Chøng minh tø gi¸c AHCK néi tiÕp d Xác định vị trí của điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ nhất có thể đợc.. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C.[r]
(1)THCS (Su tÇm vµ bæ sung) CH¬ng tr×nh «n tËp vµo líp 10 n¨m 2009 trêng thcs th Một số dạng toán phần đại số A Biến đổi rút gọn biểu thức chứa bậc hai Tãm t¾t c¸ch lµm lo¹i to¸n nµy Bớc Tìm điều kiện để biểu thức xác định ( Nếu đề cha cho) Bớc Xác định thứ tự thực phép tính Phân tích các tử và mẫu thành nhân tö Bớc Rút gọn các phân thức đợc Bớc Quy đồng, thu gọn, rút gọn Nếu thấy biểu thức còn dài thì quay lại bớc Bµi tËp cã híng dÉn Bµi 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P = 14 14 x 2 x x 1 x x x x Q= 2) Cho biÓu thøc : a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : P = 2 a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = x −1 b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = { 2; } th× Q Z Bµi Cho biÓu thøc P = a) Rót gän biÓu thøc sau P x x 1 x x b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = x+ 1−x √2 b) Víi x = th× P = - – Bµi Cho biÓu thøc : A = x √ x +1 − x −1 x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A Híng dÉn : a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi x = th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× | A | = A √x √x− (2) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) 1 a Bµi Cho biÓu thøc : A = a a a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Híng dÉn : a) §KX§ : a > vµ a 9 BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi < a < th× biÓu thøc A > √a+ x x x 4x x 2003 x2 x x x 1 Bµi Cho biÓu thøc: A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? Híng dÉn : ± a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ b) BiÓu thøc rót gän : A = x +2003 víi x ≠ ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= Bµi Cho biÓu thøc: a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi < x < th× A < c) x = { ; } th× A Z √ x+1 √x− x2 x x1 : x x x x 1 x A= Bµi Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+ b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > ⇔ > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) x + √ x+ +) A < ⇔ < ⇔ 2( x+ √ x +1 ) > ⇔ x + √ x+ gt th× x > (2) Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) x+ √ x > đúng vì theo (3) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a 3 a Bµi Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = a1 a a (a 0; a 4) a 2 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiÓu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy a = √a − §KX§ Suy P = Bµi tËp tù luyÖn x+2 x-7 x-1 P + : x-9 3x x +3 Bµi 1: Cho biÓu thøc: x-1 x=19 −8 √ a/ Rót gän P b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt c/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên d/ Tìm x để P < x2 x x1 P 1: x x x x x Bµi 2: Cho biÓu thøc: x=7 − √ a/ Rót gän P b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P P = x - d/ Tìm x để x −1 √ x +1 P= √ + : + − √ x+1 − √ x √ x −1 √ x+ x −1 Bµi 3: Cho biÓu thøc ( )( ) P=√ x − a/ Rót gän P b/ Tìm x để P= ( x √ x+2 √xx+− √2x −1 + √ x1+1 ) :(1 − √ √x+1x ) Bµi 4: Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên P c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc d/ Tìm x để P > √x x P= + : 1+ √ x +1 x √ x+ x + √ x+1 √ x +1 Bµi 5: Cho biÓu thøc ( )( ) (4) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) x= 53 a/ Rót gän P −2 √7 b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Bµi : Cho biÓu thøc P= 1− √ x : √ x+2 + √ x −3 + √ x −2 √ x +1 √ x+3 2− √ x x+ √ x − a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x= 3− √ c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P < e) Tìm các giá trị x để P=√ x − Bµi : Cho biÓu thøc P=15 √ x −11 + √ x −2 − √ x+ x+ √ x − − √ x √ x +3 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho P= ( )( ) 2 c) Chøng minh P 1- x x x 2 1- x P : x - 1- x x - x x - x - x Bµi : Cho biÓu thøc a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x=6 −2 √ P c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña √x Bµi : Cho biÓu thøc P=1 − ( √ x2+2 − 45x√−1x − −21 √ x ): x+√ x4−1√ x+1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x 1 c) Tìm các giá trị x để P=− d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên Bµi 10 : Cho biÓu thøc P= √ x + : − √ x −1 √ x − x √ x +1 1− √ x a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÕt x=7 − √ c) Tìm các giá trị m để có các giá trị x thoả mãn P √ x=m− √ x ( )( x 1 x P 9x Bµi 11 : Cho biÓu thøc x ) x 5 : x a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P=√ x c) Cho P= 2(m− 1) √ x −2 m+5 (x là ẩn) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 3√x−1 cùng dấu Xác định dấu hai nghiệm đó Bµi 12 : Cho biÓu thøc P= + √ x −3 : x +2 − √ x √ x −1 x − x+ √ x −2 √ x+ a) Rót gän P ( )( ) (5) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x= 2− √ c) Tìm các giá trị m để có giá trị x thoả mãn : ( √ x+1) P+ mx=mx √ x +4 1 x+1 + : √ Bµi 13: Cho biÓu thøc P= x − √ x √ x −1 x −2 √ x+1 a) Rót gän P b) Tìm các giá tri x để P= √ x −1 ( ) c) So s¸nh P víi Bµi 14 : Cho biÓu thøc P= x +3 √ x+2 x+ x − √ : ( x − 2)( √ x − 1) x − (√ ) (√ 1 + x +1 √ x − ) a) Rót gän P b) Tìm x để − √ x +1 ≥ P Bµi 15 : Cho biÓu thøc P= ( x 2−−5√√ xx +3 − √ x1−1 ) :(2+ 31 −− √√ xx ) a) Rót gän P b) Tìm x để P < P c) Tìm x để – P = x + √ x − √ x −1 x−3 P= + : 1− √ x −2 √ x −3 3− √ x √x− Bµi 16 : Cho biÓu thøc ( )( ) a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < c/ Tìm x để P < x − √ x +7 √ x −3 √ x +2 P= − : −1 x +3 √ x − √ x + √ x +1 Bµi 17: Cho biÓu thøc ( )( ) P=√ x +3 a/ Rót gän P b/ Tìm x để Bµi 18 : Cho biÓu thøc : P= ( 1 x + √ x −1 x √ x + x − √ x − : + 1−x − √x √ x 1+ x √ x )( a)Rót gän b) TÝnh P víi x = − √ c) Tìm giá trị lớn a để P > a A= ( x √x +2x −1 + x+√√ xx +1 + 1−1√ x ): √ x2−1 Bµi 19: Cho biÓu thøc: a) Rót gän A b) Chøng minh A > víi mäi x thuéc TX§ x+x x+2 Bµi 20 : Cho biÓu thøc: A= √ − : √ x √ x −1 √ x −1 x + √ x+1 a) Rót gän A ( )( ) b) TÝnh A x 5 Bµi 21: Cho biÓu thøc: ) (6) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) x x +3 √ x − −√ + ( xx−5−25√ x − 1) :( 25− x +2 √ x −15 √ x +5 √ x − ) M= a) Rót gän M b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× M < ? Bµi 22: Cho biÓu thøc: ( a− ) ( √ a− √ b ) √a 3a M= − + : a+ √ ab+b a √ a −b √ b √ a − √ b a+2 √ ab+2 b a) Rót gän M b) Tìm các giá trị nguyên biến để M có giá trị nguyên Bµi 23: Cho biÓu thøc: x x − x √ x+ 1 √ x+1 √ x −1 Q= √ − + √x − + x−√x x+ √ x √ x √ x − √ x +1 a) Rót gän Q b) Tìm giá trị x để Q = Bµi 24: Cho biÓu thøc: 1 a+1 √ a+ A= − : √ − √ a −1 √ a √ a − √ a −1 A= a) Rót gän A b) Tìm giá trị a để Bµi 25: Cho biÓu thøc: ( ) )( ( )( ( ) ) A= a +4 1 − − 1+ √ a 1− √ a 1− a a) Rót gän A b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A Bµi 26 : Cho biÓu thøc : √ x (1 − x ) : 1− x √ x + x 1+ x √ x − x P= √ √ 1− √ x 1+ √ x √ x +1 a) Rót gän P b) Xác định các giá trị x để ( x + ).P = x – 1 x +3 c) BiÕt Q= − Tìm x để Q có giá trị lớn P √x d) Tìm x để P>2− √ Bµi 27 : Cho biÓu thøc : x x x+ √ x −2 P= √ + √ − : −1 √ x +3 √ x − x −9 √ x −3 a) Rót gän P b) Tìm x để P<− [( )( ( )( )] ) c) Tìm x để : P ( √ x+ ) +2 √ x −2+ x=2 d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn : P ( √ x+ ) + x ( √ x − m )=x − √ x ( 3+m ) Bµi 28 : Cho biÓu thøc : xy √ x+2 xy √ y xy xy P=1+ : + x+ √ xy y + √ xy √ x+ √ y a) Rót gän P b) Tìm m để phơng trình P = m – có nghiệm x , y thoả mãn : √ x+ √ y=6 Bµi 29 : Cho biÓu thøc : x √ x + x − √ x x +√ x x−1 x P= − + √ x − x + √ x −1 √ x − x √ x −1 a) Rót gän P ( ( )( ) ) (7) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) A=P b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 5√ x−3 x +√ x c) Tìm các giá trị m để x > ta có : P ( x + √ x+1 ) −3> m ( x − ) + √ x Bµi 30 : Cho biÓu thøc : P= + √ x − 2+ √ x − √ x √ x −2 √ x − x √ x √ x −2 a) Rót gän b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = − √5 d) Gi¶i pt: ( )( ) x+ 9x =7 ( P+ )2 c ) Tìm m để có x thoả mãn P = mx √ x −2 mx+1 e) Tìm m để có x thoả mãn: ¿ √P ¿ √ x −m ¿ x − √ x − P= ( y −1 ) ( y − y+1 ) f) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: B Hµm sè bËc nhÊt : Bµi 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : ¿ 2=a+ b − 4=−a+ b ¿{ ¿ ⇔ a=3 b=−1 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ Bµi Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y =0 Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : ¿ y=− x+2 y=2 x − ¿{ ¿ ⇔ (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = − Bµi Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) (8) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có ¿ x =1 y 0=2 ¿{ ¿ y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) Bµi Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿ Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : ⇔ a=−2 b=3 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) ta cần : ¿ m − m=−2 m2 − 2m+2=2 ¿{ ¿ ⇔ m = Vậy m = thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bµi Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Híng dÉn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ ¿ −1 x0 = −5 y 0= ¿{ ¿ (9) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( − ; − ) 2 Bµi Tìm giá trị k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x y = ; y = vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm Bµi Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1) Bµi Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003) 2) Song song với đờng thẳng x – y + = Bµi tËp tù luyÖn Bài : Xác định hàm số bậc y = ax + b trờng hợp sau: a) a = - và đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ – b) a = và đồ thị hàm số qua điểm A(2; 5) c) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y x và qua điểm B(1; ) d) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) vµ B(2;-3) e) Đồ thị hàm số qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x – Bài 2: Với điều kiện nào k và m thì hai đờng thẳng : y = (k – 2)x + m – vµ y = (6 – 2k)x + – 2m a) Trïng b) Song song c) C¾t Bµi : Cho hµm sè y = (a – 1)x + a a) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng - b) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b»ng c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị a tìm đợc các câu a và b trên cùng hệ trục toạ độ Tìm toạ độ giao điểm hai đờng thẳng vừa vẽ đợc Bài : Cho đờng thẳng y = (m – 2)x + n (m 2) (d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n c¸c trêng hîp sau: a) §êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;4) b) Đờng thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ và cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng 2y + x – = d) Đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng y – 2x + = Bµi : a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau : y = x (d1) ; y = 2x (d2) ; y = - x + (d3) b) đờng thẳng (d3) cắt hai đờng thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự A , B Tìm toạ độ cña c¸c ®iÓm A vµ B TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB Bµi : Cho hµm sè y = (1 – 2m)x + m + (1) a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x – + m c) Chứng minh với giá trị m thì đờng thẳng (1) luôn qua điểm cố định Tìm điểm cố định đó Bài : Cho hai đờng thẳng x 15 3m y = - 4x + m – (d1) vµ y = (d2) a) Tìm m để hai đờng thẳng (d1) và (d2) cắt điểm trên trục tung b) Với m trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B hai đờng thẳng (d1) và (d2) víi trôc hoµnh (10) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) c) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC d) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC Bài : Tìm toạ độ M(x1; y1) thuộc đờng thẳng 2x + 3y = cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến M nhỏ C Hµm sè y = ax2 Quan hệ Parabol y = ax2 và đờng thẳng y= ax + b I.Tãm t¾t lý thuyÕt: 1/ Toạ độ giao điểm Parabol y = ax (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm mx n y ax y cña hÖ ph¬ng tr×nh 2/ Hoành độ giao điểm Parabol y = ax (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 = mx + n tøc ax2 - mx – n = (1) a) Nếu phơng trình (1) có > thì (1) có nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt b) Nếu phơng trình (1) có = thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với Parabol c) Nếu phơng trình (1) có < thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao Bµi tËp tù luyÖn Bµi : Cho hai hµm sè y = x2 (P) vµ y = 2x + (d) a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d) b) Xác định toạ độ giao điểm A và B (P) và (d) c) Gäi C vµ D thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc c¶u A vµ B trªn trôc hoµnh TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD Bài : Cho Parabol y = x2 (P) và đờng thẳng y = 2x – m (d) a) Tìm m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao b) Khi (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai ®iÓm A vµ B víi m = - c) Tìm toạ độ trung điểm AB Bài : Cho Parabol y = x2 (P) và đờng thẳng y = mx – m (d) a) Víi gi¸ trÞ nµo cu¶ m th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B b) Tìm toạ độ trung điểm M AB Suy hệ thức liên hệ các toạ độ m, độc lập với m x2 và đờng thẳng y = mx + n Xác định hệ số m và n để Bµi 4: Cho Parabol (P): y = đờng thẳng qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ giao điểm và vẽ đồ thị (P) và đờng thẳng x2 Bài 5: Cho Parabol (P): y = và đờng thẳng y = x + n a) Tìm giá trị n để đờng thẳng tiếp xúc với (P) b) Tìm giá trị n để đờng thẳng cắt (P) hai điểm c) Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng với (P) n = Vẽ đồ thị (P) với đờng thẳng trờng hợp Bài 6: Cho Parabol (P): y = ax2 và đờng thẳng y = mx + n Xác định các hệ số a, m, n biết (P) qua điểm A(-2; 2), đờng thẳng qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P) Bµi 7: Cho hµm sè y = 2x2 (P) (11) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a) b) c) d) e) Vẽ đồ thị (P) Tìm trên độ thị các điểm cách hai trục toạ độ Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm đờng thẳng y = mx – với (P) Viết phơng trình đờng thẳng qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P) Tìm tập hợp điểm M cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc víi vµ cïng tiÕp xóc víi (P) f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ Bµi 8: Cho hµm sè y = (2m - 1) x2 (P) a) Tìm m để (P) qua điểm A(2; -2) Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc b) Viết phơng trình đờng thẳng qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P) c) Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ và qua điểm T thuộc (P) 16 Có tung độ d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ Bài 9: Cho Parabol y = ax2 và đờng thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 1) a) Chứng minh rằng: Với giá trị k, đờng thẳng d luôn cắt (P) hai ®iÓm ph©n biÖt A, B b) Gọi hoành độ A,B lần lợt là x1, x2 CMR: c) Chøng minh r»ng: OAB vu«ng x1 x2 x2 Bài 10: Cho Cho Parabol (P): y = và đờng thẳng (d): mx + y = a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đờng thẳng d luôn qua điểm cố định b) Chøng minh r»ng: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ Tính diện tích AOB ứng với giá trị tìm đợc m d) Chứng minh rằng: Trung điểm I AB m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định Bài 11: Cho Parabol (P): y = - x2 đờng thẳng y = m cắt (P) hai điểm A và B Tìm giá trị m để AOB Tính diện tích tam giác đó ngêi Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy từ điểm M nằm phía dới đờng thẳng y = ta kẻ các đờng thẳng MN, MP tiếp xúc với Parabol y = x điểm N, P Chứng minh gãc NMP nhän x2 Bài 13: Cho Parabol (P): y = và đờng thẳng y = x + a) Xác định toạ độ giao điểm A, B Parabol và đờng thẳng b) Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB Parabol cho ABC có diÖn tÝch lín nhÊt D Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn - HÖ thøc Vi-et A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận cú nghiệm phương trỡnh : ax2 + bx + c = (1) đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp (12) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a) Nếu a= đó ta tìm vài giá trị nào đó m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên có thể : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) thì phương trình (1) vô nghiệm / * Δ =0( Δ b = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - a ❑ (hoặc x1,2 * Δ >0( Δ / b =- a ) > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x = ; x = (hoặc x1 = 2a − b❑ − √ Δ❑ a ; x2 = 2a − b❑ + √ Δ❑ a ) Định lý Viét Nếu x1 , x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a S = x1 + x2 = - b a 0) thì c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: ⇔ x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < < x2 ) p = x1x2 < ¿ Δ≥0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ p>0 S> ¿{{ ¿ ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ ¿ Δ> p=0 S> ¿{{ ¿ (13) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a ¿ Δ> p=0 S< ¿{{ ¿ 0) NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2 = c a NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ Δ ≥ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) *) 1 x1 + x2 = S + = p x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 + x2 = S −2 p + = x2 x1 x1 x2 p 2 *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x + x −2 a 1 S − 2a + = = x −a x2 −a (x − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho tríc T×m nghiÖm thø C¸ch gi¶i: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc đã cho có nghiệm: Δ ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < thì kết luận không có giá trị nào tham số để phơng trình cã nghiÖm x1 cho tríc §ª t×m nghiÖm thø ta cã c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh c¸ch tr×nh bÇy ë trªn) (14) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ Bµi tËp cã híng dÉn Bµi 1: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x − x 2| C= 1 + x −1 x − D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) a) lËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiÖm lµ x −1 vµ x −1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x − x 2| = √ S − p=√37 +C= 1 + x −1 x − = ( x1 + x 2) −2 S −2 = =− ( x −1)( x − 1) p − S +1 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 + =− (theo c©u a) x −1 x − 1 = =− p= ( x −1)( x − 1) p − S +1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x −1 x −1 X2 – SX + p = ⇔ X2 + X - = ⇔ 9X2 + X - = 9 S= Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 là nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: k+ ) Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 = 5(k2 – k + 25 36 ) = 5(k 25 )+ 36 5 + > víi mäi gi¸ trÞ cña k VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < k+ + )<0 ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – ⇔ ) 4 -(k < luôn đúng với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm ph©n biÖt tr¸i dÊu víi mäi k Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – (15) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + 87 ] Do đó x13 + x23 > ⇔ ⇔ 16 (k – 1)[(2k ) + 87 ] > 16 k – > ( v× (2k ) + 87 16 > víi mäi k) ⇔ k>1 VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để |x − x 2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là hao nghiệm phơng trình (1) nãi phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiÖm lµ x1 = , x2 = - Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2 + 2.m + + 19 = (m + )2 + 19 > víi mäi m 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + 19 ] => |x − x 2| 19 m+ ¿2+ =2 ¿ √¿ √ 19 m + = ⇔ m = - = √ 19 Vậy |x − x 2| đạt giá trị nhỏ √ 19 m = - Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - 2) Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Gi¶i: 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – = ⇔ x = + NÕu : m + => m - Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bËc hai cã biÖt sè : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = m− 1+5 = 2(m+2) m+4 =1 m+4 2(m− 3) m− x2 = m− 1− = = 2(m+2) 2( m+2) m+2 (16) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m 3)Theo c©u ta cã m - thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm ta sÐt trêng hîp Trờng hợp : 3x1 = x2 ⇔ = m−3 giải ta đợc m = - (đã giải câu 1) m+2 1= m−3 m+2 11 Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ⇔ ⇔ m + = 3m – ⇔ m = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = ❑ LËp biÖt sè Δ = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp + NÕu m Δ❑ ❑ Δ ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = − = a m 2 ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt Δ x1 = m−2 − √ − m+ ; x2 = m−2+ √ − m+ m m VËy : m > : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = m < : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m−2 − √ − m+ x2 = m−2+ √ − m+ ; m m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ ⇔ ¿ m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3< ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c a <0 ⇔ ¿ m> m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ m−3 m m <0 (17) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Trêng hîp ¿ m>3 m<0 ¿{ ¿ Trêng hîp ¿ m<3 m>0 ¿{ ¿ kh«ng tho¶ m·n ⇔ 0<m<3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm ⇔ m (*) (ở câu a đã có) - Thay x = vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : ❑ Δ 9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = - tho¶ m·n *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = - Sau đó thay m = - vào phơng trình (1) : - x2 – 2(- 4 - 2)x - - = ⇔ cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > => -9x2 +34x – 21 = x 1=3 ¿ x 2= ¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi m = - th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= *)§Ó t×m nghiÖm thø ,ta cã c¸ch lµm Cách 1: Thay m = - vào phơng trình đã cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng nghiÖm: 2(− −2) 2(m−2) 34 = = x1 + x2 = m −9 x2 = 34 - x1 = 34 - = 9 C¸ch 3: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm x1 x2 = − −3 m−3 21 = = m 9 − => x2 = 21 : x1 = 21 9 :3= Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 (18) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ ⇔ Gi¶i Δ❑ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > ) k1 = − − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 VËy cã gi¸ trÞ k1 = − − √ 33 hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp 2.Cã c¸ch gi¶i Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: ⇔ k2 + 5k – (*) Δ❑ Ta cã x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b =¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = - Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – + k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n + k2 = - => Δ❑ = 49 − 35 −2= 49 −70 −8 =− 29 4 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m kh«ng tho¶ m·n C¸ch : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ C¸ch gi¶i lµ: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = - (cách tìm nh trên) Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = + Víi k2 = - (1) => x2- 7x + 39 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng tr×nh 2 v« nghiÖm VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi tËp tù luyÖn Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 – 4mx + 4m – = (x lµ Èn, m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 = Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(k – 1)x + k – (1) (x lµ Èn, k lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi k = b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k c) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu g× ? d) Chøng minh r»ng biÓu thøc A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña k (x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m + 3)2 + 2mx + m – = (1) víi x lµ Èn, m lµ tham sè a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai b) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = e) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m – 1)x + 2m – = a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu (19) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó nghiệm mang dấu gì ? Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 – 2mx + m + = víi m lµ tham sè a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ≠ b) Tìm m để tích hai nghiệm Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm phơng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi : Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2x – = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh : a) Tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Tæng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm phơng trình d) Tổng các nghịch đảo bình phơng hai nghiệm phơng trình e) Tæng c¸c lËp ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh e HÖ ph¬ng tr×nh : Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m 2) x y m mx y 1 a) Gi¶i hÖ víi m = b) Tìm m để hệ có nghiệm c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n x = y Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx y n x y 1 a) Gi¶i hÖ víi m = -1, n = b) Tìm n để hệ có nghiệm với giá trị m Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi ¿ mx+2 y=− m2 x − y=6 ¿{ ¿ a/ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = b/ Tìm giá trị m để hệ vô số nghiệm Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx − y =1 x+ my=2 ¿{ ¿ a Gi¶i hÖ theo m b Gọi nghiệm hệ là(x ; y) Tìm các giá trịcủa m để x + y = c Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Bµi m 1 x y m x m 1 y 2 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Gäi nghiÖm cña hÖ lµ (x ; y) ` Tìm đẳng thức liên hệ x , y không phụ thuộc vào m T×m c¸cgi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 2x2 -7y = Tìm m để biểu thức x − y nhận giá trị nguyên x+ y Bµi (20) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Cho hÖ ¿ x − y=4 − m x + y =3(1+m) ¿{ ¿ a Gi¶i hÖ m = Gọi nghiệm hệ là (x ; y ).Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bµi mx y 2 Tìm giá trị m để hệ phơng trình: 3 x my 5 Bµi m2 x y 1 m 3 Cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc x my 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx y 6 Gi¶i hÖ m = Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x > 1, y > f Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Bài 1: Một ngời xe đạp xuất phát từ A Sau giờ, ngời xe máy từ A và đuổi theo trên cùng đờng và gặp ngời xe đạp cách A là 60 km Tính vận tốc ngời biết vận tốc ngời xe máy lớn vận tốc ngời xe đạp là 20 km/h Bài 2: Hai bến tàu A và B cách 48 km.Một tàu thuỷ từ bến A đến bến B trở lại, lẫn hết Tính vận tốc riêng tàu, biết vận tốc dòng nớc không đổi và vận tốc riêng tàu lẫn là không đổi Bài 3: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 20km thời gian đã định Sau đợc với vận tốc dự định, ngời đó giảm vận tốc km/h trên quãng đờng còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định Tính vận tốc dự định ngời xe đạp Bài : Một công nhân đợc giao khoán sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Sau làm đợc nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá số thao tác nên ngời đó làm thêm đợc sản phẩm Nhờ đó, mức khoán đợc giao đã đợc ngời công nhân hoàn thành sớm Tính suất và thời gian dự định ngời công nhân đó Bài : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm Trong ngày đầu họ thực đúng mức đề Những ngày còn lại họ làm vợt mức ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm thợ phải làm bao nhiªu s¶n phÈm Bài : Một đoàn xe đợc giao chở 30 hàng Khi khởi hành thì đợc nhận thêm hai xe nên xe chở ít 0.5 với dự định Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiªu xe ? Bµi : Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chiÒu réng NÕu bít mçi chiÒu ®i 5cm thì diện tích hình chữ nhật đó giảm 16 % Tính chiều dài và chiều rộng hình ch nhËt ban ®Çu Bài : Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô với vận tốc dự định, còn 40km thì đợc nửa quãng đờng AB trời (21) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) ma nên ngời lái xe giảm vận tốc 10km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô đến tỉnh B muộn so với dự định Tính quãng đờng AB Bµi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót bÓ ®Çy NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ bao l©u ? Bµi 10 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã níc sau giê th× ®Çy bÓ Nếu mở riêng vòi thứ giờ, vòi thứ hai thì đợc bể Hỏi vßi ch¶y mét m×nh sau bao l©u th× ®Çy bÓ ? Bài 11 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhng phải xếp cho 357 ngời đến dự họp, đó ban tổ chức đã kê thêm hàng ghế và hàng ghế xếp nhiều quy định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, dãy bao nhiêu ghÕ ? Bài 12 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II vợt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao cña mçi t«t theo kÕ ho¹ch ? Bài 13: Tổng hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số là 18 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì đợc số lớn số ban đầu 54 đơn vị Tìm số ban đầu Bài 14: Một ô tô khách từ tỉnh A đến tỉnh B cách 200km Sau đó 30 phút ô tô khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng đờng ấy, đợc thì gặp ô t« kh¸ch TÝnh vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng vËn tèc cña « t« lín h¬n vËn tèc cña « t« kh¸ch lµ 10km/h Bài 15: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h Sau đó thời gian, ngêi kh¸c ®i xe m¸y còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 30km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay đổi đuổi kịp ngời xe đạp B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, ngời xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai ngời gặp C cách B 10 km Tính quãng đờng AB Bài 16: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm Tổ I đã vợt mức 15% kế hoạch tổ, tổ II vợt mức 12% kế hoạch tổ Do đó hai tổ làm đợc 102 sản phẩm Hái theo kÕ ho¹ch mçi tæ ph¶i lµm bao nhiªu s¶n phÈm Bµi 17: Mét ca n« ch¹y trªn khóc s«ng dµi 95 km Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 1giê 