11-ĐẠO HÀM

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM BUỔI 1: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đạo hàm: ' ' Đạo hàm f (x ) x0 , kí hiệu f ( x0 ) hay y ( x0 ) f (x + ∆x) − f (x ) f (x) − f (x ) f ' (x ) = lim = lim ∆x →0 x→x0 ∆x x − x0 Quy tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm *Các quy tắc : Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C : số • ( u ± v ) ' = u '± v ' • ( u.v ) ' = u '.v + v '.u ⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′ C.u ′  u  u '.v − v '.u  C ′ , v ≠ ⇒ ( )  ÷=  ÷ =− 2 v u v u • Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′x = yu′ u′x *Các cơng thức : • ( C )′ = ; ( x)′ = • • ( x ) ′ = n.x • ( x )′ = 21x n ( ) ′ = n.u n −1 ⇒ un , ( x > 0) ⇒ u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ ) n −1 ( u ) ′ = 2u′u , ( u > 0) B KĨ NĂNG CƠ BẢN * Các bước tính đạo hàm định nghĩa: + Bước 1: Giả sử ∆x số gia đối số xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) ∆y + Bước 2: Tính lim suy f′(xo) x → x o ∆x *Cơng thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : (ab'− a' b) x + 2(ac '− a' c ) x + (bc '−b' c) ax + bx + c  Dạng : y = ⇒ y’ = ( a ' x + b' x + c ' ) a ' x + b' x + c ' ad x + 2ae.x + (be − dc) ax + bx + c  Dạng : y = ⇒ y’ = (dx + e) dx + e ad − cb ax + b  Dạng : y = ⇒ y’ = (cx + d ) cx + d C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tốn 1: Tính đạo hàm định nghĩa: Bài tập 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số sau: a) y = x2 + x x0 = x +1 b) y = x = x −1 Lời giải a) y = x2 + x x0 = Gọi ∆x gia số x x0 = ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) Ta có = f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x) + (1 + ∆x) − = + 2∆x + ∆x + + ∆x − = ∆x + 3∆x ∆y ∆x + 3∆x ∆x (∆x + 3) lim = lim = lim = lim (∆x + 3) = ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f ' (1) = x +1 b) y = x = x −1 Gọi ∆x gia số x x0 = ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) Ta có ( + ∆x ) + ∆x + ∆x = f (0 + ∆x) − f (0) = − (−1) = +1 = ( + ∆x ) − ∆x − ∆x − ∆y 2∆x 2∆x = lim = lim = lim = −2 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x − ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x − 1) ∆x →0 ∆x − f ' (0) = −2  Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) khoảng (a;b) x ∈ (a; b) định nghĩa ta cần tính ∆y ∆y ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) sau lập tỉ số tìm giới hạn ∆x tiến dần ∆x ∆x Bài tốn 2: Tính đạo hàm hàm số theo quy tắc Dạng 1: Tính đạo hàm Tổng, Hiệu, Tích, Thương Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: 2x − a) y = x + + b) y = x − x − x + c) y = d) y = (9 − x)(3 x − x + 1) x x+4 Lời giải: a) y = x + + x lim ' ( ' ) '   1  ' y ' =  x + +  = x +   + ( 3) = 10 x +  − x    x  x b) y = x − x − x + ( ) ( ) ( ) ( ' '   = 10 x − x  ) y ' = x − x − x + = x '−5 x − x '+(1) ' = x − 15 x − x 2x − c) y = x+4 ' ' ' 11  x −  (2 x − 3) ( x + 4) − ( x + 4) (2 x − 3) 2( x + 4) − (2 x − 3) x + − x + y' =  = = = =  2 ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4)  x+4  d) y = (9 − x)(3 x − x + 1) '   y ' = (9 − x)(3 x − x +1) = (9 − x) ' (3 x − x + 1) + (3 x − x + 1) ' (9 − x) = −2(3 x − x + 1) + (6 x − 3)(9 − x) = −6 x + x − + 54 x − 12 x − 27 + x = −18 x + 66 x − 29  Nhận xét: Để tìm đạo hàm hàm số y = f (x) ta cần xác định dạng hàm số áp dụng công thức phép tốn đạo hạm để tính đạo hàm hàm số Dạng 2: Tính đạo hàm hàm hợp Bài tập 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (2 x + x − 3)1994 ; ( x5 ; c) y = b) y = 2 x −1 d) y = x − x − ) Lời giải: a) y = (2 x + x − 3)1994 y' = 1994(2x + 4x − 3)1993 (2x + 4x − 3) ' = 1994(2x + 4x − 3) c) y = 1993 (8x + 4) x5 b) y = 2 x −1 y =2 (2 x − 1) ' ' 2 x − 1) 4x = x − 1) ) ( y = ( x − x − )    = 3( x − x − ) ( x − x − ) = 3( x − x − ) ( x ) − 2( x − ) ( x − 2) = 15( x − x − ) x − 2 x −2 2x = 15( x − x − ) x − x −2 d) y = x − x − ' ( x )' 5x 10   y ' = 2  = −2 = −2 10 = − x x x  x5 ( ) ' 5 5 2 ' 5 ' ' 2 ' ' 2 Bài toán 3: Giải bất phương trình  Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số f (x ) g (x) (nếu có) Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình thay f ' ( x) g ' ( x) (nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x Bước 3: Lập bảng xét dấu kết luận tập nghiệm bất phương trình Bài tập 4: Giải bất phương trình sau: a) f ' ( x) < ,với f ( x) = x − x + x 2 x + 3x − b) g ' ( x) ≤ ,với g ( x) = x−2 3 c) f ' ( x) < g ' ( x) ,với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + x Lời giải: a) f ' ( x) < 0, với f ( x) = x − x + x Ta có f ' ( x) = x − x + Mà f ' ( x) < ⇔ x − x + < ⇔2< x