Tích phân p adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu thân hướng dẫn tận tình,chu đáo PGS.TS Mỵ Vinh Quang Bằng kiến thức mà học hai năm qua lớp cao học khoá 17 ngành Đại số lý thuyết số làm tảng cho nghiên cứu tiếp sách tham khảo để viết lên luận văn Tôi xin chân thành tỏ lịng tơn kính biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Lê Hồn Hố, TS Trần Hun TS Đậu Thế Cấp, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu, dành thời gian quý báu đọc góp ý cho luận văn Tôi vô cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy Phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh q thầy trường Cao Đẳng Kỹ Thuật Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tơi cơng tác tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn Tơi biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ hỗ trợ tinh thần vật chất cho thời gian qua Cuối cùng, xin cảm ơn chồng hai yêu quí, người chấp nhận khó khăn để tơi n tâm học tập ln mong mỏi tơi thành cơng TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2009 Nguyễn Thị Cẩm Thạch MỤC LỤC Trang phụ bìa……………………………………………………………………….1 Lời cảm ơn………………………………………………………………………… Mục lục …………………………………………………………………………… Danh mục ký hiệu……………………………………………………………….4 MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………5 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC…………… 1.1 Chuẩn trường………………………………………………….6 1.2 Xây dựng trường số p-adic 1.3 Tính chất tơ pơ 1.4 Trường số phức hàm chỉnh hình p-adic…………………………….23 p p ……………………………………… 11 ……………………………………………… 17 Chương XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC…………………….25 2.1 Khơng gian hàm địa phương……………………………… 25 2.2 Độ đo p-adic………………………………………………………… 28 2.3 Một số độ đo thường dùng……………………………………………32 2.4 Tương tự p-dic tích phân Riemann……………………………….33 2.5 Điều kiện khả tích…………………………………………………….35 Chương TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG…………….45 3.1 Một số kết lý thuyết tích phân Cauchy giải tích phức… 45 3.2 Tích phân Schnirelman……………………………………………… 46 3.3 Lớp   D  …………………………………………………………… 56 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN……………………………………………………64 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….65 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập số tự nhiên : Tập số nguyên : Tập số hữu tỷ : Tập số thực p : Tập số nguyên p-adic * p : Tập phần tử khả nghịch p : Chuẩn trường K p : Trường số p-adic p : Trường số phức p-adic p : Chuẩn p-adic p ord p a : Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố B (a, r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r B  a, r  : Hình cầu đóng tâm a bán kính r D ( a, r ) : Mặt cầu tâm a bán kính r   p p a  pN : Khoảng  x : Phần nguyên x A : Hàm đặc trưng tập A  Haar : Độ đo Haar  : Độ đo Dirac  Mazar : Độ đo Mazur xa , N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  S N ,xa , N  ( f ) : Tổng Riemann hàm f  f : Tích phân hàm f ứng với độ đo  p