Quan hệ giữa vành các thương bên phải theo nghĩa cổ điển và vành các thương bên phải theo nghĩa của ORE và GOLDIE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Cơng Thắng QUAN HỆ GIỮA VÀNH CÁC THƯƠNG BÊN PHẢI THEO NGHĨA CỔ ĐIỂN VÀ VÀNH CÁC THƯƠNG BÊN PHẢI THEO NGHĨA CỦA ORE VÀ GOLDIE Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS-TS Bùi Tường Trí Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin gửi đến PGS-TS Bùi Tường Trí , khoa Toán, trường Đại học Sư phạm TPHCM – người tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian hồn thành luận văn này, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn q thầy trường Đại học Sư phạm TPHCM tạo điều kiện, tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Xin chân thành cảm ơn tất cả! Tác giả MỞ ĐẦU Từ cuối kỉ 19, phân số viết đạng p/q với q  Hơn nữa, theo O.Stoltz, hai phân số p/q p’/q’ gọi pq '  p ' q , tổng tích chúng định nghĩa dạng: p / q  p '/ q '   pq ' p ' q  / qq ' p / q p '/ q '  pp '/ qq ' Vào khoảng thời gian này, Kummer, Dedekind, Kronecker số nhà toán học tạo nên lý thuyết số đại số tảng lý thuyết vành kỉ Những điều thúc đẩy phát triển đại số trừu tượng năm đầu kỉ 20 mà điển hình Emmy Noether H.Grell – học trò bà – đưa định nghĩa vành thương miền nguyên giao hoán, vành mà phần tử phân số (theo nghĩa O.Stoltz) với tử số mẫu số lấy miền nguyên Vành thương vành khơng giao hốn đề cập đến lần sách tiếng Đại số đại Waerden Ông đặt câu hỏi rằng:”một miền ngun khơng giao hốn chứa vành chia hay không?” Câu trả lời “Không.” Vào năm 1931, O Ore đưa điều kiện cần đủ để miền ngun khơng giao hốn chứa vành chia Vào năm 1958, báo“Cấu trúc vành nguyên tố điều kiện dãy tăng”, Goldie vành Noether ngun tố ln có vành thương, vành thương đẳng cấu với vành ma trận vành chia theo điều kiện mà ta gọi điều kiện Goldie Và điều kiện Ore điều kiện Goldie điều cốt yếu mà luận văn muốn đề cập Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.1 Định nghĩa vành: Cho tập hợp R   , R ta trang bị hai phép tốn thường kí hiệu “  ” (đọc phép cộng) “ ” (đọc phép nhân) Ta nói R, , vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, nhóm giao hốn ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y, z  R ta có: x ( y  z )  xy  xz ( y  z ) x  yx  zx Nếu phép nhân giao hốn ta gọi R vành giao hốn, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.2 Định nghĩa vành con: Một phận A   vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R 1.3 Định nghĩa ideal vành: Cho R vành, vành A R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện  A (ar  A), a  A,r  R Vành A R gọi ideal vành R A vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.4 Định nghĩa thể: Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi thể hay vành chia 1.5 Định nghĩa trường: Một thể giao hoán gọi trường 1.6 Định nghĩa tâm vành: Cho vành R Ta gọi tập hợp C  c  R r  R : rc  cr tâm vành R 1.7 Định nghĩa module: Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R - module có ánh xạ f : M  R  M (m, r )  f (m, r )  mr Sao cho m, m1 , m2  M a, b  R thì: i) m(a  b)  ma  mb ii) (m1  m2 ) a  m1a  m2 a iii) (ma)b  m(ab) - Nếu R có chứa phần tử đơn vị m1  m, m  M ta gọi M R - module