Xác ñịnh ñường vuông góc chung và tính khoảng cách của hai ñường thẳng chéo nhau BD′ và B′C... Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai..[r]
(1)ðỀ ÔN TẬP HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút ðề số 11 II Phần bắt buộc Câu 1: 1) Tính các giới hạn sau: − 2x x →+∞ x + x − a) lim b) lim x →2 x + 3x − 9x − x3 − x − c) lim ( x − x + + x ) x →−∞ 2) Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm phân biệt Câu 2: 1) Tính ñạo hàm các hàm số sau: 2 x a) y = + x ( x − 1) b) y = x + sin x c) y = x2 − 2x x −1 2) Tính ñạo hàm cấp hai hàm số y = tan x 3) Tính vi phân ham số y = sinx.cosx Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) 2) Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC và (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x − giao ñiểm nó với trục hoành x 60 64 − + Giải phương trình f ′( x ) = x x3 uuur uuur Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) = x + Theo chương trình nâng cao Câu 4b: Tính vi phân và ñạo hàm cấp hai hàm số y = sin x cos x Câu 5b: Cho y = x3 x2 + − x Với giá trị nào x thì y′ ( x ) = −2 Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác ñịnh ñường vuông góc chung và tính khoảng cách hai ñường thẳng chéo BD′ và B′C Hết Họ và tên thí sinh: SBD : Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (2) ðÁP ÁN ðỀ ÔN TẬP HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút ðề số 11 Câu 1: − 2x x 1) a) lim = lim x =0 x →+∞ x + x − x →+∞ 1+ − x x2 x + 3x − x − b) lim = lim x3 − x − x →2 c) lim x →−∞ ( − ( x − 2)( x + x + 1) x →2 ( x − 2)( x ) x − x + + x = lim x →−∞ = lim x →−∞ = lim x + 5x + = 15 11 + x + 3) x →2 x + x + 3− x 3− x = lim x − x + − x x →−∞ − x − + x x2 − − x −1 x = + 1 1− + x x2 2) Xét hàm số f ( x ) = x − x + ⇒ f(x) liên tục trên R • f(–2) = –1, f(0) = ⇒ phuơng trình f(x) = có ít nghiệm c1 ∈ ( −2; ) • f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = có ít nghiệm c2 ∈ ( 0;1) • f(1) = –1, f(2) = ⇒ phương trình f(x) = có ít nghiệm c3 ∈ (1; ) • Phương trình ñã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phương trình ñã cho có ñúng ba nghiệm thực Câu 2: 2 1) a) y = + x x ( 2 + x − + + 3x x −1 ⇒ y ' = − x x x 2 =− + +3 x −3+ + x= x− + −3 2 x x x x x x x x2 ) ( ) b) y = x + sin x ⇒ y ' = + cos x c) y = x2 − 2x x2 − 2x + ⇒ y' = x −1 ( x − 1) ( 2) y = tan x ⇒ y ' = + tan x ⇒ y " = tan x + tan x ) 3) y = sinx cosx ⇒ y = sin x ⇒ dy = cos xdx Câu 3: a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) • ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (3) • Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD) a , SA = a ( gt ) và ∆SAO vuông A 1 1 13 = + = + = nên 2 2 AH SA AO 6a a 6a2 6a2 a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 c) Tính góc SC và (ABCD) • Dế thấy SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu SC trên (ABCD) là AC ⇒ góc SC và (ABCD) là • AO = S H B A SCA Vậy ta có: O tan SCA = C D SA a = = ⇒ SCA = 600 AC a 1 ⇒ y′ = + x x2 • Các giao ñiểm ñồ thị hàm số với trục hoành là A ( −1; ) , B (1; ) Câu 4a: y = x − • Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 = nên PTTT: y = 2x +2 • Tại B(1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k2 = nên PTTT: y = 2x – Câu 5a: f ( x ) = x + 60 64 60 128 − + ⇒ f ′( x ) = − + x x3 x2 x4 x2 = 60 128 PT f ′( x ) = ⇔ − + = ⇔ x − 60 x + 128 = ⇔ 16 ⇔ x = ± x = x2 x x = ± Câu 6a: uuur F G ur uuur uur uuur uur ðặt AB = e1 , AD = e2 , AE = e3 uuur uuur ur uuur uuur ( ur ur uur ) ( ) ur ur ur uur ⇒ AB.EG = e1 EF + EH = e1 e1 + e2 = e1.e1 + e1.e2 = a2 E H Cách khác: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.EG = EF.EG = EF EG cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a2 B C A D Câu 4b: y = sin2x.cos2x • y = sin x ⇒ y ' = cos x ⇒ y " = −8sin x Câu 5b: y = x3 x2 + − x ⇒ y ' = x2 + x − x = • y′ = −2 ⇔ x + x − = −2 ⇔ x ( x + 1) = ⇔ x = −1 Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (4) Câu 6b: D’ C’ A’ Gọi M là trung ñiểm B′C, G là trọng tâm ∆AB′C Vì D′.AB′C là hình chóp ñều, có các cạnh bên có ñộ dài a , nên BD’ là ñường cao chóp này ⇒ BD′ ⊥ (AB′C) ⇒ BD′ ⊥ GM Mặt khác ∆AB′C ñều nên GM ⊥ B′C ⇒ GM là ñoạn vuông góc chung BD’ và B’C B’ M •Tính ñộ dài GM = G 3 a = a = AC 3 D C O A B ====================================== Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (5)