Ghi chú: + Đáp án là gợi ý của một cách giải, các cách giải khác, đúng, giám khảo căn cứ biểu điểm của từng câu để chấm.. + Điểm của toàn bài không làm tròn..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HƯƠNG TRÀ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 28/02/2012 ––––––––––––––––– Người chấm Mã phách ĐỀ CHÍNH THỨC Điểm Người chấm Câu (2 điểm): Cho biểu thức M = √ x − 21 x −9 √ x+ 20 – √ x +5 + √ x+1 với x √x− √ x −5 và x 16, x 25 a Rút gọn tính giá trị M x = – √ b Tìm tất các giá trị nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên Câu (4 điểm): a+ b+c 2.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x – √ x −2 + 2013 2.1 Cho a 0, b 0, c Chứng minh √ √ a+ √ b+ √ c Câu (4 điểm): 3.1 Cho a1, a2, a3, …, a2012 là 2012 số nguyên có tổng 2012.2013 Đặt P = a31 + 3 a2 + a3 + … + a2012 Chứng minh P chia hết cho 3.2 Cho đa thức f(x) = x2 – x – Hãy tính giá trị biểu thức Q = f(a).f(b).f(c) trường hợp a, b, c là số thực đôi khác và thỏa mãn điều kiện a + 3a2 – 2a = b3 + 3b2 – 2b = c3 + 3c2 – 2c = Câu (4 điểm): ¿ 2(x + y)=3 xy ( y + z)=4 yz 4.1 Giải hệ phương trình 4(x + z)=5 xz ¿{{ ¿ 4.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1): y = 2; (d3): y = – x + 3; (d2): y = 2x – x – Gọi A là giao điểm (d 1) với (d3), B là giao điểm (d2) với (d3) và C là giao điểm (d1) với (d2) Tính diện tích tam giác ABC Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có phân giác góc B ^ A C cắt cạnh BC D Chứng minh AD = AB.AC – DB.DC Câu (4 điểm): Cho AB = BC = CA là ba dây đường tròn (O; R) M là điểm tùy ý trên đường tròn (O; R) Chứng minh MA + MB + MC 4R - Hết - (2) ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HƯƠNG TRÀ Câu Nội dung √ x − 21 x −9 √ x+ 20 Cho biểu thức M = – Điểm √ x +5 + √ x+1 √x− √ x −5 a Rút gọn và tính giá trị M + Với x Câu 1a (1 điểm) + và x √ x+1 √ x −5 √x x √ −4 16, x √ x − 21 ( √ x − 4)( √ x − 5) = √ x − 21 √ x +5 – x −9 √ x+ 20 √x− √ x+1 √ x +5 + = … = √x− √ x −5 25 ta có: M = – + Khi x = – √ = ( √ 2− )2 √x Ta có √ x = √ – ⇒ M = √x− 0,5 √2 −1 = − √ √2 −5 23 = 0,5 b Tìm tất các giá trị nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên √x− √x− + Để ý x Z thì √ x không phải là phân số thực ( √x Ta có M = Câu 1b (1 điểm) =1+ có thể là số nguyên là số vô tỉ) suy M có giá trị nguyên và x là các số nguyên thỏa mãn điều kiện x 0, x 16, x 25 và √ x – là ước số nguyên ⇒ {– 4; – 2; – 1; 1; 2; 4} √x – + Giải và đối chiếu điều kiện ta suy x {0; 4; 9; 36; 64} Cho a 0, b 0, c √ Chứng minh Câu 2.1 (2 điểm) 0,5 √x √a+ √ b+ √ c a+ b+c 3 + ∀ a, b, c ta có ( √ a − √ b ) ⇒ a+b √ ab Tương tự ⇒ b + c √ bc ; c + a √ ac + ⇒ 2(a + b + c) √ ab + √ bc + √ ac 2 ⇒ 3(a + b + c) ( √ a ) + ( √ b ) + ( √ c ) + √ ab + √ bc + 2 √ ac = ( √ a+ √ b+ √c ) ⇒ + a+b+ c ( √ a+ √ b+√ c ) √ ⇒ √a+ √ b+ √ c 0,5 a+ b+c 0,75 0,75 0,5 Câu 2.2 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x – √ x −2 + 2013 + Điều kiện để P xác định là x 0,25 + Với x ta có P = x – √ x −2 + 2013 = … = (√ x − 2− 52 ) 8027 + Vì ( √ x − 2− 2 ) Thi HSG thị xã năm học 2012-2013 với x ⇒ P 8027 + 0,75 0,5 (3) + Do đó P đạt giá trị nhỏ 8027 x = 33 0,5 Cho a1, a2, a3, …, a2012 là 2012 số nguyên có tổng 2012.2013 Đặt P = a31 + a32 + a33 + … + a32012 Chứng minh P chia hết cho + Để ý với số nguyên a thì a3 – a = (a – 1).a (a + 1) là tích ba nên a3 – a ⋮ và a3 – a ⋮ Khi đó vì ƯCLN(2; 0,5 Câu 3.1 số nguyên liên tiếp ⇒ ⋮ a –a (1) (1,5 điểm) 3) = nên + Từ (1) suy P – (a1 + a2 + a3 … + a2012) = ( a31 – a1) + ( a32 – a2) + … 0,5 + ( a2012 – a2012) chia hết cho (2) 0,5 + Vì a1 + a2 + a3 … + a2012 = 2012.2013 ⋮ (3) Do đó, từ (2) và (3) ta 3 3 ⋮ suy P = a1 + a2 + a3 + … + a2012 Cho đa thức f(x) = x2 – x – Hãy tính giá trị biểu thức Q = f(a).f(b).f(c) trường hợp a, b, c là số thực đôi khác và thỏa mãn điều kiện a + 3a2 – 2a = b3 + 3b2 – 2b = c3 + 3c2 – 2c = + Từ a3 + 3a2 – 2a = ⇒ … ⇒ (a + 3)(a – √ )(a + √ ) = 0,75 ⇒ a {– 3; – √ ; √ } Câu 3.2 (2,5 điểm) + Tương tự ⇒ b, c {– 3; – √ ; √ } Khi đó vì a, b, c là số thực đôi khác ⇒ a, b, c là ba phần tử tập hợp {– 3; – 0,5 ; } √2 √2 + Ta lại có f(x) = x2 – x – = (x + 1)(x – 2) Vậy Q = f(a).f(b).f(c) = (– + 0,75 1)(– – 2)(– √ + 1)(– √ – 2)( √ + 1)( √ – 2) = – 20 ¿ 2( x + y)=3 xy ( y + z)=4 yz Giải hệ phương trình 4( x + z)=5 xz ¿{{ ¿ + Từ hệ đã cho ta thấy ba số x; y; z thì suy hai số còn lại (x; y; z) = (0; 0; 0) là nghiệm hệ + Trường hợp xyz 0: Câu 4.1 (2 điểm) ¿ 2(x + y)=3 xy ( y + z)=4 yz 4(x + z)=5 xz ¿{{ ¿ ¿ 17 = x 24 19 = y 24 13 = z 24 ¿{{ ¿ ⇒ ⇔ ¿ 24 x= 17 24 y= 19 24 z= 13 ¿{{ ¿ ¿ 1 + = x y 1 + = y z 1 + = z x ¿{{ ¿ ⇒ 1 + + x y z = 49 24 ⇒ + Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( Câu 4.2 24 24 24 ; ; ) 17 19 13 + Vẽ ba đường thẳng (d1) , (d2), (d3) Thi HSG thị xã năm học 2012-2013 0,25 1,25 0,5 0,75 (4) + Tính đúng tọa độ các giao điểm A(–3; 2); B(0; – 2); C(3; 4) (2 điểm) + SABC = SABM + SCBM = 0,75 BM.(AD + CE) = 15 (đơn vị diện tích) 0,5 y x -2 Dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi E là giao điểm (O) và AD ^C = A ^ + AB EC ; B ^ AD = Câu (2 điểm) A 0,5 E^ AC ⇒ Δ BAD Δ EAC ⇒ AB AD = AE AC ⇒ AB.AC = AD.AE = AD.(AD O B 0,5 + DE) = AD2 + AD.DE (1) + Ta lại có Câu (4 điểm) Δ BDA C D E Δ EDC ⇒ BD = DA DE DC ⇒ DB.DC = AD.DE (2) + Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC = AD2 + DB.DC ⇒ AD2 = AB.AC – DB.DC Cho AB = BC = CA là ba dây đường tròn (O; R) M là điểm tùy ý trên tròn (O; R) Chứng minh MA + MB + MC 4R – Trường hợp điểm M thuộc cung A nhỏ BC và không trùng với C (hoặc B) + Trên đoạn MA lấy điểm D cho MD = MB Tam giác MBD là tam O giác (?) D Δ ABD = Δ + Lập luận ⇒ C CBM ⇒ MC = DA M + ⇒ MA + MB + MC = MA + (MD + DA) = 2MA + Vì MA OA + OM = 2R ⇒ MA + MB + MC = 2MA 4R + Dấu “=” xảy và AM là đường kính (O; R) – Trường hợp M trùng với B (hoặc C) thì MB = và MA + MB + MC = Thi HSG thị xã năm học 2012-2013 1,0 đường 1,5 0,5 0,5 0,5 (5) BA + BC < (OB + OA) + (OB + OC) = 4R nên kết luận đúng – Trường hợp điểm M thuộc cung nhỏ BA AC: Chứng minh tương tự – Tóm lại: Với điểm M thuộc (O; R) thì MA + MB + MC 4R 0,5 0,5 Ghi chú: + Đáp án là gợi ý cách giải, các cách giải khác, đúng, giám khảo biểu điểm câu để chấm + Biểu điểm chi tiết (đến 0,25) các câu, tổ giám khảo bàn bạc, thống + Điểm toàn bài không làm tròn Thi HSG thị xã năm học 2012-2013 (6)