p p p p MỞ ĐẦU Giải tích p-adic hướng mà phát triển nhanh ngành Đại số Lý thuyết số Gần có số tác giả xây dựng tích phân p-adic sử dụng chúng các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy hàm giải tích p-adic số ứng dụng thú vị khác việc nghiên cứu hàm p-adic Mục tiêu luận văn xây dựng tích phân Schnirelman nghiên cứu số ứng dụng tích phân Schnireman để nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm chương Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p-adic trường số phức p-adic p p Sau đó, chúng tơi đưa số tính chất trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương chương Chương 2: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn độ đo tăng chậm Từ chúng tơi đưa định nghĩa tổng Riemann, tích phân padic tương tự p-adic tích phân Riemann điều kiện khả tích cho hàm liên tục ứng với độ đo Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tơi xây dựng tích phân Schinelman lớp   D  Từ chúng tơi nghiên cứu số ứng dụng tích phân Schinelman để tìm tương tự p-adic số định lý tính chất tích phân Cauchy giải tích phức Phần kết luận luận văn chúng tơi nêu đóng góp luận văn kiến nghị hướng phát triển Vì thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lượng thứ Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong phần chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p-adic số tính chất pơ tơ Cách xây dựng trường số p-adic nhiều tác giả trình bày với nhiều phương pháp khác Ở chúng tơi trình bày cách xây dựng trường số p-adic phương pháp giải tích N.KOBLITZ Vì theo chúng tơi cách xây dựng trường số p-adic cách “tự nhiên” Sau xây dựng trường số p-adic đưa số tính chất tơ pơ Các kết trình bày phần hầu hết không chứng minh, chứng minh số kết bản, quan trọng có liên quan đến chương luận văn chương chương 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Định nghĩa Cho K trường Chuẩn trường K ánh xạ (kí hiệu ) từ tập K vào tập số thực không âm thỏa mãn điều kiện sau : i) x   x  2i ) xy  x y 3i ) x  y  x  y x, y  K x, y  K 1.1.2 Ví dụ Ví dụ Trường số với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn , , điều kiện định nghĩa nên giá tri tuyệt đối chuẩn chuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu g Ví dụ Cho K trường tùy ý Ánh xạ xác định : 1 nê' u x   x  0 nê' u x   Là chuẩn trường K gọi chuẩn tầm thường , , ta gọi 1.1.3 Chú ý Giả sử chuẩn trường K Ta chứng minh hàm d từ KxK vào tập số thực không âm xác định d ( x, y )  x  y hàm mêtric trường K gọi mêtric tương ứng với chuẩn Tô pô sinh mêtric tương ứng gọi tô pơ tương ứng chuẩn 1.1.4 Các tính chất     suy  x  x  x 1   0 x  x  0 1.1.5 Định nghĩa hai chuẩn tương đương Hai chuẩn trường K gọi tương đương tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng chúng Kí hiệu ~ 1.1.6 Định lý Giả sử , hai chuẩn trường K, mệnh đề sau tương đương: x   x  với x  K x   x  với x  K C Tồn số dương C > cho x  x với x  K {xn} dãy Cauchy ~  {xn } dãy Cauchy 2 Chứng minh 1)  