Bài 3: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K a Chứng minh BNC= CMB bChứng minh ∆BKC cân tại K GV: NGUYỄN MẠNH THẢO.. TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG..[r]
(1)GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 CHUYÊN ĐỀ : TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I.Mục tiêu: -Học sinh nắm tính chất dãy tỉ số biết vận dụng làm bài tập -Rèn cho học sinh kỹ trình bày các bài toán tính chất dãy tỉ số -Rèn cho học sinh có tư sáng tạo giải toán -Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào gải các bài toán thực tế II.Trọng tâm: Hai tiết đầu: hai dạng toán đầu III.Chuẩn bị: - Giáo viên: chọn lọc phân laọi bài tập, soạn bài văn và GAĐT, máy chiếu, máy tính -Học sinh: học thuộc tính chất tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số IV.Hoạt động dạyhọc: A.LÝ THUYẾT: * Các tính chất tỉ lệ thức: + Nếu a c = ⇔ad=bc b d + Nếu a,b,c ,d≠0 ad bc thì : a c b d a b c d d c b a d b c a * Về tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ dãy tỉ số * * a c = b d a c e = = b d f Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a c a+c a − c = = = b d b+ d b− d a c e a+ c+ e a − c − e = = = = = b d f b+d + f b −d − f GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (2) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 B.CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Tìm các số biết tổng (hoặc tích) và tỷ số chúng VD1: Tìm x,y,z biết: x y z = = a) và x+ y+ z=18 ; b) x y z = = và x − y − z =15 Giải: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x+ y+ z 18 = = = = =2 ⇒ 2+ 3+4 x=2 2=4 y=2 3=6 z =2 4=8 ¿{ { Cách 2: Đặt tỷ số k rút x,y,z theo k x 2k x y z k y 3k (1) z 4k x y z 2k 3k 4k 9k 9k 18 k 2 Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = Cách 3: Rút x, y theo z x z x y z y 3 z x y z z z z z 18 4 z 8; x 4; y 6 b) x y z x − y − z 15 = = = = =−3 ⇒ 2− 3− −5 x =−3 2=−6 y=− 3=−9 z=−3 4=−12 ¿{{ VD2: Tìm x, y,z biết: x y z = = và x+ y + z=− 93 ; b) GV: NGUYỄN MẠNH THẢO a) x y z = = và −2 x+ y − z=34 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (3) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: a) x y z y z x +2 y +4 z −93 = = = = = = =−3 ⇒ 20 3+ 8+20 31 x=− 3=9 y =−3 4=12 z=−3 5=15 ¿{ { b) x y z x z − x + y −3 z 34 = = = = = = =−2 ⇒ 15 − 6+ −15 − 17 x=− 3=− y=− 4=− z=−2 5=−10 ¿{ { VD3: Tìm x, y,z biết: 2x 3y 4z = = và x+2y+4z=220 ; Giải: a) Từ 2x y 4z x y z = = ⇒ = = 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x +2 y +4 z 220 = = = = =2⇒ 18 16 15 18+32+60 110 x=2 18=36 y =2 16=32 z=2 15=30 ¿{{ VD 4: Tìm x, y biết: a) x=7 y và x+ y =51 ; b) a x =b y (a ≠ ,b ≠ , b ≠ a) và x − y=b − a Giải: x a) Từ x=7 y ⇒ = y Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y x +2 y 51 = = = =3⇒ 7+ 10 17 x=21 y=15 ¿{ GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (4) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 x y b) Từ a x =b y ⇒ = b a Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y x − y b −a = = = =1⇒ b a b − a b −a x =b y=a ¿{ VD5: Tính các góc tam giác ABC biết 2A=B; 3B=C Giải: Từ: B C 1800 C A B C A 2A=B; 3B=C 2A=B 200 9 0 20 ; B 40 ;C 120 A Tổng quát : x y z = = Tìm x,y,z biết a b c và mx+ny+pz=d Với a, b, c, d là các số cho trước và m,n,p≠ (*) Phương pháp giải là: ta cần áp dụng tính chất dãy tỉ số để để tạo tỷ số là số Cụ thể: x y z mx ny pz mx ny pz d = = = = = Từ a b c ma nb pc ma nb pc ma nb pc VD6: Tìm x,y,z biết: a) x y = và xy 24 ; b) x y z = = và xyz 24 Giải: a) Cách 1: 2 x y x y x y xy 24 4 2 3 6 x 2 x 4 Với x = y = GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (5) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Với x = - y = - x y = =k ⇒ x=2 k ; y=3 k Cách 2: Đặt Thay x=2 k ; y=3 k vào x+ y+ z=18 ta được: 2 k k =6 k =24 ⇒ k =4 ⇒ k=± -Với k =2⇒ x =4 ; y =6 -Với k =−2 ⇒ x=− ; y=− b) Đặt x y z = = =k ⇒ x=2 k ; y=3 k ; z=4 k Thay x=2 k ; y=3 k ; z=4 k vào xyz 24 ta được: 3 k k k=24 k =24 ⇒ k =1 ⇒k =1⇒ x=2 y=3 z=4 ¿{{ VD7: Tìm x, y,z biết: a) x y z = = và x 2+2 y +4 z 2=141 b) x y z = = và −2 x 2+ y −3 z 2=−77 Giải: x y z (1) x2 y z 16 25 a) Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z 2 y z x y z 141 1 x 9 x 3 16 25 32 100 32 100 141 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (6) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 ¿ ⇒ x=−3 x=3 y=− kết hợp với (1) y=4 z=−5 z=5 ¿{{ ¿{ { ¿ b) Từ x y z x2 y2 z2 = = (1)⇒ = = 16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z 2 x z x y 3z 77 1 x 9 x 3 16 25 18 75 18 16 75 77 kết hợp với (1) ⇒ x=3 y=4 z=5 ¿{ { ¿ x=−3 y=− z=−5 ¿{{ ¿ Tổng quát : x y z = = và mx k + ny k + pz k =d a b c Với a , b , c , d , m ,n , p , d , k là các số khác k ∈ N Tìm x,y,z biết * Phương pháp giải sau: k Từ k k x y z mx ny pz = = ⇒ = = a b c ma k nb k pc k mx k ny k pz k = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số cho dãy tỉ số ma k nb k pc k ta được: mx k ny k pz k mx k +ny k +pz k d = k= k= k = k k k k ma nb pc ma +nb + pc ma + nbk +pc k Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ hệ thức cho trước VD1: Cho tỉ lệ thức: a c = (a , b , c , d ≠0 ; a≠ ± b ; c ≠ ± d ) b d Chứng minh rằng: a+ b c+ d = a) a− b c −d a b c d d b) b Giải: GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (7) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số Từ a c a b = ⇒ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: b d c d a b a+b a − b = = = c d c +d c −d : a+b a − b a+b c+d = ⇒ = c+ d c −d a− b c − d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: a b kb b k a kb a b kb b k a c k b d c kd c d kd d k c d kd d k Đặt Vậy: a+ b c+ d = a− b c −d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b a+b a+b c+d = = b d b)do: d c+d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức a c a c a b c d 1 1 b d b d Cách 4: b d a c = VD2: Cho tỉ lệ thức: b d Chứng minh rằng: 2a+3b 2c+3d = a) 2a-3b 2c-3d 3a +5ab 3c2 +5cd b) = 7a -10b 7c -10d Giải: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b = ⇒ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: b d c d a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b = = = = = c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d 2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d = = 2a-3b 2c-3d từ : 2c+3d 2c-3d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (8) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 2a+3b 2kb+3b 2k+3 = = a=kb 2a-3b 2kb-3b 2k-3 a c = =k b d c=kd 2c+3d = 2kd+3d = 3k+3 2c-3d 2kd-3d 2k-3 Đặt 2a+3b 2c+3d = Vậy: 2a-3b 2c-3d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b = ⇒ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: b d c d 2 a b a b ab a b = = c d c d cd c d 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b 2= 2= = 3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd = 7a -10b 7c -10d a b = c d từ 3a +5ab 7a -10b2 3a +5ab 3c +5cd = = 3c +5cd 7c -10d 7a -10b 7c -10d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức Tổng quát : a c = Nếu: b d thì: a) ma+nb mc+nd = m'a+n'b m'c+n'd b) ma +nb2 +kab mc2 +nd +kac = m'a +n'b2 +k'ab m'c2 +n'd2 +kcd Nhận xét: Hầu hết các bài tập hai dạng toán trên có thể giải nhiều cách nhiên bài ta nên chọn c ách giải hợp lý VD 3: Cho tỉ lệ thức: a c a+ b c+ d = d a− b c −d Chứng minh rằng: b Giải: a b c d a b 2b c d 2d 2b 2d 1 1 a b c d a b c d a b c d c d a b c a a c 2d 2b 2d 2b b d GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (9) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức a +b +c a b c M= = = (a+b+c) Ví dụ: Cho : b c a hãy tính giá trị biểu thức Giải: a b c a+b+c = = = =1 a = b = c b c a a+b+c a +b +c a +a +a 3a 3a M= = = = = (a+b+c) (a+a+a) (3a) 9a GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (10) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 C.BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm hai số x và y biết: x y và 5x – 2y = 87; a) x y b) 19 21 và 2x – y = 34; Bài 2: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30 Bài 3: Tìm các số x; y; z biết rằng: x y z a) 10 24 và 5x + y – 2z = 28; x y y z b) ; và 2x + 3y – z = 186; 2x 3y 4z và x + y + z = 49; d) c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; x y z và 2x + 3y – z = 50; e) Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng: x y z a) và xyz = 810; x y3 z3 b) 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14 Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng: y z 1 x z x y x y z x yz ; a) 2y 4y 6y 2x 3y 2x 3y 24 6x ; 6x b) 18 c) Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết lần số vốn người thứ lần số vốn người thứ hai và lần số vốn người thứ hai lần vốn người thứ Tính số vốn mà người đã góp a c Bài 7: Cho tỉ lệ thức: b d ; Chứng minh rằng: 5a 3b 5c 3d 7a 3ab 7c 3cd 2 2 a) 5a 3b 5c 3d ; b) 11a 8b 11c 8d a c 2a 13b 2c 13d d 3c 7d Chứng minh rằng: b Bài 8: Cho tỉ lệ thức: 3a 7b x y z bz cy cx az ay bx b c a b c Bài 9: Cho dãy tỉ số : Chứng minh rằng: a Bài 10: Cho số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4 a13 a 32 a 33 a1 3 Chứng minh rằng: a a a a a c a b2 ab 2 d cd Chứng minh rằng: b Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : c d a b c , , Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: b c c a a b Tìm giá trị tỉ số đó ? GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (11) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a Tìm giá số biểu thức: Bài 14: Cho biểu thức: P= M (a+b)(b+c)(c+a) abc x+y y+z z+t t+x + + + z+t t+x x+y z+y Tìm giá tri biểu thức P biêt rằng: x y z t y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z a a a1 a = = = 2007 = 2008 a 2008 a1 Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008 và a a N= Hãy tính giá trị biểu thức: P= Bài 16: Cho a12 +a 22 + a 22007 +a 22008 (a1 +a + +a 2007 +a 2008 ) a b c ax + bx + c = = 2 a1x + b1 x + c1 Chứng minh a1 b1 c1 Thì giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC Dạng 1: 1 2 A 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 3 1 B 11 13 5 5 5 11 1 2 C 2007 2008 2009 2007 2008 2009 5 3 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2 1 0, 0, 25 11 D 7 1, 0,875 0, 11 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (12) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 45.94 2.69 46.95 69.120 5.415.99 4.320.89 A 10 8 B 12 11 C 19 20 5.2 7.2 29.27 Dạng 2: 520 279 3.915 259 E 329.1256 39 1519 163 310 +120 69 D= 312+ 611 M 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 3 11 12 1,5 0, 75 B 5 0, 625 0,5 2,5 1, 25 11 12 Dạng 0,375 0,3 3 , 375− 0,3+ + 1,5+1 −0 , 75 11 12 1890 A= + : +115 5 2005 2,5+ −1 , 25 − ,625+ 0,5− − 11 12 ( ) 13 1,4 2,5 : 0,1 84 180 18 C 70,5 528 : D= − 1,2:(1 ,25) (1 , 08− ): 25 + +0,6 0,5 : 36 , 64 − (5 − ) 25 17 E= (0 , 75 −0,6+ 