Unitary - M gọi R - module trung thành Mr  kéo theo r  Điều có nghĩa r  Mr  - Nếu M R - module ta đặt A( M )   x  R Mx  (0) gọi tập linh hóa tử R - module M Bổ đề 1.7.1 A(M ) ideal hai phía R Hơn nữa, M R A( M ) - module trung thành Chứng minh:  A(M ) ideal hai phía R x, y  A( M ) : M ( x  y )  Mx  My   x  y  A( M ) x  A( M ), r  R , ta có : M ( xr )  ( Mx )r  (0)r  (0)  xr  A( M ) M (rx )  ( Mr ) x  Mx  (0)  M (rx)  (0)  rx  A( M )  M R A( M ) - module trung thành Với phép nhân M  R A( M )  M xác định sau : m  M , r  A( M )  R A( M ) : (m, r  A( M ))  m(r  A( M ))  mr Đây định nghĩa tốt r  A( M )  r  A( M ) r  r  A( M ) Suy m(r  r )  0, m  M  mr  mr   m(r  A( M ))  m(r  A( M )) Hơn nữa, M (r  A( M ))  (0) Mr  (0)  r  A( M )  r  A( M )  Do M R A( M ) - module trung thành Cho M R A( M ) - module a  R ta định nghĩa ánh xạ Ta : M  M cho công thức mTa  ma, m  M Vì M R A( M ) - module (m1  m2 )Ta  m1Ta  m2Ta , m1 , m2  M nên Ta tự đồng cấu nhóm cộng M Đặt E ( M ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M Khi đó, ta định nghĩa phép cộng nhân sau: m  M , ,   E ( M ) : m(   )  m  m m( )  (m) Vậy E ( M ) lập thành vành với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường Ta định nghĩa ánh xạ  : R  E ( M ) cho (a )  Ta , a  R , ta thấy (a  b)  (a )  (b) (ab)   (a ).(b) nên  đồng cấu vành Hơn nữa, ker   A( M ) Thật vậy: a  A( M )  Ma  (0)  MTa  (0)  (a )  Ta   a  ker   A( M )  ker  Do ảnh đồng cấu R E ( M ) đẳng cấu với R A( M ) Bổ đề 1.7.2 R A( M ) đẳng cấu với vành E ( M ) - Nếu M R - module trung thành A( M )  (0) hay ker   (0) Khi  đơn cấu ta nhúng vành R vào E ( M ) - M gọi R - module bất khả quy MR  (0) M khơng có module thực Tức M có hai module tầm thường (0) M 1.7.3 Định lý : Nếu M R - module bất khả quy C ( M ) thể (hay vành chia được) 1.7.4 Định nghĩa: Ideal phải  R gọi quy tồn phần tử r  R cho x  rx   , x  R Nếu vành R có đơn vị (hay cần có đơn vị trái) ideal  R ideal quy Thật vậy, ta lấy r  1 R x  1x  x  x    , x  R 1.7.5 Bổ đề: Nếu M R - module bất khả quy M đẳng cấu (như module) với R module thương R  đó,  ideal phải, tối đại quy R Ngược lại,  ideal phải, tối đại quy R R  R - module bất khả quy 1.8 Căn Jacobson vành: Căn Jacobson vành R kí hiệu J ( R) Rad ( R ) tập hợp tất phần tử R linh hóa tất R - module bất khả quy Nếu R khơng có module bất khả quy, ta quy ước J ( R)  R Khi đó, vành R gọi vành Radical Như theo định nghĩa ta có: J ( R)  r  R Mr  (0) với R  module bất khả quy M  Vành R vành Radical R ideal phải, tối đại quy Nhận xét Nếu R có đơn vị R khơng vành Radical Ta có : A( M )  r  R Mr  (0) Khi : J ( R)   A( M ) , với M chạy qua khắp tất R - module bất khả quy Do M A(M ) ideal hai phía R nên J ( R) ideal hai phía R Mặt khác, xét M R - module phải nên J ( R ) gọi Jacobson phải vành R Tương tự, định nghĩa Jacobson trái vành R Thật may mắn Jacobson phải Jacobson trái vành R lại trùng nên không cần phân biệt trái hay phải Jacobson Để hiểu rõ cấu trúc Jacobson vành, cố gắng mô tả chi tiết cấu trúc Bản chất Jacobson giao lớp ideal đặc biệt Với  ideal phải R (  : R)   x  R Rx    1.8.1 Định lý: J ( R)  (  : R ) Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại, quy R  (  : R ) ideal