yoan kho

Phơng pháp 3: Dùng định lý về phép chia có d §Ó chøng minh An p ta xÐt vÒ mäi trêng hîp vÒ sè d... Kiểm nghiệm các giá trị tìm đợc n.[r]

Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, b 0 , đó có số nguyên q, r r  b cho : a bq  r víi , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th¬ng sè vµ r lµ sè d Đặc biệt với r = thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ớc cña a, ký hiÖu a b VËy a b  cã sè nguyªn q cho a = b.q b) TÝnh chÊt a) NÕu a b vµ bc th× a c  b) NÕu a b vµ ba th× a = b c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = th× a bc d) NÕu abc vµ (c,b) = th× a c TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch - NÕu - NÕu - NÕu ¿ a⋮m b⋮m } ¿ ¿ a⋮m b⋮m } ¿ ¿ a⋮m b⋮m } ¿ → a+b ⋮ m → a− b ⋮ m → a b ⋮m - NÕu a ⋮ m→ a ❑n ⋮ m (n lµ sè tù nhiªn) §ång d thøc a) §Þnh nghÜa : Cho sè nguyªn m > NÕu sè nguyªn a, b cho cïng sè d chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo môđun m KÝ hiÖu : a b(mod m) b) TÝnh chÊt a) a b(mod m)  a c b c(mod m) b) a b(mod m)  na nb(mod m) n n c) a b(mod m)  a b (mod m) d) a b(mod m)  ac bc(mod m) Vấn đề 1: Ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt Ph¬ng ph¸p 1: Dïng tÝnh chÊt Trong n ( n 1) sè nguyªn liªn tiÕp cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho n Ph¬ng ph¸p 2: Dïng c«ng thøc khai triÓn a n  b n a  b, (a b)n  N a n  b n a  b nÕu n lÎ a n  b n a  b nÕu n ch½n ( a  b) (a  b)n bn (mod a ) Phơng pháp 3: Dùng định lý phép chia có d §Ó chøng minh An p ta xÐt vÒ mäi trêng hîp vÒ sè d Khi chia n 1; 2; ;  p nÕu p lÎ cho p cã thÓ d lµ 0; 1; 2; ; p - hoÆc lµ Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông nguyªn t¾c §irichlet NÕu ®em n + vËt xÕp vµo n ng¨n kÐo th× cã Ýt nhÊt mét ng¨n kÐo chøa tõ vËt trë lªn Ph¬ng ph¸p 5: Dïng quy n¹p to¸n häc Ta cÇn chøng minh A(n)p (1) víi n = 1; 2; 1) Ta chứng minh (1) đúng với n = 1, nghĩa là A(1)p 2) Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là ta có A(k )p 3) Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là phải chứng minh A(k  1)p Ph¬ng ph¸p 6: Dùng định lý Fermat p Víi P lµ sè nguyªn tè ta cã: a  p(mod p) p §Æc biÖt nÕu (a,p) =1 th× a 1(mod p) 1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản a Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125 an an  a1a0 2  a0 2  a0 0; 2; 4; 6;8 an an  a1a0 5  a0 0;5 an an  a1a0 4 ( hoÆc 25)  a1a0 4 ( hoÆc 25) an an  a1a0 8 ( hoÆc 125)  a2 a1a0 8 ( hoÆc 125) b) Chia hÕt cho 3; an an  a1a0 3 (hoÆc 9)  a0  a1   an 3 ( hoÆc 9) NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( hoÆc 9) còng chÝnh lµ d phÐp chia tæng c¸c ch÷ sè cña N cho ( hoÆc 9) 1) Chøng minh kh«ng chia hÕt - NÕu a b vµ b c th× a c - NÕu a c vµ b c th× c b c - NÕu abp th× a p hoÆc bp víi p lµ sè ngyuªn tè - Sè chÝnh ph¬ng( lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn ) chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× sÏ chia hÕt cho p2 VËy nÕu np nhng n  p th× n lµ sè chÝnh ph¬ng VÝ dô 11 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n : a) n  n  9 b) n  11n  39 49 Gi¶i: 2 a)Với n = 3k thì n  n  3 đó n  n  9 2 Víi n = 3k + th× n  n  (3k  1)  (3k  1)  9(k  k )  9 2 Với n = 3k+2 thì n  n  1(mod 3) đó n  n  9 VËy n  n  9 ví mäi n 2) Tìm số tự nhiên n để a(n)B(n) Phơng pháp: Giả sử có A(n), ta biến đổi dùng phép chia đa thức đẻ đến số m B(n) , từ đó suy n Kiểm nghiệm các giá trị tìm đợc n 3) Bµi tËp vÒ sè chÝnh ph¬ng Ph¬ng ph¸p 1: Dïng tÝnh ch½n lÎ VÝ dô 13 Chøng minh r»ng sè chÝnh ph¬ng cã chøa ch÷ sè lÎ ë hµng chôc th× chữ số hàng đơn vị luôn Gi¶i: Gi¶ sö sè chÝnh ph¬ng cã d¹ng nb (10n  b) , n  N ; b 9  nb 100n  20nb  b 20n(5n  b)  b Ch÷ sè hµng chôc cña 20n(5n + b) lµ ch½n nªn theo gi¶ thiÕt ch÷ sè hµng chôc b2 phải lẻ, từ đó suy b = 6; Khi đó b2 = 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị nb luôn Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông chia hÕt vµ chia cã d Ph¬ng ph¸p Sö dông tÝnh chÊt a) Nếu a là số chính phơng và ( a, b) = thì a và b là số chính phơng 2 b) NÕu cã sè nguyªn m cho m  n  (m  1) th× n kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng