b Mọi số tự nhiên lớn hơn 1đêu phân tích được thành thíc các thằ số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất không kể thứ tự các thừa số k.. c ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên [r]
(1)SỐ NGUYÊN I KIẾN THỨC CƠ BẢN : Chia hết và chia có dư: a) Chia hai số nguyên a và b (b 0), tất có cặp số nguyên (q, r) cho a = bq + r, đó ≤ r ≤ | b | q gọi là thương, r gọi là số dư trong phép chia a cho b r = , nghĩa là a = bq, thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội b Kí hiệu: a M b ta còn nói b chia hết cho a hay b là ước a b) Một số tính chất cần lưu ý: ¿ a⋮ b b⋮a +) Nếu thì a = ± b (thêm at, b cùng dấu thì a = b ) ¿{ ¿ ¿ a⋮ b b⋮c +) Nếu thì a ⋮ c ¿{ ¿ ¿ a⋮ m b⋮ m thì a ± b ⋮ m +) Nếu ¿{ ¿ Tổng quát: a1, a2, … , an cùng chia hết cho m thì với các số nguyên x 1, x2, … , xn bất kì ta có a1 x1 + a2 x2 + … + an xn ⋮ m c) Một số dấu hiệu chia hết: - Một số chia hết cho và chữ số tận cùng số đó là số chẵn - Một số chia hết cho và chữ số tận cùng số đó - Một số chia hết cho (cho 9) và tổng các các chữ số số đó chia hết cho (cho 9) Ước chung lớn (ƯCLN) – Bội chung nhỏ ( BCNN) a) Số lớn các ước chung a 1, a2, … , an gọi là ước chung lớn n số đó Kí hiệu: (a1, a2, … , an ) ước chung lớn n số chia hết cho ước số chung bất kì n số đó b) Số đương nhỏ các bội số chung a 1, a2, … , an gọi là bội chung nhỏ n số đó Kí hiệu [ a1, a2, … , an ] Bội chung nhỏ n số là ước bội chung bất kì n số đó c) Các số nguyên a1, a2, … , an gọi là số nguyên tố cùng ước chung lớn chúng ( hay (a1, a2, … , an ) = ) d) Một số kết cần lưu ý: +) Tìm ước chung lớn và bội chung nhỏ n số phương pháp phân tích tích các thừa số nguyên tố ¿ ab ⋮ c +) Nếu (a , c)= thì b M c ¿{ ¿ +) Nếu ( a , c ) = thì ( ab , c ) = ( b , c ) Do đó ( a1 , c ) = ( a2 , c ) = … = ( an, c ) thì (a1 a2 …an , c ) = +) [ a, b ](a, b) = ab +) Nếu A M m1 , A M m2 , … ,A M mn và (mi , mj ) = thì A M m1 m2 mn Số nguyên tố và hợp số (2) a) Số tự nhiên lớn có hai ước số là và chính nó gọi là số nguyên tố Số tự nhiên lớn không là số nguyên tố gọi là hợp số b) Mọi số tự nhiên lớn 1đêu phân tích thành thíc các thằ số nguyên tố và phân tích đó là (không kể thứ tự các thừa số k) c) ước nhỏ lớn số tự nhiên lớn là số nguyên tố d) Tích các thừa số chia hết cho số nguyên tố p thì tất có thứa chia hết cho p II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chia hết và chia có dư Bài toán : (Toán 6) Một số chia cho dư 6, chia cho dư Hỏi số đó chia cho 56 thì dư là bao nhiêu? Phân tích tìm lời giải : Để tìm số dư r chia số nguyên tố a cho số nguyên tố b, ta tìm cách biểu diễn a = bq + r, đó ≤ r ≤ | b |Giải : Cách : (theo đặc điểm riêng 56 t= và – = 1) Gọi số bị chia là a ¿ a = 7q + a = 8q + Từ giả thiết ta có: q1 , q2 ∈ Z ¿{{ ¿ ¿ 8a = 56q 1+ 48 7a = 56q 2+ 35 Do đó q1 , q2 ∈ Z ¿{{ ¿ Suy : a = 8a – 7a = 56(q1 – q2) + 13 Vậy số dư là 13 Cách :( áp dụng cho các bài toán cùng loại) Từ a = 7q1 + = 8q 2+ Ta có: 7q1 – 7q2 = q2 – M Vậy: q2 – = 7t ( t Z) Hay : q2 = 7t + Thay vào ta được: a = 56q2 + 13 Suy số dư là 13 Khai thác lời giải : Với đặc điểm riêng bài toán ta giải cho trường hợp tổng quát Số nguyên tố a chia cho số nguyên tố dương n thì dư r1 , chia cho (n + 1) thì dư r2 Hỏi số a chia cho n (n + 1) thì số dư là bao nhiêu? Giải : ¿ ¿ (n + 1)a = n (n + 1)q1 +(n + 1)r a = nq + r na = n (n + 1)q2 + nr a =(n + 1)q2 + r Ta có : Do đó: q1 , q ∈ Z q1 , q2 ∈ Z ¿{ { ¿{{ ¿ ¿ Suy : a = n(n + 1)(q1 – q2) + (n + 1)r1– nr2 (3) Ta thấy: |(n + 1)r1– nr2 | < n(n + 1) Nếu (n + 1)r1– nr2 thì số dư là (n + 1)r1– nr2 Nếu (n + 1)r1– nr2 < thì đó < n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 < n(n + 1) Ta viết a = n(n + 1)( q1 – q2) + n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 Từ đó suy số dư: n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 Bài toán : Khi chia số nguyên a cho thì dư 2K, chia cho thì dư Hỏi số dư chia số a cho 48 Giải : Theo giả thiết ta có: a = 3q1 + = 8q2 + Do đó: q2 – = 3(3q2 – q1) M Vậy q2 – = 3t ( t Z) Hay q2 = 3t + Thay vào a ta a = 24t + 20 Vì t Z nên có hai khả : t = 2k t = 2k + Với t = 2k thì a = 48k + 20 Số dư là 20 Với t = 2k + thì a = 48k + 44 Số dư là 44 Trả lời : số dư là 20 44 Bài toán : Kí hiệu BSx là bội số nào đó số nguyên x.K a) Chứng minh a = BSb + r thì an = BSb + rn (a, r Z) b) Tìm số dư phép chia 19931992 cho Giải : a) Vì a = BSb + r nên a – r = BS b Ta lại có: an – rn = (a – r)(an-1 + an-2r + … + rn-1) = BSb Hay an = BSb + rn (4)