hai phía lớn R nằm  1.8.2 Bổ đề: Nếu  ideal phải, quy, thực R  nhúng vào ideal phải, tối đại, quy R Chứng minh: Vì  ideal phải, quy, thực R nên   R tồn a  R cho x  ax   , x  R Suy a   , a   ax    x   , x  R    R (mâu thuẫn) Gọi M tập tất ideal phải thực R có chứa  Nếu    M a    , a    ax    x  ax     , x  R  x   , x  R     R (mâu thuẫn) Áp dụng bổ đề Zorn cho tập M tập tất ideal phải, thực R có chứa  ta  phần tử tối đại M Khi đó:    ,  quy x  ax    0 , x  R  ideal phải tối đại R 1 ideal phải R có chứa  mà 1  R 1  M , tính tối đại  suy  chứa 1 hay 1  0 1.8.3 Định lý: J ( R)    Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy R  Chứng minh:  Ta có J ( R)  (  : R ) (  : R )   nên  J ( R)    Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy R   Chứng minh bao hàm ngược lại    J ( R) :  Ta đặt     ,  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy R  Với x  , xét tập     xy  y y  R ta chứng minh    R Giả sử    R ,   ideal phải, quy, thực R   quy ta chọn a   x , suy y  ay  y  xy   , y  R Ta có   nhúng vào ideal phải, tối đại, quy  R Khi đó, y  R x   0  x    xy  0 y  xy   nên y  0 , suy R   (mâu thuẫn với tính tối đại  ) Vậy    R Do với x  tồn w  R cho  x  w  xw hay x  w  xw  (*) Ta chứng minh   J ( R) phản chứng Giả sử   J ( R) , tồn module bất khả quy M khơng bị  linh hóa nghĩa M   (0) , suy tồn m  M cho m  (0) Ta dễ dàng kiểm tra m module M , lại M module bất khả quy nên m  M Do tồn t  cho mt   m , lại t  theo (*) tồn s  R cho t  s  ts  Khi  m(t  s  ts)  mt  ms  mts   m  ms  ms  m Suy m  (mâu thuẫn với m  (0) ) Vậy   J ( R) hay    J ( R)  Như vậy, khảo sát cấu trúc Jacobson sở M R - module phải Trong trường hợp M R - module trái ta có kết hồn tồn tương tự cho Jacobson trái 1.8.5 Định nghĩa: Phần tử a  R gọi tựa quy phải tồn a  R cho a  a  aa  Phần tử a gọi tựa nghịch đảo phải a Tương tự, ta có định nghĩa phần tử tựa quy trái phần tử tựa nghịch đảo trái Chú ý Nếu R có phần tử đơn vị phần tử a  R tựa quy phải  a có nghịch đảo phải R 1.8.6 Định nghĩa: Một ideal phải R gọi tựa quy phải phần tử tựa quy phải i) J ( R) tựa quy phải ii) Nếu  ideal phải tựa quy phải R   J ( R ) 1.8.7 Định lý: J ( R) ideal phải tựa quy phải R chứa tất ideal phải, tựa quy phải R Vì thế, J ( R ) ideal phải, tựa quy phải, tối đại R Trong xây dựng Jacobson, ta xét M R - module phải nên J ( R ) gọi Jacobson phải R , kí hiệu J phải ( R) Tương tự, ta xét M R module trái J ( R ) gọi Jacobson trái R , kí hiệu Jtrái ( R) Bây ta chứng minh J phaûi ( R )  Jtraùi ( R) Thật vậy, giả sử a vừa phần tử tựa quy phải vừa phần tử tựa quy trái R Khi tồn b, c  R cho a  b  ba  a  c  ac  suy ac  bc  bac  ba  bc  bac  , ba  ac mà a  b  ba  a  c  ac   b  c Nghĩa là, tựa nghịch đảo trái tựa nghịch đảo phải phần tử trùng Giả sử a  J phải ( R) tồn a  R cho a  a  aa  suy a   a  aa a  J phaûi ( R) nên a  J phaûi ( R) , tương a  J phải ( R) , lại tồn a  J phaûi ( R) cho a  a  aa  Do a có tựa nghịch đảo trái a tựa nghịch đảo phải a nên a  a Dẫn đến a  a  aa  hay a phần tử tựa quy trái Vậy J phải ( R) ideal tựa quy trái R nên J phải ( R)  J trái ( R) , tương tự, ta chứng minh Jtraùi ( R) ideal tựa quy phải nên Jtrái ( R)  J phaûi ( R) Vậy J phaûi ( R)  