Tích phân shnirelman và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đồn Nhật Lâm TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đồn Nhật Lâm TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh-2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn viết hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Bằng kiến thức mà tiếp nhận từ quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, GS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam q trình học lớp cao học khố 24 chuyên ngành Đại số lý thuyết số làm tảng cho nghiên cứu tiếp sách tham khảo để viết lên luận văn Đặc biệt, luận văn hoàn thiện nhờ hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Mỵ Vinh Quang.Tơi xin chân thành tỏ lịng tơn kính biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình giảng dạy, chu đáo hướng dẫn tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, GS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên PGS.TS Trần Tuấn Nam, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho q trình nghiên cứu hồn thành luận văn này, dành thời gian quý báu đọc góp ý cho luận văn Tơi vơ cảm ơn Ban Giám Hiệu, q thầy Phịng sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn Tơi biết ơn anh, chị, em bạn bè giúp đỡ hỗ trợ tinh thần tạo điều kiện cho thời gian qua Cuối cùng, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc với Bố, Mẹ u q, người chấp nhận khó khăn yên tâm học tập mong mỏi tơi thành cơng Tp.Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 Đoàn Nhật Lâm MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm chuẩn trường 1.2 Chuẩn tương đương 1.3 Chuẩn phi Acsimet 1.4 Chuẩn Q 12 1.5 Trường số p-adic QP 14 1.6 Xây dựng trường số phức p-adic CP 18 Chương TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ ỨNG DỤNG 25 2.1 Định nghĩa tính chất tích phân Shnirelman 25 2.2 Tương tự p-adic định lý Cauchy 27 2.3 Tương tự p-adic cơng thức tích phân Cauchy 33 2.4 Định lý thặng dư p-adic 36 2.5 Lớp hàm K(D) 41 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ CỦA LUẬN VĂN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập số tự nhiên Z : Tập số nguyên Q : Tập số hữu tỷ R : Tập số thực Zp : Tập số nguyên p-adic Z *p : Tập phần tử khả nghịch Z p : Chuẩn trường K Qp : Trường số p-adic Q p Cp : Trường số phức p-adic p : Chuẩn p-adic ord p a : Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố B ( a, r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r Q p C p B [ a, r ] : Hình cầu đóng tâm a bán kính r Q p C p D ( a, r ) : Mặt cầu tâm a bán kính r Q p C p MỞ ĐẦU Các số p-adic Kurt Hensel mô tả vào năm 1897 Hơn trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào lĩnh vực khác toán học lý thuyết số, hình học đại số, tơ pơ đại số, giải tích