12 phót TÝnh vËn tèc cña ca n« níc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ 3km/h Bài 18: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian qui định và với vận tốc xác định Nếu ngời đó tăng vận tốc 3km/h thì đến B sớm giờ, ngời đó giảm vận tốc 2km/h thì đến B muộn Tính khoảng cách AB, vận tốc và thời gian ngời đó Bµi 19: Sau nhËn møc kho¸n, mét c«ng nh©n dù kiÕn sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc 10 Lúc đầu ngời đó làm đợc 12 sản phẩm Sau làm đợc nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá số thao tác nên ngời đó làm thêm đợc sản phẩm Tính số lợng sản phẩm đợc giao Bµi 20: Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc th× sÏ hoµn thµnh ngµy NÕu ngời thứ làm nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sÏ hoµn thµnh toµn bé c«ng viÖc ngµy Hái nÕu mçi ngêi lµm riªng th× sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc mÊy ngµy Bài 21: Một xe tải từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h Sau đó 1giờ 30 phút, xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h Hai xe gặp chúng đã đợc nửa quãng đờng AB Tính quãng đờng AB Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhng số ngời đến họp là 144 ngời Do đó, ngêi ta ph¶i kª thªm d·y ghÕ vµ mçi d·y ghÕ ph¶i thªm ngêi ngåi Hái phßng häp lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ (22) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Bài 23: Cho số có hai chữ số Tìm các chữ số số đó biết số đó tổng bình phơng các chữ số nó trừ 11, và số đó hai lần tích hai chữ số cña nã céng thªm Bµi 24: Líp 9A cã 14 häc sinh giái to¸n, 13 häc sinh giái v¨n, sè häc sinh võa giái to¸n võa giái v¨n b»ng nöa sè häc sinh kh«ng giái to¸n mµ còng kh«ng giái v¨n Hái cã bao nhiªu häc sinh võa giái to¸n võa giái v¨n, biÕt r»ng sÜ sè cña líp 9A lµ 35 Bµi 25 : Mét ca n« xu«i dßng 45km råi ngîc dßng 18km BiÕt vËn tèc xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ 6km/h vµ thêi gian xu«i dßng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê TÝnh vËn tèc xu«i dßng vµ vËn tèc ngîc dßng cña ca n« Bµi 26 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng giê, xu«i dßng 81km, ngîc dßng 105km Một lần khác trên dòng sông đó, ca nô này chạy giờ, xuôi dòng 54 km, ngîc dßng 42km H·y tÝnh vËn tèc xu«i dßng vµ vËn tèc ngîc dßng ca nô, biết vận tốc nớc và vận tốc riêng ca nô không đổi Bµi 27 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng giê, xu«i dßng 81km, ngîc dßng 105km Một lần khác trên dòng sông đó, ca nô này chạy giờ, xuôi dòng 54 km, ngîc dßng 42km H·y tÝnh vËn tèc riªng cña ca n« vµ v©n tèc cña dßng níc, biết vận tốc nớc là và vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 28 : Hai ôtô dự định từ A đến B dài 120km Lúc 30 phút ôtô thứ bắt đầu xuất phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và với vận tốc lớn vận tốc ôtô thứ 10km/h Trên đờng ôtô thứ hai nghỉ 45 phút Tính vận tốc ôtô và hai ôtô dến B lúc giờ, biết chúng đến B cùng lúc Bài 29 : Một ngời xe đạp từ A đến B dài 30 km thời gian định Sau đuợc nửa quãng đờng ngời đó nghỉ 15 phút Để đến B đúng dự định ngời đó tăng vận tốc trên quãng đờn còn lại km/h Tính vận tốc xe đạp lúc ban đầu và thời gian dự định từ A đến B Bµi 30 : Mét tæ cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 350 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn NÕu t¨ng n¨ng suÊt thªm 10 s¶n phÈm mçi ngµy th× tæ hoµn thµnh sím ngµy so víi gi¶m n¨ng suÊt 10 s¶n phÈm mçi ngµy TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn (23) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) F H×nh häc : Bài : Cho tam giác ABC vuông B Một điểm M trên cạnh BC, đờng tròn đờng kính MC cắt tia AM điểm thứ hai N và cắt tia Bn điểm thứ hai D a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên đờng tròn b) Chøng minh CB lµ tia ph©n gi¸c gãc ACD c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC Chøng minh tø gi¸c AHCK néi tiÕp d) Xác định vị trí điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ có thể đợc Bài : Cho (O;R) đờng kính AB, M là điểm thuộc (O) và MA < MB Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB H và cắt (O) điểm thứ hai N Trên tia đối tia MN lấy điểm C Nối C với B cắt đờng tròn điểm thứ hai I Giao điểm AI với MN lµ K a) Chøng minh tø gi¸c BHIK néi tiÕp b) Chøng minh : CI CB = CK CH c) Chøng minh IC lµ tia ph©n gi¸c gãc ngoµi cña tam gi¸c IMN d) Cho MN = R vµ AM // BC TÝnh MC Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M bất nằm trên cung AB Gäi H lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM Tia BH c¾t AM t¹i I vµ c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña đờng tròn (O) K Các tia AH, BM cắt S a) Chứng minh tam giác BAS cân Từ đó suy S nằm trên đờng tròn cố định b) Chứng minh KS là tiếp tuyến đờng tròn tâm B, bán kính BA c) Tia AI cắt đờng tròn tâm B, bán kính BA N Chứng minh tứ giác BINS nội tiÕp o d) Xác định vị trí M cho MKA 90 Bài : Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB và điểm C trên nửa đờng tròn đó (AC < BC), D lµ mét ®iÓm trªn d©y BC nhng kh«ng trïng víi B vµ C AD c¾t nöa đờng tròn điểm thứ hai là E, BE cắt đờng thẳng AC F a) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp b) Chøng minh CDF BAC c) Gọi giao điểm thứ hai đờng tròn ngoại tiếp tam giác BED với đờng tròn đờng kính AB là G Chứng minh FD qua G d) BiÕt d©y AC = a, d©y CB = b, tÝnh tæng BE BF + AC AF theo a vµ b Bài : Cho (O) và điểm A cố định ngoài đờng tròn Qua A kẻ cát tuyến d cắt đờng tròn điểm B và C (B nằm A và C) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đờng tròn M và M, gọi I là trung điểm BC a) Chøng minh : AM2 = AB AC b) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp đợc c) §êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN t¹i E Chøng minh IE // MC d) Khi d quay quanh A thì trọng tâm G tam giác MBC chạy trên đờng nào ? Bài : Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đờng tròn, gọi I là trung điểm MC tai BI cắt đờn tròn A, tia MA cắt đờng tròn D a) So s¸nh