37 +133 ): (117 + 1113 +2 ,75 − 2,2) 5 13 10 230 46 27 6 25 G 2 10 : 12 14 7 10 3 16 3 M 19 : 24 14 34 34 17 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO 2 1 0, 25 11 H 7 1, 0,875 0, 11 ( ) 14 35 15 N 2 10 25 0, TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (13) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 11 2 3 31 15 19 14 31 0, 75 0, 13 P Q 1 1 93 50 11 11 12 2, 75 2, 6 3 81, 624 : 4,505 125 T 11 13 : 0,88 3,53 (2, 75) : 25 25 ; 2 3 U 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 3 1,5 0, 75 0,375 0,3 11 12 1890 V 115 : 5 2005 2,5 1, 25 0, 625 0,5 11 12 1, : (1 1, 25) (1, 08 ): 25 0, 6.0,5 : L 36 0, 64 (5 ) 25 17 3 11 11 M 0, 75 0, : 2, 75 2, 13 13 5 13 10 230 46 27 6 25 T 2 10 : 12 14 7 10 3 , 375− 0,3+ + 2,5+ −1 , 25 11 12 P=2005 : 5 1,5+ 1− ,75 − ,625+ 0,5 − − 11 12 ( ) ,75 ¿2 11 25 ( A= [ ¿ 81 ,624 : − , 505 +125 A= ¿ ) ( 11 − 15 −6 31 19 14 −1 93 1 + 12−5 6 ( ( ([ ) :0 , 88+3 , 53] −¿ : 1325 16 +3 19 A= : 24 14 −2 34 17 34 ) ) GV: NGUYỄN MẠNH THẢO ( ) ] ) 3150 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (14) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 4,5 : 47,375 26 18.0, 75 2, : 0,88 17,81:1,37 23 :1 Thực phép tính: 1 1 10 100 Chứng minh rằng: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỀ I Câu 1: 100 100 a) Tính: A = + 2 b) Tìm n Z cho : 2n - n + Câu 2: Tính : 1 1 + + + + 2 3 99 100 1 1 (1+2)+ (1+2+3)+ (1+2+3+ 4)+ + (1+2+3+ .+ 20) b) B = 1+ 20 a) A = Câu 3: a) So sánh: √ 17+ √ 26+1 b) Chứng minh rằng: Câu4:(3 điểm) a, Tính tổng: và √ 99 1 1 + + + + > 10 √1 √ √ √ 100 1 1 + − + − + + − 7 7 ( ) ( )( ) S= − 2007 ( ) ĐỀ II Bài 91 −0 , 25 a, Tính: 60 ¿ 11 −1 ¿ A= ¿ 1 176 12 10 10 (26 − )− ( −1 ,75) 3 11 ¿ b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + +7 +……+ 100 – 410) Bài 1 1 1 100 a.Chứng minh : 6 2a 5a 17 3a a 3 a a là số nguyên b.Tìm số nguyên a để : Bài GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (15) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 A n n 6n Tìm n là số tự nhiên để : Bài a) Tính tổng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So sánh 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài a Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chứng minh rằng: A chia hết cho 43 b Chứng minh rằng: Tổng A=7 +72+73+74+ +74n chia hết cho 400 (n N) Bài Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 ĐỀ III Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 b) Tính tổng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 Câu 2: 1.Tính: a 15 20 () ( ) Rút gọn: A = b 25 30 () ( ) : 94 − 69 210 8+ 68 20 Biểu diễn số thập phân dạng phân số và ngược lại: a 33 b 22 c 0, (21) d 0,5(16) Câu : Tính : (2đ) 1 + + + 3.5 5.7 97 99 1 1 2) B = − + − + + 50 − 51 3 3 1) A = Câu : (1,5 đ) a Đổi thành phân số các số thập phân sau : 0,2(3) ; b 1,12(32) ĐỀ IV Bài (1,5đ): Thực phép tính: GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (16) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 3 0,375 0,3 11 12 1,5 0, 75 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 11 12 a) A = b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bài (1,5đ):a) So sánh: 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài (2đ) b) So sánh: + 33 và 29 + 14 1 1 −1).( −1) ( − 1) .( −1) Hãy so sánh A với 2 1002 1 1 + + + b Thực phép tính : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : ; a Cho A = ( ( − ) c So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 và B = 2101 0, 25 a Tính A = Bài 4:(1điểm) 1 2 2 1 1 4 5 2 4 3 4 3 3 Hãy so sánh A và B, biết: Bài 5:(2điểm)Thực phép tính: 102006 1 ; 2007 A= 10 B= 102007 1 102008 1 1 A= 2006 C¸c d¹ng to¸n båi dìng häc sinh kh¸ giái ch¬ng i M«n to¸n Buæi Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: n 16 2 n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 |2 x+3|=x +2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = |x − 2006|+|2007 − x| Bµi a) T×m x biÕt: Khi x thay đổi Bài 4: a) Thực phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 125.7 14 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (17) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 5: Tìm x biết: x 7 x 1 x 7 x 11 0 Bài 6: : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bµi 7: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x a/ Bµi 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = |x +1| +5 B= x +15 x +3 Bài 9: Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng a b a.b Bµi 10 : T×m sè h÷u tØ a, b biÕt a b Buæi C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n C©u 3: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: a, x y ; xy =84 c, T×m sè x,y,z biÕt x y = ; y = b, 9 10 vµ nhá h¬n 11 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x vµ x+y-z = 10 1 761 4 a, 417 762 139 762 417.762 139 3 b, 27 23 47 47 23 C©u 3: TÝnh nhanh: Bài Tìm x biết : a)-4x(x-5)-2x(8-2x)= - GV: NGUYỄN MẠNH THẢO b)2x + x +1 + x+2 + 2x+3 = 120 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (18) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 (− ) x =− 27 c) , 25 x :3= :0 ,125 d) e) |2,5 − x|+2 =2 : 81 Bài : Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số ; ; Biết tổng số điểm 10 A và C B là điểm 10 Hỏi em có bao nhiêu điểm 10 Bài : Ba vòi nước cùng chảy vào cái hồ có dung tích 15,8 m3 từ lúc không có nước đầy hồ Biết thời gian chảy 