Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số Cm có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.. Giải hệ phương trình: .[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x 2mx 2m (Cm ) (m là tham số thực) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m 1 Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số (Cm ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: cos2x + = 2(2- cosx)(sin x - cosx) Giải bất phương trình: x x x y x y 9 x y x y 0 Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A ' ABC là hình chóp tam giác đều, AC a , A ' B a Tính theo a thể tích khối chóp A '.BB ' C ' C Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c chứng minh: a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 ³ 2 II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 3) , B(3; 2) Tam giác ABC có diện tích , trọng tâm G tam giác ABC nằm trên đường thẳng ( d ) : 3x y 0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất các giá trị n nguyên dương thỏa mãn: Cn1 3Cn2 7Cn3 (2k 1)Cnk (2n 1)Cnn 32n 2n 6480 L = lim - x3 - x2 + x2 - x®1 Câu VIII.a (1,0 điểm) Tính giới hạn: B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương 2 trình: x y x y 0 và đường thẳng ( ): x y 11 0 Lập phương trình tiếp tuyến o (C), biết tiếp tuyến tạo với ( ) góc 45 2010 2011 Câu VII.b (1,0 điểm) Tính tổng: S 2012C2011 2011C2011 2010C2011 2C2011 C2011 I lim x 1 x sin 2012 x Câu VIII.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: - Hết -x (2) Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: …………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - KHỐI D (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu I (2,0) Nội dung Điểm 1,0 0,25 Khảo sát hàm số m = Với m 1 y x x , TXĐ: D y ' 4 x x Cho y’ 0 ta được: x 0 x 1 1; và (1; ) ; - Hàm số đồng biến trên các khoảng 0;1 - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) và - Hàm số đạt cực đại x 0, ycd Hàm số đạt cực tiểu x 1, yct lim y ; lim y x x - Giới hạn: BBT: x -1 y’ + - + -3 - -2 y 0,25 0,25 -3 Đồ thị y - Đồ thị cắt Ox hai điểm ( 3;0) cắt Oy (0; -2) - Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng O -5 x 0,25 -2 -4 Tìm m để 1,0 Ta có: y ' 4 x 4mx x 0 y ' 0 x m - Đồ thị hàm số có ba cực trị m (*) 2 Khi đó các điểm cực trị đồ thị là: A(0; 2m 4) , B ( m ; m 4) , C ( m ; m 4) - Ta thấy B,C đối xứng qua trục Oy và A Oy nên tam giác ABC cân A Phương trình cạnh BC: y m 0 Gọi h là độ dài đường cao từ đỉnh A tam giác ABC, ta có: 0,25 0,25 0,25 (3) S ABC h.BC h d ( A, BC ) m 2 m xB II (2,0) 2m m m (thỏa mãn *) Vậy m là giá trị cần tìm Giải phương trình lượng giác PT (cosx – sin x) - 4(cosx – sin x) – = é(cosx – sin x) = - Û ê ê(cosx – sin x) = (l ) ê ë p (cosx – sin x) = - Û cos(x + ) = Với é êx = p + k2p Û ê , k Î ¢ ê x = p + k p ê ë x= Vậy PT cóhai họ nghiệm: Giải bất phương trình Đk: x 2 x 5x 14x 0 x 1 T {1} [ ; 2] Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là Giải hệ phương trình x y x y 9 y x y 0 Điều kiện: x y Hệ đã cho (*) a b a x y x b x y a 0 y b a Đặt: Hệ (*) trở thành b 2a 9 (1) b a2 a 0 (2) 2 Thế (1) vào (2) được: a 2a 9a 18 0 ( a 2)(a 9) 0 a 3 x 6 a 3 b 3 y Vậy nghiệm hệ là: x; y 6; 3 IV Tính thể tích khối chóp… 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 p + k2p ; x = p + k2p, k Î ¢ Bất phương trình đã cho tương đương với x x x (2 x )( x 1) x 4( 3x x ) x x III (1,0) 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (4) (1,0) Gọi E là trung điểm BC, H là tâm tam giác ABC A 'H mp(ABC) a a AE , AH Ta có A ' H A ' A2 AH 6a 0,25 a2 a3 VABC A ' B 'C ' A ' H S ABC 2 a3 VA ' BB 'CC ' VABC A ' B 'C ' VA ' ABC A ' H S ABC VABC A ' B 'C ' 3 (đvtt) S ABC V (1,0) Chứng minh BĐT… Ta có: a2 + (1- b)2 ³ 0,25 0,25 0,25 1,0 | a + 1- b | Dấu “ = ” a 1 b b2 + (1- c)2 ³ | b + 1- c | Dấu “ = ” b 1 c c2 + (1- a)2 ³ | c + 1- a | Dấu “ = ” c 1 a 0,25 Cộng vế với vế ta a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 ³ ³ 0,25 2 | a + 1- b | + | b + 1- c | + | c + 1- a | 2 2 | a + 1- b + b + 1- c + c + 1- a |= 2 (a b)(b c) 0; (a b)(c a) 0;(c 1 a)(b 1 c) 0 Dấu “=” ³ Dấu “=” xảy VI.a (1,0) a =b=c = Suy điều phải chứng minh 0,25 Chương trình chuẩn Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 1,0 a - b- Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 = 0; AB d(C; AB) = éa - b = 8(1) Û a - b- = Û ê êa - b = 2(2) ê ë æ a + b - 5ö ÷ ç ÷ ; ç ÷ ç ÷ 3 ø è Trọng tâm G (d) 3a – b = (3) 0,25 = 2SD ABC AB 0,25 0,25 0,25 (5) S = + 65 + 89 Từ (1), (3) C(–2;– 10) r = p S r= = p 2+2 Từ (2), (3) C(1; –1) 3 r= r= + 65 + 89 và 2+2 Vậy có hai giá trị VII.a 0,25 Tìm giá trị n … n 1,0 n n n n n 2n n C 3C 7C (2 1)C 3 6480 (*) 0,25 * Điều kiện: n Î N n x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n Xét khai triển nhị thức : 3n Cn0 2Cn1 4Cn2 8Cn3 2n Cnn Với x = ta có: n n n n n C C C C C Với x = ta có: (1) n n 0,25 (2) 0,25 n n n n Lấy (1) – (2) ta được: Cn 3Cn 7Cn Cn 3 n n 2n n 2n n n PT (*) 3 6480 6480 0 Û 81 n 4 (t/m) 0,25 1,0 VIII.a Tính giới hạn… - x3 - 2 - x2 + + ) x2 - x2 - L = lim( x®1 0,25 ( ) - x2 + x + - x3 - - x3 - - L1 = lim = lim = lim = x®1 x ® x ® x - x2 - - x3 + ( x + 1) - x3 + )( ( L2 = lim 2- x®1 Vậy VI.b ( (x ) + 23 x2 + + x2 + L ( ) 1- x2 æ 2ö ÷ ÷ - 1ç + x + + x + ç ÷ ç ÷ ç è ø ) - = lim x®1 x2 + = lim x®1 x2 - ) ( ) 0,25 Chương trình nâng cao Viết phương trình tiếp tuyến… I 1; 1 0,25 =12 11 12 24 Theo bài (C) có tâm 0,25 , bán kính R 10 ( ') : ax by c 0, (a b 0) Giả sử tiếp tuyến có phương trình | 4a 2b | a 3b cos450 3a 3b 8ab 0 2 20(a b ) b 3a Theo bài ta có: TH1 a = -3b Ta có ( ') : x y c 0 c 14 d ( I , ') 10 c ( ') : x y 0 và ( ') : x y 14 0 Có: TH2 b = 3a Ta có ( ') : x y c 0 c 12 d ( I , ') 10 c Có: ( ') : x y 12 0 và ( ') : x y 0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn: x y 0; 3x y 14 0 ; x y 12 0 ; x y 0 VII.b Tính tổng… 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2010 2011 2011 2011 Xét khai triển sau: ( x 1) C x C x C x C x C Nhân hai vế với x ta 2010 2011 x( x 1) 2011 C2011 x 2012 C2011 x 2011 C2011 x 2010 C2011 x C2011 x Lấy đạo hàm hai vế ta 2010 2011 (2012 x 1)( x 1) 2010 2012C2011 x 2011 2011C2011 x 2010 2010C2011 x 2009 2C2011 x C2011 Thay x 1 vào ta tổng S 2013.22010 VIII.b Tính giới hạn… 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 I lim( x Ta có: x 1 1 x ) sin 2012 x sin 2012 x 0,25 x 1 2x lim x sin 2012 x x sin 2012 x (2 x 1) + x 1 2012 x 1 lim lim x sin 2012 x x 1006 (2 x 1) + x 1 3018 1 1 x x I lim lim x sin 2012 x x sin 2012 x 1+ x 2012 x 1 lim lim x sin 2012 x x 2012 1+ x 4024 1 I I1 I 3018 4024 12072 I1 lim (Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa) HẾT - 0,25 0,25 0,25 (7)