Bài II 2,0 điểm Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong 5 giờ thì xong.. Nếu mỗi người làm.[r]
(1)SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn thi : Toán Năm học: 2012 – 2013 Ngày thi : 21 tháng năm 2012 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) x 4 x Tính giá trị biểu thức A x = 36 1) Cho biểu thức x x 16 B : x 4 x x 2) Rút gọn biểu thức (với x 0, x 16) A 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) là số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung công việc thì xong Nếu người làm mình thì thời gian để người thứ hoàn thành công việc ít người thứ hai là Hỏi làm mình thì người phải làm bao nhiêu để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 x y 2 1 1) Giải hệ phương trình x y 2 2) Cho phương trình : x (4m 1) x 3m 2m 0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có 2 hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện x1 x2 7 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC H Gọi K là hình chiếu H trên AB 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân C 4) Gọi d là tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P là điểm nằm trên d AP.MB R cho hai điểm P, C nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB và MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ x2 y2 biểu thức M = xy Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: (2) Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐÁP AN - THANG ĐIỂM (DỰ KIẾN) Gv : Nguyễn Thị Xuyến - Trường THCS Nam Phương Tiến B – Chương Mỹ - Hà nội Câu Nội dung 1) Với x = 36, ta có : A = 0,75 36 10 36 2) Với x 0, x 16 ta có : 1,25 x( x 4) 4( x 4) x (x 16)( x 2) x 2 x 16 x 16 x 16 B= = (x 16)(x 16) x 16 Bài I x 2 x 4 x 2 2 B( A 1) (2,5 đ) x 16 x x 16 x x 16 3) Ta có: Để B( A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước 2, mà Ư(2) = Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 2 x 17 15 18 14 1; 2 x 14; 15; 17; 18 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B( A 1) nguyên thì 0,25 0,25 Gọi thời gian người thứ hoàn thành mình xong công việc là x (giờ), 0,5 x 12 ĐK Thì thời gian người thứ hai làm mình xong công việc là x + (giờ) 1 Mỗi người thứ làm x (cv), người thứ hai làm x (cv) Bài II (2,0đ) 12 Vì hai người cùng làm xong công việc nên hai đội 12 1: làm = 12 (cv) 1 0,5 Do đó ta có phương trình x x 12 Giải phương trình : x = thỏa mãn đk ẩn Vậy người thứ làm xong công việc và người thứ hai làm xong công việc Bài III (1,5 đ) 0,25 2 x y 2 1 1)Giải hệ: x y , (ĐK: x, y 0 ) 0,5 0,25 0,75 (3) 4 x y 4 1 Hệ x y 4 4 x x 2 x y 10 5 x 2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 1 .(TMĐK) Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1) 2) = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m 0,25 b c a = 4m – và x1.x2 = a = 3m2 – 2m 0,25 Ta có : x1 + x2 = Do đó, theo bài ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = 0,25 3 m = hay m = Bài IV (3,5 đ) 0,25 Q C M H P A E K O B 1) Tứ giác CBKH có hai góc đối HCB HKB 90 khẳng định tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính HB 2) Góc ACM ABM chắn cung AM và ACK HCK HBK vì cùng chắn cung HK Vậy ACM ACK 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 3) Xét tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và góc MAC = MBC vì cùng chắn cung 0,5 MC nên tam giác đó 0 0,5 ta có CM = CE và CMB 45 vì chắn cung CB 90 Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM và OBM (4) Câu V (0,5 đ) AP.MB AP OB R MA MA MB Mặt khác ta có PAM ABM vì Theo giả thuyết ta có 0,25 cùng chắn cung AM tam giác trên đồng dạng Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM 0,25 nên PA = PQ P là trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ) x2 y2 M = xy với x, y là các số dương và x 2y x(2y) x 4y x y 3y 2 2 4(x y ) (Bất đẳng thức Cauchy) Ta có M 2(x y ) 4(x y ) 3y 3y 2 2 = 4(x y ) 4(4y y ) 20 (Thay mẫu số số nhỏ hơn) Suy Max M x = 2y, đó giá trị nhỏ M = đạt x = 2y CÁCH CÁCH GIẢI CÂU (Tham khảo ) Cách 1(không sử dụng BĐT Co Si) x y ( x xy y ) xy y ( x y ) xy y ( x y ) 3y 4 xy xy xy x Ta có M = xy = Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y y 3y x , dấu “=” xảy x = 2y x ≥ 2y x Từ đó ta có M ≥ + - = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M là , đạt x = 2y Cách 2: x2 y x2 y x y x y 3x ( ) xy xy y x 4y x 4y Ta có M = xy x y x y x y 2 1 ; y x y x y x Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ta có , dấu “=” xảy x = 2y x x 2 y , dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y y Từ đó ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M là , đạt x = 2y Cách 3: 0,25 0,25 (5) x2 y x2 y x y x 4y 3y ( ) xy xy y x y x x Ta có M = xy x 4y x 4y x 4y 2 4 ; y x y x y x Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ta có , dấu “=” xảy x = 2y y 3y x , dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y x Từ đó ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M là , đạt x = 2y Cách 4: x2 x2 3x x2 x2 y2 y2 y2 y2 x y 3x 3x 4 4 xy xy xy xy xy 4y Ta có M = xy 2 x2 x2 x2 2 y 2 y xy ;y Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ta có , dấu “=” xảy x = 2y x x 2 y , dấu “=” xảy x = 2y Vì x ≥ 2y y xy 3 Từ đó ta có M ≥ xy + = 1+ = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M là , đạt x = 2y (6)