1m3 nước vòi thứ là phút, vòi thứ hai là phút và vòi thứ ba là phút Hỏi vòi chảy bao nhiêu nước vào hồ Bài a) Tìm số x, y, z biết x, y, z tỉ lệ với số 3, 5, -2và thoả mãn 5x – y + 3z = 124 B, Tìm ba số x, y, z thoả mãn : 2x = 3y và 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = 30 x y = Bài Tìm x,y > thoả mãn : x2 + y2 = 52 và Bài Tìm các số tự nhiên n thoả mãng : a) (-2)n+1 =64 b) (-3)n-2 = -27 Bài 10 Tìm các số nguyên x thoả mãn: b) x3 x3 = x 10 x5 a) x6 =9x4 Bµi 12 T×m x Q,biÕt r»ng: Bài 11 Tính 1 97 5 a ) 0, 1 3 155 31 21 1 11 b) : 0,15 : 2 18 13 86 34 c) : : 91 47 29 91 47 29 3 3 19 55 19 a) 4 4 0,5 19 55 19 3 0, 75 0, 19 71 b) 11 11 2, 75 2, 19 71 0,375 55 55 a) (x-3)(x-5)<0 1 a) x 2 b)(x+4)(x-1)<0 b) : x 3 Bµi 13 T×m x Q,biÕt r»ng: 1 a )2 x x 0 3 2 b) x 3 x 0 3 Bµi 14.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: a)A= x 6,8 +3,2 x 1,9 b)B=2,5+ Bµi 16.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: a)A=- x 6,8 +3,2 x 1,9 b)B=2,5Bµi 16.T×m c¸c sè h÷u tØ a,b,c biÕt r»ng: a) ab=3 ; bc=2 ; ac=1,5 b) ab=-4 ;bc=-5 ; ac=1,8 Buæi 3+4 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (19) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bµi : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( x − )5 = - 243 x +2 x +2 x +2 x+2 x +2 + + = + 11 12 13 14 15 b) Bµi (1®) T×m A biÕt r»ng: A = a c b = = b+c a+b c +a Tìm x ∈ Z để Bµi (2®) A Z và tìm giá trị đó x+ x −2 a) A = −2 x x+3 b) A = Bµi (2®) T×m x, biÕt: a) b) ( x+ 2) = 81 |x − 3| = 650 Bµi 5: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: c) x + x+ = 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 Bµi 6: 1.TÝnh: 15 20 () ( ) a b Rót gän: A = 25 30 () ( ) : − 10 8 + 20 Bµi T×m x biÕt: a,( 2x-1)2004 + (3y – )2004 b, ( x-1)4x = ( x-1)16 c, ( 2x –1 )2x-1 = ( 2x-1)5 Bµi (2®) a− b+3 c − = = 1) Cho và 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c Bµi : TÝnh : (2®) 1) A = 1 + + + 3.5 5.7 97 99 1 1 − + + 50 − 51 3 3 2) B = − + Bµi (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 11 12 1,5 0, 75 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 11 12 a) A = 0,375 0,3 Bµi 10 (2®) a T×m x, y, z xx = - x b) B = + 22 + 24 + + 2100 Z, biÕt b x 1 − = y c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 Bµi 11: (2,5®) GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (20) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 a T×m x biÕt : |2 x −6| +5x = 1 1 b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : ; + + + ( ) c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 Bµi 12: (3®) 0, 25 1 2 2 1 1 4 5 2 4 3 4 3 3 a TÝnh A = b T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 Bµi 13: ((3®)a 130 häc sinh thuéc líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, cây, cây Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây? Biết số cây trồng đợc lớp b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn Bài 14: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở đợc 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh khối 7, tỉ lÖ víi vµ Khèi vµ tØ lÖ víi vµ TÝnh sè häc sinh mçi khèi Bµi 15 : (3®) a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : y + = x Bài 16 : Trong hình bên, biết: M1 =1200, N1 =600, F =900 Xét xem a và c có vuông góc với không? 0 Bài 17 Cho hình vẽ Biết xAB 70 ; ABC 55 ; BCy 125 Chứng minh : xx' // Cy Bài 18 Cho hình vẽ bên (H.3).Biết a // b; A = 400 ; B = 300 A a Tính số đo AOB? 40 O 30 b B H.3 Bài 19: Cho hình vẽ bên, biết góc A = 140o , góc B = 70o , góc C = 150o Chứng minh Ax // Cy GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (21) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Baøi 20 Cho hình veõ: a 35 x b O 1400 Haõy tính soá ño x cuûa goùc O bieát ( a//b) ^ y = n0 ; Baøi 21 /Trong hình beân,cho bieát B C ^ C = m0+ n0 ; Vaøø x ^ A B = 1800 – m0 A B Chứng minh : Ax // Cy ( 1đ ) CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG I Tìm chữ số tận cùng Phương pháp giải: Để tìm chữ số tận cùng luỹ thừa ta cần chú ý rằng: + Các số tận cùng 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào tận cùng 0, 1, 5, 6; + Các số tận cùng 2, 4, nâng lên luỹ thừa thì số tận cùng 6; + Các số tận cùng 3, 7, nâng lên luỹ thừa thì số tận cùng 1; Ví dụ1: Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho 10 Giải: Ta thấy số tận cùng nâng lên luỹ thừa nào tận cùng (vì nhân số tận cùng với ta số tận cùng 6) Do đó ta biến đổi sau: 8102 = (84)25 82 = (…6)25 64 = (…6) 64 = …4 2102 = (24)25 22 = 1625 = (…6) = …4, Vậy 8102 - 2102 tận cùng nên chia hết cho 10 II Tìm hai chữ số tận cùng Phương pháp giải: Để tìm hai chữ số tận cùng luỹ thừa cần chú ý số đặc biệt: + Các số tận cùng 01, 25, 76 … nâng lên luỹ thừa nào 01, 25, 76, … + Các số tận 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 tận cùng 01; GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (22) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 + Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742 tận cùng 76; +Số 26n (n > 1) tận cùng 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng 2100 Giải: Chú ý rằng: 210 = 1024, bình phương số tận cùng 24 thì tận cùng 76, số tận cùng 76 nâng lên luỹ thừa nào tận cùng 76 Do đó: 2100 = (210)10 = (1024)10 = (10242)5 = (…76)5 = …76 Vậy hai chữ số tận cùng 2100 là 76 Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận cùng 71991 Giải: Ta thấy: 74 = 2401, số tận cùng 01 nâng lên luỹ thừa nào tận cùng 01 Do đó: 71991 = 71988 73 = (74)497 343 = (…01)497 343 = (…01) 343 = …43 Vậy 71991 tận cùng 43 III.Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Cần chú ý các chữ số tận cùng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào tận cùng 001, 376, 625 Số tận cùng 0625 nâng lên luỹ thừa nào tận cùng 0625 Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận cùng 51992 Giải: 51992 = (54)498 = (0625)498 = …0625 CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG III – HÌNH HỌC BÀI 1) Cho góc nhọn xOy Điểm H nằm trên tia phân giác góc xOy Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy) a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân b) Gọi D là hình chiếu điểm A trên Oy, C là giao điểm AD với OH Chứng minh BC ⊥ Ox c) Khi góc xOy 60 , chứng minh OA = 2OD BÀI 2)Cho ∆ABC vuông C, có Aˆ 60 , tia phân giác góc BAC cắt BC E, kẻ EK vuông góc với AB (K AB), kẻ BD vuông góc AE (D AE) Chứng minh a) AK=KB b) AD=BC Bài 3: Cho ∆ABC cân A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt K a) Chứng minh BNC= CMB b)Chứng minh ∆BKC cân K GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (23) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 c) Chứng minh BC < 4.KM Bài 4): Cho ∆ ABC vuông A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ) Gọi F là giao điểm AB và DE Chứng minh a) BD là trung trực AE b) DF = DC c) AD < DC; d) AE // FC Bài 5)Cho tam giác ABC vuông A, góc B có số đo 600 Vẽ AH vuông góc với BC, (H ∈ BC ) a So sánh AB và AC; BH và HC; b Lấy điểm D thuộc tia đối tia HA cho HD = HA Chứng minh hai tam giác AHC và DHC c Tính số đo góc BDC Bài Cho tam giác ABC cân A, vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vuông góc với AB E, kẻ MF vuông góc với AC F a Chứng minh ∆BEM= ∆CFM b Chứng minh AM là trung trực EF c Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC C, hai đường thẳng này cắt D Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng Bài 7) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết AB = cm, BC = cm a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng c) Chứng minh hai góc ABG và ACG Bài 8): Cho ∆ABC có AC > AB, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Nối C với D ADC DAC Từ đó suy ra: MAB MAC a Chứng minh b Kẻ đường cao AH Gọi E là điểm nằm A và H So sánh HC và HB; EC và EB Bài 9)Cho ∆ABC ( = 900) ; BD là phân giác góc B (D∈AC) Trên tia BC lấy GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (24) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 điểm E cho BA = BE a) Chứng minh DE ⊥ BE b) Chứng minh BD là đường trung trực AE c) Kẻ AH ⊥ BC So sánh EH và EC Bài 10): Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH a Chứng minh HB > HC b So sánh góc BAH và góc CAH c Vẽ M, N cho AB, AC là trung trực các đoạn thẳng HM, HN Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân Bai 11)Cho góc nhọn xOy, trên cạnh Ox, Oy lấy điểm A và B cho OA = OB, tia phân giác góc xOy cắt AB I a) Chứng minh OI ⊥ AB b) Gọi D là hình chiếu điểm A trên Oy, C là giao điểm AD với OI Chứng minh BC ⊥ Ox Bài 12) Cho tam giác ABC có \ A = 900 , AB = 8cm, AC = 6cm a Tính BC b Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE= 2cm;trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD=AB Chứng minh ∆BEC = ∆DEC c Chứng minh DE qua trung điểm cạnh BC BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bµi : Cho ®a thøc : f(x) = x3 + 3x - vµ g(x) = x3 + x2 - x + a) TÝnh f(x) + g(x) b) TÝnh f(x) - g(x) Bµi 2: a,T×m nghiÖm cña ®a thøc h(x) = 3x3 - 4x + 5x2 - 2x3 + - 5x2 - x3 b,T×m nghiÖm cña ®a thøc: P(y) = 3y + c,T×m nghiÖm cña ®a thøc: f(x) = 2.(x+3) - 5x +2 Bài a.Chøng tá ®a thøc Q(y) = 2y4 + y2 + kh«ng cã nghiÖm b.Chøng tá r»ng ®a thøc f(x) = x2 – 2x + kh«ng cã nghiÖm c Chứng tỏ đa thức g(x) = x2 +4x + không có nghiệm d.Chứng tỏ đa thức h(x) = x2 +6x + 10 không có nghiệm Bµi 4* T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ( hoÆc nhá nhÊt ) cña : a x 125 c x y 10 8 b x y d x x 12 e x2 x2 1 Bài 5: GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (25) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 x 2011 x a,Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = b,Cho hàm số f(x) thoã mãn f(x) + x.f(-x) = x+1 với giá trị x Tính f(1) MỘT SỐ ĐỀ THI – TỰ LUYỆN ĐỀ I Bài (4 ®iÓm) TÝnh : A 1 1 a 3 b B= 2011 2 3 1 3 4 2 12 Bài (4 điểm) Tìm x, y ,z biết: 4+x = và x + y = 55 7+y x y z , x và x + 2y - 3z = -24 b 10 15 a Bµi ( ®iÓm) 42 x a) Cho M = x 15 Tìm số nguyên x để M đạt giỏ trị nhỏ x 1 1 b) Tìm x cho: x 17 Bài ( điểm) Cho tam giác ABC có B < 90 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA c Lấy B’ cho H là trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân Bài (2 điểm) Chứng minh : a+2 b ⋮ 17 ⇔10 a+b ⋮ 17 (a, b Z ) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (4 ®iÓm) GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (26) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 1.a Thực theo bớc đúng cho điểm tối đa 1.b Thực theo bớc đúng cho điểm tối đa Bài 2(4 ®iÓm) a) 28+7 x = 28+4 y x y x+ y = = 4+7 x y 22 = = =2 x=8 ; y=14 11 b) HS ®a vÒ d·y tû sè b»ng nhau: Tìm đợc x = 10; y= 15; z = 20 Bài (4 ®iÓm) x y z x y z 5 ; 42 x a) Cho F = x 15 Tìm số nguyên x để F đạt GTNN 42 x 27 27 Ta thấy F = x 