Đề thi khối D năm nay khá cơ bản, cần sự thận trọng trong tính toán với: + Câu 1b: là dạng quen thuộc, sử dụng định lý Viet và học sinh chỉ cần cẩn thận thì có thể dễ dàng tìm ra được gi[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn Toán; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m là tham số thực Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x xy x 0 2 Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x x y x y xy y 0 (x, y R) /4 I x(1 sin 2x)dx Câu :(1,0 điểm) Tính tích phân Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Câu (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD có phương trình là x + 3y = và x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M ( ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường tròn có bán kính 2(1 2i ) 7 8i Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + i Tìm môđun số phức w = z + + i B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A và B, cắt trục Oy C và D cho AB = CD = x y 1 z 1 và Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = trên tập hợp các số phức (2) Đề thi khối D năm khá bản, cần thận trọng tính toán với: + Câu 1b: là dạng quen thuộc, sử dụng định lý Viet và học sinh cần cẩn thận thì có thể dễ dàng tìm giá trị m + Câu : Đây là phương trình lượng giác dạng bản, đã gặp các kỳ thi trước + Câu : Đây là câu phương trình khá hay, học sinh khéo léo biến đổi phương trình dạng phương trình tích, sau đó vào phương trình + Câu 4: Đây là dạng toán tích phân bản, học sinh trung bình khá có thể làm câu này + Câu 5: Câu hình học không gian là câu dễ, cần tính toán cẩn thận là có thể giải xong bài toán + Câu : Đây là câu hay, tương đối khó, học sinh phải khéo léo chuyển sang biến và xét điều kiện biến và sau đó khảo sát biến miền giả thiết là có thể giải xong bài toán Đây là câu phân loại học sinh đề thi này BÀI GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI D NĂM 2012 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m là tham số thực Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Khi m= 1, ta có : y = x – x – 4x + *Tập xác định : D = R * Sự biến thiên : , , - Chiều biến thiên : y 2 x x y 0 x x 0 x = -1 x = - Các khoảng đồng biến trên (∞; -1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến trên (-1; 2) - Cực trị : Hàm số đạt cực đại x 1, yCD 3; đạt cực tiểu x 2, yCT lim y - Giới hạn : x - Bảng biến thiên : x y’ y và lim y x -1 + + + + -6 1 - Đồ thị cắt trục Oy y = ; y" = 4x – 2; y” = x = Điểm uốn I ( ; ) *Đồ thị : y -1 x -6 b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = (3) Ta có y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) Hàm số y có cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt 2 ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 13m2 – > m < 13 m > 13 Gọi x1, x2 là nghiệm y’ = với x1x2 + 2(x1 + x2) = -(3m2 – 1) + 2m = m(3m – 2) = m = (loại) hay m = (nhận) Vậy giá trị m cần tìm là m = Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x Phương trình đã cho sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = cos2x cos2x cos2x ( 2sinx + 2cosx - ) = cos2x = x = k (với k Z) sin( x ) 2sinx + 2cosx - = 7 k 2 k 2 x = 12 x = 12 (với k Z) xy x 0 2 Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x x y x y xy y 0 (x, y R) xy x 0 x y x y 1 0 Hệ phương trình đã cho x3 x 0 2 x x 0 x y 0 2 x y 0 xy x 0 x 1 Với x y y 1 xy x 0 Với y 2 x 1 x y Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x; y) : (1;1); ( 1 x y 1 1 ; 5); ( ; 5) 2 /4 Câu :(1,0 điểm) Tính tích phân I x(1 sin 2x)dx Đặt u = x du = dx; dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x /4 x ( x cos x) I= 2 Vậy I 32 /4 ( x cos x)dx /4 x sin x 2 16 32 = Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a (4) *Vì A’C = a : Tam giác A’AC vuông cân A AC C/ D/ a = B’B => A’A = Tam giác ABC vuông cân B A/ a a BC 2 = B’C’ => AB = a2 SB, BC , => B/ H D C A B a a a V 2 24 Thể tích khối tứ diện ABB’C’là * Hạ AH vuông góc A’B Vì (A’AB) ( BCD’) => d(A,BCD/) = AH = h 1 a h 2 h a a 2 Trong tam giác vuông A’AB ta có : Câu (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4) + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) 2 * ( x 4) ( y 4) xy 32 ( x y ) 8( x y ) 0 x y 8 xy ( x y )2 2 ( x y ) 0 ( x y ) 4 xy 3 (1) (2) A = x y 3( xy 1)( x y 2) = ( x y ) xy 3( x y ) ( x y ) 3( x y ) Từ (2) => A t t 3t f’(t) = 3t 3t * Đặt t = x + y với ( t 8 ), xét f(t) = 1 1 t t 0 t > ( nhận); t = < ( loại); f’(t) = ( x y )3 1 17 5 Ta có : f(0) = 6, f(8) = 398, f( ) = 17 5 1 Vậy giá trị nhỏ f(t) = xảy t = 17 5 1 A f(t) Dấu xảy x = y và x + y = 17 5 1 Vậy giái trị nhỏ A = xảy x = y = II - PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD có phương trình là x + 3y = và x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M ( ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD (5) C D k M j P Q I O N B A x y 0 Điểm A có các toạ độ là nghiệm hệ x y 0 => A(-3; 1) Đường thẳng qua M và // AD cắt AD (N AC) MN : 3x – 3y + = x y 0 => N có toạ độ là nghiệm hệ 3x y 0 => N(-1; ) 2 ; Gọi I là trung điểm MN => I ( 3 ) 2 ( x ) ( y ) 0 3 * (PQ) qua I và // AB có phương trình : (PQ): x + y = x y 0 * (PQ) giao với (AD) P có toạ độ : x y 0 => P(-2; 2) x y 0 *(PQ) giao với (AC) O có toạ độ : x y 0 => O(0; 0) đó là gốc toạ độ => O(0;0) là tâm đối xứng hình chữ nhật ABCD - Vì P là trung điểm AD => D(-1; 3) - C đối xứng với A(-3; 1) qua O => C(3; -1) - B đối xứng với D(-1; 3) qua O => B(1;-3) Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường tròn có bán kính Mặt phẳng (Q) qua I và vuông góc với (P), cắt mặt cầu và (P) theo tiết diện hình vẽ : Tam giác vuông IOA có: IA = R và OA = r 10 I 3 IO = d(I, (P)) = ; 2 IA = IO + OA = + 16 = 25 R = Vậy phương trình mặt cầu cấn viết : (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25 A O B 2(1 2i ) 7 8i Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + i Tìm môđun số phức w = z + + i Số phức z thoã mãn: (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = + 8i (2 + i)z + + i – 2i2 = + 8i (2 + i)z = 7i + (7i 4)(2 i) 3 2i z = (2 i)(2 i) => w = + 3i w 16 5 Vậy mô đun số phức w cần tìm : (6) B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A và B, cắt trục Oy C và D cho AB = CD = Đường tròn ( C) cần viết có tâm I (d): y = 2x – y + = I (t; 2t + 3) Theo bài ( C) cắt Ox A, B và cắt Oy C,D => AB và CD là hai dây cung Vì AB = CD = khoảng cách từ I đến Ox và Oy => t = 2t + 3 t 4t 0 t = -1 t = -3 Với t = -1 I (-1; 1) R = t 12 (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2 Với t = -3 I (-3; -3) R = t 10 (C) : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 x y 1 z 1 Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M AM Điểm M (d) => M (2t + 1; - t - 1; t) => = (2t; -t; t – 2) và BM = (2t – 1; -t; t) Tam giác AMB vuông M => AM BM = 6t2 – 4t = t = t = Với t = => M (1; -1; 0) ; ; Với t = => M ( 3 ) Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = trên tập hợp các số phức Phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = có = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2 3(1 i ) (1 i) 3(1 i ) (1 i ) 2 z1 = = - – 2i; z2 = =-2-i Vậy phương trình có hai nghiệm : z = -1 – 2i ; z = -2 – i -HẾT (7)