2) Với x  K , giả sử x  ta cần chứng minh x  Giả sử ngược lại, tức x  Ta có: 1 x  12 1  1 x2 x x2  hay x  x1 Suy Điều vơ lý x  Vậy x  2)  1) Chứng minh tương tự 1)  3) Giả sử x   x  với x  K Ta xét hai trường hợp sau :  Trường hợp : Nếu có hai chuẩn tầm thường ta chứng minh chuẩn lại tầm thường Thật vậy: Gỉa sử chuẩn tầm thường với x  K , x  , ta có x  Nếu x  ta xét hai trường hợp sau: x   x  (vô lý) x 1 Do x  hay chuẩn 1 1  (vô lý) x2 x1 C tầm thường Do tồn C=1 thỏa x  x với xK  Trường hợp : Nếu hai chuẩn khơng tầm thường Vì không tầm thường nên tồn x0  K cho x0  ,do ta có x01  Từ giả thiết mệnh đề ta suy x01   Nên x0 x0 2 1 x0  Đặt x0  a x0  b a, b>1 Khi đó, với x  K ta viết x  a với   log a x Ta chứng minh x  b Thật vậy, lấy r  m  n  r  m   ta có : n m n m m n m x  a  a  x0 1n  x  x0 1n  x  x0  x n  x0m 1 Do n m x n x0 m   x n x0 m   x n  x0m  x  x0 Suy m x  x0 n 2 m hay x2 bn Như vậy, ta chứng minh với r  m  n r   x  b r Do ta lấy dãy rn   rn   , n mà rn   từ bất đẳng thức ta x  b : Hoàn toàn tương tự, lấy r  Nên ta lấy dãy rn   m  n r   ta có x  b  rn   , n mà rn   ta có x  b Vậy x  b  Do x  a   (b log a )   (b  ) log b b C  x với C = logba>0 a 3)  4) Giả sử x n  dãy Cauchy chuẩn , nghĩa xn  xm  m, n   xn  xm 1C  m, n   với C>0 thỏa xn  xm  xn  xm Hay C Do xn  xm  m, n   Vậy xn là dãy Cauchy chuẩn 4)  1) Giả sử x  ta cần chứng minh x  n Từ giả thiết x  suy x  chuẩn Nên  x n   theo chuẩn Mà dãy hội tụ phải dãy Cauchy Do xn là dãy Cauchy với 1 ,từ giả thiết ta suy xn là dãy Cauchy đối Điều có nghĩa ( x n 1  x n )  chuẩn với chuẩn Vì chuẩn 2 hay x n ( x  1)  đối Do x n  x  không tầm thường nên  x  suy x n  hay x  3)  5) C Giả sử tồn số dương C > cho x  x với x  K  Khi ta có: B1  a, r   x  K  = x  K    x a1  r = xK C xa  r 1    x  a  r C  = B2  a, r C       f ( x)dx tồn  f ( x)dx (i) Nếu a, a,  max f ( x) p p x-a p  r  (2i) Nếu  f n ( x) dãy hàm hội tụ f(x) mặt cầu: x  ta có  ( Lim f n  a , n ( x))dx  Lim n   p  / x  a p  r f n ( x)dx a , (3i) Nếu r1  r  r2 f(x) biểu diễn chuỗi Laurent   c ( x  a) i  k i hội tụ vành khuyên r1  x  a p  r2 Khi  f ( x)dx tồn co a, Đặc biệt tích phân không phụ thuộc vào việc chọn  với  p  r , chí khơng phụ thuộc vào r với r1  r  r2 Hơn  f ( x)( x  a) k dx  ck a, Chứng minh (i) Ta có:  f ( x)dx a, 1 f (a   ) = Lim f (a   )  Lim(mmax f (a   ) p )   m  m m m  m   1 m m     ( m , p 1) ( m , p 1) p  Lim p p  Mà ta có a    a p   p   p  p  r nên (a   )  x  Do m   ta có  a , p / xa p  r f ( x)dx  max f ( x) p p x-a p  r (2i) Giả sử f n ( x) hội tụ f(x) Khi ta có: Lim m   f a, n   ( x)dx  Lim  Lim  f n (a   )    n  m  m m  1   1  f (a   )    f ( x)dx   ( Lim f ( x))dx   m  m m a , n     a , = Lim  (3i) Ta xét trường hợp hàm f(x)  Trường hợp 1: f ( x)  ( x  a) k  Khi đó: a , 1  1   f ( x)dx   ( x  a ) k dx  Lim   ( ) k    k Lim     k     m  m   m  m 1  m   m 1   a ,  ( m , p ) 1  ( m , p ) 1   - Nếu k =  m 1  f ( x)dx   Do   k  m 1    m (vì  /  m    0 , 1 , ,  m 1  ) 1 a, - Nếu k  0, m  k k không chia hết cho m nên theo bổ đề định lý 3.2.2  ta có k  m 1 1    nên Lim     k     m  m  m    1    Do ta suy f ( x)dx  a ,   x  a  Vậy 1 k  dx   0 k  k a, Trường hợp 2: f ( x)  ck ( x  a) k Khi đó:  f ( x)dx   c ( x  a) k k a, dx ck a,   c ( x  a) k  f n ( x)  k a, Trường hợp3: f ( x)  Đặt  ( x  a) n  c ( x  a) c k  c0 k  dx   k =  k   k  k k k k k  n Khi ta có f n ( x) hội tụ f(x) n   r1  r  r2 Theo tính chất (2i) định lý ta có:  a , f ( x)dx  Lim  f n ( x)dx  Lim n  n  a , n  a ,    a ,  = Lim    ck ( x  a )k dx  n  k  n  n k    ck ( x  a )  dx  k  n  (*) Mà c0 k  k ( ) c x a dx    k   k  a , Nên từ (*) suy c0 k  k   f ( x)dx   a, Mặt khác f n ( x) hội tụ f(x) n   r1  r  r2 nên ta có: n  f  x   Lim f n  x  = Lim  ck  x  a  =  ci  x  a  n  Do  n  k i i  k  n   k i ci  x  a    x  a  dx a,  i   f  x  x  a  dx  k a , = ci i  k    ik  c x a dx =      i      i  k  a ,  i  ck i  k  i  k = Nghĩa f ( x)    c ( x  a) k  k k ta có  f ( x)( x  a) k dx  ck a, 3.2.4 Định lý Cho phần tử cố định z  Ta có  a , p với    dx   xz  a  z p mà  p  r x  a p  r za p  r za p  r Chứng minh Trước hết ta để ý với t  Do đó: p mà t p  ta có:  t  t   t n    t n 1  k   t Lim    n  k 0  1 t  1 t  Ta xét trường hợp định lý: Trường hợp1: Với phần tử cố định z  p mà z  a p  r  t n 1 1 t Ta viết: 1   xz xaaz  xa (a  z ) 1   z  a  Vì z  a p  r x  a p  r nên suy  1 a  z 1 x  a za xa 1 za p   xa Do theo nhận xét ta có   x  a k 0  z  a  1 za Suy Nên  a , k 1  k   x  a  ( z  a) k  x  z a  z k 0  dx  k k   x  a z  a dx  ( ) ( )   ( x  a)k ( z  a) k dx x  z a , a  z k 0 a  z a, k 0 Áp dụng kết (3i) định lý 3.2.3 với r1 = r2 = r ta có:    ( z  a) k ( x  a ) k dx  ( z  a )0  a , k  Bởi nên dx  x  z  a  z với z  a p  r a, Trường hợp 2: Với phần tử cố định z  Ta viết 1   xz xaa z p mà z  a p  r  za ( x  a ) 1   x  a  Vì z  a p  r x  a p  r nên suy = 1 x  a 1 z  a xa za 1 xa p   za    Do theo nhận xét ta có z  a k 0  x  a  1 xa Nên ta viết k    ( z  a ) k ( x  a )  k 1 x  z k 0 Vì k   k   Áp dụng kết chứng minh trường hợp phần (3i) định lý 3.2.3 với r1 = r2 = r ta có:     z  a   x  a  k  k 1 dx  a , k 0  Do suy a ,  Vậy a ,  dx    ( z  a) k ( x  a )  k 1 dx  x  z a , k 0  dx   xz  a  z za p  r za p  r Đinh lý chứng minh 3.2.5 Định lý (Tương tự p-adic cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử f(x) hàm chỉnh hình p-adic miền D với a  D,   Sao cho B  a,    D  p  r Khi với z cố định thuộc Ta có:  a ,  f  z  z  a p  r f ( x)( x  a) dx   z  a p  r xz 0 Chứng minh  Vì f(x) hàm chỉnh hình nên f ( x)   cn ( x  a)n n 0  f ( x)( x  a) Suy  xz Do đó: A   a ,  c ( x  a) ( x  a) n 0 n n xz cn ( x  a ) n 1 = xz n 0     c ( x  a) n 1  cn ( x  a) n 1 f ( x)( x  a) dx dx    n     xz x z x z     n n  a ,  a , Bây ta chứng minh cho trường hợp đinh lý - Nếu z  a p  r theo phần chứng minh định lý 3.2.4 ta có:  1  za      x  z ( x  a) k 0  x  a   Nên A   cn n 0  a , k k   ( x  a ) n 1   z  a  k nk = c dx dx   n   ( z  a) ( x  a)   x  a k 0  x  a  n 0 k  a , p p  Nếu n = k tức f ( x)   ck ( x  a) k theo định lý 3.2.3 với r1 = r2 = r ta có: k 0    ( z  a) k ( x  a ) n  k dx  ( z  a ) k  ( z  a ) n a , k   Do đó: A   cn ( z  a )n  f ( z ) n 0 - Nếu z  a p  r theo định lý 3.2.4 ta có: 1  ( x  a)k ( z  a) k   x  z a  z k 0  Nên A    n  a , cn ( x  a ) n 1   ( x  a)k ( z  a) k dx a  z k 0  =  cn n 0     ( x  a) n  k 1 ( z  a)  k 1 dx a , k  Vì n  , k   n  k   nên áp dụng kết chứng minh trường hợp phần (3i) định lý 3.2.3 với r1 = r2 = r ta có:     z  a   x  a   k 1 n  k 1 dx  a , k 0 Từ suy A   a, Vậy  a , f ( x)( x  a ) dx 0 xz f ( x)( x  a)  f  z  z  a p  r dx   z  a p  r xz 0 Định lý chứng minh 3.3 Lớp  ( D) Như ta thấy mục trước lớp hàm có tích phân thoả mãn định lý Morera có tính chất gần với hàm chỉnh hình p-adic D Bởi ta ký hiệu lớp hàm   D  Trong mục nghiên cứu số tính chất hàm thuộc lớp   D  3.3.1 Định nghĩa lớp  ( D) Hàm f(z) liên tục miền D xem thuộc lớp  ( D) với a  D,   cho B  a,    D ta có:  p f ( z )( z  a )dz  a , 3.3.2 Định nghĩa hàm giải tích địa phương Hàm f(z) gọi giải tích địa phương miền M  p với x  M tồn lân cận x cho lân cận f biểu diễn chuỗi Taylor 3.3.3 Nhận xét Từ định lý tương tự p-adic định lý Cauchy ta suy hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) D thuộc lớp  ( D) Nhưng hàm giải tích địa phương D chưa hẳn thuộc lớp   D  Ví dụ sau giúp thấy vấn đề Ví dụ: Xét hàm z p 1 0 f z   1  z p  Khi f  z  giải tích địa phương D = B  0,  f  z     D  Thật vậy, chọn a=1   1 , ta có: 1 f  a      f 1        n  n 1 n  n 1  n , p  1 Nếu   p  n , p  1 mà  n  ,  n, p     theo bổ đề định lý 3.2.2 ta có: 1  p 1 Suy f 1     với   Nên ta có 1 f 1          n  n 1 n  n 1, 1  n , p  1    +  n , p  1 = f   1 n  ( ) ( f    ) n  n 1, 1  n , p  1  Mặt khác, theo bổ đề định lý 3.2.2 ta có  0  n 1  n , p  1 Do 1 f 1          n  n 1 n  n 1, 1  n , p  1      n , p  1    1  n 1, 1  n , p  1 n  f 1       không tồn n  n 1 Nên giới hạn tổng p n    n , p  1  f (a   ) không tồn n  n n  1 ( n , p ) 1  n, p   Hay lim p Mà theo chứng minh định lý 3.2.2 ta có:  f ( z )( z  a)dz  lim n  f (a   ) n  ( n , p ) 1 a, Từ suy  n 1 f ( z )( z  a)dz không tồn với a  1,   1 Do f  z      D a , Như , ta biết lớp  ( D) lớp hàm có tích phân Schnirelman khơng,ta ký hiệu K  D  lớp hàm chỉnh hình D từ nhận xét ta có K ( D)   ( D) Nhưng liệu  ( D)  K ( D) hay không tốn chưa có câu trả lời, nhiên lớp hàm  ( D) có số tính chất tương tự hàm chỉnh hình Định lý quan trọng cho phép ta chứng minh loạt kết 3.3.4 Định lý Giả sử f ( z )   ( D) giá trị f(z) với z  B  a,    D phụ thuộc vào giá trị f lấy D  a,   Chứng minh Giả sử B  a,    D , với z  B  a,   ta có a  z p   Nên với x  B  z   ,   x  z   p  x  a  a  z   p   Suy x  a p   Do x  B  a,    D Vì ta có B  z   ,    D Mà f  z     D  nên f  x     D  Do ta có  f  x  x  z    dx  z  , Đặt F  x   f  x  x  z    b  z   ta có  F  x dx  b , Nên từ định nghĩa tích phân Schnirelman ta có:  F  b     n  n n 1   n , p  1 lim  lim  f ( z     )( z      z   )  n  n 1  lim  f  z  (  1)   n  n 1 n  ( n , p ) 1 n  ( n , p ) 1 Do (n,p)=1 nên n p  suy lim  f  z  (  1)   n  n ( n , p ) 1  1 Bởi f ( z )   lim  f  z  (  1)  (*) n  n ( n , p ) 1  1  1 Theo bổ đề định lý 3.2.2 ta có   p  Mặt khác z  B  a,   suy z  a p   nên ta có: z  a    1  p  max za Do z+( -1)  D  a,  p ,  1 p   p   max  z  a p , p =  p Từ đẳng thức (*) ta suy giá trị f(z) phụ thuộc vào giá trị lấy D  a,   3.3.5 Hệ (tương tự p-adic định lý nhất) Nếu f(z) g ( z )   ( B  a, r ) giả sử f(z) = g(z) với z  D (a, r ) Khi f(z) = g(z) với z  B  a, r  Chứng minh Với z  B  a, r  , f(z) g ( z )   ( B  a, r ) nên từ định lý mục 3.3.2 ta có: f ( z )   lim  f  z  (  1)  n  n ( n , p ) 1  1  1 Và  g  z  (  1)  g ( z )   lim n  n ( n , p ) 1  1  1 Theo chứng minh định lý z+( -1)  D  a,   Do : f  z    1    g  z    1   Vì nên ta có f(z) = g(z) với z  B  a, r  3.3.6 Hệ (tương tự p-adic nguyên lý mô đun cực đại) Giả sử f ( z )   ( B  0, r ) Khi max f ( z ) p  max f ( z ) p z p r z p r Chứng minh  Ta có D  0, r   z  p / z p r   B  0, r   z  p / z p r  Với z  B  0, r  , từ đẳng thức : f ( z )   lim  f  z  (  1)  n  n ( n , p ) 1  1  1 (*) z+( -1)  D (0,  ) chứng minh định lý ta suy ra: max f ( z ) p  max f ( z ) p z p r z p r 3.3.7 Định lý (tương tự p-adic định lý khả vi cấp) Giả sử f(z) hàm thuộc lớp  ( B  0, r ) f(z) khả vi D(0,r), f(z) khả vi cấp B  0, r  đạo hàm thuộc lớp  ( B  0, r ) Chứng minh Trước tiên ta chứng minh f(z) khả vi B  0, r  f ' ( z )   ( B  0, r ) Thật vậy, lấy b  B(0, r )   D  0, r  Khi theo cơng thức (*) ta có: f b  h  (  1)   f b  (  1)  f (b  h)  f (b)   lim   n  n h h ( n , p ) 1  1 (1)  1 Từ    n, p   nên theo bổ đề định lý 3.2.2 suy   p  Mặt khác b  B(0, r )   D  0, r  nên  p  r , b p  r suy ra: b    1  p  =max b p ,   p  p  =r b  ( 1)  D(0, r ) với b  B(0, r ) Mà f khả vi D(0,r) suy tồn tại: f ' b  (  1)   lim f b  h  (  1)   f b  (  1)  h h 0 (2) Từ công thức (1) lấy giới hạn hai vế h  từ (2) ta suy ra: f ' (b)   lim  f b  (  1)  ' (***) n  n ( n , p ) 1  1  1 Do có tồn f   b  với b  B  0, r  Hay f(z) khả vi B  0, r  Mặt khác f  z  khả vi D  0, r  Do f  z  khả vi B  0, r  Để f ' ( z )   ( B  0, r ) , ta lấy   p - Nếu  p  r từ đẳng thức f ' (b)   lim cho  p  r  f b  (  1)  ' n  n ( n , p ) 1  1  1 suy lim  f b  (  1)   ' n  n ( n , p ) 1  1 lim  f ' b        n n n ( n , p ) 1  1 Nên Áp dụng công thức  f ( z )( z  a)dz  a,  f (a   ) chứng minh m  m m  1 ( m , p ) 1 lim định lý 3.2.2 ta suy ra:   f b , ' ( z )( z  b   )dz   f   z    B b   ,  p  Bây ta chứng minh B  0, r   B b   ,  p   Lấy x  B  0, r  x p  r Mặt khác b  B  0, r  nên b p  r ta có  p  r Nên x  b   p  r  x  b   p   p Do x  B b   ,  p  Bởi nên B  0, r   B b   ,  p  Ngược lại, lấy y  B b   ,  p  y  b   p   p Mà  p  r nên y  b   p  r Do y p  r suy y  B 0, r  Nên ta có B  0, r   B b   ,  p  Từ cho ta