15 = -1 + x 15 đạt GTNN x 15 nhỏ 27 XÐt x-15 > th× x 15 > 27 27 XÐt x-15 < th× x 15 < VËy x 15 nhá nhÊt x-15 <0 27 Ph©n sè x 15 cã tö d¬ng mÉu ©m 27 Khi đó x 15 nhỏ x-15 là số nguyên âm lớn hay x-15 = -1 => x = 14 VËy x= 14 th× F nhá nhÊt vµ F = -28 b x 1 1 2 2 x 1 1 2 2 x 4 x 17 x 1 1 17 2 2 x x x 1 1 17 1 17 2 16 x 17 1 17 16 2 x 24 x 16 2 Bài 4:(6 ®iÓm) a BEH cân B nên E = H1 A D ABC = E + H1 = E ABC = C BEH = ACB b Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH DAH có: DAH = 900 - C GV: NGUYỄN MẠNH THẢO B E H B’ TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG C (27) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 DHA = 900 - H2 = 900 - C DAH cân D nên DA = DH c ABB’ cân A nên B’ = B = 2C B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C C = A1 AB’C cân B’ Bài (1 điểm ) * 3a + 2b 17 10a + b 17 Ta có : 3a + 2b 17 ( 3a + 2b ) 17 27a + 18 b 17 ( 17a + 17b) + ( 10a + b ) 17 10a + b 17 * 10a + b 17 3a + 2b 17 Ta có : 10a + b 17 ( 10a + b ) 17 17 20a + 2b 17a + 3a + 2b 17 3a + 2b 17 ĐỀ II 16 ( ) Bài 1: a) So sánh hợp lý: 10 16 120.6 12 11 b) Tính A = 200 và 1000 () c) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c vµ x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chøng minh r»ng: x = y = z Bài 2: (1,5 Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x x x x d) 2009 2008 2007 2006 ||x +3|−8|=20 c) Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = b) x y z = = và x2 + y2 + z2 = 116 Bài : a) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x là hai giá trị bất kì x; y1, y2 là hai gi¸ trÞ t¬ng øng cña y.TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= b) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d Z GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (28) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3 Chứng minh a, b, c chia hết cho c) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi c) Đường thẳng DN vuông góc với AC d) IM là phân giác góc HIC Đáp án Toán Bài 1: (1,5 điểm): a) Cách 1: Cách 2: 16 16 200 ( ) ( ) = 200 > 12 11 800 1000 () () () ( ) ( 12 ) =( 12 ) 2 3.2.5.2 2.3 b) P 2 2.3 10 200 = 2 200 = 32 > 200 1000 12 10 212.310 310.212.5 12 12 11 11 11 11 3 2.3 1 6.212.310 4.211.311 7.211.311 7.211.311 c) V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c vµ x2 = yz , y2 = xz , z = xy x z y x z y x y z ; ; y x z y x z y z x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng x y z xyz 1 x y z y z x yzx Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) ||x +3|−8|=20 ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 ; |x +3|−8=−20 ⇒ x = 25; x = - 31 |x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28 |x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm x x x x x x x x 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 d) 2009 2008 2007 2006 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (29) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 1 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 x 2010 0 x 2010 Bài 3: a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = ⇒ 3x - = 0; y2 - = ; x - z = b) x y z = = ⇒ x=z= ;y = -1;y = và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ 2 2 2 x y z x + y + z 116 = = = = =4 16 4+ 9+16 29 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2 x1 y2 y y y y y y y2 52 y y 4 x2 y1 y1 3 94 13 3 ) y12 36 y1 6 Víi y1= - th× y2 = - ; Víi y1 = th× y2= b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ) f (0)3 c 3 ) f (1)3 a b c 3 a b3 1 ) f ( 1)3 a b c 3 a b 3 Tõ (1) vµ (2) Suy (a + b) +(a - b) 3 2a 3 a 3 v× ( 2; 3) = b3 Vậy a , b , c chia hết cho 3n2 2n 3n 2n = 3n2 3n n2 2n n n n n n n = (3 1) (2 1) = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n-1) n2 n 2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương c) B H D M I GV: NGUYỄN MẠNH THẢO N TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG A C (30) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 5: a AIC = BHA BH = AI (0,5điểm) b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c AM, CI là đường cao cắt N N là trực tâm DN AC d BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm) mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phân giác HIC ĐỀ III Câu Tìm x biết: b) 3x +x2 = a) x− 1+5 x− 1=162 Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: b) Cho Tính A = a b c d = = = 2b 2c 2d 2a x y z = = c) (x-1)(x-3) < và x +2 y −3 z 2=− 100 (a, b, c, d > 0) 2011 a −2010 b 2011 b −2010 c 2011c −2010 d 2011d −2010 a + + + c +d a+d a+b b+ c Câu a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 27 −2 x 12− x (với x nguyên) Câu a) Cho đa thức f(x) = ax + bx + c Chứng minh f(x) nhận và -1 là nghiệm thì a và c là số đối x 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y 2007 Câu Cho Δ ABC vuông A M là trung điểm BC, trên tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Gọi I và K là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC a) Chứng minh BK = CI và BK//CI b) Chứng minh KN < MC c) Δ ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC Chứng minh các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (31) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,5đ) x− (4,5 đ) (1+5) = 162 x− = 27 => x-1= => x = b) (1,5đ) 3x +x2 = x(3 + x) = x=0 x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < vì x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < ⇔ Câu a) (1,5đ) x y z (3,0 đ) = = Từ ĐIỂM 0,75 0,75 0,75 0,75 ¿ x − 1> x − 3<0 ⇔1< x <3 ¿{ ¿ 0,5 1,0 ta có: 2 2 2 2 x y z x y z x +2 y − z −100 = = = = = = = =4 16 25 18 32 75 − 25 −25 x 2=36 y2 =64 z 2=100 ⇔ ¿ x=6 y=8 ¿ x=10 ( Vì x, y, z cùng dấu) ¿ ¿ ¿ x =−6 ¿ y=− ¿ z=− 10 ¿ 0,75 0,75 b) (1,5 đ) a b c d a b c d Ta có 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d Thay vào tính P = Câu a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta có x + y + xy =2 x + + y(x + 1) = (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + và y + phải là ước Lập bảng ta có: GV: NGUYỄN MẠNH THẢO 0,5 0,5 0,5 0,75 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (32) x+1 -1 -3 y+1 -3 -1 x -2 -4 -4 -2 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 CÂU NỘI DUNG y Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) ĐIỂM 0,5 0,25 b) (1,5 đ) 27 −2 x = 2+ 12− x 12− x A lớn lớn 12− x * Xét x > 12 thì <0 12− x * Xét x < 12 thì > Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử 12− x Q= không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ Vậy để 12− x lớn thì 12-x x Z 12-xnhỏ y 0 y , Dấu "=" xảy y = -3 x 2 Vậy P = 2 x = 11 4 Dấu "=" xảy x = 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 y 2007 + 2007 = 2011 Dấu "=" xảy x = và y = -3 Vậy giá trị nhỏ P = 2011 x = và y = -3 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO 0,25 0,25 A có giá trị lớn là x =11 Câu a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta có: là nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 là nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) và (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a và c là hai số đối b) (2,0 đ) x 2 , x => x Ta có 0,25 0,5 0,5 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (33) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 CÂU Câu (5,5 đ) NỘI DUNG ĐIỂM B K D M H I A C N O O' a) (2,0 đ) - Chứng minh Δ IBM = Δ KCM => IM= MK - Chứng minh Δ IMC = Δ KMB => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ AM = MC => Δ AMC cân M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến Δ AMC => N là trung điểm AC Δ AKC vuông K có KN là trung tuyến => KN = Mặt khác MC = AC BC 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 Lại có Δ ABC vuông A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM) 0,5 ĐỀ IV Bài 1: ( 2,0 điểm) a Tìm x, y biết: b Cho x y = 4+x = và x + y = 22 7+y y z x +3 y+ z = Tính M = và x +4 y+ z Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực tính: a S = 22010 −22009 −22008 − 2−1 b P = 1+ (1+2)+ (1+2+3)+ (1+2+3+ 4)+ + (1+2+3+ +16) 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (34) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Tìm x biết: a b 30 31 =2x 10 12 62 64 45 + 45 + 45 + 45 65 +65 +6 5+ 65 +65 +65 =2 x 5 5 +3 +3 +2 Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA c Lấy B’ cho H là trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm) 28+7 x = 28+4 y 0,25 x y x+ y = = 4+7 x y 22 = = =2 x=8 ; y=14 11 0,25 0,25 x y x y y z y z x y z = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ; 15 20 20 24 15 20 24 x y z x+3 y + z (1) ⇒ = = = 30 60 96 30+ 60+96 x y z x+ y +5 z = (1) ⇒ = = 45 80 120 45+80+120 x +3 y+ z x + y +5 z 2x 3x : = : 30+60+96 45+ 80+120 30 45 x +3 y+ z 245 x +3 y + z 186 =1 ⇒ M = = 186 x +4 y+ z x+ y +5 z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực tính: 2S = 22011 − 22010 −22009 −22 − 2S-S = 22011 − 22010 −22010 − 22009 +22009 − 22+ 22 −2+2+1 S = 22011 − 22010 +1 2011 2011 S ¿ − +1=1 3 4 16 17 + + + .+ 2 16 P = 1+ GV: NGUYỄN MẠNH THẢO (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (35) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 17 ¿ + + + + .+ 0,25 2 2 ¿ ( 1+ 2+ 3+ +17 −1 ) 0,25 17 18 ¿ −1 =76 0,25 2 ( ) Bài 3: ( 2,0 điểm) 30 31 x =2 2 31 26 30 31 x =2 30 30 31 2 x =2 36 x=−36 0,25 0,25 0,25 0,25 65 x =2 35 25 46 66 =2 x 6 6 x =2 12 x =2 ⇒ x=12 0,25 0,25 ()() 0,25 0,25 Bài 4: ( 4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm BEH cân B nên E = H1 ABC = E + H1 = E ABC = C BEH = ACB Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH DAH có: DAH = 900 - C DHA = 900 - H2 =900 - C DAH cân D nên DA = DH Câu c: 1,0 điểm ABB’ cân A nên B’ = B = 2C Hình vẽ: 0,25 0,25 A 0,25 D 0,50 0,25 0,25 0,25 B H B’ E 0,25 0,50 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG C (36) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H AE = HC 0,25 0,25 0,50 ĐỀ V Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2 n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC §¸p ¸n Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) n 16 2 n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (37) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bµi (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 Ta cã: x + => x + NÕu x - + NÕu - - |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) th× x< - Th× |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đờng thẳng, ta có: x–y= (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do đó: x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= y 12 11 33 => x = 12 (giê) (vòng) => x= 33 11 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đờng thẳng là 11 giê Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mçi) §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (38) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Δ ABM = Δ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM E F A B H =>FB // ID => ID AC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) I => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB M BÀI TẬP VỀ NHÀ D : : Bài 1: Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 c) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME * Môn thi : Toán lớp * Thời gian : 120 phút Đ6 Bài 1: (5 điểm) Tìm x biết: a, x + = - GV: NGUYỄN MẠNH THẢO b, x - x – 10 = 12 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (39) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 1 1 1 a b c x= = = x 8 8 8 b+c a+c a+b c, d, Bài 2: (4 điểm) Tính: a) A = + - - + + - - + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003 1 1 1 1 1 1 1 121 b) B = 16 25 Bài 3: (4 điểm) a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30 b) Tìm hai số nguyên dương cho: tổng, hiệu (số lớn trừ số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) hai số đó cộng lại 38 Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân B, có trung tuyến BM Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD) Chứng minh: a) BH = CK b) Tam giác MHK vuông cân * Môn thi: Toán * Thời gian: 120 phút Đ7 Bài 1: (4 điểm) Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, … 1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên dãy trên 2) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy đã cho Bài 2: (4 điểm) Tìm x thỏa mãn: 1) 2003 - |x - 2003| = x 2) |2x - 3| + |2x + 4| = Bài 3: (3 điểm) Vẽ đồ thị hàm số sau: y = |1 - |1 - x|| Bài 4: (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x ; y), cho: 2x - 5y + 5xy = 14 Bài 5: (6 điểm) Cho DABC có các tia phân giác các góc B và C cắt I, các đường phân giác ngoài các góc B và C cắt K Gọi E là giao điểm các đường thẳng BI và KC 1) Tính các góc: BIC , BEC , BKC A = 60o 2) Tính các góc: BIC , BEC , BKC A = ao ( 0o < ao < 180o) * Môn thi: Toán * Thời gian: 120 phút Đ8 Bài 1: (5 điểm) Thực phép tính : GV: NGUYỄN MẠNH THẢO TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (40) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 2: (3 điểm) a + b ab a c = = cd c + d a) Cho b d , chứng minh rằng: b) Tìm số có chữ số, biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số nó tỉ lệ với 1; 2; Bài : (5 điểm) a) Rút gọn biểu thức : A = |x - 1| + |x - 2| ; (x thuộc Q) b) Tìm giá trị nguyên y để biểu thức B = (42 - y)/(y - 15) có giá trị nguyên nhỏ Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác các góc B và C cắt AC và AB E và D a) Chứng minh : BE = CD và AD = AE b) Gọi I là giao điểm BE và CD, AI cắt BC M Chứng minh các tam giác MAB, MAC là các tam giác cân c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC K và H Chứng minh : KH = KC Bài 5: (2 điểm) Cho ABC có AB > AC và A = α Đường thẳng qua A vuông góc với phân giác góc A cắt đường thẳng BC M cho BM = BA + AC Tính số đo B và C ? KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: ( 2,0 điểm) a Tìm x, y biết: b Cho x y = 4+x = và x + y = 22 7+ y y z x +3 y+ z = Tính M = và x +4 y+ z Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực tính: a S = 22010 −22009 −22008 − 2−1 b P = 1+ (1+2)+ (1+2+3)+ (1+2+3+ 4)+ + (1+2+3+ +16) 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) Tìm x biết: 30 31 =2x 10 12 62 64 45 + 45 + 45 + 45 65 +65 +6 5+ 65 +65 +65 =2 x b 5 5 +3 +3 +2 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO a TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (41) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA c Lấy B’ cho H là trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm) 28+7 x = 28+4 y 0,25 x y x+ y = = 4+7 x y 22 = = =2 x=8 ; y=14 11 0,25 0,25 x y x y y z y z x y z = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ; 15 20 20 24 15 20 24 x y z x+3 y + z (1) ⇒ = = = 30 60 96 30+ 60+96 x y z x+ y +5 z = (1) ⇒ = = 45 80 120 45+80+120 x +3 y+ z x + y +5 z 2x 3x : = : 30+60+96 45+ 80+120 30 45 x +3 y+ z 245 x +3 y + z 186 =1 ⇒ M = = 186 x +4 y+ z x+ y +5 z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực tính: 2S = 22011 − 22010 −22009 −22 − 2S-S = 22011 − 22010 −22010 − 22009 +22009 − 22+ 22 −2+2+1 S = 22011 − 22010 +1 S ¿ 22011 − 22011+1=1 3 4 16 17 + + + .+ 2 16 2 17 ¿ + + + + .+ 2 2 ¿ ( 1+ 2+ 3+ +17 −1 ) 17 18 ¿ −1 =76 2 P = 1+ ( ) (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: ( 2,0 điểm) 30 31 =2 x 2 31 GV: NGUYỄN MẠNH THẢO 0,25 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG (42) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP – NĂM HỌC 2012 - 2013 30 31 =2 x 0,25 30 30 31 2 x =2 0,25 36 x=−36 0,25 5 4.4 6.6 =2x 0,25 5 3.3 2.2 6 =2 x 0,25 6 6 x =2 0,25 12 x 0,25 =2 ⇒ x=12 ()() Bài 4: ( 4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm BEH cân B nên E = H1 ABC = E + H1 = E ABC = C BEH = ACB Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH DAH có: DAH = 900 - C DHA = 900 - H2 =900 - C DAH cân D nên DA = DH Câu c: 1,0 điểm ABB’ cân A nên B’ = B = 2C B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C C = A1 AB’C cân B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H AE = HC GV: NGUYỄN MẠNH THẢO Hình vẽ: 0,25 0,25 0,25 A 0,50 D 0,25 0,25 B 0,25 0,25 H B’ E 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 TRƯỜNG THCS KHÁNH THƯỢNG C (43)