Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễ[r]
(1)Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Cơ sở lý thuyết: Phương trình logarit bản: 0< a≠ x> log a x=b ⇔ x=ab Với , điều kiện Các công thức logarit thường dùng: log a ( b c )=log a b +log a c b log a =log a b− log a c c 1 log a n =− log a b n √b log b log a b= c ⇔ log a b log c a=log c b log c a β log a b =β log a b log a b= log a b α ¿ a ,b , c>0 a,b,c≠1 ⇔ log c log a Với ¿ a =c log b b=a ¿ ¿{ ¿ Phương pháp giải số phương trình logarit thường gặp: () ( ) α ❑ b b a ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ log a f ( x)=log a g (x) ⇔ f (x )=g( x ) f ( x)>0 ¿ Với g( x )>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0< a≠ Ví dụ: Giải các phương trình sau: log 2012 x +log 2013 x=log 2014 x a) log x+3 ( − √ 1− x + x )= b) 2 log x √ x +2 log x x =3 log x x c) d) x −1 ¿ =log ( x) 1 log √ ( x+ 3)+ log ¿ Giải a) Điều kiện: x>0 (2) ⇔ log 2012 x + log 2013 2012 log 2012 x=log 2014 2012 log 2012 x ⇔ log 2012 x ( 1+ log 2013 2012 −log 2014 2012) =0 ⇔ log 2012 x=0 ⇔ x=1 Vậy phương trình có nghiệm: x =1 −3< x ≠− Điều kiện: b) ⇔3 − √1 −2 x+ x 2= √ x +3 ⇔3 −|x −1|=√ x +3 Trường hợp 1: ¿ x≥1 − x=√ x+ ⇔ ¿ 1≤ x ≤ x − x +13=0 ( VN) ¿{ ¿ Trường hợp 2: ¿ x <1 x +2=√ x +3 ⇔ ¿ −2< x <1 x + x +1=0 −3+ √ ⇔ x= ¿{ ¿ −3+ √ x= Vậy nghiệm phương trình là: 1 0< x ≠2 , x ≠ , x ≠ c) Điều kiện: Dễ thấy x=1 là nghiệm phương trình x ≠ Với (3) log x 2= ¿ log x 2=− ¿ log x=2 ¿ log x=−3 ¿ x=4 ¿ x= ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ⇔ log x x +4 log x x=9 log x x 2 ⇔ log x ¿ x + = log x x log x x ¿ + = 1− log x 1+2 log x 1+ log x ⇔ log 2x − log x 2− 1=0 ⇔ x=1 ; x =4 ; x= Vậy phương trình có nghiệm: x> Điều kiện: d) x =−1(Loai ) ¿ x=3(Nhân) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ log 2( x+3)+ log2 (x −1)=log 2(4 x ) ⇔ log [(x +3)(x − 1)]=log (4 x) ¿ ¿ ⇔( x+3)(x −1)=4 x ⇔ ⇔ x −2 x − 3=0 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = 0< a≠ Ví dụ: log a f (x)=g (x) ⇔ f (x)=a g(x) MŨ HÓA Với (4) a) log 2012 [ log 2013 ( log 2012 x ) ]=1 b) log x [ log ( 9x −6 ) ]=1 Giải: a) ĐK : x>0 x=20122013 x=20122013 Vậy nghiệm phương trình là: 0< x ≠1 Điều kiện: b) ⇔ log ( 9x −6 )=x ⇔ x − 6=3x x x ⇔9 − −6=0 ⇔ x =3 ⇔ x=1( L) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2012 2012 ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ t=log a x log a x=t k ;log x a= 0< x ≠1 Nếu đặt với x > thì: với t a log c =c log a t=a log x t=x log a a log x t=log b x Ta đã biết: đó đặt thì Tuy nhiên nhiều bài toán chứa ta thường đặt ẩn phụ dần với Ví dụ: Giải phương trình: log (5 x − 1) log (2 5x −2)=1 Giải: Điều kiện: x>0 ⇔ log 2(5x −1) log [ 2(5x −1) ]=1 x ⇔log (5 − 1) [ 1+ log (5 x −1) ]=2 t=log (5 x − 1) Đặt Khi đó phương trình có dạng: k b b b b b (5) t=1 ¿ t=− ¿ log (5 x − 1)=1 ¿ log (5 x − 1) ==− ¿ x=log ¿ x=log ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ t (t +1)=2 ¿ ⇔t 2+ t −2=0 ¿ ⇔ x=log ; x=log 5 Vậy pt có nghiệm: Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ các hệ số còn chứa x Phương pháp này thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ đó biểu diễn thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp Δ Khi đó ta phương trình bậc theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x), tính và giải bình thường, nhiên ta có thể nhẩm nghiệm đặc biệt Ví dụ: Giải phương trình: lg x − lg x log (4 x )+ log x=0 Giải: ĐK: x>0 ⇔ lg x − ( 2+lg x ) lg x +2 log x =0 Đặt t=lgx đó phương trình có dạng: t − ( 2+ log x ) t +2 log x=0 Δ=( 2+ log x )2 − log x=( 2− log x )2 Ta có: (6) ⇔ t=2 ¿ t=log x ¿ lg x=2 ¿ lg x=log x ¿ x =100 ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình có nghiệm x=100; x=1 Dạng 3: Sử dụng ẩn phụ cho biểu thức logarit phương trình và biến đổi phương trình thành phương trình tích Ví dụ: Giải phương trình log [ x ( x − )2 ] +log x log ( x − x ) −2=0 Giải: ¿ ( x x − ) >0 x >0 x − x >0 Điều kiện: ⇔ x >1 ¿{{ ¿ ( x2− x ) ⇔ log + log x log ( x − x ) −2=0 x 2 ⇔ log (x − x )+ log x log ( x − x )− 2=0 ¿ u=log ( x − x ) Đặt v=log x ¿{ ¿ Khi đó ta được: (7) 2u+ v − uv −2=0 ⇔ (u −1)(v −2)=0 ⇔ u=1 ¿ v=2 ¿ ⇔ ¿ log ( x − x)=1 ¿ log x=2 ¿ x=− 1(L) ¿ x =2 ¿ x=4 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ Vậy phương trình có nghiệm: x=2; x=4 Dạng 4: Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ thì k-1 phương trình nhận từ các mối liên hệ các đại lượng tương ứng Ví dụ: Giải phương trình log ( x − √ x −1 ) +3 log ( x + √ x2 −1 ) =2 Giải: x ≥ Điều kiện: ¿ ( u=log x − √ x − ) v=log ( x + √ x −1 ) Đặt ¿{ ¿ Ta thấy: u + v =0 Khi đó phương trình trở thành hệ: (8) ¿ u+v =0 u+3 v =2 ⇔ ¿ u=− v=1 ⇔ ¿ log ( x − √ x −1 ) =−1 log ( x + √ x −1 ) =1 ⇔ x= ¿{ ¿ x= Vậy phương trình có nghiệm là SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét phương trình : f(x) = g(x) (1) Nhẩm nghiệm x0 là nghiệm phương trình (1) (thường là số gần số 0) Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến f(x) và g(x) để kết luận x là nghiệm f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến f(x) đơn điệu và g(x) = c ⇔ Nếu f(x) đồng biến nghịch biến thì f(u) = f(v) u = v I LƯU Ý: Hàm số logarit y = logax a>1 + Đồng biến khi: 0< a<1 + Nghịch biến khi: Ví dụ: Giải phương trình: a) log ( x − ) + x=log [ ( x+2 ) ] log √ ( x2 −2 x − )=2 log ( x − x −4 ) b) ¿ x − 4> x +2>0 a) Điều kiện: ⇔ x>2 ¿{ ¿ ⇔ log 2( x2 − 4)− log ( x +2)=3 − x x2 − ⇔ log =3− x x +2 ⇔log ( x − )=3 − x Ta thấy x = là nghiệm phương trình y=log ( x − ) + là hàm số đồng biến y=3 − x + là hàm nghịch biến Vậy phương trình có nghiệm x = Giải: (9) x − x −3> x −2 x − >0 ⇔ x <1− √ ¿ b) Điều kiện: x>1+ √ ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ ⇔ log √5 ( x − x −3 ) =log ( x −2 x − ) 2 ⇔ log ( x − x − ) =log ( x − x − ) t=x −2 x − Đặt , ta được: log ( t+1 ) =log t y=log t ⇒t=4 y Đặt , ta hệ phương trình: ¿ t=4 y t+1=5 y (*) y y ⇒ y +1=5 y ⇔ + =1 5 ¿{ ¿ Ta thấy y=1 là nghiệm phương trình (*) y y VT =f ( y)= + Hàm số là hàm nghịch biến 5 VP=1 là hàm Vậy y=1 là nghiệm phương trình(*) 2 y=1 ⇔ t=4 ⇔ x − x − 4=4 ⇔ x −2 x − 8=0⇔ x=4 ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=4; x=-2 () () () () ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT A B=0❑❑ ⇔ A=0 ¿ B=0 Phương trình tích: ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (10) A + B2=0❑❑ ❑⇔ A=0 Tổng hai số không âm: B=0 ¿{ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP, ĐÁNH GIÁ Xét phương trình : f(x) = g(x) (1) ¿ f (x) ≥ M g(x )≤ M ❑❑ (1)⇔ Nếu ¿ f (x)=M g (x)=M ¿{ ¿ ❑ ❑ Ta có thể đánh giá dựa trên + Tam thức bậc + Bất đẳng thức: Côsi, Bunhiacốpki + Tính chất trị tuyệt đối + Lượng giác Ví dụ: Giải phương trình: log √ ( √ − x + √ x+5 )=1 a) log x ( x+1)=lg1,5 b) Giải: a) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có ( √ − x+ √ x +5 ) =4 − x + x +5+2 √(4 − x)( x +5)≤9+( − x )+( x +5)=18 ⇔ √ − x+ √ x +5 ≤3 √ ⇔ log3 √ ( √ − x + √ x+ ) ≤1 Vậy phương trình có nghiệm và khi: √ − x=√ x +5 ⇔ x=− x=− Vậy nghiệm phương trình là: 0< x ≠1 Điều kiện: b) 0< x <1 Nếu thì x+1>1, đó: log x ( x+1)<log x 1=0=lg1< lg1,5 đó pt vô nghiệm Nếu x >1 thì: log x ( x+1)>log x 1=0=lg1> lg1,5 đó pt vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm LOGARIT NHIỀU CẤP Hạ cấp từ ngoài vào theo tính chất c log a f ( x)=c ⇔ f ( x )=a Ví dụ: Giải phương trình: log (log (log( log x )))=0 log (log (log x))>0 Điều kiện: (11) ⇔ log (log( log x ))=1 ⇔ log (log x)=10 ⇔ log x=10 10 ⇔ x=1010 I LƯU Ý: Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa Nếu điều kiện quá phức tạp, ta không nên tìm chi tiết Hiển nhiên, tìm nghiệm nên vào điều kiện để kiểm tra nghiệm II Bài tập làm thêm: (Thử sức cùng bạn) 1) Giải các phương trình sau (đưa cùng số mũ hóa) ¿ 1 log ( x −1)+ = + log √ x+ 2→ ĐS : x= a) log x+1 2 ¿ b) log − x ( x −2 x+ 65 )=2 → ĐS : x=−5 log ( x −1 ) + log ( x +1)=1+ log (7 − x ) c) 10 2 √2 log + log =2 d) lg (2 x +1)+ lg (3 − x)=2 lg x e) ln( x +1)+ln(x +3)=ln( x+7) f) log (9 − 2x )=5log (3 − x) g) h) log ( x −1 − )=2 x − i) log x+5 ( x2 +8 x +2 )=2 2) Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ) − log 2012 x +5 log 2012 x=5 − log 2012 x a) log x 16+ log x 64=3 b) 3 log √ x − √ log x=− c) x x+1 d) log ( −1 ) log ( −2 ) =6 log ( x +3 ) − log +3 2=0 e) f) log x+( x − 1) log x=6 −2 x g) log ( x 2+3 x +2 ) + log ( x +7 x+12 ) −3 − log 3=0 log ( x +1)+ log (2 x+1)=2 h) i) log ( 1+ √ x ) =log x 3) Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu hàm số) ( x+ )2+ log x + x +5 =2 √2 x +3 →ĐS : x =−1 a) √ x +3 log x log b) x+ =x → ĐS : x=4 log c) (3 x − 1)=− x +1 log ( x− 3) d) =x e) log ( 1+ √ x ) =log x 4) Giải các phương trình sau (đưa phương trình tích dùng phương pháp đối lập, đánh giá) log x+2 log x=2+ log x log x a) log x+ log ( x+ 1)=log (x +2)+log (x +3) b) 22 x+1 +23 − x = c) log (4 x − x +4 ) log x log x 2 x 2 (12) 5) Giải các phương trình sau (logarit nhiều cấp) log ( log ( log ( x − ) ) )=0 a) log ( log ( 1+log ( 1+3 log x ) ) )= b) log ( log 0,5 x − log 0,5 x+ )=0 c) “Không kho báu nào học thức hãy tích luỹ lấy nó lúc bạn còn đủ sức” Mọi chi tiết xin liên hệ trực tiếp tổ qua Email: info@123doc.org (13)