B  0, r   B b   ,  p   Mà f   z    B b   ,  p   nên f ' ( z )   ( B  0, r ) - Nếu  p  r ta chứng minh D(b,  p )  B (0, r )  Thật lấy x  D b,  p  xb p   p  r suy x p  r x  B  0, r  Bởi D (b,  p )  B(0, r ) Mà theo chứng minh có tồn f ' ( z ) B (0, r ) D (b,  p )  B(0, r ) nên tồn f ' ( z ) D(b,  p )  Mặt khác với a  B b,  a  b    1  p p   a b p   a  b     p p  p   p (do   ) nên ta có:   max a  b p ,  p ,  Từ suy a  (  1)  D(b,  p ) với a  B(b,  p ) Áp dụng tương tự cơng thức (***) ta có: f ' (a)   lim  f  a  (  1)  ' n  n ( n , p ) 1  1  1 Do Suy lim  f  a  (  1)   ' n  n ( n , p ) 1  1 lim  f '  a  (  1)    n n n ( n , p ) 1  1 với a  B(b,  ) p   p hay   f a , '  ( z )( z  a   )dz  f   z    B  a   ,  p     Chứng minh tương tự ta có B  0, r   B  a   ,  p  Bởi ta có f ' ( z )   ( B  0, r ) Vì f(z) chỉnh hình B  0, r  suy f khả vi cấp B  0, r  quy nạp ta chứng minh đạo hàm thuộc lớp  ( B  0, r ) Định lý chứng minh KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ CỦA LUẬN VĂN Luận văn giải vấn đề sau: - Thứ nhất: Đã xây dựng khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn,độ đo tăng chậm khái niệm tích phân p- adic tương tự p-adic tích phân Riemann giải tích thực đưa điều kiện khả tích hàm liên tục độ đo tăng chậm độ đo bị chặn - Thứ hai: Đã xây dựng khái niệm tích phân Schnirelman ( tương tự p-adic tích phân Cauchy giải tích phức) nghiên cứu số tính chất tích phân Schnirelman - Thứ ba: Đã nghiên cứu số ứng dụng tích phân Schnirelman tìm tương tự p-adic số định lý giải tích phức để nghiên cứu hàm chỉnh hình Chúng tơi hy vọng thời gian tới tiếp tục nghiên cứu, tìm tịi thêm ứng dụng tích phân Schnirelman TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Hà Huy Khoái (1980), “ p-adic interpolation and the Mellin- Mazur transform”, Acta Math.Vietnam 5, no.1, pp.77-99 Tiếng anh [2] Koblitz, N (1977), p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [3] Koblitz, N (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, Cambridge University Press [4] Manin, Yu.I (1973), “Parabolic points and zeta functions of modular curves”, Math.USSR,Izv.6(1972), pp.19-64 [5] Panchishkin, A.A (1997), “Non-archimedean Mellin transform and p-adic L- functions”,Việtnam J Math 25, no.3, pp.179-202 [6] Shnirelman, L G (1938), “On functions in normed algebraically closed Division rings”, Isvestija AN SSSR, 2, pp 487-498 ... nguyên p- adic T? ?p h? ?p p   a p  / a p  với ph? ?p toán cộng nhân thành vành Vành gọi vành số nguyên p- adic T? ?p h? ?p tất phần tử khả nghịch vành  P   x   p /  x p     x  p p  / x p ... tích phân padic tương tự p- adic tích phân Riemann điều kiện khả tích cho hàm liên tục ứng với độ đo Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tơi xây dựng tích phân. .. f : Tích phân hàm f ứng với độ đo  p p p p p MỞ ĐẦU Giải tích p- adic hướng mà phát triển nhanh ngành Đại số Lý thuyết số Gần có số tác giả xây dựng tích phân p- adic sử dụng chúng các ph? ?p biến