tam gi¸c AIC vµ tam gi¸c IBC b) Chøng minh : IM2 = IA IB c) Chøng minh BD // MC (24) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) d) Chứng minh IM là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác MAB o e) Khi BMC 60 thì tứ giác IBDC là hình gì ? Tính diện tích tứ giác đó theo R Bài : Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB Gọi C là điểm chính cung AB, M là điểm trên cung CB, kẻ đờng cao CH tam giác ACM a) Chøng minh r»ng tam gi¸c HCM vu«ng c©n vµ OH lµ ph©n gi¸c cña COM b) Gọi giao điểm tia OH với Cb là I và giao điểm thứ hai đờng thẳng MI với nửa đờng tròn (O) là D Chứng minh MC // BD c) Xác định vị trí M cho D, B, H thẳng hàng d) Gäi giao ®iÓm cña OH vµ BM lµ N T×m tËp hîp ®iÓm N Bài : Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là điểm thuộc cung BC cho AB AC Tia ph©n gi¸c cña BAC c¾t (O) t¹i M, c¾t BC t¹i I a) Chøng minh AB IC = AI MB b) Trªn tia AB lÊy ®iÓm D cho AD = AC KÎ Dx vu«ng gãc víi DA c¾t tia AM t¹i E Tø gi¸c ADEC lµ h×nh g× ? Chøng minh c) TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C c¾t tia DE t¹i G Chøng minh r»ng tø gi¸c BDGC néi tiÕp d) Chøng minh r»ng B; M; G th¼ng hµng Bài : Từ điểm S ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát o tuyến SBC tới đờng tròn cho BAC 90 Tia phân giác BAC cắt dây BC D và cắt đờng tròn điểm thứ hai E Các tiếp tuyến (O) C và E cắt N Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm các cặp đờng thẳng AB và CE; AE vµ CN a) Chøng minh SA = SD b) Chøng minhEN // SD c) So s¸nh tam gi¸c QCB vµ tam gi¸c PCE 1 d) Chøng minh : CN CD CP A 90o Bµi 10 : Cho tam gi¸c ADC ( ) §iÓm B n»m gi÷a A vµ C (B ≠ A, B ≠ C) §êng tròn (O) đờng kính BC giao CD M Tia MA giao với (O) N kẻ NP vuông gãc víi AC (P (O)) a) Chøng minh CM CD = CB CA b) Chøng minh D, B, P th¼ng hµng c) Chøng minh tø gi¸c ADCP néi tiÕp d) Khi B di động trên doạn AC và tia MA giao đờng tròn đờng kính BC N Chứng minh trực tâm tam giác BCD luôn nằm trên đờng thẳng cố định Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) cho AB < AC Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC S Gọi M là trung điểm BC và I là giao điểm OM với đờng tròn ( I thuộc cung BC) a) Chøng minh SA2 = SB SC b) Chøng minh BIC ABC ACB c) H¹ IN vu«ng gãc víi AC Chøng minh: Tø gi¸c MNCI néi tiÕp d) H¹ IP vu«ng gãc víi AB Chøng minh ba ®iÓm M, N, P th¼ng hµng Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A( AB > AC) ; đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E; nửa đờng tròn đờng kÝnh CH c¾t AC t¹i F (25) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a) Chøng minh tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc c) Chøng minh AE.AB = AF.AC d*) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 13 :Cho đờng tròn (O) , AB là dây cung (O) ; đờng kính PQ đờng tròn vuông góc với AB I ( P thuộc cung nhỏ AB) Trên tia đối tia BA lấy điểm M (gãc AQM ≠ 90o), MQ c¾t (O) t¹i E, PE c¾t AB t¹i D a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp đợc đờng tròn b) Chøng minh PE PD = PI PQ c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với PE cắt (O) F Chứng minh BE vuông gãc víi QF d) Từ D kẻ DH vuông góc với PM Chứng minh: IP, ME, DH đồng qui e*) Xác định vị trí M để D là trung điểm BI Bài 14: Cho tam giác ABC ( góc A nhọn) nội tiếp đờng tròn (O) Hai đờng cao BE, CF thứ tự cắt đờng tròn (O) E’ và F’ ; BE cắt CF H a) Chứng minh : Tứ giác AEHF ; tứ giác BCEF nội tiếp đợc đờng tròn b) Chøng minh : EF // E’F’ c) Chøng minh : OA E’F’ d) Tia AO cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh tứ giác BHCD là h×nh b×nh hµnh e) Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BC Chøng minhr»ng : H, I, D th¼ng hµng vµ AH = IO Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Giao điểm ba đờng cao AH, BK, CI là S a) Chứng minh:Tứ giác CKSH, tứ giác AKHB nội tiếp đợc đờng tròn b) Chøng minh: CK CA = CH CB c) Chứng minh: S là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác HIK d) Biết góc ACB = 60o So sánh độ dài đoạn KH và đoạn AB Bài 16: Cho đờng tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đờng tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn ( B và C là tiếp điểm) M thuộc cung BC ( phần tam giác) , từ M kẻ MI, MK, MH thø tù vu«ng gãc víi BC, AB, AC MB c¾t IK t¹i E , MC c¾t HI t¹i F a) Chứng minh: Tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b) Chøng minh MI2 = MH MK c) Chøng minh : EF vu«ng gãc víi MI d) Gọi giao thứ hai đờng tròn (MEK) và (MFH) là N Chứng minh : MN luôn qua điểm cố định Bài 17:Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB , M là điểm bất kì trên cung AB ( M khác A và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia Ax I Tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E, cắt tia BM F Tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh : IA2 = IM IB b) Chøng minh : FK // AI c) Chøng minh : gãc HAF = gãc EBA.Tam gi¸c BAF lµ tam gi¸c g× ?V× sao? d) Chøng minh : Tø gi¸c AHFK lµ h×nh thoi e) Chứng minh : BK BE + AK AM không đổi M chạy trên nửa đờng tròn đờng kính AB Bµi 18: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) D vµ E theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña c¸c cung AB, AC Gäi giao ®iÓm cña DE víi AB, AC theo thø tù lµ H vµ K a) Chøng minh : Tam gi¸c AHK c©n b) BE c¾t CD t¹i I Chøng minh AI vu«ng gãc víi DE c) Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp d) Tam gi¸c ABC cÇn ®iÒu kiÖn g× th× AI // EC Bài 19 :Cho đờng tròn (O ; R) và điểm P nằm ngoài đờng tròn Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA và PM với đờng tròn(A, M là hai tiếp điểm) Nối OA kéo dài cắt đờng tròn t¹i B a) Chøng minh : BM // OP b) §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i O c¾t BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh (26) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) c) §êng th¼ng AN c¾t PO t¹i K, PM c¾t ON t¹i I, PN c¾t OM t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng d) Hãy tính diện tam giác PJO, biết tam giác này Bµi 20: Cho