọn đề tài Chúng ta thấy tốn học giải phương trình đại số hay siêu việt,… thường khó giải được, nghĩa khó tìm kết dạng giải tích Một số tốn giải biểu thức kết cồng kềnh, phức tạp, khối lượng tính tốn lớn việc giải gần toán vơ cần thiết Các tốn đưa dựa số liệu thực đo giả thiết gần đúng, việc tìm kết gần với sai số cho phép hồn tồn có ý nghĩa thực tế Như vậy, để giải toán ta phải sử dụng phương pháp giải gần giá trị điểm hệ số chưa rõ biểu thức giải tích cụ thể Đó lí tơi chọn đề tài “ iải toán phƣơng pháp số ” 2.Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa minh họa chi tiết phương pháp số để giải toán ối tƣợng nghiên cứu Đối tượng mà khóa luận nghiên cứu phương pháp số 4.Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận : Tìm hiểu tài liệu liên quan giải toán phương pháp số Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, kết hợp đưa vào ví dụ minh họa chi tiết Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia : Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác để hình thành nội dung hình thức khóa luận SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp 5.Bố cục khóa luận Phương pháp số lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu phương pháp giải toán cách dựa liệu số cụ thể cho kết dạng số Trong khóa luận tơi tập hợp nhiều nghiên cứu trình bày cách có hệ thống phương pháp giải toán số cụ thể Nội dung khóa luận gồm chương : Chƣơng TÌM GẦN ÚN N ỆM THỰC CỦA P ƢƠN TRÌN I SỐ VÀ SIÊU VIỆT Chương trình bày số sai số thường gặp giải toán cách viết số xấp xỉ Trong chương đề cập nghiệm thực, khoảng cách ly nghiệm phương trình ( ) phương pháp tìm gần nghiệm thực phương trình đại số siêu việt : Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương pháp dây cung Phương pháp Newton – Raphson Chƣơng NỘI SUY Chương nói việc sử dụng phép nội suy để thực toán cách dễ dàng mà đảm bảo độ xác theo yêu cầu Nội dung cụ thể vấn đề sau : Nội suy đa thức Đa thức nội suy Lagrange Nội suy Newton Phương pháp bình phương cực tiểu Do nhiều nguyên nhân, nguyên nhân lần làm nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian, trình độ nên SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang Khoá luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương thiếu sót chắn khơng thể tránh khỏi Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Võ Văn Trung SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜ CẢM ƠN LỜ NÓ ẦU .2 1.Lí chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Đối tượng nghiên cứu 4.Phương pháp nghiên cứu 5.Bố cục khóa luận MỤC LỤC Chƣơng 1.TÌM ỐV ẦN ÚN N ỆM T ỰC CỦA P ƢƠN TRÌN ÊU V ỆT .6 1.1.Sai số 1.1.1 Sai số tuyệt đối 1.1.2 Sai số tương đối 1.1.3 Cách viết số xấp xỉ .7 1.1.4 Sai số quy tròn .7 1.1.5 Sai số số quy tròn .8 1.2 Tìm gần nghiệm thực phương trình đại số siêu việt 1.2.1 Đặt vấn đề 1.2.2 Khoảng cách ly nghiệm .8 1.2.3 Phương pháp chia đôi 10 1.2.3.1 Nội dung phương pháp 10 1.2.3.2 Sự hội tụ phương pháp 10 1.2.3.3 Đánh giá sai số nghiệm gần 11 1.2.3.4 Ví dụ .10 1.2.4 Phương pháp lặp 11 1.2.4.1 Nội dung phương pháp 11 SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp 1.2.4.2 Sự hội tụ phương pháp 12 1.2.4.3 Đánh giá sai số nghiệm gần 13 1.2.4.4 Ví dụ .14 1.2.5 Phương pháp dây cung 15 1.2.5.1 Nội dung phương pháp 15 1.2.5.2 Sự hội tụ phương pháp 19 1.2.5.3 Đánh giá sai số nghiệm gần 20 1.2.5.4 Ví dụ .20 1.2.6 Phương pháp Newton – Raphson 21 1.2.6.1 Nội dung phương pháp 21 1.2.6.2 Sự hội tụ phương pháp 23 1.2.6.3 Đánh giá sai số nghiệm gần 24 1.2.6.4 Ví dụ .25 Chƣơng 2.NỘ SUY 28 2.1 Nội suy đa thức 28 2.1.1 Sự đa thức nội suy 28 2.1.2 Sai số đa thức nội suy 29 2.2 Đa thức nội suy Lagrange 30 2.3 Nội suy Newton 31 2.3.1 Nội suy Newton với mốc cách 30 2.3.2 Nội suy Newton với mốc không cách 33 2.4 Phương pháp bình phương cực tiểu 34 2.4.1 Dạng ( ) .36 2.4.2 Dạng ( ) .37 2.4.3 Dạng ( ) 38 2.4.4 Dạng ( ) 38 2.4.5 Dạng hữu tỉ 39 KẾT LUẬN 41 T L ỆU T AM K ẢO 42 SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng TÌM GẦN ÚN N ỆM THỰC CỦA P ƢƠN TRÌN I SỐ VÀ SIÊU VIỆT 1.1 số 1.1.1 số tuyệt đối Gọi a giá trị gần A, ta viết : gọi sai số tuyệt đối giới hạn 1.1.2 số tƣơng đối ( | | ) 1.1.3 Cách viết số xấp xỉ Chữ số có nghĩa : Đó chữ số khác tính từ trái sang phải 002,92 → 2,92 Ví dụ : 00,0301 → 0,0301 Chữ số đáng tin : Một số a viết Nếu chữ số đáng tin Nếu chữ số đáng nghi ∑ Ví dụ : Số xấp xỉ  với Ta có : | | chữ số đáng tin | chữ số đáng nghi : 4, 6, chữ số đáng nghi : 3, 2,  với Ta có : | 7, 3, ,9 chữ số đáng tin : 4, 1.1.4 số quy tròn Quy tắc quy tròn : Chữ số bỏ : Thêm vào chữ số giữ lại cuối đơn vị SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Chữ số bỏ : Để nguyên chữ số giữ lại cuối Ví dụ : 65,8274 → 65,827 ; 65,827 → 65,83 1.1.5 số số quy tròn Giả sử quy tròn thành | | với sai số quy tròn tuyệt đối ( tức tăng sai số tuyệt đối ) 1.2.Tìm gần nghiệm thực phƣơng trình đại số siêu việt 1.2.1 ặt vấn đề Tìm nghiệm phương trình : ( ) (1.1) hàm số đại số siêu việt Trong chương này, ta xét việc tính gần nghiệm thực phương trình (1.1) với giả thuyết ( ) xác định liên tục khoảng hữu hạn vô hạn Mỗi số thực thỏa mãn ( ) gọi nghiệm thực phương trình (1.1) khơng điểm hàm số ( ) Việc tính gần nghiệm thực phương trình (1.1) tiến hành theo hai bước Bước Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa tìm khoảng ( ) chứa nghiệm thực phương trình (1.1) Bước Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm bước 1, tính gần nghiệm thực phương trình (1.1) đạt độ xác yêu cầu phương pháp giải gần 1.2.2 Khoảng cách ly nghiệm ịnh lý Nếu hàm số ( ) liên tục ( không đổi ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) tồn giữ dấu ) có nghiệm thực phương trình (1.1) SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Từ định lý (1.1) suy ( trình (1.1) ( ) ( ) ) khoảng cách ly nghiệm phương , ( ) tồn giữ dấu không đổi ( ) 1.2.3 Phƣơng pháp chia đôi 1.2.3.1 Nội dung phương pháp Giả sử ( )là khoảng phân ly nghiệm phương trình (1.1) Ta chia đơi khoảng ( ) ( * ( * ( ( * ( ) * : ( ) ( ( ( * * ( ) ) ( Ta lại chia đôi khoảng ( ) ) tiếp tục thực 1.2.3.2 S hội tụ phương pháp Ta thực vô hạn lần phương pháp chia đôi với khoảng ( ) lần , điểm khoảng nghiệm phương trình (1.1) ta nhận dãy vô hạn khoảng chồng lên thu nhỏ dần ( ), ( ),…, ( ),…sao cho : ( ) ( ( ) ) ( ) dãy đơn điệu không giảm bị chặn số b; Ta có : dãy đơn điệu không tăng bị chặn số a ( )→ → → → SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp đồ Horner tổng quát Giả sử có đa thức: ( ) Khai triển Taylor đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) có dạng: ( ( ) ) ( ) ) Mặt khác biến đổi đa thức dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) đa thức bậc Trong có dạng : ( ) 3.1.2 Sai số đa thức nội suy ịnh lý Rolle Cho f(x) hàm số thực liên tục khoảng kín , ( hở (a,b) f(a) = f(b) Khi tồn điểm - khả vi khoảng ) cho ( ) = Chứng minh Giả sử hàm f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp (n+1) khoảng ( ) đa thức nội suy,tức là: kín [a,b] ( ) 0,1,…,n Với mốc nội suy a = ( ) ∏( , Khi với ) ( ( ) ) ( với i = ( ) , - tồn ( ) ( ) ) ( ) ( ) -(phụ thuộc vào x) cho: ( ) ( ) ( ) Hệ quả: | Gọi M | ( )| ( ) |( ) ( )| ta có: ( )| SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST ( ) | ( )| Trang 28 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Đây công thức đánh giá sai số đa thức nội suy 2.2 a thức nội suy Lagrange Giả sử ta có cặp điểm quan sát cho bảng sau: Bảng giá trị x y Cần lập đa thức: ( ) có bậc m cho trước ứng với , nhận giá trị ( ) Ký hiệu: ( )=( ) )( ( ) Ta có đẳng