Đang tải... (xem toàn văn)
Xác định vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.... Phương trình đã cho tương đương với: 2..[r]
(1)TRÍCH TỪ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG MÔN : TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Đề Bài 1: ( 2.5 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: ab(a – b) – ac(a + c) + bc( 2a + c – b) b) Tính giá trị phân thức : A = x−y , biết 2x2 + 2y2 = 5xy và y > x > x+ y Bài 2: ( điểm) a) Giải và biện luận phương trình: x – ax2 - với x là ẩn số, a và b là tham số b) Cho tích xyzt Nếu thêm y vào x thì tích tăng thêm a Nếu thêm z vào y thì tích tăng thêm b Nếu thêm t vào z thì tích tăng thêm c Nếu thêm x vào t thì tích tăng thêm d Chứng minh rằng: abcd = x4y4x4t4 Bài 3: ( 1.5 điểm) Tìm tất các số tự nhiên x ( x ≠ 3) ; cho x3 – chia hết cho x – Bài 4: ( điểm) Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, đường cao AH M là điểm bất kì thuộc cạnh BC và I là trung điểm AM Hạ MD và ME vuông góc với AB và AC a) Tứ giác DIEH là hình gì? Chứng minh b) Chứng minh IH, DE, MG đồng quy c) Trên cạnh AC lấy điểm N cho BM = CN Xác định vị trí M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn ĐÁP ÁN Bài 1: (2.5 điểm) a) Nhận xét rằng: 2a + c – b = (a + c) + (a – b) Nên: ab(a – b) – ac(a + c) + bc(2a + c – b) =ab(a – b) – ac(a + c) + bc(a + c) + bc( a – b) 0.25đ 0.25đ (2) = (a – b) (ab + bc) – (a + c) (ac – bc) = b( a- b)(a + c) – c(a + c)(a – b) = (a – b)(b – c)(a + c) b) Ta có : 0.25đ 0.25đ 0.25đ x 2+ y −2 xy x + y +2 xy x 2+ y −4 xy ¿ 2 x +2 y + xy xy − xy ¿ = xy +4 xy A 2= 0.25đ 0.25đ Suy A = 1/3 A = -1/3 Vì y > x > nên: x + y > và x – y < Do đó: A < Vậy A = -1/3 0.25đ 0.25đ 0.25đ Bài 2: (3 điểm) a) Điều kiện: x ≠ ± b Phương trình đã cho tương đương với: 2 x −b 2 x −b ⇔ x −a x+ a=1 ⇔ x (1 −a 2)=1 − a 0.25đ x – a2x + a = 0.25đ (*) Biện luận: - Nếu : a ≠ ± thì + Với : + Với : a+1 a+1 x= a+1 ≠ ± b thì PT có nghiệm x= a+1 = ± b thì PT vô nghiệm - Nếu a = -1 (*) thành: 0x = PT vô nghiệm - Nếu a = (*) thành: 0x = PT có vô số nghiệm x ≠ ± b b) Theo đề bài ta có: (x + y) yzt = xyzt + a , suy : a = y2zt (1) x (y + z) zt = xyzt + b, suy : b = xz2t (2) xy (z + t) t = xyzt + c , suy : c = xyt (3) xyz (t+ x) = xyzt + d, suy : d = x2yz (4) Nhân (1),(2),(3),(4) ta điều phải chứng minh Bài 3: (1.5 điểm) x3 – = x3 – 27 + 24 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 24 Theo yêu cầu đề bài (ycđb) : x3 – chia hết cho x -3 Suy : 24 chia hết cho x – hay x – là ước 24 Vậy x – có thể nhận các giá trị : 1,2,3,4,6,8,12,24,-1,-2,-3…… Vì x là số tự nhiên nên x – ≥ -3 và x ≠ 3, ta có : x – = -3 suy : n = 0,… (tính tất các trường hợp) Bài 4: (3 điểm) a) ID = ½ AM, IH = ½ AM (đường trung tuyến tam giác vuông) Suy ID = IH, nên tam giác IDH cân I Ngoài ra: DIH = DAH = 600 Nên tam giác DIH 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ 0.25đ (3) Tương tự, tam giác IHE Vậy DIEH là hình thoi b) Gọi S là trung điểm AG, O là giao điểm HI và DE Tam giác HIS cho : OG // IS Tam giác AMG cho : MG // IS Từ đó có M, O, G thẳng hàng Kết luận IH, DE, MG đồng quy O c) Gọi P và Q là hình chiếu M và N trên AB Tam giác vuông AQN có góc A = 600 là nửa tam giác đều, nên AQ = ½ AN Tương tự, PB = ½ BM, suy PB = ½ NC Do đó AQ + PB = ½ AN + ½ NC = ½ AC Ta có MN ≥ PQ = AB – (AQ + PB) = AB – AC/2 = AB / (không đổi) Dấu xảy và MN = PQ = AB/2 Khi đó M, N là trung điểm BC và AC 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (4)