vật lý, đặc biệt vật lý lượng tử Vào năm 40 kỉ XX, giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ thành chuyên ngành độc lập nhờ việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích p-adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Trong giải tích p-adic có nhiều tương tự p-adic khác khái niệm tích phân, chẳng hạn như: tương tự p-adic tích phân Riemann, tích phân Stieljes, tích phân Volkenborn đặc biệt tích phân Shnirelman ( tương tự p-adic tích phân Cauchy), đóng vai trị vơ quan trọng giải tích phức Bởi lý đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “ tích phân Shnirelman ứng dụng” Mục tiêu luận văn xây dựng tích phân Shnirelman nghiên cứu số ứng dụng tích phân Shnireman để nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic Luận văn gồm chương Chương CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p-adic Q p trường số phức p-adic C p Sau đó, chúng tơi đưa số tính chất trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương Chương TÍCH PHÂN SHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tơi xây dựng tích phân Shnirelman lớp K ( D ) Từ chúng tơi nghiên cứu số ứng dụng tích phân Shnirelman để tìm tương tự p-adic số định lý tính chất tích phân Cauchy giải tích phức Phần kết luận luận văn nêu đóng góp luận văn kiến nghị hướng phát triển Vì thời gian kiến thức có hạn, luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót Kính mong q thầy, bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lượng thứ Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi xin trình bày cách xây dựng trường số p-adic Q p C p phương pháp giải tích N.KOBLITZ Theo chúng tơi, cách xây dựng trường số p-adic cách “tự nhiên” Các kết trình bày phần hầu hết không chứng minh, xin phép chứng minh số kết bản, quan trọng có liên quan đến chương chương luận văn 1.1 Khái niệm chuẩn trường 1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ : F → R + gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i) x ≥ 0, ∀x ∈ F ; x = 0⇔ x= ii) xy= x y , ∀x, y ∈ F iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F Ví dụ 1) F = Q ∨ F = R , giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F 2) F = C , môđun số phức chuẩn F 3) F trường Xét ánh xạ: : F → R+ 1 , x ≠ x x = 0 , x = Dễ thấy chuẩn F , gọi chuẩn tầm thường 1.1.2 Các tính chất Cho chuẩn trường F có đơn vị ∀x ∈ F ta có: i) = −1 =1 ⇒ x = − x , ∀x ∈ F n ii) x n= x , ∀n ∈ N * ,x ≠ x iii) = x −1 iv) = 1.1.3 Nhận xét Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường 1.2 Chuẩn tương đương chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm d : F × F → R + sau: Cho d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F Do chuẩn F nên ta dẽ dàng kiểm tra d mêtric F ( F , d ) không gian mêtric