Jtraùi ( R) 1.8.8 Định nghĩa: a) Phần tử a  R gọi lũy linh tồn số nguyên dương m cho a m  b) Một ideal phải (trái, hai phía) R gọi nil-ideal phần tử lũy linh c) Một ideal phải (trái, hai phía)  R gọi lũy linh tồn số nguyên dương m cho a1a2 am  0, a1 , a2 , am   Điều có nghĩa  m  (0) Nhận xét  Một ideal phải (trái, hai phía) lũy linh nil-ideal, điều ngược lại khơng  Mọi phần tử lũy linh tựa quy trái (phải) Thật vậy, giả sử a  R phần tử lũy linh, tồn số nguyên dương m cho a m  ta đặt b  a  a  a3   (1)m1 a m1 Ta có : ab  ba  a  a3  a   (1)m a m 1 Suy b  ab  b  ba  a  a  b  ab  a  b  ba  Do mà nil-ideal ideal tựa quy trái ideal tựa quy phải Chương 2: ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VỀ VÀNH CÁC THƯƠNG BÊN PHẢI 2.1 Điều kiện Ore (phải): Lấy vành A với S  {các phần tử qui A}, S   Bất kì a  A r  S tồn phần tử y  S phần tử b  A cho: ay  rb Vành Ore (phải) vành thỏa mãn điều kiện Ore phải Vành Ore vành thỏa mãn điều kiện Ore trái phải Nếu A miền nguyên thỏa mãn điều kiện Ore A miền Ore Ví dụ: i) Vành giao hốn với tất phần tử qui vành Ore ii) Miền nguyên giao hoán miền Ore iii) A  k x, y khơng vành Ore 2.2 Định lí : Vành A có vành thương bên phải vành A thỏa mãn điều kiện Ore phải, nghĩa vành A vành Ore phải Chứng minh: Lấy vành A thỏa mãn điều kiện Ore phải, S tập phần tử qui A Ta xây dựng quan hệ  tập hợp A  S sau: bx  dy  S ax  cy  A  a, b    c, d   x, y  A :  ● Quan hệ  quan hệ tương đương A  S i) Tính phản xạ ii) Tính đối xứng iii) Tính bắc cầu Giả sử  a, b    c, d   c, d    f , g  Theo định nghĩa tồn x, y , x1 , y1  A cho: bx  dy  S  ax  cy  A dx1  gy1  S  cx1  fy1  A Theo điều kiện Ore phải: bxS  dx1 A  Do tồn s  S , a '  A cho : bxS  dx1a '  S Vì bx  dy nên dys  bxs  dx1a ' hay d  ys  x1a '   Mà d phần tử qui nên ys  x1a ' Ta có: a  xs    ax  s   cy  s  c  ys   c  x1a '    fy1  a '  f  y1a '  A b  xs    bx  s   dy  s  d  ys   d  x1a '    gy1  a '  g  y1a '  S Nghĩa  a, b    f , g  Vậy quan hệ  quan hệ tương đương Kí hiệu tập tất lớp tương đương theo quan hệ  AS 1 Lớp tương đương với phần tử đại diện  a, b  a / b ab1 ● Định nghĩa phép cộng AS 1 : Nếu a / b, c / d  AS 1 theo điều kiện Ore: x, y  S : m  bx  dy  S (rõ ràng a / b  ax / m c / d  cy / m ) Ta định nghĩa phép cộng AS 1 sau: a / b  c / d   ax  cy  / m i) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn m: Thật vậy, m '  bx '  dy '  S ( x ', y '  S ) mu  m ' v  u, v  S  Kéo theo bxu  bx ' v Vì b  S nên xu  x ' v Chứng minh tương tự ta có: yu  y ' v Do đó:  ax  cy  u   ax ' cy '  v Hay  ax  cy  / m   ax ' cy '  / m ' ii) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn đại diện lớp a / b Thật vậy, a / b  a '/ b ' ta có x ', y ', z  S : m '  bx '  dy '  b ' z Do đó: ax '  a ' z Mặt khác t  a / b  c / d   ax  cy  / m   ax ' cy ' / m ' Vì t   a ' z  cy '  / m '  a '/ b ' c / d ● Định nghĩa phép nhân AS 1 : Nếu a / b, c / d  AS 1 y1  S , x1  A : n  bx1  cy1  S ( lưu ý a / b  ax1 / n , c / d  n / dy1 ), ta có định nghĩa:  a / b   c / d   ax1 / dy1 Phép nhân không phụ thuộc cách chọn x1 , y1 đẳng thức bx1  cy1 cách chọn đại diện a / b, c / d Lấy a / b  a '/ b ' Chọn u , v  S : bu  b ' v  au  a ' v Tồn x  A, y  S : n '  bux  cvy  