Tìm tọa độ điểm B nằm trên đồ thị C và tọa độ điểm √ C nằm trên 10 đường tiệm cận ngang của đồ thị C sao cho tứ giác IABC nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính bằng... Giải hệ p[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN NGÀY 10.11.2012 ĐỀ SỐ Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x+2 có đồ thị (C) x−1 ath PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) BOXMATH http://boxmath.vn a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Gọi A(1; 4) và I là giao điểm hai đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm B nằm trên đồ thị (C) và tọa độ điểm C nằm √ trên 10 đường tiệm cận ngang đồ thị (C) cho tứ giác IABC nội tiếp đường tròn có bán kính Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: sin 2x + sin 4x = tan x + cot x x3 y + x3 + xy + x = b) Giải hệ phương trình: 4x3 y2 + 4x3 − 8xy − 17x = −8 Z Câu (1 điểm) Tính tích phân I= sin3 x dx cos6 x bo xm π Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông B và C, có AB = 4a,CD = a, BC = 4a Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm MD và BC Biết chân đường cao H hình chóp S.ABCD là trung điểm d = √2 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a đoạn AE và cos SCD 29 Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 2(a4 + b4 + c4 ) − 3(a2 + b2 + c2 ) + 12 = (a + b + c)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức b2 c2 a2 P= + + 3b + c 3c + a 3a + b PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn htt p :// Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặtphẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có B và C thuộc đường thẳng (d) có phương trình 4x + 3y − = 0, trọng tâm G ; −2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính R = Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C và tính độ dài đường phân giác góc B b) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 2z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B và cắt (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích 6π log4 (−x2 −2x+3) < m có nghiệm đúng với x ∈ (−2; 0) Câu 7A (1 điểm) Xác định m để bất phương trình B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(6; 10), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(6; 5) và tâm đường tròn nội 11 tiếp là K 2; Viết phương trình các cạnh tam giác b) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 3; 6), B(−2; 3; 8) và mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z − 14 = Tìm trên (P) điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu 7B (1 điểm) Xác định m để bất phương trình x thỏa mãn |x| ≥ 252x −x − 2(m − 1).102x −x + (m + 1).42x −x ≥ có nghiệm đúng với ———————————————–Hết—————————————————- (2) Câu 1.a Cho hàm số y = TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN x+2 có đồ thị (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) x−1 Lời giải: (hungchng) Đồ thị TXĐ D = R\{1}; −3 < ∀x ∈ D, đạo hàm y0 = (x − 1)2 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1); (1; +∞) lim y = +∞; lim y = −∞; ath x→1− x→1+ x = là phương trình tiệm cận dọc lim y = 1; lim y = 1; x→−∞ x→+∞ y = là phương trình tiệm cận ngang Bảng biến thiên −∞ y0 +∞ − −4 −∞ −1 −2 +∞ y −2 −1 − −3 bo xm x 1 −3 htt p :// Câu 1.b Gọi A(1; 4) và I là giao điểm hai đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm B nằm trên đồ thị (C) và tọa độ điểm √ C nằm trên 10 đường tiệm cận ngang đồ thị (C) cho tứ giác IABC nội tiếp đường tròn có bán kính Lời giải: (nhatqny) A(1; 4), I(1; 1) là giao điểm hai đường tiệm cận b+2 Gọi B b; ∈ (C), (b 6= 1), C(c; 1), (c 6= 1) là điểm nằm trên đường tiệm cận ngang y = b−1 → − O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IABC H là trung điểm IA ⇒ H 1; , IA(0; 3) Phương trình đường thẳng (d) qua O và vuông góc với IA cắt IA H: (d) : y = √ 10 , (a 6= 1) OA = R = ⇔ (a − 1) + = ⇔ a = a = O ∈ (d) ⇒ O a; 2 2 3 TH1: a = ⇒ O ; 2 √ √ 10 b+2 5 OB = R = ⇔ b− + − = ⇔ ((b − 1)3 − 9)(b − 2) = ⇔ b = hoăc b = + 2 b − 1! 2 √ √ + Do đó:B(2; 4) B + 9; √ √ 10 OC = R = ⇔ c = c = 1(loại) Do đó:C(2; 1) 1 TH2: a = ⇒ O ; 2 √ 10 b+2 5 OB = R = ⇔ b− + − = (vô nghiệm) 2 ! b−1 2 √ √ 3+ Vậy B(2; 4), B 9; √ , C(2; 1) Câu 2.a Giải phương trình: sin 2x + sin 4x = tan x + cot x Lời giải: (thienlonghoangde) Điều kiện tan x 6= Ta có: sin 2x + sin 4x = tan x + cot x = ⇐⇒ sin2 2x(1 + 2cos2x) = ⇐⇒ (1 − cos2 2x)(1 + 2cos2x) = sinx.cosx Đặt t = cosx t ∈ [−1; 1] t 6= Ta f (t) = 2t + t − 2t + = Nhận thấy f (t) > ta pt vô nghiệm (3) PT ⇐⇒ cos 2x − cos 4x − cos 6x = ⇐⇒ cos 2x = cos 4x = −1 cos 6x = −1 ⇐⇒ cos 2x = cos 2x = cos3 2x − cos 2x + = Câu 2.b Giải hệ phương trình: Lời giải: (Phố Kỉ Niệm) x3 (y + 1) + x(y + 1) = ath =⇒ PT vô nghiệm x3 y + x3 + xy + x = 4x3 y2 + 4x3 − 8xy − 17x = −8 Lời giải: (Mai Tuan Long) ĐK:sin 2x 6= x3 (y + 1) + x(y + 1) = ⇐⇒ 4x3 (y + 1)2 − 8x3 (y + 1) − 8x(y + 1) − 9x = −8 4x3 (y2 + 1) − 8x(y + 1) − 9x = −8 a = x a3 b + ab = Đặt Hệ pt thành b = y + 4a3 b2 − 8a3 b + 8ab − 9a = −8 (1) (2) Z Câu Tính tích phân I= π bo xm Lấy nhân pt(1) 8ab + 4a3 b2 + 8ab − 9a = ⇐⇒ 4a + pt(2) ta được: b + 16ab − 9a = a3 b + ab = a3 b + ab = a3 b + ab = Khi đó hệ pt là ⇐⇒ hay a(4a2 b2 + 16b − 9) = a = 4a2 b2 + 16b = 1 b = b = b = + 1) + 1) + 1) a(a a(a a(a ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 1 4a2 9a5 + 18a3 − 16a2 + 5a − 16 = 4a + 16(a2 + 1) = 9a(a2 + 1)2 + 16 =9 2 2 a (a + 1) a(a + 1) b = b = + 1) a(a vì 9a4 + 9a3 + 27a2 + 11a + 16 > ∀a ∈ R ⇐⇒ ⇐⇒ a = (a − 1)(9a + 9a + 27a + 11a + 16) = sin3 x dx cos6 x Lời giải: (thienlonghoangde) √ π Đặt t = cos x dt = − sin xdx, đổi cận: x = thì t = 1, x = thì t = √ √ " # √ Z 2 2 1−t t −5 t −3 2+2 dt Vậy ta I = − − Nên ta có: I = − = t6 −5 −3 15 :// htt p Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông B và C, có AB = 4a,CD = a, BC = 4a Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm MD và BC Biết chân đường cao H hình chóp S.ABCD là trung điểm đoạn AE và d = √2 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a cos SCD 29 Lời giải: (Mai Tuan Long) −→ −→ CD k BM CH = 2a CH = AB − → −→ HA = −HE ⇒ Ta có: ⇒ CB = −CE − ⇒ → − → d = √2 CD = BM CB = −CE CH k AB cos SCH 29 4a 1 d = √ Vậy SABCD = (AB +CD)BC = 10a2 ⇒ VS.ABCD = SH.SABCD = 40a ⇒ SH = HC cos SCH 87 29 T 1 HM k BC ⇒ HM ⊥ HC Gọi I= HM AC ⇒ tứ diện HSCI là tứ diện vuông đỉnh H, nên HI = HM = BC = 2a 2 1 1 4a 8a ⇒ = + + ⇒ d(H; (SAC) = √ ⇒ d(B; (SAC) = d(E; (SAC)) = 2d(H; (SAC)) = √ d (H; (SAC) HC2 HI SH 37 37 Câu Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 2(a4 + b4 + c4 ) − 3(a2 + b2 + c2 ) + 12 = (a + b + c)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P= + + 3b + c 3c + a 3a + b Lời giải: (nhok_lazy) (4) Thu gọn giả thiết, ta được: ab + bc + ca = (a4 + b4 + c4 ) − 2(a2 + b2 + c2 ) + = ∑(a4 + 1) − 2(a2 + b2 + c2 ) + ≥ p Suy a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca) = (∑ a)2 (∑ a)2 Ta có: P≥ = ≥ (3b + c) 4(a + b + c) ∑ Đẳng thức xảy a = b = c = B I K bo xm G ath Câu 6A.a Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có B và C thuộc đường thẳng (d) có phương trình 4x + 3y − = 0, trọng tâm G ; −2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính R = Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C và tính độ dài đường phân giác góc B Lời giải: (GGGGGGG) A J C htt p :// Câu 6A.b Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 2z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B và cắt (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích 6π Lời giải: (Mai Tuan Long) Mặt cầu (S) có tâm là I(1; −1; −1) và bán kính R = √ √ √ Mặt phẳng (P) cắt (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích 6π ⇒ (C) có bán kính: r = ⇒ d(I; (P)) = R2 − r2 = T Xét hai mặt phẳng: (Q1 ) có PT: x − z − = ; (Q2 ) có PT: y − = Ta có: AB = (Q1 ) (Q2 ) ⇒ mặt phẳng (P) chứa AB có PT: m(x − z − 1) + n(y − 1) = ⇔ mx + ny − mz − (m + n) = với m2 + n2 > , (1) √ |m − 2n| |m − 2n| ⇒ d(I; (P)) = √ ⇒√ = ⇔ 5m2 + 4mn − n2 = , (2) 2 2 2m 2m + n +n 5m2 + 4mn − n2 = m 6= m 6= Kết hợp (1) và (2) ta được: ⇔ m2 + n2 > n = 5m n = −m m 6= + Với ta có (P) có PT: x − y − z = n = −m m 6= + Với ta có (P) có PT: x + 5y − z − = n = 5m Câu 7A Xác định m để bất phương trình log4 (−x2 −2x+3) < m có nghiệm đúng với x ∈ (−2; 0) Lời giải: (Ailasieunhan) x ∈ (−2; 0) =⇒ < −x2 − 2x + < =⇒ log4 < log4 (−x2 − 2x + 3) < ⇐⇒ log4 Do đó: yêu cầu bài toán ⇐⇒ m ≥ log4 (−x2 −2x+3) log4 2 < < 3 (5) Câu 6B.a Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(6; 10), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(6; 5) và tâm đường tròn 11 Viết phương trình các cạnh tam giác nội tiếp là K 2; Lời giải: (GGGGGGG) B K I bo xm C ath A Câu 6B.b Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 3; 6), B(−2; 3; 8) và mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z − 14 = Tìm trên (P) điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải: (Mai Tuan Long) Gọi I là trung điểm AB⇒ I = (1; 3; 7) Ta có: M(a; b; c) ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c − 14 = 0, (1) Gọi H là hình chiếu I lên (P), A1 là điểm đối xứng A qua (P) ~ = (−6; 0; 2) ⇒ AB k (P) ⇒ AA1 = 2.IH AB IH k AA T ⇒ ⇒ H là trung điểm BA1 ⇒ H= BA1 (P) AA1 = 2.IH :// Ta có: MA + MB = MA1 + MB ≥ BA1 xảy M ≡ H ⇔ M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với (P) b−3 c−7 ⇒ a−1 = = , (2) a + 2b + 3c − 14 = Từ (1) và (2) ta có M có tọa độ thỏa mãn hệ PT: ⇔ M(0; 1; 4) a−1 = b−3 = c−7 Lời giải: (ledinhmanqb) Gọi M(a; b; c) ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = 14 Khi đó ta có p p MA = (4 − a)2 + (3 − b)2 + (6 − c)2 ; MB = (−2 − a)2 + (3 − b)2 + (8 − c)2 q q √ 6(MA + MB) = (4 + + 1) [(4 − a)2 + (3 − b)2 + (6 − c)2 ] + (1 + + 4) [(−2 − a)2 + (3 − b)2 + (8 − c)2 ] ≥ |2(a − 4) + (b − 3) + (c − 6)| + |(−2 − a) + (b − 3) + 2(c − 8)| ≥ |a + 2b + 3c − 38| = | − 24| = 24 htt p √ 4−a 3−b 6−c −2 − a b − c − Suy min(MA + MB) = ⇐⇒ = = và = = Giải và tìm điểm M(0; 1; 4) 1 1 2 2 Câu 7B Xác định m để bất phương trình 252x −x − 2(m − 1).102x −x + (m + 1).42x −x ≥ có nghiệm đúng với x thỏa mãn |x| ≥ Lời giải: (Mai Tuan Long) 2x2 −x Đặt: t = ,từ |x| ≥ ⇔ 2x− x ≥ ⇒ t ≥ 2 BPT ⇔ t − 2(m − 1)t + m + ≥ có nghiệm đúng với t ≥ (1) Đặt: f (t) = t − 2(m − 1)t + m + ⇒ f (t) = 2t − 2(m − 1) ⇒ f (t) = ⇔ t = m − ⇒ f (t) đồng biến trên [m − 1; +∞) và nghịch biến trên (−∞ : m − 1] +Nếu: ∈ [m − 1; +∞) ⇒ m − ≤ ⇔ m ≤ Thì Min[1;+∞) [ f (t)] = f (1) = − m (6) ⇔m≤2,(*) 4 − m ≥ ⇒ ĐK (1) ⇔ m ≤ 2 + Nếu ∈ (−∞; m − 1] ⇒ m − ≥ ⇔ m ≥ Thì Min[1;m−1] [ f (t)] = f (m − 1) = −m + 3m −m2 + 3m ≥ ⇒ ĐK(1) ⇔ ⇔ ≤ m ≤ , ( ** ) m ≥ ath Từ ( * ) và ( ** ) ta có Tập giá trị m thỏa mãn ĐK đề bài là: T = (−∞; 3] Lời giải: (Mai Tuan Long) 2x2 −x ,từ |x| ≥ ⇔ 2x− x ≥ ⇒ t ≥ Đặt: t = 2 BPT ⇔ t − 2(m − 1)t + m + ≥ có nghiệm đúng với t ≥ (1) Đặt: f (t) = t − 2(m − 1)t + m + Xét : ∆0 = m2 − 3m; a = > 0; − ba = m − 1; f (1) = − m ∆ > ĐK (1)⇔ ∆0 ≤ 0, (2) Hoặc f (1) ≥ , (3) b0 −a <1 (2)⇔ m − 3m ≤ ⇔ ≤ m ≤ , ( * ) m − 3m > ⇔ m < , ( ** ) 4−m ≥ m−1 < Kết hợp ( * ) với ( ** ) ta Tập các giá trị m cần tìm là: T = (−∞; 3] htt p :// bo xm (3)⇔ (7)