Tôpô cảm sinh d : B ( a, r ) = { x ∈ F | x − a < r} 1.2.1 Định nghĩa Cho , hai chuẩn trường F ta nói hai chuẩn tương đương tơpơ cảm sinh , Chú ý rằng: {xn } dãy Cauchy theo chuẩn m,n→+∞ → Hay , nghĩa là: xm − xn  ∀ε > 0, ∃no ∈ N : ∀n, m > no , xm − xn < ε 1.2.2 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F trường; hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: 1) ∀x ∈ F , x < ⇔ x < 2) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x ≤ 1 , 3) ∃c ∈ R + : ∀x ∈ F , x =x với x ∈ F c 4) {xn } dãy Cauchy theo chuẩn 5) tương đương với , ( 1 ~ ⇔ { xn } dãy Cauchy theo chuẩn 2 ) Chứng minh 1) ⇒ 2) Với x ∈ F mà x ≤ ta chứng minh x ≤ Giả sử ngược lại, x > Khi đó: (1) < 1⇒ x −1 < ⇒ x= 1 x2 x −1 = x −1 >1 ( mâu thuẫn) Vậy x ≤ Lập luận tương tự ta có: x ≤ ⇒ x ≤ 2) ⇒ 1) Với x < , ta chứng minh x < Giả sử ngược lại, x ≥ Khi đó: x −1 = (2) ≤ 1⇒ x −1 ≤ ⇒ x= 1 x2 x −1 ≥ ( mâu thuẫn) Vậy x < Lập luận tương tự ta có: x < ⇒ x < 1) ⇒ 3) Ta xét hai trường hợp: *Trường hợp 1: Nếu có hai chuẩn tầm thường ta chứng minh chuẩn lại tầm thường Thật : giả sử tầm thường Khi đó, ∀x ∈ F * , x =1 Giả sử x ≠ , x > 1∨ x < Nếu x < theo (1) ta có x < ( vô lý) Nếu x > ⇒ (1) 1 < 1⇒ 1 x2 x1 = x2 Do đó, x = , tức = ( vô lý) Hay c = * Trường hợp 2: Nếu hai chuẩn khơng tầm thường Khi ∃xo ∈ F : xo > 1 ( ) a Đặt a x= a log a x Ta x a= xo a > 1, b > Với x ∈ F * , giả sử= = o ,b x = bα chứng minh r = Thật vậy, ∀r > α (r ∈ Q) ta có a r > aa Giả sử m , (m, n) Khi đó: = n m xo 1n > x1 ⇒ Suy : x < m xo > m xo 2n n x1 ⇒ xn xom (1) < 1⇒ xn m xom n < ⇒ xo > x hay x < b r n→∞ Chọn dãy {rn } ⊂ Q, rn > αα , ∀n : rn → , suy ra: b rn > x , cho n → ∞ ta có: x ≤ bα Tương tự ta chứng minh : x ba Do= : = x ≥ bα a aa ) (= ) (= log a b a log a b x với = c log a b > c 3) ⇒ 4) Giả sử {xn } dãy Cauchy theo chuẩn m,n→+∞ c m,n→+∞ Khi đó: m,n→+∞ xm − xn → ⇒ xm − xn → ⇒ xm − xn → Hay {xn } dãy Cauchy theo chuẩn 37 compact ∫+ Jordan K trừ số điểm a1 , a2 , , am ∈ K Khi ta có: m f ( z )dz = 2iπ ∑ res[ f , a j ] ” Trong phần chúng tơi xin trình bày định lý ∂K xem tương tự p-adic định lý thặng dư 2.4.1 Định lý thặng dư p-adic Cho f ( x) = g ( x) g ( x) hàm chỉnh hình p-adic D ⊂ C p h( x) h( x ) đa thức Cho {xi } tất nghiệm h Khi đó, với a ∈ D, γ ∈ C p cho D(a, γ ) ⊂ D ta giả sử xi − a p < γ Định nghĩa resxi f hệ số ( x − xi ) −1 khai triển Laurent f xi Khi đó: ∫ a ,γ f ( x)( x − a )dx = ∑ resxi f Chứng minh Để chứng minh định lý, ta chứng minh bốn bước sau: + Bước 1: Chứng minh ∫ a ,g g ( x) ( x − xi ) mi +1 g ( x) resxi ( x − a )dx = ( x − xi ) mi +1 Thật vậy: Do g ( x) hàm chỉnh hình p-adic nên ta có: g ( x) = ∞ ∑ ck ( x − xi )k = k =0 Đặt: fi ( x= ) g ( x) ( x − xi c0 + c1 ( x − xi ) + + ck ( x − xi ) k + = c0 ( x − xi ) − mi −1 + c1 ( x − xi ) − mi + + ck ( x − xi )k −mi −1 + ) mi +1 = a− mi −1 ( x − xi ) − mi −1 + a− mi ( x − xi ) − mi + + ak −mi −1 ( x − xi ) k −mi −1 + Khi đó: ck = ak −mi −1 (1) Mặt khác, theo định lý tích phân Cauchy suy rộng ta có: ∫ a ,g (1) ( mi ) g ( x) ( ) ( ) x a dx g x c a−1 =resxi fi =resxi − = = = i m mi +1 i mi ! ( x − xi ) ( x − xi ) mi +1 g ( x) Vậy ta chứng minh: ∫ a ,g g ( x) ( x − xi ) mi +1 g ( x) ( x − a )dx = resxi ( x − xi ) mi +1 + Bước 2: Giả sử h( x) = ( x − x1 ) m +1 ( x − x2 ) m +1 ( x − xk ) m +1 k 38 g ( x) h( x ) Ta chứng minh: = g1 ( x) ( x − x1 m +1 ) + g ( x) ( x − x2 m +1 ) + + g k ( x) ( x − xk ) m +1 k g1 ( x), g ( x), , g k ( x) hàm chỉnh hình D Đầu tiên, ta đặt: hi ( x) = ( x − x1 ) m +1 ( x − x2 ) m +1 ( x − xi −1 ) m i −1 +1 ( x − xi +1 ) m i +1 +1 .( x − xk ) m +1 k , i = 1, k Do xi không nghiệm hi ( x) , với ∀i =1, k nên ta có: (h1 ( x), h2 ( x), , hk ( x)) = Suy tồn g1' ( x), g 2' ( x), , g k ' ( x) ∈ C p [x] thỏa: h1 ( x).g1' ( x) + h2 ( x).g 2' ( x), , hk ( x) g k ' ( x) = g k ' ( x) g1' ( x) g 2' ( x) = ⇒ + + + m +1 h( x) ( x − x ) m1 +1 ( x − x ) m +1 ( x − xk ) k g k ( x) g1 ( x) g ( x) g ( x) ' với gi ( x) g ( x) g= = = ⇒ + + + i ( x ), ∀i 1, k m +1 m +1 m +1 k h( x ) ( x − x ) ( x − x2 ) ( x − xk ) Hơn nữa, g ( x) hàm chỉnh hình p-adic D , gi ' ( x) đa thức nên gi ( x) hàm chỉnh hình p-adic D + Bước 3: Ta chứng minh với α , β ∈ C p , α ≠ β resβ g ( x) hàm chỉnh hình p-adic D Thật vậy: Vì g ( x) hàm chỉnh hình p-adic D nên: g ( x) = ∞ ∑ ck ( x − xi )k = k =0 1 c0 + c1 ( x − xi ) + + ck ( x − xi ) k + −1 Ta có: = = x −α x − β −α + β α − β 1− x − β α −β = ( x − β )k x − β ( x − β )2 −1 [1 + + + + + ] α −β α − β (α − β ) (α − β ) k = b0 + b1 ( x − bb ) + + bk ( x − ) k + Suy ra: (x −α ) m +1 ) + + bk ( x − ) k + ) m+1 = (b0 + b1 ( x − bb = a0 + a1 ( x − β ) + + ak ( x − β ) k + g ( x) = , ( x − α ) m+1 39 g ( x) g ( x) = d + d1 ( x − β ) + + d k ( x − β ) k + ⇒ resβ = d −1 = m +1 ( x − αα ) ( x − ) m+1 Khi : ∫ f ( x)( x − a )dx = ∑ resxi f g j ( x) g j ( x) + Bước 4: Ta chứng minh: a ,γ Thật vậy, ta có : = ∑ resxi f resxi ∑ ∑= ∑∑ resxi m +1 j i i j (x − x j ) i j = ∑ resxi i ∑∫ = i a ,g ∫ = a ,g (x − x j ) m +1 j gi ( x) ( x − xi ) m +1 i gi ( x) ( x − xi m +1 ) i ( theo bước 3) ( x − a )dx ( theo bước 1) g ( x) ( x − a )dx ( theo bước 2) h( x ) Vậy ta chứng minh xong định lý 2.4.2 Một số áp dụng định lý thặng dư p-adic * Tính tích phân sau : ∫ e dx x với γ ∈ C p thỏa γ < p 1− p 0,γ Ta có: ∫ 0,γ e x dx = ∫ 0,γ ex xdx đó: e x có miền hội tụ là: x {x ∈ C p : x p < p E= 1− p } ∞ Khai triển Laurent hàm e x là: xi ∑ i! i =0 Từ ta có khai triển Laurent hàm ex là: x xi −1 ∑ i! i =0 ∞ ex x e x dx res = Áp dụng định lý thặng dư p-adic ta : ∫= 0,γ *Tính tích phân sau : ∫ 0,γ ex dx với γ ∈ C p thỏa γ < p1− p ( x − p) 40 ex ( x − p) dx Ta có: ∫= 0,γ ex ex ex xdx (∫ xdx + ∫ xdx) = ( ) x.