b ' vx Khi  a / b  c / d    aux  /  dvy    a ' vx  /  dvy    a '/ b '  c / d  ●  AS 1 , ,. vành có phần tử đơn vị 1/1 ●  : A  AS 1 ,   a   a /1 đồng cấu vành 1 Hơn nữa, lấy a  S , a /1 có phần tử nghịch đảo AS 1  a /1  1/ a Nếu a / b  AS 1 a / b   a /11/ b  Điều AS 1 vành thương bên phải vành Im  Vì A có vành thương bên phải 2.3 Định lí : A miền Ore phải A có vành thương bên phải vành chia Chứng minh: Nếu A miền Ore phải theo định lí 2.2, A có vành thương bên AS 1 Ta chứng minh AS 1 vành chia Thật vậy, lấy a / b  AS 1 a / b  suy a  Vì A miền nguyên nên a  S Vì b / a  AS 1 phần tử nghịch đảo a / b Do AS 1 vành chia Ngược lại, lấy a, b  A a, b  Vì tất phần tử qui khả nghịch AS 1 , a 1b  AS 1 Nên a 1b  xy 1 ( x, y  A) hay ax  by Suy A vành Ore phải Mà vành chia nên tất phần tử khác A không ước Do A miền Ore phải 2.4 Định lí : A vành Ore phải S tập khơng rỗng phần tử qui A a1b11 , a2b21  AS 1 tồn s  S t1 , t2  A cho: aibi1   ti  s 1 , i  1, Chứng minh: Từ điều kiện Ore phải với b1 , b2  S tồn t1 , t2  A cho s  b1t1  b2t2  S Khi ta có aibi1   bi1  s.s 1  aibi1bi ti s 1   aiti  s 1 2.5 Định lí : Nếu A vành Ore phải S tập khơng rỗng phần tử qui A ta có: i) Nếu I ideal phải A IS 1   xs 1 | x  I , s  S ideal phải AS 1 ii) Nếu I1  I   I n tổng trực tiếp ideal phải A I1S 1  I S 1   I n S 1 tổng trực tiếp ideal phải AS 1 Chứng minh: i) Lấy  I aibi1  IS 1  i  1,  Theo định lí 2.4 tồn s  S ti  A cho aibi1   ti  s 1 , i  1, Ta có : a1b11  a2b21   a1t1  s 1   a2t2  s 1   a1t1  a2t2  s 1  IS 1 Suy IS 1 đóng với phép cộng (1) Vì S 1 A  AS 1 nên IS 1.AS 1  IA.S 1  IS 1 (2) Từ (1), (2) suy ideal phải AS 1 ii) Lấy aibi1  IS 1  i  1, n  a1b11  a2b21   anbn1  Theo định lí 2.4 tồn s  S ti  A cho aibi1   ti  s 1 , i  1, n Khi đó:  a1t1  s 1   a2t2  s 1    antn  s 1  Hay a1t1  a2t2   antn  Do I1  I   I n tổng trực tiếp ideal phải A nên aiti  0, i  1, n Suy aibi1   ti  s 1  , i  1, n Nghĩa I1S 1  I S 1   I n S 1 tổng trực tiếp ideal phải AS 1 2.6 Định lí : Nếu A vành Ore phải S tập khơng rỗng phần tử qui A ta có: i) Nếu I ideal phải AS 1 I  A ideal phải A  I  A S 1   I  A AS 1 ii) Nếu I1  I   I n tổng trực tiếp ideal  I1  A   I2  A     In  A tổng trực tiếp ideal phải A Chứng minh: i) Hiển nhiên  I  A S 1  I Ngược lại, lấy x  ab1  I Suy a  xb  I  A Hay x   I  A  S 1 ii) Hiển nhiên phải AS 1 Chương 3: ĐIỀU KIỆN CỦA GOLDIE VỀ VÀNH CÁC THƯƠNG BÊN PHẢI 3.1 Điều kiện Goldie (phải): 3.1.1 Định nghĩa: - Lấy tập S  A , ta gọi r.annA ( S )   x  A | sx  0, s  S linh hóa tử phải S - Một ideal phải I A gọi linh hóa tử phải có tập S  A cho I  r.ann A ( S ) - Ta có định nghĩa tương tự cho linh hóa tử bên trái l.annA (S ) - Để đơn giản mặt kí hiệu ta xem rA ( S ) r ( S ) thay cho r.annA ( S ) l A ( S ) l ( S ) thay cho l.annA (S ) - Vành Goldie phải vành: i) Thỏa mãn điều liện dãy tăng linh hóa tử phải ii) Có tổng hữu hạn trực tiếp ideal phải khác 3.1.2 Mệnh đề: Ideal phải I A linh hóa tử phải I  r  l  I   Chứng minh: Thật vậy, I  r  X  ,  X  A  Khi ta có X  l  I  Vì I  r  X   r  l  I    I (đpcm) 3.1.3 Định lí: (điều kiện Goldie phải) Nếu A vành Goldie phải nửa nguyên tố A có vành thương bên phải, vành thương bên phải vành nửa đơn Chứng minh: 3.1.4 Bổ đề 1: A vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải Nếu I J ideal phải A, J  I l  I   l  J  có phần tử a  I cho aI  aI  J  Chứng minh: - Vì J  I nên l  J   l  I  Mà l  I   l  J  nên l  J   l  I  Theo điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải kéo theo điều kiện dãy giảm linh hóa tử trái Bây ta lấy U linh hóa tử trái nhỏ thỏa l  J   U  l  I  Vì UI  A nửa nguyên tố nên UIUI  Do tồn au  IU cho UauI  - Giả sử auI  I  tồn x  I cho  aux  I Vì x  I nên l  x   l  I  , U  l  x   l  I  Do tính tối tiểu U nên U  l  x   l  I  hay U  l  x   U (vì giao linh hóa tử trái linh hóa tử trái) Suy U  l ( x) nên ux  (vơ lí aux  ) l  J   U , aux  J suy Uaux  Do Uau  l  x   Uau  U  Uau  l  I  (không xảy ra) Bổ đề chứng minh 3.1.5 Hệ 1: A vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải Nếu xA yA hai ideal cốt yếu A yxA ideal cốt yếu A Chứng minh: Lấy I ideal phải khác B  a  A : ya  I  Vì yA ideal cốt yếu, B  yB  yA  I  nên theo định nghĩa B ta r  y   B Mà yB  yr  y   nên l  B   l  r  y   Theo bổ đề 1, tồn u  B cho uB  uB  r  y   Vì uB ideal phải A uB  B nên ta đặt J  uB ta J  J  r  y   Giả sử K  a  A : xa  J  Vì xA ideal cốt yếu nên xK  xA  J  , yxK  Bên cạnh yxK  yJ  yA  A nên yxA  I  Vì yxA ideal cốt yếu 3.1.6 Hệ 2: A vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải Nếu xA ideal cốt yếu A x phần tử qui A Chứng minh: i) Xét l  x  Vì A nửa nguyên tố nên l  A   Nếu l  x   áp dụng bổ đề cho ideal I  A, J  xA Vì xA ideal cốt yếu nên ta có l  x   ii) Xét r  x  Ta có: r  x   r  x2   Theo điều kiện dãy tăng linh hóa tử phải tồn n  : r  x n   r  x n1  Nếu a  x n A  r  x  a  xn y xa   x n1 y (do y  r  x n1   r  x n  a  ) Do x n A  r  x   Theo hệ 3.1.5 x n A ideal cốt yếu nên ta r  x   Vậy x phần tử qui A 3.1.7 Bổ đề 2: Cho A vành Goldie phải nửa nguyên tố A thỏa điều kiện dãy giảm linh hóa tử phải Chứng minh: Lấy R1  R2   Rn  dãy giảm nghiêm ngặt linh hóa tử phải, nghĩa l  Rn   l  Rn 1  , n Áp dụng bổ đề 3.1.4, ta tìm ideal phải khác I i  Ri cho I i  Ri 1  Khi I i tạo nên tổng trực tiếp vô hạn ideal phải A (mâu thuẫn với điều kiện A vành Goldie phải) (đpcm) 3.1.8 Bổ đề 3: Cho A vành Goldie phải nửa nguyên tố Nếu x  A r  x   xA ideal cốt yếu x phần tử qui Chứng minh: Giả sử tồn ideal phải I  A cho: Ta chứng minh trường hợp này, ideal phải x n I  n   tạo thành tổng trực tiếp vơ hạn Vì r  x   nên xn I  Nếu có đẳng thức a0  xa1  x a2   x n an  ,  I n số nguyên dương bé có tính chất Khi a0  I  xA  , ta thu đẳng thức x(a1  xa2   x n 1an )  Vì r  x   nên a1  xa2   x n1an  (mâu thuẫn với tính tối tiểu số nguyên dương n) Vì a0  a1   an  Do A khơng có tổng trực tiếp vơ hạn ideal phải nên ta I  xA  , nghĩa xA ideal cốt yếu, theo hệ 3.1.6 x phần tử qui 3.1.9 Bổ đề 4: A vành Goldie phải nửa nguyên tố Nếu I ideal phải cốt yếu A I chứa phần tử qui A Chứng minh: - Ta chứng minh ideal phải I  vành A có chứa phần tử x thỏa r  x   r  x2  Vì A vành nửa nguyên tố nên chứa phần tử không lũy linh Xét tập hợp linh hóa tử phải S  r  y  | y  I , y n  0 Vì A vành Goldie phải nên dãy giảm phần tử S có phần tử tối đại Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại r  x  Vì r  x   r  x2  nên r  x   r  x  - Bây ta