Đang tải... (xem toàn văn)
+ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α Do α đi qua I và song song với SBD nên ta có cách dựng các đoạn giao tuyến Trong ABCD qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD tại M[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán khối A, A1 – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC -*** A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = − x − x + có đồ thị là (P) 1) Tìm tập xác định, xét biến thiên, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị (P) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (d) y = −mx + m + cắt đồ thị (P) hàm số điểm A, B phân biệt có hoành độ x1 ,x2 thỏa mãn: x12 + x22 − x1 x2 = Câu II:(2 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình 1) cos x + cos x − cos x = sin x sin x xy + x + y = x − y 2) 2 y − y x − = x − y (1) (2) Câu III:(1 điểm) Một cấp số cộng có công sai khác không và cấp số nhân có số hạng thứ ,số hạng thứ hai cấp số cộng lớn số hạng thứ hai cấp số nhân là 10 ,còn các số hạng thứ Tìm các cấp số Câu IV:(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD = b Tam giác SBD là tam giác Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I trên đoạn OC Xác định thiết diện hình chóp cắt (α) Tính diện tích thiết diện theo a, b, và x = AI Câu V:(1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 +3 +3 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a B PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn phần (phần phần 2) Theo chương trình chuẩn Câu VIa:(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + = và trung điểm cạnh AC là M(1; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không có đủ màu? n Câu VIIa:(1 điểm) Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: x − , biết n là số nguyên dương x thỏa mãn: 2Cn1 + Cn2 = n − 20 Theo chương trình nâng cao Câu VIb:(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P(−7;8) và hai đường thẳng d1 :2 x + y + = ; d :5 x − y − = cắt A Viết phương trình đường thẳng d3 qua P tạo với d1 , d thành tam giác cân 29 2 Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi một, cho các chữ số đó có mặt ít hai chữ số và A và có diện tích Câu VIIb:(1 điểm) Tính T = C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + + 32000 C2000 2001 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: - HẾT http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn CÂU ĐIỂM NỘI DUNG A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) + Tập xác định: D = R + a = -1 < Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) I 0.25 Hàm số nghịch biến trên ( −1; +∞ ) 0.25 0.25 + Bảng biến thiên + Đồ thị: vẽ đúng dạng , đẹp + Xét phương trình hoành độ giao điểm − x − x + = − mx + m + ⇔ x + ( − m ) x + m − = 0,25 (1) + đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) điểm A, B phân biệt và phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔∆>0 0.25 ⇔ ( − m) − ( m − 2) > m > ⇔ m < 2 (* ) x1 + x2 = m − x1 x2 = m − + Với (*) theo Viet, ta có 0.25 + Khi đó x12 + x22 − x1 x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m − 2) − 8( m − 2) = ⇔ m − 12m + 20 = m = ⇔ m = 10 0.25 + Kết hợp với điều kiện (*) ta có m = 10 là giá trị cần tìm 0.25 cos x + cos x − cos x = sin x sin x II ⇔ cos x + cos x − cos 3x = ( cos x − cos3 x ) ⇔ cos x + cos x = cos x = ⇔ cos x = − 0.5 π x = + kπ 2π ⇔ x = + k 2π x = − 2π + k 2π + Kết luận: 0.25 0.25 x ≥ y ≥ + Điều kiện: 0.25 http://toanhocmuonmau.tk (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn x + y = 1 + y − x = + PT (1) ⇔ ( x + y )(1 + y − x ) = ⇔ + Trường hợp 1: x + y = loại so với điều kiện + Trường hợp 2: x = 2y + Thay vào phương trình (2) ta ( y + 1) ( 0.25 0.25 0.25 y = −1 2y − = ⇔ y = ) So sánh điều kiện ta thấy y = thỏa mãn Khi đó, x = Kết luận: III + Gọi cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5, a, b 0.25 Khi đó cấp số nhân là: 5, a – 10, c Ta có: 5 + b = 2a 5b = ( a − 10 ) IV a = 25 b = 45 ⇔ a = b = 0.5 Do cấp số cộng có công sai khác không nên số cần tìm là: 5; 25; 45 + Xác định thiết diện hình chóp cắt (α) Do (α) qua I và song song với (SBD) nên ta có cách dựng các đoạn giao tuyến Trong (ABCD) qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD M, N Trong (SCD) qua N kẻ NP song song với SD cắt SC P Khi đó thiết diện là ∆MNP * Tính diện tích thiết diện +Ta có ∆SBD ∼ ∆MNP nên ∆MNP là tam giác 0.25 0.5 BD2 b = 4 a + Vì I ∈ OC ⇔ < x < a + S∆SBD = 2 S ( AC − AI ) = ( a − x ) = ( a − x ) MN CI + MNP = = = SSBD BD CO a CO a 2 2 b2 ( a − x ) b2 ( a − x ) MN ⇒ S∆MNP = S∆SBD = = BD a2 a2 Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: V 2a + 3b = ( 2a + 3b ) 1.1 ≤ ⇒ 3 , vớ i 2a + 3b + + 2a + 3b + = 3 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ 2a + 3b = 2a + 3b 2a + 3b + 0.5 a <x<a 0.25 0,25 Tương tự ta có: 3 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ 2b + 3c = 2b + 3c 2b + 3c + 3 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ 2c + 3a = 2c + 3a 2c + 3a + http://toanhocmuonmau.tk 0,25 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn + Với x, y,z > ta có 1 1 1 + + ≥9⇒ + + ≥ x y z x y z x + y+z Dấu " = " xảy ⇔ x = y = z ( x + y + z) Do đó: 1 + + P ≥ 3 2a + 3b + 2b + 3c + 2c + 3a + 27 27 ≥ = =3 2a + 3b + + 2b + 3c + + 2c + 3a + 5a + 5b + 5c + Vậy GTNN P = đạt a = b = c = B PHẦN RIÊNG (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Ta có AC vuông góc với BH và qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x VIa 0.25 x = − 2 x − y − = Toạ độ đỉnh A là nghiệm hệ : ⇔ ⇒ A− ;− y = x 3 y = − 8 8 3 3 Vì M là trung điểm AC nên C ; 0.25 Vì BC qua C và song song với d nên BC có phương trình: y = x +2 0.25 x + y + = x = −4 BH ∩ BC = B : ⇔ ⇒ B ( −4;1) x y = y = + C15 Số cách chọn bi số 15 bi là: = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C24C15C16 = 180 VIIa * đỏ + trắng + vàng: có C14C52C16 = 240 * đỏ + trắng + vàng: có C14C15C62 = 300 Do đó số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ N 2Cn1 + Cn2 = n − 20 ⇔ 2n + n ( n − 1) n = = n − 20 ⇔ n − 3n − 40 = ⇔ n = −5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Với n = ta có ( ) 2 k k x − = ∑ ( −1) C8 x x k =0 8− k k k k k 16 − k = ∑ ( −1) C8 x x k =0 Số hạng không chứa x ứng với 16 – 4k = ⇔ k=4 Kết luận: Theo chương trình nâng cao VIb Ta có A(1; −1) và d1 ⊥ d http://toanhocmuonmau.tk 0.25 0.25 0.25 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn Phương trình các đường phân giác các góc tạo d1 , d là: ∆1: x + y − = và ∆2: x − y − 10 = 0.25 d3 tạo với d1 , d tam giác vuông cân ⇒ d3 vuông góc với ∆1 ∆2 ⇒ Phương trình d3 có dạng: x + y + C = hay x − y + C ′ = Mặt khác, d3 qua P ( −7;8) nên C = 25 ; C′ = 77 Suy : d : x + y + 25 = hay d :3 x − y + 77 = 29 Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích ⇒ cạnh huyền Suy độ dài đường cao A H = 0.25 58 58 = d ( A, d3 ) ( d ( A, d3 ) lµ kho¶ng c¸ch tõ A tíi d3 ) 58 ( thích hợp) 87 • Với d : x − y + 77 = thì d ( A; d ) = ( loại ) 58 KÕt luËn:… * Số các số có chữ số khác là: 0.25 • Với d : x + y + 25 = thì d ( A; d ) = A10 − A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 − A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có chữ số khác đó có mặt và là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số VIIb Ta có: (x + 1)2001 = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2001 ∑ Ck2001.xk k =0 (–x + 1)2001 = 2001 ∑ Ck2001.(−x)k 0.25 k =0 Cộng lại ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 = 2000 = ( C02001 + x2C2001 + x4C2001 + + x2000C2001 ) 0.25 Cho x = ta được: 42001 – 22001 = ( C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + + 32000 C2000 2001 ) 2000 ⇒ C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + + 32000 C2001 = 22000 (22001 − 1) Kết luận: http://toanhocmuonmau.tk 0.5 (6)