Bất đẳng thức tính phân dạng gronwall và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Y Z NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải Tích Mã số : 60.46.01 Người hướng dẫn: TS Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê - Toán - Tin Học, Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh TP HỒ CHÍ MINH NĂM 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS Trần Minh Thuyết, người tận tâm hướng dẫn, bảo cho suốt trình hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán –Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên phòng sau Đại học truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt trình học tập Xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử nhân Phạm Thanh Sơn đọc luận văn đóng góp nhiều ý kiến bổ ích Xin chân thành cảm ơn bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, động viên nhiệt tình giúp đỡ suốt thời gian qua Vì kiến thức học viên nhiều hạn chế nên luận văn có thiếu sót Kính mong quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp giúp đỡ Nguyễn Minh Khải Chương PHẦN MỞ ĐẦU Vào năm 1919, Gronwall phát biểu chứng minh kết sau: Nếu u :[α ,α + h] → R liên tục, thoûa t ≤ u (t ) ≤ ∫ [a + bu ( s )]ds, ∀t ∈ [α , α + h], α ∀t ∈ [α , α + h] , u (t ) ≤ ahebh , đó, số thực a, b, h ≥ α > cho trước Đây kết để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng Volterra Dạng bất đẳng thức nầy công cụ cần thiết việc đánh giá tường minh cho ẩn hàm Từ bất đẳng thức nầy xuất hiện, quan tâm nghiên cứu nhiều khía cạnh khác Trong số nhiều kết thuộc chủ đề nầy, bất đẳng thức Bellman [3] quen thuộc sau: Giả sử x(t ) k (t ) hàm liên tục không âm với t ≥ α Nếu a số, a ≥ ,vaø t ≤ x(t ) ≤ a + ∫ k ( s )u ( s )ds, ∀t ≥ α , α ⎛t ⎞ x(t ) ≤ a exp ⎜ ∫ k ( s )ds ⎟ , ∀t ≥ α ⎝α ⎠ Dễ thấy kết Bellman tổng quát kết Gronwall Vì lí nầy mà bất đẳng thức thuộc loại nầy gọi “bất đẳng thức Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall” Các bất đẳng thức thuộc loại Gronwall cung cấp công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, phương trình bất phương trình tích phân loại (xem Gronwall [9] Guiliano [10]) Một số ứng dụng kết nầy để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến tìm thấy Bellman [3] Một số ứng dụng vào lý thuyết tồn phương trình vi phân tìm thấy Nemyckii-Stepanov [14], Bihari [4], Langenhop [11] Trong thời gian qua nhiều tác giả thiết lập nhiều bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập Dó nhiên, kết áp dụng vào việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình tích phân Volterra Hầu hết vấn đề trình bày luận văn nầy kiến thức biết hay nghiên cứu nên nội dung luận văn Tuy nhiên kiến thức kết trình bày luận văn hệ thống lại cách Hơn chứng minh luận văn trình bày chi tiết có giải thích rõ ràng mà tài liệu khác không chứng minh bỏ qua Luận văn nầy phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương kiến thức chuẩn bị Chương thiết lập số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà tích phân nầy tồn miền xác định chúng Trong chương giới thiệu số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm u bất đẳng thức Gronwall thay hàm u p , số a thay hàm a không âm, không giảm Tùy theo giá trị p thay đổi mà thu kết đánh giá địa phương hay toàn cục, phương pháp xử lý khác Trong chương giới thiệu số bất đẳng thức tích phân khác hàm cho hàm theo hai biến độc lập Các bất đẳng thức tích phân nầy áp dụng công cụ đánh giá tính bị chận chứng minh nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nầy trình bày chứng minh số bổ đề áp dụng chương sau Bổ đề 1.1 (Gronwall) Nếu u :[α ,α + h] → R liên tục, thỏa t ≤ u (t ) ≤ ∫ [a + bu ( s )]ds, ∀t ∈ [α , α + h], α u (t ) ≤ ahebh , ∀t ∈ [α , α + h], a, b, h ≥ Chứng minh t Ñaët v(t ) = ∫ ( a + bu ( s) ) ds, ∀t ≥ α α Khi v(α ) = 0, ≤ u (t ) ≤ v(t ) Hay v ′(t ) = a + bu (t ) ≤ a + bv(t ) v′(t ) − bv(t ) ≤ a ( v(t )e )′ = e ( v′(t ) − bv(t ) ) ≤ ae − bt − bt − bt Tích phân [α , t ] , ta t v(t )e− bt ≤ a ∫ e− bs ds = α u (t ) ≤ v(t ) ≤ a − bα e − e− bt ) ( b a b (t −α ) ( e − 1) , b ∀t ∈ [α ,α + h] Mặt khác, định lý Lagrange, ta có θ ∈ (0,1) cho eb (t −α ) − = b(t − α )eθ b (α + h −α ) , ≤ b(α + h − α )eθ b (α + h −α ) ≤ bhebh Vaäy bổ đề 1.1 chứng minh Chương Các kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.2 ( Bellman) Nếu u, k :[α , +∞) → [0, +∞) liên tục, thỏa t u (t ) ≤ a + ∫ k ( s )u ( s )ds, ∀t ≥ α , a ≥ 0, α t ∫ k ( s ) ds u (t ) ≤ a eα ∀t ≥ α , Chứng minh t Đặt v(t ) = a + ∫ k ( s)u ( s)ds > 0, ∀t ≥ α α Ta coù v(α ) = a, u (t ) ≤ v(t ), v ′(t ) = k (t )u (t ) ≤ k (t )v(t ) Do ñoù v ′(t ) − k (t )v(t ) ≤ Suy t t ⎛ − ∫ k ( s ) ds ⎞′ − ∫ k ( s ) ds ⎜e α v(t ) ⎟ = e α ( v′(t ) − k (t )v(t ) ) ≤ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ Tích phân hai vế [α , t ] , ta t ∫ − k ( s ) ds e α v(t ) − v(α ) ≤ 0, ∀t ≥ α t ∫ k ( s ) ds v(t ) ≤ v(α )eα t ∫ k ( s ) ds = aeα , ∀t ≥ α Hay t ∫ k ( s ) ds u (t ) ≤ v(t ) ≤ aeα , ∀t ≥ α Vậy bổ đề 1.2 chứng minh Chương Các kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.3 Cho b(t ) hàm liên tục, f (t ) hàm khả tích , v(t ) hàm khả vi [α , ∞) thỏa ⎧v ′(t ) ≤ b(t )v(t ) + f (t ), ⎨ ⎩v(α ) ≤ v0 ∀t ≥ α, Khi ⎛t ⎞ t ⎛t ⎞ v(t ) ≤ v0 exp ⎜ ∫ b( s )ds ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ds, ⎝α ⎠ α ⎝s ⎠ ∀t ≥ α Chứng minh ⎛ t ⎞ ⎝ α ⎠ Nhân hai vế bất đẳng thức v′(t ) ≤ b(t )v(t ) + f (t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ , ta ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ v ′(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ − b(t )v(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ ≤ f (t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ , ⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠ hay ⎛ t ⎞⎞ ⎛ t ⎞ d⎛ ( ) exp ( τ ) τ ( ) exp v t b d f t − ≤ ⎜⎜ ⎜ ∫ ⎟ ⎟⎟ ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ dt ⎝ ⎝ α ⎠⎠ ⎝ α ⎠ Lấy tích phân hai vế từ α đến t , ta t ⎛ t ⎞ ⎛ s ⎞ v(t ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ − v(α ) ≤ ∫ f ( s ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ ds α ⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠ Do ⎛t ⎞ t ⎛ s ⎞ ⎛t ⎞ v(t ) ≤ v(α ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ − ∫ b(τ )dτ ⎟ exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ ds ⎝α ⎠ α ⎝ α ⎠ ⎝α ⎠ t ⎛t ⎞ t ⎛α ⎞ v(t ) ≤ v(α ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ + ∫ b(τ )dτ ⎟ ds α ⎝α ⎠ α ⎝s ⎠ ⎛t ⎞ t ⎛t ⎞ v(t ) ≤ v0 exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ + ∫ f ( s ) exp ⎜ ∫ b(τ )dτ ⎟ ds, ⎝α ⎠ α ⎝s ⎠ Vậy bổ đề 1.3 chứng minh Chương Các kiến thức chuẩn bị ∀t ≥ α Bổ đề 1.4 Cho u ( x, y ), a( x, y ), b( x, y ) hàm liên tục không âm với x, y ∈ R+ (i) Giả sử a( x, y ) hàm không giảm theo x , không tăng theo y, với x, y ∈ R+ Neáu x ∞ u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds, ∀x, y ∈ R+ , y ⎛x∞ ⎞ u ( x, y ) ≤ a( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ , ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ ∀x, y ∈ R+ (ii) Giả sử a( x, y ) hàm không tăng với x, y ∈ R+ Nếu ∞∞ u ( x, y ) ≤ a ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds, ∀x, y ∈ R+ , x y ⎛∞∞ ⎞ u ( x, y ) ≤ a( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ , ⎜ ⎟ ⎝x y ⎠ ∀ x, y ∈ R+ Chứng minh i Đặt aε ( x, y ) = a( x, y ) + ε > 0, ε > Ta coù x ∞ u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) + ∫ ∫ b( s, t )u ( s, t )dtds, y Chia hai veá cho aε ( x, y ) ta được, x ∞ u ( x, y ) u ( s, t )dtds ≤ + ∫ ∫ b( s , t ) aε ( x, y ) aε ( x, y ) y x ∞ ≤ + ∫ ∫ b( s, t ) y u ( s, t )dtds aε ( s, t ) Chương Các kiến thức chuẩn bị x, y ∈ R+ x ∞ Đặt v( x, y ) = + ∫ ∫ b( s, t ) y u ( s, t )dtds aε ( s, t ) Khi u ( x, y ) ≤ v( x, y ) aε ( x, y ) v(0, y ) = 1, ∞ v x ( x, y ) = ∫ b ( x, t ) y u ( x, t )dt aε ( x, t ) ∞ ≤ ∫ b( x, t )v( x, t )dt y ∞ ≤ v( x, y ) ∫ b( x, t )dt y Do vx ( x, y ) ∞ ≤ b( x, t )dt v( x, y ) ∫y Lấy tích phân hai vế từ đến x, ta x ∞ vx ( s, y ) ∫0 v(s, y) ds ≤ ∫0 ∫y b(s, t )dtds x Do x ∞ v ( x, y ) ln ≤ b( s, t )dtds v(0, y ) ∫0 ∫y Suy ⎛x∞ ⎞ v( x, y ) ≤ v(0, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ Hay ⎛x∞ ⎞ u ( x, y ) ≤ aε ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ b( s, t )dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ Cho ε → , ta có Chương Các kiến thức chuẩn bị Từ (4.17) (4.18), ta suy x (4.19) w( x, y ) ≤ + ∫ b( s, y ) g ( w( s, y ))ds α Cố định y ∈ R+ (4.19) sử dụng (i) bổ đề 3.1 vào (4.19), ta x ⎛ ⎞ w( x, y ) ≤ G ⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟ α ⎝ ⎠ (4.20) −1 Từ (4.14), (4.17), (4.20), ta suy u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) z ( x, y ) u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p ( x, y ), p ( x, y ) xác định (4.14) Từ định nghóa z ( x, y ) , ta coù u ( x, y ) ≤ p ( x , y ) ( a ( x, y ) + c ( x , y ) v ( x , y ) ) , với (4.21) x ∞ v( x, y ) = ∫ ∫ d ( s, t )u ( s, t )dtds y Hơn x ∞ v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t ) ( a ( s, t ) + c( s, t )v( s, t ) ) dtds y x ∞ x ∞ y y ≤ ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )a ( s, t )dtds + ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )c ( s, t )v ( s, t )dtds x ∞ ≤ e( x, y ) + ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t )c( s, t )v( s, t )dtds, (4.22) y e( x, y ) hàm không âm liên tục, không giảm theo x ∈ R+ không tăng theo y ∈ R+ , (4.15) Áp dụng (i) bổ đề 1.4 vào (4.22), ta ⎛x∞ ⎞ v( x, y ) ≤ e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ Từ (4.20) (4.23), ta suy Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.23) ⎡ ⎛x∞ ⎞⎤ u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ⎢ a ( x, y ) + c( x, y )e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝0 y ⎠⎦ Định lý 4.1 chứng minh. Định lý 4.2 Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), d ( x, y ) hàm liên tục không âm x, y ≥ 0, hàm g ∈ S , z ( x, y ) hàm không tăng x ≥ z ( x, y ) ≥ x, y ≥ 0, u ( x, y ) thoûa β u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + ∫ b( s, y ) g (u ( s, y )) ds, ∀x, y ≥ 0, β ≥ x, (4.24) x ⎡ ⎛∞∞ ⎞⎤ u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ⎢ a ( x, y ) + c( x, y )e ( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ , ∀x, y ≥ 0, (4.25) ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝x y ⎠⎦ ∞∞ z ( x, y ) = a ( x, y ) + c( x, y ) ∫ ∫ d ( s, t )u ( s, t )dtds, x y β ⎛ ⎞ p ( x, y ) = G ⎜⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟⎟ , x ⎝ ⎠ (4.26) −1 ∞∞ (4.27) e ( x, y ) = ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )a ( s, t )dtds, x y u G (u ) = ds ∫ g ( s) , (4.28) u > 0, u0 > 0, u0 β G −1 hàm ngược haøm G vaø G (1) + ∫ b( s, y )ds ∈ Dom(G −1 ) x Chứng minh Chia hai veá (4.24) cho z ( x, y ) , ta Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng β u ( x, y ) g (u ( s, y ))ds ≤ + ∫ b( s, y ) z ( x, y ) z ( x, y ) x Đặt β w( x, y ) = + ∫ b( s, y ) x g (u ( s, y ))ds z ( x, y ) Ta coù u ( x, y ) ≤ w( x, y ) z ( x, y ) (4.29) Từ giả thiết hàm z, g , ta β w( x, y ) ≤ + ∫ b( s, y ) x g (u ( s, y ))ds z ( s, y ) β ⎛ u ( s, y ) ⎞ ≤ + ∫ b( s, y ) g ⎜ ⎟ ds ⎝ z ( s, y ) ⎠ x (4.30) Từ (4.29), (4.30), ta suy β w( x, y ) ≤ + ∫ b( s, y ) g ( w( s, y ))ds (4.31) x Cố định y ∈ R+ (4.31) sử dụng (i) bổ đề 3.1 vào (4.31), ta β ⎛ ⎞ w( x, y ) ≤ G ⎜⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟⎟ x ⎝ ⎠ −1 (4.32) Từ (4.26), (4.29), (4.32), ta u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) z ( x, y ) u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p( x, y ), p ( x, y ) xác định (4.26) Từ định nghóa z ( x, y ) ta coù u ( x, y ) ≤ p ( x , y ) ( a ( x , y ) + c ( x, y ) v ( x , y ) ) , với ∞∞ v( x, y ) = ∫ ∫ d ( s, t )u ( s, t )dtds x y Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.33) Hơn ∞∞ v( x, y ) ≤ ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t ) ( a ( s, t ) + c( s, t )v( s, t ) ) dtds x y ∞∞ ∞∞ x y x y ≤ ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )a ( s, t )dtds + ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )c ( s, t )v ( s, t )dtds ∞∞ ≤ e( x, y ) + ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t )c( s, t )v( s, t )dtds, (4.34) x y e( x, y ) hàm không âm, liên tục, không tăng x, y ≥ 0, (4.27) Áp dụng (ii) bổ đề 1.4 vào (4.34), ta ⎛∞∞ ⎞ v( x, y ) ≤ e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x y ⎠ (4.35) Từ (4.33) (4.35), ta suy ⎡ ⎛∞∞ ⎞⎤ u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ⎢ a ( x, y ) + c( x, y )e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝x y ⎠⎦ Định lí 4.2 chứng minh. Định lý 4.3 Cho u ( x, y ), a( x, y ), b( x, y ), c( x, y ) hàm liên tục không âm x, y ≥ hàm F : R+3 → R+ liên tục thoả điều kiện ≤ F ( x, y, u ) − F ( x, y, v) ≤ K ( x, y, v)(u − v), ∀x, y ≥ 0, u ≥ v ≥ , (4.36) vaø K ( x, y, v) hàm liên tục không âm x, y, v ≥ 0, haøm g ∈ S vaø z ( x, y ) hàm không giảm theo x, z ( x, y ) ≥ treân x, y ≥ 0, u ( x, y ) thỏa x u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + ∫ b( s, y ) g ( u ( s, y ) ) ds, ∀α , x, y ≥ 0, α ≤ x , α u ( x, y ) ≤ p( x, y )[a( x, y ) + c( x, y ) A( x, y ) Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.37) ⎛x∞ ⎞⎤ × exp ⎜ ∫ ∫ K ( s, t , p ( s, t ) ) a ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ , ⎜ ⎟⎥ ⎝0 y ⎠⎦ ∀x, y ≥ 0, (4.38) x ∞ z ( x, y ) = a ( x, y ) + c( x, y ) ∫ ∫ F ( s, t , u ( s, t ) ) dtds, y β ⎛ ⎞ p( x, y ) = G ⎜⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟⎟ , x ⎝ ⎠ (4.39) −1 x ∞ A( x, y ) = ∫ ∫ F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) dtds, (4.40) y u G (u ) = ds ∫ g ( s) , (4.41) u > 0, u0 > 0, u0 G −1 x laø haøm ngược G , G (1) + ∫ b( s, y )ds ∈ Dom(G −1 ) α Chứng minh Ta có z ( x, y ) hàm không giảm theo x, z ( x, y ) ≥ vaø g ∈ S Từ (4.35), ta x u ( x, y ) g ( u ( s, y ) ) ds ≤ + ∫ b( s, y ) z ( x, y ) z ( x, y ) α x ≤ + ∫ b( s, y ) α g ( u ( s, y ) ) ds z ( s, y ) ⎛ u ( s, y ) ⎞ ≤ + ∫ b( s, y ) g ⎜ ⎟ ds ⎝ z ( s, y ) ⎠ α x (4.42) Đặt x ⎛ u ( s, y ) ⎞ h ( x, y ) = + ∫ b ( s , y ) g ⎜ ⎟ ds z ( s , y ) ⎝ ⎠ α Ta coù u ( x, y ) ≤ h ( x, y ) z ( x, y ) Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.43) Từ (4.42), (4.43) g hàm tăng, ta suy x h( x, y ) ≤ + ∫ b( s, y ) g ( h( s, y ) ) ds (4.44) α Cố định y ∈ R+ (4.44) sử dụng (i) bổ đề 3.1 vào (4.44), ta x ⎛ ⎞ h( x, y ) ≤ G −1 ⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟ α ⎝ ⎠ (4.45) h( x, y ) ≤ p( x, y ) Từ (4.43), (4.45), ta u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p( x, y ), p ( x, y ) xác định (4.39) Từ định nghóa z ( x, y ) , ta coù u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ( a ( x, y ) + c( x, y ) w( x, y ) ) , vaø (4.46) x ∞ w( x, y ) = ∫ ∫ ⎡⎣ F ( s, t , u ( s, t ) )dtds y Hơn x ∞ w( x, y ) ≤ ∫ ∫ ⎡⎣ F ( s, t , p( s, t ) ( a( s, t ) + c( s, t ) w( s, t ) ) ) y + F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) − F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) ) dtds , x ∞ ≤ A( x, y ) + ∫ ∫ K ( ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) p ( s, t )c( s, t ) w( s, t ) ) dtds, (4.47) y A( x, y ) hàm liên tục không âm, không giảm theo x ∈ R+ không tăng theo y ∈ R+ , (4.40) Áp dụng (i) bổ đề 1.4 vào (4.47), ta ⎛x∞ ⎞ w( x, y ) ≤ A( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ K ( ( s, t , p( s, t )a( s, t ) ) p( s, t )c( s, t ) ) dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ Từ (4.46) (4.48), ta suy u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) [ a ( x, y ) + c( x, y ) A( x, y ) Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.48) ⎛x∞ ⎞⎤ × exp ⎜ ∫ ∫ K ( s, t , p ( s, t ) ) a ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝0 y ⎠⎦ Định lý 4.3 chứng minh. Định lý 4.4 Cho u ( x, y ), a( x, y ), b( x, y ), c( x, y ) hàm liên tục không âm x, y ≥ hàm F : R+3 → R+ liên tục thỏa điều kiện ≤ F ( x, y, u ) − F ( x, y, v) ≤ K ( x, y, v)(u − v), ∀x, y ≥ 0, u ≥ v ≥ 0, (4.49) vaø K ( x, y, v) hàm liên tục không âm x, y, v ≥ 0, hàm g ∈ S , hàm z ( x, y ) không tăng treân x ≥ 0, z ( x, y ) ≥ x, y ≥ 0, u ( x, y ) thoûa β u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + ∫ b( s, y ) g ( u ( s, y ) ) ds, (4.50) ∀x, y ≥ 0, β ≥ x x ñoù u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ⎡⎣ a ( x, y ) + c ( x, y ) A ( x, y ) ⎛∞∞ ⎞⎤ × exp ⎜ ∫ ∫ K ( s, t , p ( s, t ) a ( s, t ) ) p ( s, t ) c ( s, t ) dtds ⎟ ⎥ , ⎜ ⎟⎥ ⎝x y ⎠⎦ ∀x, y ≥ 0, ( 4.51) ∞∞ z ( x, y ) = a ( x, y ) + c( x, y ) ∫ ∫ F ( s, t , u ( s, t ) ) dtds, x y β ⎛ ⎞ p ( x, y ) = G −1 ⎜⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟⎟ , x ⎝ ⎠ (4.52) ∞∞ A( x, y ) = ∫ ∫ F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) dtds, (4.53) x y u G (u ) = ds ∫ g ( s) , (4.54) u > 0, u0 > 0, u0 β G −1 hàm ngược hàm G , G (1) + ∫ b( s, y )ds ∈ Dom(G −1 ) x Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng Chứng minh Ta có z ( x, y ) hàm không tăng theo x, z ( x, y ) ≥ g ∈ S Từ (4.50), ta β u ( x, y ) g ( u ( s, y ) ) ds ≤ + ∫ b( s, y ) z ( x, y ) z ( x , y ) x β ≤ + ∫ b( s, y ) x g ( u ( s, y ) ) ds z ( s, y ) β ⎛ u ( s, y ) ⎞ ≤ + ∫ b( s, y ) g ⎜ ⎟ ds ⎝ z ( s, y ) ⎠ x (4.55) Ñaët β ⎛ u ( s, y ) ⎞ h ( x, y ) = + ∫ b ( s , y ) g ⎜ ⎟ ds ⎝ z ( s, y ) ⎠ x Khi u ( x, y ) ≤ h( x, y ) z ( x, y ) (4.56) Từ (4.55), (4.56), g hàm tăng, ta suy β h( x, y ) ≤ + ∫ b( s, y ) g ( h( s, y ) ) ds (4.57) x Cố định y ∈ R+ (4.57) sử dụng(ii) bổ đề 3.1 vào (4.57), ta β ⎛ ⎞ h( x, y ) ≤ G ⎜⎜ G (1) + ∫ b( s, y )ds ⎟⎟ x ⎝ ⎠ −1 (4.58) Từ (4.52), (4.56) (4.58), ta suy u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) z ( x, y ) u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p ( x, y ) (4.59) Từ định nghóa z ( x, y ) (4.59), ta có u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) ( a( x, y ) + c( x, y ) w( x, y ) ) Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.60) ∞∞ w( x, y ) = ∫ ∫ ⎡⎣ F ( s, t , u ( s, t ) )dtds x y Hơn ∞∞ w( x, y ) ≤ ∫ ∫ ⎡⎣ F ( s, t , p ( s, t ) ( a ( s, t ) + c( s, t ) w( s, t ) ) ) x y + F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) − F ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) ) dtds ∞∞ ≤ A( x, y ) + ∫ ∫ K ( ( s, t , p ( s, t )a ( s, t ) ) p ( s, t )c( s, t ) w( s, t ) ) dtds, (4.61) x y A( x, y ) hàm liên tục không âm, không tăng theo x, y ∈ R+ , (4.53) Áp dụng (ii) bổ đề 1.4 vào (4.61), ta ⎛∞∞ w( x, y ) ≤ A( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ K ⎜ ⎝x y ⎞ (( s, t, p(s, t )a(s, t ) ) p(s, t )c ) dtds ⎟⎟ ⎠ (4.62) Từ (4.60) (4.62), ta suy raèng u ( x, y ) ≤ p( x, y ) ⎡⎣ a( x, y ) + c( x, y ) A( x, y ) ⎛∞∞ ⎞⎤ × exp ⎜ ∫ ∫ K s, t , p ( s, t ) a ( s, t ) p ( s, t )c( s, t )dtds ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝x y ⎠⎦ ( ) Định lý 4.4 chứng minh. Ứng dụng Xét toán u xy ( x, y ) = h ( x, y, u ( x, y ) ) + r ( x, y ), (4.63) u ( x, ∞) = σ ∞ ( x), u (0, y ) = τ ( y ), u (0, ∞) = k , (4.64) h : R+2 × R → R, r : R+2 → R, σ ∞ ,τ ( y ) : R+ → R, k laø số Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng Ví dụ 4.1 Cho c ( x, y ) liên tục không âm, không giảm theo x không tăng theo y với x, y ∈ R+ Cho (4.65) h ( x, y , u ) ≤ c ( x, y ) d ( x, y ) u , x ∞ x y α σ ∞ ( x) + τ ( y ) − k − ∫ ∫ r ( s, t )dtds ≤ a( x, y ) + ∫ b( s, y ) g ( u ) ds, (4.66) với a( x, y ), b( x, y ), d ( x, y ), g xác định định lý 4.1 Nếu u ( x, y ) nghiệm toán (4.63) với điều kiện (4.64), ta x ∞ u ( x, y ) = σ ∞ ( x) + τ ( y ) − k − ∫ ∫ ( h ( s, t , u ( s, t ) ) + r ( s, t ) ) dtds, (4.67) y với x, y ∈ R+ Từ (4.65), (4.66), (4.67), ta x x ∞ α y u ( x, y ) ≤ a( x, y ) + ∫ b( s, y ) g ( u ) ds + c( x, y ) ∫ ∫ d ( s, t ) u dtds (4.68) Áp dụng định lý 4.1 vào (4.68), ta ⎡ ⎛x∞ ⎞⎤ u ( x, y ) ≤ p( x, y ) ⎢ a( x, y ) + c( x, y )e( x, y ) exp ⎜ ∫ ∫ d ( s, t ) p( s, t )c( s, t ) dtds ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝0 y ⎠⎦ với x, y ∈ R+ , với e( x, y ), p( x, y ) xác định định lý 4.1 Ví dụ 4.2 Giả sử hàm h (4.63) thỏa điều kiện h ( x , y , u ) − h ( x, y , v ) ≤ c ( x, y ) d ( x , y ) u − v , (4.69) với c( x, y ), d ( x, y ) xác định định lý 4.1 Nếu u ( x, y), v( x, y ) hai nghiệm toán (4.63) với điều kiện (4.64) Từ (4.67), (4.69), ta x ∞ u ( x, y ) − v( x, y ) ≤ ∫ ∫ c( x, y )d ( s, t ) u ( s, t ) − v( s, t ) dtds y Áp dụng (i) bổ đề 1.4 với a( x, y ) ≡ Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng (4.70) Khi u ( x, y ) − v( x, y ) ≡ 0, Hay u ( x, y ) ≡ v ( x, y ) Vaäy toán (4.63) với điều kiện (4.64) có nghiệm nghiệm Chương Một số bất đẳng thức tích phân ứng dụng PHẦN KẾT LUẬN Qua luận văn nầy, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp học thuật thầy hướng dẫn tổ chức Tác giả học tập số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall mà bất đẳng thức tích phân nầy áp dụng công cụ đánh giá tính bị chận chứng minh nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi từ đóng góp bảo Quý Thầy Cô, bạn Hội Đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D BAINOV and SIMEONOV, Integral Inequalities and Applications, Kluwer Academic Pudlishers, Dordrecht, 1992 [2] P.R BEESACK, Gronwall inequalities, Carleton University Mathematical Lecture Notes, No 11, 1987 [3] SS DRAGOMIR and N.M IONESCU, On nonlinear integral inequalities in two independent variables, Studia Univ Babes – Bolyai, Math., 34 (1989), 11 –17 [4] A MATE and P.NEVAL, Sublinear perturbations of the differential equation y ( n ) = and of the analogous difference equation, J Differential Equation, 52 (1984), 234 – 257 [5] D.S MITRINOVIC, J.E PECARIC and A.M FINK, Inequalities Involving Functions and their Integrals and Derivatives, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1991 [6] B.G PACHPATTE, Inequalities for Differential and Integral Equations, Academic Press, New York, 1998 [7] B.G PACHPATTE, On some new discrete inequalities and their applications, Proc Nat Acad Sci., India, 46 (A) (1976), 255 – 262 [8] B.G PACHPATTE, On certain new finite difference inequalities, Indian J Pure Appl Math., 24 (1993), 373 – 384 [9] B.G PACHPATTE, Some new finite difference inequalities, Computer Math Appl., 28 (1994), 227 – 241 [10] B.G PACHPATTE, On some new discrete inequalities useful in the theory of partial finite difference equations, Ann Differential Equations, 12 (1996), –12 [11] B.G PACHPATTE, On some fundamental integral inequalities and their discrete analogues, J Ineq Pure Appl Math., 2(2) (2001), Article 15 MỤC LỤC Trang Chương PHẦN MỞ ĐẦU .1 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .4 Bổ đề 1.1 (Gronwall) Bổ đề 1.2 ( Bellman) Bổ đề 1.3 .6 Bổ đề 1.4 .7 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN 11 Bổ ñeà 2.1 .11 Định lý 2.1 12 Định lý 2.2 16 Định lý 2.3 19 Định lý 2.4 22 Chương MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL 25 Trường hợp p > 25 Định lyù 3.1 25 Định lý 3.2 28 Định lý 3.3 31 Trường hợp p ≥ ( p ≠ 1) 35 Bổ đề 3.1 .35 Định lý 3.4 35 Định lý 3.5 36 Định lý 3.6 38 Chương MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG .41 Bổ đề 4.1 .41 Định nghóa 4.1 .44 Định lý 4.1 44 Định lý 4.2 47 Định lý 4.3 49 Định lý 4.4 52 PHẦN KẾT LUẬN .57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 ... Bellman tổng quát kết Gronwall Vì lí nầy mà bất đẳng thức thuộc loại nầy gọi ? ?bất đẳng thức Gronwall - Bellman” hay ? ?bất đẳng thức Gronwall? ?? Các bất đẳng thức thuộc loại Gronwall cung cấp công... trước Đây kết để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng Volterra Dạng bất đẳng thức nầy công cụ cần thiết việc đánh giá tường minh cho ẩn hàm Từ bất đẳng thức nầy xuất hiện, quan tâm nghiên... độc lập, mà tích phân nầy tồn miền xác định chúng Trong chương giới thiệu số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm u bất đẳng thức Gronwall thay hàm