lấy I ideal cốt yếu A Giả sử I khơng chứa phần tử d  A cho: r  d   Trong trường hợp ta xây dựng dãy phần tử a1 , a2 , , an  I ,  0, i thỏa điều kiện: i) r    r  ai2  , i ii) a j  0, i  j iii) a1 A  a2 A   an A tổng trực tiếp Giả sử ta có dãy a1 , a2 , , an  I thỏa điều kiện i), ii), iii) Lấy b  a1  a2   an  a1 A  a2 A   an A n Vì cách chọn I không chứa phần tử d  A cho: r  d   nên b  r  b    r   i 1 Lấy X  r  b   I Vì I ideal cốt yếu r  b   nên X  Theo cách chứng minh X có chứa phần tử lũy linh khác an 1 cho r  an1   r  an21  Vì an 1  r  b  nên ta có ai 1  0, i  n  - Ta chứng minh a1 A  a2 A   an A  an1 A tổng trực tiếp Lấy y  (a1 A  a2 A   an A)  an 1 A n y  an 1 x   xi , ( x, xi  A) i 1 n Ta có:  a1an1 x   a1ai xi  a12 x1 i 1 Do x1  r  a12   r  a1  hay a1 x1  n Vì an 1 x   xi i2 n Giả sử a j x j  0, j  i  n hay an 1 x   a j x j j i n Suy  an1 x   a j x j  ai2 xi j i Khi xi  Tiếp tục trình ta y  Tức ta xây dựng tổng trực tiếp vô hạn a1 A  a2 A   an A  an 1 A  ideal phải khác (vơ lí) Vậy I phải chứa phần tử d  A cho: r  d   Theo bổ đề 3.1.8 , d phần tử qui A Chứng minh định lí 3.1.3: - Đầu tiên ta A vành Ore phải Lấy a  A b  S Theo bổ đề 3.1.8, bA ideal cốt yếu A Suy X  u  A : au  bA ideal cốt yếu phải A Theo bổ đề 3.1.9, X phải chứa phần tử qui x  S nên ax  by, y  A Do đó, A vành Ore phải Theo định lí 2.2 A có vành thương bên phải Q  AS 1 - Bây ta chứng minh Q vành nửa đơn Lấy I ideal phải Q I1  I  A ideal phải A (định lí 2.6) Theo định lí 2.5, tồn tổng trực tiếp tối đại ideal phải J  I1  I   I n A chứa I1 Từ tính tối đại J suy J ideal cốt yếu Theo bổ đề 3.1.9 J có chứa phần tử qui Do theo định lí 2.5, JQ = Q Đặt P  I   I n theo định lí 2.5 ta có Q  JQ   I1  P  Q  I1  PQ Tồn phần tử lũy đẳng e  Q cho I  eQ Thật vậy, ideal phải Q qui Vì vành Q vành Noether phải vành Goldie phải Vì ideal phải Q sinh phần tử lũy đẳng nên Q khơng có ideal lũy linh (vì e phần tử lũy đẳng khác en  e  0, n ) Do Q vành nửa nguyên tố Lấy I ideal phải Q I  eQ , e2  e phần tử lũy đẳng Q Vì e f   e cặp lũy đẳng trực giao nên l  I   l  e   fQ eQ  r  f   r  fQ  Do ideal phải Q linh hóa tử phải Mà Q vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 3.1.7 Q thoả mãn điều kiện dãy giảm hốn tử phải Q vành Artin phải - Vành Artin phải nửa nguyên tố vành nửa đơn 3.2 Cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố: Chúng ta nghiên cứu số kết mở rộng định lí Goldie, bắt đầu quan sát vành thương, theo cách nhìn khác: Lấy vành thương cố định kiểm tra vành vành thương bên phải 3.2.1 Mệnh đề: Nếu Q vành Artin phải Q vành thương phải Hơn nữa, phần tử qui phải khả nghịch Chứng minh: Lấy s  Q phần tử qui phải Xét chuỗi giảm s nQ Vì Q vành Artin phải nên tồn n cho: s nQ  s n1Q hay s n q  s n1q, q  Q Vì s qui phải nên s n qui phải, s n  sq  1   sq  Suy s qui trái (vì as   a.sq   a  ) s  qs  1   sq  1 s   qs  Vậy q  s 1 3.2.2 Bổ đề: Cho Ri vành (không thiết chứa đơn vị 1) vành thương Qi  Ri thứ tự phải Qi Ri thứ phải Qi ( i  1, n ) - Có khác biệt “R thứ tự phải Q” “Q vành thương phải R” 3.2.3 Mệnh đề: Lấy R vành (có đơn vị 1) vành Q S={ phần tử khả nghịch Q }  R i) Nếu Q vành thương phải R Q vành thương, R thứ tự phải Q S  CR   ii) Nếu Q vành thương R thứ tự phải Q Q  RS Hơn nữa, R thứ tự trái Q Q Artin phải S  CR   Q vành thương bên phải R Chứng minh: i) Nếu q  Q qui, q  rs 1 , (r , s  R) r  qs  CR (0) phần tử khả nghịch Q Do q khả nghịch Q vành thương ii) Cr (0)  CQ' (0) - Nếu R thứ tự trái CR (0)  'CQ (0) suy CR (0)  S Do Q vành thương phải R - Trong trường hợp Q Artin phải CQ' (0)  CQ (0) nên CR (0)  S Q vành thương phải R Điều rằng, Q Artin nửa đơn khác biệt xuất hiện, vành Goldie nửa nguyên tố định nghĩa với thứ tự phải có phần tử đơn vị vành Artin nửa đơn 3.2.4 Hệ : R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương phải Q M n ( R) vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương M n (Q ) Chứng minh : - Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Q Vì Q vành Artin nửa đơn nên M n (Q ) Artin nửa đơn Ta M n ( R) thứ tự phải M n (Q ) Nếu x  M n (Q) lấy mẫu số chung (bất kì tập hữu hạn q1 , q2 , , qn  Q có mẩu thức chung nghĩa tồn r1 , r2 , , rn  R , s  S : qi  ri s 1 , i  1, n ) ta viết x dạng (aij c 1 ); aij , c  R Do : x  ac 1; a, c  M n ( R) Nên M n ( R) thứ tự phải M n (Q ) tức Goldie phải nửa nguyên tố - Đảo lại, hiển nhiên 3.2.5 Bổ đề : R thứ tự phải vành thương Q lấy S vành Q (không phần tử đơn vị 1) Giả sử có phần tử khả nghịch a, b Q : aRb  S S thứ tự phải Q Chứng minh : Lấy q  Q Xét a 1qa  rt 1 , r , t  R Suy q  art 1a 1  arb(atb)1 Do S thứ tự phải Q 3.2.6 Hệ quả: i) Nếu R thứ tự phải vành thương Q S vành (không thiết chứa đơn vị 1) R  S  Q S thứ tự phải Q ii) Nếu R vành Goldie phải nguyên tố,  A  R , S vành R với A  S  R S vành Goldie phải nguyên tố có vành thương tương tự R Chứng minh : i) Áp dụng bổ đề 3.2.5 với a  b  ii) A  e RR A có chứa phần tử qui c  R nên c phần tử khả nghịch vành thương phải Q R cR  S 3.2.7 Định lí: (định lí Goldie mở rộng cho vành khơng có đơn vị) Vành R (khơng thiết có đơn vị 1) thứ phải vành Artin nửa đơn Q R vành Goldie phải nửa nguyên tố Chứng minh: - Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố R1 vành Goldie phải nửa nguyên tố Do R1 có vành thương Artin phải nửa đơn Suy R1 thứ tự phải Q nên R ideal cốt yếu R1 R chứa phần tử qui a  R1 Vì aR1  R nên theo 3.2.6 R thứ tự phải Q - Đảo lại, hiển nhiên TÀI LIỆU THAM KHẢO I.N Hersein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA I.N Hersein, Lance W Small (1979), Some Comments on Prime Rings, Journal of Algebra 60, pp.223-228 J C McConnell, J C Robson (2001), Noncommutative Rings, American Mathematical Society, New York Nathan Jacobson (1975), PI-Algebra an Introduction, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York ... khác Vành A vành nguyên tố A vành nửa nguyên tố 1.15 Vành thương bên phải theo nghĩa cổ điển: Lấy A vành vành Q Vành Q gọi vành thương bên phải theo nghĩa cổ điển vành A điều kiện sau thỏa mãn:... 1 vành thương bên phải vành Im  Vì A có vành thương bên phải 2.3 Định lí : A miền Ore phải A có vành thương bên phải vành chia Chứng minh: Nếu A miền Ore phải theo định lí 2.2, A có vành thương. .. miền Ore iii) A  k x, y khơng vành Ore 2.2 Định lí : Vành A có vành thương bên phải vành A thỏa mãn điều kiện Ore phải, nghĩa vành A vành Ore phải Chứng minh: Lấy vành A thỏa mãn điều kiện Ore phải,