thức: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ( ) ∑ ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Đây đa thức nội suy Lagrange Nếu hàm f(x) lien tục [a,b] có đạo hàm liên tục đến cấp (n+1) ( ) (a,b), sai số nội suy ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), cho biểu thức: , - ( ) ( ) Trong đó: a Nếu gọi M = max | ( ) | ( )| ( )| ( SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST , ) - sai số nội suy: | ( )| Trang 29 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khố luận tốt nghiệp Ví dụ Cho bảng giá trị: x y Tìm đa thức nội suy Lagrange Giải Ta có: ( ) ( )( ( ( ) ( ( ( )( )( )( ( )( )( ( )( )( )( ) )( ) )( ) )( ) ( )( ( ) ) ) ) ( ( ( )( )( )( ) ( )( )( ) ) ) ) ( ) 2.3 Nội suy Newton 2.3.1 Nội suy Newton với mố Giả sử h giá trị hàm y = f(x) tương ứng với giá trị cách đối số tức là: Ký hiệu: sai phân cấp sai phân cấp sai phân cấp SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 30 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Tiến hành phép lien tiếp,ta nhận được: ∑( ) ( ) ( ) Tương tự ta nhận được: ( Nếu ( ) ( )( ) ) ta xem n số nguyên dương mà số n = t bất kỳ, ta nhận cơng thức nội suy Newton ( cịn gọi nội suy Newton tiến- sử dụng sai phân tiến): ( ) ( )( ) ( Do bước tăng , ta ( ( ( )( SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST ) , suy : ) )( ( ) ) ) Trang 31 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp ( ) ( ) ( ) Đánh giá sai số: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) , - Trong đó: a Nếu gọi M = max | | ( )( ( )| ) ( )| ( , ( ) - sai số nội suy: ) |( ) ( )| Ví dụ Cho hàm dạng bảng : x y 10 12 Tìm hàm nội suy Newton Giải Ta có: Sai phân cấp : Sai phân cấp : Sai phân cấp 3: Suy ra: ( ( ) ( )( ( ( )( )( SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST ) )( )( ) ) )( ) ( ) Trang 32 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp 2.3.2 Nội suy Newton với mố không h Trong thực tế điểm khơng cách đều.Lúc khoảng số.Trong trường hợp ta xây cách dựng đa thức nội suy Newton có dạng trường hợp cách đều,nhưng cách tính tốn hệ số có khác Đa thức nội suy có dạng: ( ) ( ( ) )( ) ( ) ( Các điểm liệu sử dụng để tính hệ số ) Đối với đa thức bậc thứ n, có (n+1) điểm liệu yêu cầu.Chúng ta sử dụng điểm liệu phương trình sau để xác định hệ số: ( ) , - , - , Tỷ sai phân cấp f là: [ ( ) ] Tỷ sai phân cấp f ( ) là: [ ] , - , - Tương tự vậy,tỷ sai phân cấp n f là: , - , Thay hệ số vào phương trình ( - , - ) ta nhận đa thức nội suy Newton: SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 33 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp ( ) ( ) ( ) , ( - )( ) ( )( ( ), - ), - ( ) Ví dụ Cho hàm dạng bảng : x -2 -1 y -6 0 60 Xây dựng đa thức nội suy Newton tính gần giá trị y Giải Ta có : , ( ) - , ( ) , - , , - , ( ) , , ( - ) , - , ( ( )( )( ), ( )( )( )( ( Tại - ( ) , vào ) ( )( )( ( ) ta )( ), - ), ) ( )( )( ) 2.4 Phƣơng pháp bình phƣơng cực tiểu Cho bảng giá trị : X … Y … SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 34 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Bài toán tìm mối quan hệ hệ số x y Nội dung phương pháp tìm cực tiểu phiếm hàm : () ∑, ( ) - → ( ) 2.4.1 Dạng ( ) Khi ( ) có dạng : ( ) ∑, - → Ta hệ phương trình : (∑ (∑ { + + (∑ ∑ + ∑ Giải hệ ta a, b cần tìm Ví dụ Tìm hàm ( ) xấp xỉ tốt bảng số : x y 7,32 8,24 9,20 10 12 10,19 11,01 12,05 Giải Ta có : ∑ ∑ ∑ ∑ Khi : { { Vậy đường thẳng cần tìm ( ) SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 35 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp 2.4.2 Dạng ( ) Khi ( ) có dạng : ( ) ∑, - → Ta hệ phương trình : (∑ (∑ (∑ { + (∑ + ∑ + (∑ + (∑ + ∑ + (∑ + (∑ + ∑ Giải hệ ta a, b, c cần tìm Ví dụ Tìm hàm ( ) xấp xỉ tốt bảng số : x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Giải Ta có : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Khi : { { Vậy đường cong cần tìm ( ) SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 36 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Tổng quát Với đa thức bậc m : ( ) ∑ Ta có hệ phương trình dùng để xác định hệ số (∑ (∑ (∑ { + + (∑ + (∑ + (∑ + (∑ + sau : ∑ + (∑ + ∑ ∑ 2.4.3 Dạng ( ) Khi ( ) có dạng : ( ) ] → ∑[ Ta hệ phương trình : (∑ { (∑ + + (∑ ∑ + ∑ Giải hệ ta a, b cần tìm Ví dụ Tìm hàm ( ) xấp xỉ tốt bảng số : x 0,65 0,75 0,85 0,95 1,15 y 0,96 1,06 1,17 1,29 1,58 Giải SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 37 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp Ta có : ∑ ∑ ∑ ∑ Khi : { { { Vậy ( ) 2.4.4 Dạng ( ) Khi ( ) có dạng : ( ) ] → ∑[ Ta hệ phương trình : (∑ (∑ { + + (∑ ∑ + ∑ Giải hệ ta a, b cần tìm Ví dụ Tìm hàm ( ) xấp xỉ tốt bảng số : x 0,5 y 1,85 1,5 2,5 3,5 4,5 15,82 42,89 82,75 135,19 Giải Ta có : ∑ ∑ SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST ∑ ∑ Trang 38 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khố luận tốt nghiệp Khi : { { { Vậy ( ) 2.4.5 Dạng hữu tỉ Hàm hữu tỉ có dạng sau : ( ) Khi ( ) có dạng : ( ) ] → ∑[ Ta hệ phương trình : (∑ (∑ { + + (∑ ∑ + ∑ Giải hệ ta a, b cần tìm Ví dụ ( ) x y 0,33 0,50 0,60 0,66 0,71 Giải Ta có : ∑ ∑ ∑ ∑ Khi : SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 39 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp { { ( ) SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 40 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu, với hướng dẫn nhiệt tình Nguyễn Thị Thùy Dương giúp tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tồn khóa luận tập trung nghiên cứu “Giải toán phƣơng pháp số” Cụ thể nêu làm rõ phương pháp tìm gần nghiệm thực phương trình đại số siêu việt, sử dụng phép nội suy bình phương cực tiểu để tính gần giá trị hệ số chưa rõ biểu thức giải tích cụ thể Do thời gian nghiên cứu khóa luận có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cơ, hội đồng đánh giá tồn thể sinh viên khoa Toán trường Đại học sư phạmĐại học Đà Nẵng để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 41 GVHD: Nguyễn Thị Thùy Dương Khoá luận tốt nghiệp T L ỆU T AM K ẢO Lê Thái Thanh Giáo trình phương pháp tính Nhà xuất Giáo Dục, 2007 Lê Trọng Vinh Giải tích số Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, 2001 Dương Thủy Vỹ Giáo trình phương pháp tính Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, 2005 Phạm Kỳ An Giải tích số Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 1996 Trương Vĩnh An & Phan Tự Vượng Giáo trình phương pháp tính Nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Phạm Văn Hạp & Lê Đình Thịnh Phương pháp tính thuật tốn Nhà xuất Giáo Dục, 2000 Lê Đình Thịnh & tác giả Phương trình sai phân số ứng dụng Nhà xuất Giáo Dục, 2001 Trương Anh Ngọc Giải tích số Nhà xuất KHTN – ĐHQG TP Hồ Chí Minh, 2009 Tạ Văn Đĩnh Phương pháp tính Nhà xuất Giáo Dục, 1999 10.Nguyễn Thê Hùng & Trần Văn Chính Phương pháp tính Nhà xuất xây dựng, 2013 11.Nguyễn Minh Chương & tác giả Giải tích số Nhà xuất Giáo Dục, 2001 SVTH : Võ Văn Trung – Lớp 11ST Trang 42 ... nghiệm thực, khoảng cách ly nghiệm phương trình ( ) phương pháp tìm gần nghiệm thực phương trình đại số siêu việt : Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương pháp dây cung Phương pháp Newton – Raphson... luận Phương pháp số lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu phương pháp giải toán cách dựa liệu số cụ thể cho kết dạng số Trong khóa luận tơi tập hợp nhiều nghiên cứu trình bày cách có hệ thống phương. .. tượng mà khóa luận nghiên cứu phương pháp số 4.Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận : Tìm hiểu tài liệu liên quan giải toán phương pháp số Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng