Một số vấn đề xung quang điểm feuerbach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Danh mục hình ii Một số ký hiệu iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Điểm Feuerbach số tính chất 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác 1.3.2 Khoảng cách điểm Feuerbach Các đường thẳng đường tròn đồng quy 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.1.1 Điểm Feuerbach Fe 2.1.2 Các điểm Feuerbach Fa , Fb , Fc 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng đồng quy Tam giác Feuerbach tọa 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác phối cảnh 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác độ barycentric 3 10 14 14 17 21 21 22 24 28 31 36 36 43 50 54 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 ii Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Đường trịn Euler tiếp xúc ngồi với đường tròn bàng tiếp N x tiếp tuyến Dựng điểm Feuerbach compa thước kẻ Bổ đề 1.2.1 Bổ đề 1.2.2 ∆XY Z ∆Fa Fb Fc đồng dạng Khoảng cách từ Fe đến đỉnh tam giác Khoảng cách từ Fa , Fb , Fc đến đỉnh 10 11 13 14 17 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 điểm A, E , F , I, E1 , F1 nằm đường tròn Đường thẳng Euler ∆D Y1 Z1 qua Fe Đường thẳng Euler Ta qua điểm Sc = X442 Hyperbol Jerabek qua D , E , F I, Ge Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 2.7 Mệnh đề 2.8 Ni ≡ X942 ; P ≡ X113 22 23 25 27 29 30 32 34 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Các điểm Feuerbach chân đường phân giác Fe E = F e D + Fe F Điểm Feuerbach Tam giác Fa Fb Fc tam giác XY Z phối cảnh, tâm Fe Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb thuộc níc Điểm X2160 42 47 49 52 55 59 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt 10 11 12 13 Ký hiệu D, E, F D ,E ,F ∆D E F I, O O9 Ia , Ib , Ic X, Xa Y, Yb Z, Zc Fe Fa , Fb , Fc ∆Fa Fb Fc σ, σθ 14 σA , σB , σC Nội dung ký hiệu Trang Trung điểm BC, CA, AB 17 Tiếp điểm đường tròn nội tiếp cạnh TG 24 Tam giác tiếp xúc 28 Tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp ∆ABC Tâm đường trịn chín điểm (Euler) Tâm đường tròn A, B, C –bàng tiếp Chân phân giác A 13 Chân phân giác B 13 Chân phân giác C 13 Điểm Feuerbach 10 Điểm Feuerbach 10 Tam giác Feuerbach 15 2SABC ; σ cot θ 40 2 2 2 2 b +c −a c +a −b a +b −c 17 , , 2 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K11 (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 20 Người viết Luận văn Phạm Văn Tuyến Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một định lý đẹp hình học Euclid phẳng định lý Feuerbach: Trong tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ba đường tròn bàng tiếp Liên quan đến định lý loạt vấn đề khám phá: Dựng điểm Feuerbach nào? Các tính chất điểm Feuerbach có liên quan đến điểm đường thẳng biết? Các đường thẳng đường tròn qua điểm Feuerbach? Các tính chất tam giác Feuerbach Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài “Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach” Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng phương pháp sơ cấp, tìm hiểu đường thẳng đường trịn có tính chất qua điểm Feuerbach - Phát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Kết hợp với tọa độ barycentric tìm mối quan hệ khoảng cách Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Nội dung chia làm chương: Chương Điểm Feuerbach số tính chất Chương giới thiệu định lý Feuerbach tính chất điểm Feuerbach điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh khoảng cách điểm Feuerbach Nội dung bao gồm mục (tổng hợp, bổ sung từ sách tham khảo [1] báo [3], [6]): 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách Chương Các đường thẳng đường tròn đồng quy Nội dung chương chủ yếu tìm đường trịn qua điểm Feuerbach, đường thẳng chứa điểm Feuerbach đồng quy tâm Euler Ngoài mối quan hệ điểm Feuerbach với đường thẳng Euler Chương bao gồm mục sau (tổng hợp, bổ sung từ [2], [5]): 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng qua tâm Euler Chương Tam giác Feuerbach tọa độ barycentric Chương xét tính chất tam giác Feuerbach, đặc biệt khảo sát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Dùng tọa độ barycentric để xác định tọa độ điểm Feuerbach, lập phương trình đường thẳng, chứng minh mối quan hệ khoảng cách từ điểm Feuerbach kết thúc việc xét đường cô níc Feuerbach Chương tham khảo tổng hợp theo báo [3] Nội dung chương chia thành phần: 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác vị tự 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác Chương Điểm Feuerbach số tính chất Trong tam giác ABC , điểm sau nằm đường tròn: trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh tam giác Đường trịn đường trịn Euler, tên nhà tốn học vĩ đại tìm (hay cịn gọi đường trịn chín điểm) Nếu (O, R) R đường trịn ngoại tiếp tam giác bán kính đường trịn Euler , tâm đường tròn Euler ký hiệu O9 , thẳng hàng với tâm O trực tâm H Ngoài điểm O, H, O9 trọng tâm G tạo thành hàng điểm điều hịa Chính đường thẳng chứa điểm gọi đường thẳng Euler Ta có kết đặc sắc sau: Với tam giác ABC cho trước, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp xúc ngồi với đường trịn bàng tiếp (Ia , ), (Ib , rb ), (Ic , rc ) Bốn tiếp điểm điểm đặc biệt tam giác Kết tiếng thuộc Feuerbach Nội dung chương trình bày cách xác định điểm Feuerbach tính chất đặc biệt chúng Một số kết điểm tham khảo [3] với chọn lọc xếp cần thiết 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach Ta tách định lý Feuerbach thành mệnh đề Định lý có nhiều cách chứng minh, ta trình bày phép chứng minh hình học túy tham khảo [1] Mệnh đề 1.1 (Feuerbach,[1]) Trong tam giác ABC đường tròn Euler (O9 ) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) Chứng minh Hình 1.1: Đường trịn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Gọi EOF đường kính vng góc với BC, AE tia phân giác qua I Hạ AK ⊥ EF, O9 L ⊥ BC , ta có OK = AA1 − OA = AH + HA1 − OA = 2OA + HA1 − OA = OA + HA1 = 2O9 L ∆AKF đồng dạng ∆IDX (các cạnh tương ứng vng góc) Vậy FK DX = AK IX hay FK DX = Từ đó, A A1 IX IX.F K = A A1 DX Ta chứng minh A A1 DX = XA XA1 (1.1) ... Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài ? ?Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach? ?? Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng... Chương Điểm Feuerbach số tính chất Chương giới thiệu định lý Feuerbach tính chất điểm Feuerbach điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh khoảng cách điểm Feuerbach. .. thiệu điểm Feuerbach, cách dựng số tính chất điểm Feuerbach Trình bày mối quan hệ điểm Feuerbach đường thẳng Euler, số tốn đồng quy Từ đưa cách dựng điểm Feuerbach đơn giản Trình bày tam giác Feuerbach