Phát triển sản xuất chè bền vững trên địa bàn huyện thanh sơn tỉnh phú thọ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN VĂN ĐÔNG CÁC ĐƯỜNG THẲNG BẬC n CỦA TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2020 Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 đường thẳng đẳng giác Định lý Steiner A2 , B2 , C2 thẳng hàng Các đường thẳng đẳng giác đồng quy AH đường thẳng đối trung xuất phát từ A Quỹ tích đường đối trung Tứ giác điều hòa đường đối trung Hai đường đối song Đường đối trung chia đôi cạnh đối song Đường đối trung Ba đường đối phân giác AA2 , BB2 , CC2 Quỹ tích điểm K mà KN : KM = c−2 : b−2 Khoảng cách từ tâm đối phân giác đến cạnh DL = HE = F K = abc : (bc + ca + ab) 10 11 14 16 17 19 20 21 23 24 25 26 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Một số cát tuyến đặc biệt sin α : sin β = cn−1 : bn−1 Quỹ tích điểm M mà M M2 : M M1 = cn−1 : bn−1 M F : P N : KD = an+1 : bn+1 : cn+1 Chuyển từ bậc n sang bậc n + Chuyển từ bậc n sang bậc n + Chia đoạn thẳng BC D Chuyển từ bậc n sang bậc n + m A1 B1 C1 tam giác hình chiếu M 27 28 29 32 35 36 37 40 41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 AD đường đối trung ABC P thuộc đường thẳng cố định AM AF qua trung điểm HK Ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy HIP IKQ tam giác cân 45 46 47 49 50 52 53 55 56 57 58 60 Chứng minh đẳng thức (3.5) Vẽ đường thẳng "một nửa" VN-TST 2001, Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP Hồ IMO shortlist 2003, USA-TST-2007, Thi toàn Liên bang Nga, 2010, Chí Minh 3.13 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 61 3.14 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round 62 Mục lục Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự 1.2 Các đường đối trung 1.2.1 Các đường đối trung tam giác 1.2.2 Đường đối trung đường đối song 1.2.3 Độ dài đường đối trung đường đối trung 1.3 Các đường đối phân giác 6 13 13 18 20 22 Chương Đường thẳng bậc n 27 2.1 Định nghĩa tính chất 27 2.2 Chuyển đường thẳng n sang đường thẳng n + m 34 2.3 Tam giác hình chiếu đường thẳng bậc n 41 Chương Một số ứng dụng 44 3.1 Ứng dụng giải tốn hình học 44 3.2 Ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, thi Olympic 54 Tài liệu tham khảo 65 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Việt Hải Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K11B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Trần Văn Đơng Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Các đường thẳng trung tuyến, phân giác, đường đối trung tam giác đóng vai trị quan trọng hình học tam giác Đó trường hợp đặc biệt đường thẳng bậc n tam giác Ngoài đường thẳng bậc n đặc biệt biết cịn có đường thẳng khác? Các đường thẳng bậc n có tính chất đặc trưng gì? Cách dựng chúng nào? Có thể áp dụng chúng để giải tốn nào? Đó lý mà chọn đề tài "Các đường thẳng bậc n tam giác" Mục đích đề tài là: − Trình bày khái niệm đường thẳng đặc biệt qua đỉnh tam giác: Trung tuyến, đường đối trung, đường phân giác, đường đối phân giác Các đường thẳng có tính chất đặc trưng liên quan đến điểm đặc biệt tam giác Tài liệu tham khảo [2] − Tổng quát hóa đường thẳng đặc biệt nói đường thẳng bậc n tam giác Từ tính chất đường thẳng bậc n đưa cách dựng đường thẳng bậc n với n số tùy ý Các ứng dụng đường thẳng bậc n phong phú, xuất nhiều đề thi học sinh giỏi, thi Olympic nước quốc tế − Bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thơng có khiếu Tốn, nâng cao khai thác chuyên đề hình học hay khó, chưa giới thiệu chương trình Hình học phổ thơng, kể giáo trình Hình học sơ cấp Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Dựa vào tài liệu [1], [2] [6], luận văn nhắc lại bổ sung định nghĩa, tính chất cát tuyến đặc biệt tam giác Từ tổng quát hóa thành đường thẳng bậc n tam giác Các toán dành cho học sinh giỏi trình bày dạng ví dụ áp dụng nội dung đề tài Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác Trình bày số đường thẳng qua đỉnh tam giác có tính chất đặc biệt: đường thẳng đẳng giác, đường thẳng đẳng cự, đường thẳng đối trung tính chất đặc trưng chúng Mối liên hệ cát tuyến đường thẳng quen thuộc thể qua định nghĩa mệnh đề Chương bao gồm mục sau (có tham khảo chọn lọc [2], [6]): 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự 1.2 Đường đối trung 1.3 Các đường đối phân giác Chương Các đường thẳng bậc n Chương nội dung trọng tâm luận văn Các đường thẳng bậc n tổng quát hóa từ đường thẳng có: trung tuyến, đường đối trung, đường đối phân giác, Ở giới thiệu đặc trưng chung đường thẳng bậc n tam giác Từ tính chất lại đưa cách dựng đường thẳng bậc n cách chuyển từ đường thẳng bậc n sang đường thẳng bậc n + 1, Chương có tham khảo, chọn lọc tài liệu ([1], [3]) bổ sung ví dụ tường minh Nội dung bao gồm 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Chuyển đường thẳng bậc n thành đường thẳng bậc n + m 2.3 Tam giác hình chiếu đường thẳng bậc n Chương Một số ứng dụng Có thể tách thành hai nội dung nhỏ: ứng dụng vào tốn hình học phổ thơng đề cập tới toán thi học sinh giỏi, thi Olympic nước ngồi nước Khi trình bày cách giải tác giả cố gắng làm rõ tính ưu việt lời giải có ứng dụng đường thẳng bậc n tam giác Nội dung bao gồm (tham khảo [3], [4]): 3.1 Ứng dụng vào giải tốn phổ thơng 3.2 Các toán thi học sinh giỏi thi Olympic nước Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác Một đường thẳng cắt hình gọi cát tuyến hình Nếu hình đa giác cát tuyến cắt khơng cạnh hình mà cịn cắt phần kéo dài cạnh Các trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong, ví dụ cát tuyến tam giác Chương trình bày thêm số cát tuyến đặc biệt khác qua đỉnh tam giác 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự Định nghĩa 1.1 Cho góc xOy, hai đường thẳng qua đỉnh O tạo với phân giác góc góc nhau, gọi đường thẳng đẳng giác cạnh góc Các đường thẳng đẳng giác có tính chất sau: Tính chất 1.1.1 Với hai điểm hai đường thẳng đẳng giác ta có tích khoảng cách từ hai điểm đến cạnh góc tích hai khoảng cách đến cạnh Tính chất 1.1.2 Hai điểm đường thẳng đẳng giác chiếu lên cạnh góc tạo thành bốn điểm đồng viên Chứng minh Trên Hình 1.1 ta phải chứng minh M M1 N N1 = M M2 N2 Từ đồng dạng tam giác vuông: OM1 M ∼ ON2 N ; ON2 N ∼ OM2 M ta có: M M2 OM1 OM2 M M1 OM OM = = = ; = N N1 ON N N1 ON2 ON ON1 Hình 1.1: Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 đường thẳng đẳng giác Từ đó, M M1 N N1 = M M2 N N2 ; OM1 ON1 = OM2 ON2 (1.1) Đẳng thức đầu (1.1) chứng minh Ttính chất 1.1.1; đẳng thức thứ hai cho Tính chất 1.1.2 tính chất phương tích Tâm đường trịn qua N1 , M1 , N2 , M2 giao điểm đường trung trực đoạn thẳng M1 , N1 , M2 , N2 Tính chất 1.1.3 Đường thẳng nối hình chiếu cạnh góc hai điểm trên, vng góc với đường nối đỉnh góc với điểm thứ hai Chứng minh Tứ giác OM1 M M2 nội tiếp được, ta có M1 OM = M2 ON Vì M1 OM = M1 M2 M (các góc nội tiếp chắn cung đường tròn) nên M1 M2 M = M2 ON M2 M ⊥ OM2 ta suy ra: M1 M2 ⊥ ON Tương tự, N1 N2 ⊥ OM Tính chất 1.1.4 Mệnh đề đảo Tính chất 1.1.1 51 hai tam giác có góc A chung, nên tam giác đồng dạng Vì M, N trung điểm hai cạnh tương ứng CE, BD nên AM, AN trung tuyến tam giác ACE, ABD Hai góc tương ứng nhau: CAM = BAN , AM AN ABC cặp đường thẳng đẳng giác Từ M K ⊥ CA, N Q ⊥ AB, kẻ thêm N G ⊥ AC, M F ⊥ AB theo Tính chất 1.1.2, bốn điểm K, G, F, Q đồng viên trung điểm I M N tâm đường tròn (KGF Q) Ta suy IK = IQ hay tam giác IKQ cân I Nhận xét Phát quan trọng lời giải toán AM, AN cặp đường thẳng đẳng giác ABC, từ áp dụng Tính chất 1.1.2 Ví dụ 3.1.6 Cho tam giác ABC, M điểm Gọi H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB tương ứng Tìm vị trí M cho M H + M I + M K nhỏ Lời giải Ta có (a2 + b2 + c2 )(M H + M I + M K ) ≥ (aM H + bM Ic M K)2 ≥ 4SABC Từ suy 4.SABC MH + MI + MK ≥ a + b2 + c2 MH MI MK Đẳng thức xảy M ABC = = a b c Theo dấu hiệu thứ hai, M giao ba đường đối trung, nên M điểm Lemoine 2 Nhận xét Từ kết phát biểu điều kiện cần đủ: Đại lượng M H + M I + M K nhỏ M điểm Lemoine ABC Ví dụ 3.1.7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến với (O) A, C BD đồng quy S Chứng minh AB AD2 = = AC CD2 sin CSB sin ASB (3.5) 52 Hình 3.6: Chứng minh đẳng thức (3.5) Chứng minh Theo Ví dụ 3.1.1 ta có SD đường đối trung đường đối trung DAC SB BAC Gọi I = AC ∩ BD, áp dụng Điều kiện cần đủ thứ đường đối trung vào tam giác DAC BAC ta có: AB AI AC AI = = CI AC CI CD2 (3.6) Mặt khác, SASI = SA.SI sin ASB, SCSI = SC.SI sin CSB nên ta có: sin ASB = SASI AI = SCSI CI (3.7) sin CSB Từ (3.6) (3.7) ta suy đẳng thức cần chứng minh Nhận xét Đẳng thức (3.5) chứng minh nhờ phối hợp đặc trưng đường đối trung yếu tố diện tích Ở không sử dụng đường đối trung khó tìm mối liên hệ góc đoạn thẳng Lời giải Dựa vào tốn dựng 3, ta giải tốn sau: Ví dụ 3.1.8 Vẽ đường thẳng "một nửa" tức đường thẳng bậc 53 Phân tích Giả sử AT 12 đường thẳng chia cạnh BC Hình 3.7 theo tỷ số bậc hai cạnh kề √ c =√ T 12 C b BT 12 Qua trung điểm M BC vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AT 12 D Đường thẳng BD cắt AD K Hình 3.7: Vẽ đường thẳng "một nửa" Khi đó, BD sin BAD AK AK = 1, = = DK AB c sin DAK 1 − sin BAD AB c− = = −1 AC b sin DAK Từ đẳng thức (3.8), (3.9) ta có: √ AK c− = − , suy AK = bc c b AK xác định theo cơng thức (2.3) toán phụ: Cách dựng - Dựng AK đoạn thẳng trung bình nhân b = AC, c = AB (3.8) (3.9) 54 - Nối BK, dựng qua trung điểm O đường thẳng gặp BK D - AD cắt BC điểm T 12 , đường thẳng AT 12 đường thẳng "một nửa" Cách dựng khác: Dựng AK = √ bc, đặt AK = AK cạnh AB Đường thẳng KK cắt BC điểm T 12 cần tìm √ c Chứng minh Ta cần chứng minh = √ Thật vậy, ta có SABC = T 12 B b 1 1√ √ bc sin A; SAKK = bc bc sin A = bc sin A Vậy tam giác ABC 2 AKK có diện tích Do đó, tam giác KT 21 C KT 21 B có T 12 C diện tích Như vậy, √ T 12 (b − bc) sin C √ = T 21 B.K B sin B T 12 B.( bc − c) sin B √ √ T 21 C T 21 C.( b) sin C b √ =√ = Ta suy ra: = T 12 B T 21 B.( c) sin B c T 21 C.KC sin C (Đẳng thức cuối định lý hàm sin) Biện luận Bài toán có nghiệm 3.2 Ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, thi Olympic Phần trình bày tốn mức độ khó Trong toán đường thẳng đẳng giác, đẳng cự đường thẳng bậc n không xuất trực tiếp mà thường người làm tốn phải tự tạo Chính điều minh họa ứng dụng đặc sắc đường thẳng bậc n Ví dụ 3.2.1 (VN-TST 2001, Ngày thứ nhất, Bài 2) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt A B Gọi P T hai tiếp tuyến chung hai đường trịn (P, T hai tiếp điểm) Các tiếp tuyến P, T đường tròn ngoại tiếp tam giác AP T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh A, S, H thẳng hàng 55 Hình 3.8: VN-TST 2001, Chứng minh Ta có BP T = P AB; BT P = BAT =⇒ BP T + P AT = 1800 Suy P HT + P AT = 1800 Vậy tứ giác AP HT tứ giác nội tiếp Khi đó, T AH = T P H = BP T = P AB, P H AB đường thẳng đẳng giác góc P AT Giả sử AB cắt P T M , M A.M B = M T = M P nên M trung điểm P T Suy AS đối xứng với AM qua đường phân giác góc P AT , tức AS AM ≡ AB đường thẳng đẳng giác góc P AT Như vậy, AS AH đẳng giác với AB nên trùng Ta có ba điểm A, H, S thẳng hàng Ví dụ 3.2.2 (Thi chọn đội tuyển trường PTNK, 2010, TP Hồ Chí Minh) Cho ABC nội tiếp đường trịn (O), có A cố định, B, C chạy (O) thỏa mãn BC cố định Các tiếp tuyến (O) B C giao K Gọi 56 M trung điểm BC; N giao điểm AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định Hình 3.9: Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP Hồ Chí Minh Chứng minh Gọi D, P giao KN, AP với (O) Vì BC có phương khơng đổi nên KM đường thẳng cố định Theo Ví dụ 3.1.1 ta có AK đường đối trung ABC, suy BAP = N AC Từ ta P N đối xứng qua KM cố định Khi dễ dàng nhận D đối xứng A qua đường thẳng cố định KM , D cố định Ví dụ 3.2.3 (IMO shortlist 2003, Bài 2) Cho điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi C đường trịn ln qua A C với điều kiện [AC] không đường kính C Điểm P giao hai tiếp tuyến C A, C Giả sử C cắt đoạn P B Q Chứng minh giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC điểm cố định C thay đổi 57 Hình 3.10: IMO shortlist 2003, Chứng minh Theo Ví dụ 3.1.1, QB đường đối trung tam giác AQC Gọi giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC R Theo Tính BA AQ2 chất 1.2.2 đường đối trung (đường thẳng bậc 2) ta có: = Mặt BC CQ2 RA AQ khác, tính chất phân giác (đường thẳng bậc 1) cho = Suy RC QC BA RA2 RA BA = hay = Do R cố định C thay đổi BC RC RC BC Nhận xét Bài tốn có nhiều cách giải nhiên sử dụng đường thẳng bậc n cách giải đơn giản, ngắn gọn độc đáo Ví dụ 3.2.4 (USA-TST-2007, Bài 5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt T Gọi S điểm thuộc tia [BC) cho AS ⊥ AT Các điểm B1 , C1 nằm tia [ST ) (C1 nằm B1 S) cho B1 T = BT = C1 T Chứng minh tam giác ABC tam giác AB1 C1 đồng dạng 58 Hình 3.11: USA-TST-2007, Chứng minh Ta trình bày phép chứng minh thành bước: • B1 Gọi M trung điểm BC ta chứng minh BAT = CAM , tức AT đường đối trung tam giác ABC Xét Hình 3.11 (nếu góc BAC tù lập luận ta thay đổi đôi chút) Gọi D giao thứ hai AT (O) Vì BT tiếp xúc với (O) BD TB B nên T BD = T AB Ta suy T BD ∼ T AB, kéo theo = AB TA TC CD Hoàn toàn giống vậy, T CD ∼ T AC = Từ giả thiết AC TA suy T B = T C nên ta có BD TB TC CD = = = BA TA TA AC Đẳng thức cho BD.AC = CD.AB Áp dụng định lý Ptolemy vào tứ giác nội tiếp ABCD ta có BD.AC + AB.CD = AD.BC Kết hợp hai đẳng thức cuối ta thu AC BC MC 2BD.AC = AD.BC hay = = AD 2BD BD 59 Chú ý ACM = ACB = ADB (vì ABCD nội tiếp), ta nhận ABD ∼ AM C, kéo theo BAT = BAD = CAM • B2 Vì BT tiếp xúc với (O) nên CBT = CAB T BA = ABC + CBT = ABC + CBA = 1800 − BCA Theo kết bước 1, ta có BAT = CAM Áp dụng định lý sin vào tam giác BAT CAM , ta nhận BT sin BAT sin CAM MC = = = AT AM sin T BA sin BCA T C1 MC Chú ý T B = T C1 ta có = Ta lại có BT C cân, M TA MA trung điểm BC nên T M S = T AC = T AS = 900 Từ tứ giác T M AP tứ giác nội tiếp Do AM C = AT C1 MC AM AM C = AT C1 nên M AC ∼ = Vì AT T C1 BC B1 C1 = = nên ABC ∼ AB1 C1 BM T C1 T AC1 Cuối Ví dụ 3.2.5 (Thi tồn Liên bang Nga, 2010, Bài 5) Đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA C1 , A1 , B1 Các điểm A2 , B2 trung điểm đoạn thẳng B1 C1 , A1 C1 Gọi P giao điểm đường tròn nội tiếp CO, O tâm ngoại tiếp Ký hiệu N, M giao điểm thứ hai P A2 , P B2 với đường tròn nội tiếp Chứng minh giao điểm Ω = AN ∩ BM thuộc đường cao vẽ từ C tam giác Chứng minh Ta biết đường cao hạ từ C đường thẳng CO hai đường thẳng đẳng giác Các đường thẳng CO, BP, AP cắt P , ta cần chứng minh cặp (AP, AN ) (AP, AM ) cặp đường thẳng đẳng giác ứng với góc A B tam giác ABC Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC, K = AN ∩ BM Từ phương tích điểm P đường trịn (I, r) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AC1 IB1 , 60 Hình 3.12: Thi tồn Liên bang Nga, 2010, ta có A2 I.A2 A = A2 C.A2 B1 ; A2 C1 A2 B1 = A2 N A2 P Suy A2 N A2 P = A2 I.A2 A Đẳng thức cho thấy AN IP tứ giác nội tiếp Hơn ta có IN = IP nên AI phân giác góc N AP , AN AP đường đẳng giác ứng với A Chứng minh tương tự, BM BP đường đẳng giác ứng với B Mặt khác, AP, BP, CO đồng quy I AN, BM cắt Ω, nên CΩ đường đẳng giác CO Từ suy Ω thuộc đường cao hạ từ C ABC Ví dụ 3.2.6 (RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Bài 18) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD Gọi M, N hình chiếu vng góc tương ứng B, C AD Đường trịn đường kính M N cắt BC X Y Chứng minh BAX = CAY Chứng minh Rõ ràng ta định hướng chứng minh AX, AY cặp đường thẳng đẳng giác Từ giả thiết ta thấy BM CN tiếp tuyến đường trịn kính M N 61 Suy BM = BX.BY ; CN = CY.CX Từ đó, Mặt khác, dễ thấy BX BY BM = CN XC Y C ABM ∼ ACN , nên AB BM = AC CN (3.10) (3.11) AB BM BX BY = = Theo Tính chất 1.1.5, AX AC CN XC Y C CY cặp đường thẳng đẳng giác góc BAC Từ (3.10) (3.11) ta có Hình 3.13: RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 Ví dụ 3.2.7 (RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round, 10.6) Các đường cao AA1 , BB1 , CC1 tam giác nhọn ABC đồng quy H Các đường vng góc hạ từ H xuống B1 C1 A1 C1 cắt tia [CA) [CB) P Q, tương ứng Chứng minh đường vng góc hạ từ C xuống A1 B1 qua trung điểm P Q Chứng minh Ta có ∠ACC1 = 900 − A ∠BCC1 = 900 − B Do AB1 C1 ∼ ABC nên ta có ∠HP C = 900 − ∠AB1 C1 = 900 − B, tương 62 tự ∠HQC = 900 − A Tiếp theo, giả sử đường vng góc hạ từ C xuống A1 B1 cắt P Q X Ta có ∠P CX = 900 − B ∠QCX = 900 − A Ta cần chứng minh CX trung tuyến CP Q Vì P CX = QCH nên điều tương đương với CH đường đối trung Do ta đưa chứng minh tốn phụ sau: Bài tốn phụ Giả sử có H tam giác CP Q cho ∠CP H = ∠QCH, ∠CQH = ∠P CH Khi CH đường đối trung tam giác Chứng minh toán phụ Các tam giác P HC, CHQ đồng dạng có cặp góc tương ứng Bây giả sử Y giao thứ hai đường tròn (CHQ) với CH Khi đó, Hình 3.14: RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round ∠Y P H = ∠Y P C − ∠CP H = (1800 − ∠Y QC) − ∠Y CQ = ∠HY Q tam giác P HY Y HQ đồng dạng Từ ta suy ra: PY YQ P H HY PH = = = HY HQ HQ PC CQ Điều chứng tỏ CP Y Q tứ giác điều hòa Theo điều kiện cần đủ thứ ba (Mệnh đề 1.3) CH đường đối trung 63 Kết toán phụ kết luận Ví dụ 3.2.7 Chương nêu ví dụ ứng dụng tác giả cố gắng phân tích lý cần sử dụng đường thẳng bậc n (đặc biệt) để giải Thường thường tốn có chìa khóa để mở, hầu hết sử dụng chìa khóa "đường thẳng bậc n" 64 Kết luận luận văn Luận văn trình bày chi tiết vấn đề sau: Bổ sung thêm cát tuyến đặc biệt tam giác: đường thẳng đẳng giác, đường đối song, đường đối trung, đường đối phân giác Nhấn mạnh tính chất đặc trưng đường để có ứng dụng hiệu giải toán Giới thiệu chứng minh tính chất đường thẳng bậc n tam giác Giải ba tốn dựng hình dùng để dựng toán khác Đường thẳng bậc n tổng quát hóa từ đường thẳng biết tam giác: trung tuyến, phân giác, đối phân giác, đường đối trung, Ứng dụng đường thẳng bậc n vào việc giải toán với mức độ khác nhau: Giải tốn hình học phổ thơng giải tốn thi học sinh giỏi, thi Olympic ngồi nước Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Tìm thêm toán ứng dụng kết nội dung nói luận văn Tìm hiểu sâu thêm đường thẳng bậc n với n mở rộng - Sử dụng phép biến hình thích hợp phương pháp tọa độ để nghiên cứu sâu đường thẳng xét Xin chân thành cảm ơn 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Dechen,X.J., (Bản dịch tiếng Việt Đồn Như Kim), (1963), Hình học tam giác, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Bá Đang, (2016), Những định lý chọn lọc Hình học phẳng toán áp dụng, NXB Giáo dục, chương [3] Nguyễn Tăng Vũ, (2011), Đường đẳng giác, đường đối trung, Kỷ yếu trường hè, http://thptquocgia123.blogspot.com Tiếng Anh [4] Parvardi,A.,H., (2009), Mathematical Olympiad Problems Around The World, www.mathlinks.ro [5] Patrascu,I., Smarandache,F., (2013), Variance on topics of Plane Geometry, Educational Publishing, Columbus, Ohio [6] Yiu, P., 2001, Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlatic University Lecture Notes ... dựng trên: a Chia đoạn thẳng cho trước thành đoạn tỷ lệ với lũy thừa bậc hai đoạn thẳng khác cho b Cho đường phân giác đường đối phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác Hãy vẽ đường thẳng bậc xuất phát. .. đối trung chia góc đỉnh xuất phát thành hai phần có sin tỷ lệ với cạnh kề Tính chất 1.2.3 Các đường đối trung tam giác đồng quy Hình 1.5: AH đường thẳng đối trung xuất phát từ A Định nghĩa 1.6... AB, AC tỷ số cạnh nên M năm đường đối trung xuất phát từ A Ta có nhận xét: Tiếp tuyến đỉnh tam giác đường tròn ngoại tiếp cắt đường đối trung xuất phát từ điểm thứ ba 20 Tính chất 1.2.5 Các