( x − p ) p 0,γ x x − p 0,γ ∫ 0,γ e có miền hội tụ là: E = {x ∈ C p : x p < p x Theo tập ta có : ∫ 0,γ Ta tính : ∫ 0,γ } ex xdx = x ex xdx ( x − p) Khai triển Laurent hàm e x x = p là: Từ ta có khai triển Laurent hàm ∞ e p ( x − p )i ∑ i! i =0 ex x = p là: ( x − p) ∫ Áp dụng định lý thặng dư p-adic ta : 0,γ Vậy ta có : 1− p ∫ 0,γ e p ( x − p )i −1 ∑ i! i =0 ∞ ex ex ep xdx res = = p x− p x− p ex ex ex 1 dx = (∫ xdx + ∫ xdx) = (1 + e p ) p 0,γ x p ( x − p) ( x − p) 0,γ * Tính tích phân sau : ∫ log(1 + x)dx với γ ∈ C p thỏa γ < 0,g Ta có: log(1 + x) xdx đó: log(1 + x) có miền hội tụ là: x ∫ log(1 + x)dx = ∫ 0,gg 0, D= {x ∈ C p : x p < 1} (−1)i +1 xi Khai triển Laurent hàm log(1 + x) là: ∑ i =1 i.ln p ∞ log(1 + x) là: Từ ta có khai triển Laurent hàm x Áp dụng định lý thặng dư p-adic ta : + x)dx ∫ log(1= 0,g *Tính tích phân sau : ∫ 0,g (−1)i +1 xi −1 ∑ i.ln p i =1 ∞ res0 log(1 + x) = x log(1 + x) dx với γ ∈ C p thỏa γ < ( x − p) 41 log(1 + x) log(1 + x) log(1 + x) log(1 + x) xdx (∫ xdx + ∫ xdx) = ∫ ( x − p) ( x − p) x.( x − p ) p 0, x 0,gggg 0, 0, dx Ta có: = ∫ log(1 + x) có miền hội tụ là: D = {x ∈ C p : x p < 1} Theo tập ta có : ∫ 0,g Ta tính : ∫ 0,g log(1 + x) xdx = x log(1 + x) xdx ( x − p) Khai triển Laurent hàm log(1 + x) x = p là: Từ ta có khai triển Laurent hàm log(1 + x) x = p là: ( x − p) Áp dụng định lý thặng dư p-adic ta : ∫ 0,g Vậy ta có : (−1)i +1 ( x − p )i i i =1 (1 + p ) i.ln p ∞ ∑ (−1)i +1 ( x − p )i −1 ∑ (1 + p)i i.ln p i =1 ∞ log(1 + x) log(1 + x) = xdx res = p x− p x− p log(1 + x) log(1 + x) log(1 + x) dx= (∫ xdx + ∫ xdx)= ( x − p) p 0, x ( x − p) 0,ggg 0, ∫ 2.5 Lớp hàm K(D) Trong giải tích phức ta biết định lý Morera sau: “Giả sử hàm f(z) hàm liên tục miền đơn liên D ∫γ f ( z )dz = với γ đóng nằm D Khi f(z) hàm chỉnh hình D” Định lý Morera xem định lý đảo định lý Cauchy Trong giải tích p-adic ta thấy định lý Cauchy ( xem định lý 2.2.3), nhiên định lý Morera cho trường hợp p-adic đến người ta chưa xác định hay sai Cụ thể: Cho f : D → C p hàm liên tục có tính chất ∫ a ,γ với a ∈ D, γ ∈ C p cho B  a, γ  ⊂ D liệu f có phải f ( z )( z − a )dz = hàm chỉnh hình khơng? Đó câu hỏi mở Bây ta ký hiệu H ( D) tập hàm chỉnh hình D K ( D) tập hàm có ∫ a ,γ f ( z )( z − a )dz = với a ∈ D, γ ∈ C p cho B  a, γ  ⊂ D Theo định lý 42 2.2.3 ta có hàm chỉnh hình D thuộc lớp K ( D) Nhưng hàm chỉnh hình địa phương D chưa hẳn thuộc lớp K ( D) Ví dụ sau giúp thấy rõ vấn đề Trước hết ta định nghĩa hàm chỉnh hình địa phương sau: “ Hàm f(z) gọi chỉnh hình địa phương miền M ⊂ C p với x ∈ M tồn lân cận x cho lân cận f biểu diễn chuỗi Taylor ” Ta có ví dụ: Xét hàm z p