Phuong trinh HPTdoc

Phương trình a Phương pháp giải - Biến đổi đưa về phương trình đã biết cách giải - Đặt ẩn số phụ - Đánh giá hai vế: Áp dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số.. b Một số dạng phươ[r]

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Phương trình, hệ phương trình Phương trình a) Phương pháp giải - Biến đổi đưa phương trình đã biết cách giải - Đặt ẩn số phụ - Đánh giá hai vế: Áp dụng các bất đẳng thức phương pháp hàm số b) Một số dạng phương trình thường gặp: Bậc nhất, bậc hai, chứa ẩn mẫu, chứa dấu giá trị tuyệt đối, vô tỷ (lưu ý phương trình vô tỷ) c) Chú ý: Sử dụng kiến thức phù hợp đưa lời giải Hệ phương trình a) Phương pháp giải - Kết hợp các phương trình hệ: Phương pháp cộng, trừ, nhân, … vế với vế các phương trình hệ - Đặt ẩn số phụ - Đánh giá hai vế các phương trình hệ: Áp dụng các bất đẳng thức phương pháp hàm số b) Một số dạng hệ phương trình thường gặp: Hệ hai phương trình bậc nhất, bậc hai hai ẩn (lưu ý hệ phương trình bậc hai) c) Chú ý - Cách biến đổi phương trình nhiều ẩn: Phân tích thành nhân tử, phương pháp hàm số, - Sử dụng kiến thức phù hợp đưa lời giải II Một số bài toán minh họa Bài toán Giải phương trình, hệ phương trình nhờ phương pháp đặt ẩn số phụ, phương pháp Ví dụ Giải các hệ phương trình  x   y 8  x  x  1 y    a) 2x  y  xy 2xy   x       x  2y     12 xy   b)  Hướng dẫn a) Từ hệ phương trình đã cho ta suy x    x  1 8  x    x    x  x     x   0   Đáp số b) Điều kiện: xy 0 Phương trình thứ hệ tương đương với S   2; 1 2xy   xy   2x  y   xy  2x  y Vì xy 0 nên xy  1  2 Thay (2) vào phương trình thứ hai hệ ta x  2y 3  2x  y  Ví dụ Giải các phương trình sau 2 a) 2x   x x    x  1 x  2x  0 b) 4x  13x   3x  0    2x   x  3x  2x  c) Hướng dẫn  u  x  2x    x   u  v  1  v  x   2 a) Đặt thì Do đó phương trình đã cho trở thành  u  v   12  u  v  1 v  12  u  v 1 u 0  u  v    u  v   u  v    u  v  0 2  2 2 2 Cách khác Phương trình đã cho tương đương với  x 1  x2  2x    x x2   0 x  b) Điều kiện 3  3x  3  2y  y    thì ta có hệ phương trình  Đặt  2y  3 3x    2x  3 2y  x   x  y   2x  2y   0 Do đó Đáp số 15  x 97 11  73 , x Nhận xét Đặt 3x  ay  b, ta xác định a, b để hệ sau “gần đối xứng”  3x  ay  b  ay  b  3x     4x  13x   ay  b 0  2x  3  ay  x   b Từ đó suy ra: a  2, b 3 , phương trình đã cho tương đương với Cách khác Với  x  15x  8  x   3x  0 x    c) Phương trình đã cho tương đương với   x  x  x 1  x  x x  x x  1 thì t = – 3x, t = Đặt t = Đáp số: x = Bài toán Chứng minh phương trình có nghiệm - Chỉ x là nghiệm phương trình ( x có giá trị đặc biệt, thường là các số nguyên) - Chứng minh x là nghiệm phương trình: Áp dụng các bất đẳng thức (hoặc phương pháp hàm số) Ví dụ Giải các phương trình sau a) x  15 3x   x  x  2x  1  x  4   b)  Hướng dẫn  x    2x  1  a) Ta thấy x   x  15  x  > nên Phương trình đã cho tương đương với    x     x  1 0  x  15    x  x  1   x 1  x 2      3 0 x     (1)   x  15    x  0   1   x  1     3 (2) 2  x  15  x        2 Ta có: x  15   x   nên phương trình (2) không có nghiệm với Đáp số x = b) Với x x , phương trình đã cho tương đương với  x 6  x 2   2x   4 Ta cần xét phương trình trường hợp:  (1) 2x   0  x 5   f(x)  x   x  2x   5;   Chứng minh hàm số đồng biến trên  Dễ thấy f(7) = 4, ta chứng minh x = là nghiệm phương trình Bài toán Giải phương trình, hệ phương trình nhờ phương pháp hàm số - Xây dựng hàm số biến + Dạng f  x  g  x  , đó f  đồng biến, g  nghịch biến (hoặc ngược lại) f u f v   , đó f  đồng biến (hoặc nghịch biến) + Dạng   - Áp dụng các tính chất hàm số (tính đơn điệu) Ví dụ Giải các phương trình sau a)  5x    x  5x  x1 x  2x   3x   3x b) Hướng dẫn a) Với x phương trình đã cho tương đương với 1 x   5x    x1  5x    x Đáp số x phương trình đã cho tương đương với b) Với x  2x   3x   3x   3x Sử dụng tính chất đồng biến hàm số x f  t  t  2t 29  Đáp số Ví dụ Giải các hệ phương trình sau  x  4y  1   x  1 x 6   2  x y  4y  x  x  b)   4x  1 x   y  3  2y 0  4x  y   4y 0   a)  x  4x  5x  y  7x  9x  y c)    Hướng dẫn a) Với y phương trình thứ hệ tương đương với   2x   1  2x    2y  1  2y     f  t   t  1 t   Sử dụng tính chất đồng biến hàm số    S  ;      Đáp số b) Điều kiện: x 0 Ta thấy x 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai hệ nên phương trình này tương đương với  1 2y  4y     1  x x    Sử dụng tính chất đồng biến hàm số c) Từ hệ phương trình đã cho ta suy  x  1   f  t  t  t    x  1 y3  y Sử dụng tính chất đồng biến hàm số f  t  t  t        S  5;  ,  ;   2      Đáp số Bài toán Giải phương trình, hệ phương trình cách áp dụng các bất đẳng thức Ví dụ Giải các hệ phương trình sau x 1   y     a)  y    x   2x  4y  x  2y  4x  y b)   x  3y  6y  0  2 c)  x  x y  2y 0 Hướng dẫn a) Điều kiện x  , y  Ta chứng minh x = y, - Nếu x < y thì x + < y + 1, đó 2 y 3   x 3  y < x (vô lý) - Nếu y < x thì Đáp số x = y = b) Với x  3  , y từ hệ đã cho ta suy x  4 x  y  4 y  x y    Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta chứng minh < x  x ,  x  x Đáp số x = y = c) Hệ phương trình đã cho tương đương với  x  3  y  1   2y x  y 1  Bài toán Ứng dụng hệ phương trình vào giải các bài toán min, max 2 Ví dụ Cho x, y là các số thực cho x  y  xy 1 Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biẻu thức A 2x  y Hướng dẫn Để tìm max, biểu thức A, ta tìm tất các giá trị có thể A, đó là tập các giá trị A cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:  x  y  xy 1   2x  y A III Bài tập Bài Giải các phương trình sau a) 3x    x  3x  14x  0 2 b)  x  x  x    x 1 Hướng dẫn a) Với  x 6 phương trình đã cho tương đương với 3x      x  3x  14x  0        3x  1 0  x 1  3x       x  5  Đáp số x = b) Đặt a =  x , b = x  x  , c =  x thì a, b, c 0  a  b  c 1 a  b  c 1   Từ hệ trên ta có a, b, c  Do đó = a2 + b4 + c6  a + b + c = Đáp số x = Bài Giải các phương trình sau a)  x 4x  3x 2x 35 2x   x 1 b) Hướng dẫn a) Đặt  x  y với y 0, ta được: y2 = 1–x2 3  x  3x  y 4 x 3 x  y    2 y   x  x  y 1 Như ta hệ :  4 x (3x  y )( x  y )  x3  x y  3xy  y 0 (1)     2 (2)  x  y 1  x  y 1 Ta thấy y 0 phương trình (1) tương đương với :  x  x  x          0  y  y  y  t    t 1  x t  t 1  Đặt y , ta phương trình : t3 – t2 – 3t – =    x  y  x  y 1 + Với t  thì x  y , kết hợp với (2) ta hệ  , kết hợp với y 0 ta 1 x  ; y 2 các nghiệm : + Với t 1  t 1  , giải tương tự trên y x , ta phương b) Ta thấy x 0 không là nghiệm phương trình đã cho, đặt trình: 2 35    12  y  12y 35y  y 2 y 1 y   y a 12a  12b 35ab   a  b 1 y  b   Đặt , ta hệ phương trình  Giải hệ (đối xứng kiểu 1) này ta a, b, từ đó nghiệm phương trình đã cho 35 35 35 35 x  x x  x 21 ; 21 ; 28 ; 28 là: Bài Giải các hệ phương trình sau  x  2x  y 3  x  y  1 2y   2y   x  y b)   2  3x  y3   x3    y  x  y  2y   2x   a)  x y  2xy  y  0 x y   x 1  x   y 1  y    y  x   x  1  y  1 0 c)  d) Hướng dẫn a) Với x  1 , y  2 ta có 2y   2x  0 1 , y  2 Dấu “=” xảy 1 x y  2xy  y      0 2 Khi đó (không thỏa mãn)  x  Do đó phương trình thứ hệ tương đương với 2y   2x  2y   2x  x y    x  y      x  y 0   0 2y   2x   Thay y x vào phương trình thứ hai hệ ta Nhận xét - Bài tập tương tự Giải hệ phương trình 2x  y  2y   4x   3x  2xy  3y  0 - Tổng quát Giải hệ phương trình ax  by  bmy  d  amx  d  3x  2xy  3y  0  m  0 y  , x  y 0 b) Với phương trình thứ hai hệ tương đương với   x  y  2y    x  y   2y  1   xy  2y   2y  1 x  y   2y  xy     2y   xy xy   2y  0  x  y   2y  1 1 0 Do đó 2y  x  y  y x  Thay y x  vào phương trình thứ hệ ta Nhận xét - Bài tập tương tự Giải hệ phương trình  x  y 17   2x  y  1 y   y  3 2x  y - Tổng quát Giải hệ phương trình  x  y m   ax  by  1 cy  d  cy  d  1 ax  by c) Từ phương trình thứ hệ chứng minh x = y d) Từ hệ phương trình đã ta suy  2 x  3x    y  y x y Biến đổi tương đương, từ đó suy Bài Giải các phương trình sau a) x   x   x 3 b) x   x x  x2 c) x   x   2x   3x Hướng dẫn a) Chứng minh  x  1 x  1  x   x 1 Đáp số x = b) Chứng minh VT 2 VP Đáp số x = c) Với x  phương trình đã cho tương đương với x   3x  x   x  (1) - Nếu x   x thì x  x     x  (2) Trong trường hợp này từ phương trình (1) ta có 2x   x   x > (3) Trường hợp này không xảy - Nếu x   x thì …  x   x  Do đó  x   x   x =