tam gi¸c ABC (AC > AB, gãc BAC tï) Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung điểm AB, AC Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) Chøng minh ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c BFEC néi tiÕp c) Chứng minh AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE Phần Ii : Một số đề tổng hợp §Ò sè a a6 3 a Bµi 1: Cho M = a) Rót gän M b) Tìm a để / M / = c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M Bµi 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh x y 6 x ay 8 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh b) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm âm Bµi 3: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một đoàn xe dự định chở 40 hàng Nhng thực tế phải chở 14 nên phải ®iÒu thªm hai xe vµ mçi xe ph¶i chë thªm 0,5 tÊn TÝnh sè xe ban ®Çu Bài 4: Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó Một đờng tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ đó suy (O) thay đổi qua M, N thì T, T’ thuộc đờng tròn cố định b) Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K lµ trung ®iÓm cña MN Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N thì TT’ luôn qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT’ = 600 Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 x 1 3x 7x §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc (27) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) 3 x 3 x 4x x 2 : x x x x x x C= a) Rót gän C b) Tìm giá trị C để / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Hai ngời xe đạp từ A đến B cách 60km với cùng vận tốc Đi đợc 2/3 quãng đờng ngời thứ bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ôtô quay A Ngời thø hai vÉn tiÕp tôc ®i víi vÉn tèc cò vµ tíi B chËm h¬n ngêi thø nhÊt lóc vÒ tíi A lµ 40 phút Hỏi vận tốc ngời xe đạp biết ôtô nhanh xe đạp là 30km/h Bài 3: Cho ba điểm A, B, C trên đờng thẳng theo thứ tự và đờng thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng trßn t¹i ®iÓm thø hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy trên đờng tròn cố định Bµi 4: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (P) b) Tìm hệ số góc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ – cho đờng thẳng : C¾t (P) t¹i hai ®iÓm TiÕp xóc víi (P) Kh«ng c¾t (P) §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc a 25a 25 a a a 2 : a 25 a a 10 a a M= a) Rót gän M b) Tìm giá trị a để M < c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Diện tích hình thang 140 cm2, chiều cao 8cm Xác định chiều dài các cạnh dáy nó, các cạnh đáy kém 15cm x3214 Bµi 3: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh b)Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng cho (28) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) xy x y 71 2 x y xy 880 T×m x2 + y2 Bài 4: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ AC, Cx lµ tia qua M a) Chøng minh: MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc tia BMx b) Gọi D là điểm đối xứng A qua O Trên tia đói tia MB lấy MH = MC Chøng minh: MD // CH c) Gọi K và I theo thứ tự là trung điểm CH và BC Tìm điểm cách bốn ®iÓm A, I, C, K d) Khi M chuyển động trên cung nhỏ AC, tìm tập hợp các trung điểm E BM Bµi 5: T×m c¸c cÆp(a, b) tho¶ m·n: a 1.b b a Sao cho a đạt giá trị lớn §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc x x 3 x 2 P : x 2 x x x a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P > x 4 x c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mãn: m x p 12m x m Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx - - và parabol (P) có phơng x2 tr×nh y = a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) b) Tính toạ độ các tiếp điểm Bài 3: Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ 600; trên tia đối tia AC lấy ®iÓm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g× ? t¹i sao? b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn này Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn c) Các đờng thẳng AB và CG cắt M, tứ giác àGM là hình gì? Tại sao? d) Chøng minh: MBG c©n (29) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 + x2)2 = 4x (1 - x2) §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc a1 a P= a) Rót gän P 3 a1 a1 a a1 a1 a1 b) So s¸nh P víi biÓu thøc Q = a Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 y 5 x Bµi 3: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét r¹p h¸t cã 300 chç ngåi NÕu mçi d·y ghÕ thªm chç ngåi vµ bít ®i d·y ghÕ th× r¹p h¸t sÏ gi¶m ®i 11 chç ngåi H·y tÝnh xem tríc cã dù kiÕn s¾p xÕp r¹p h¸t cã mÊy d·y ghÕ Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm trên đờng tròn Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi các giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC các điểm thứ hai tơng ứng là M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H là trực tâm tam giác AOP Chøng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN // BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp đợc đờng tròn d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn Bµi 5: Cho a ≠ Gi¶ sö b, c lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x ax 0 2a CMR: b4 + c4 §Ò sè Bµi 1: 1/ Cho biÓu thøc m m m 1 : m m m A= a) Rót gän A b) So s¸nh A víi 2/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: m1 m m m (30) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) y = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Bµi 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx y 2 3x my 5 a) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1, y = Bµi 3: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét m¸y b¬m theo kÕ ho¹ch b¬m ®Çy níc vµo mét bÓ chøa 50 m mét thêi gian định Do ngời công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm m3/h, cho nên đã bơm đầy bể sớm dự kiến là 1h 40’ Hãy tính công suất cña m¸y b¬m theo kÕ ho¹ch ban ®Çu Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) và đờng thẳng d ngoài đờng tròn Kẻ OA d Từ điểm M di động trên d ngời ta kẻ các tiếp tuyến MP 1, MP2 với đờng tròn, P1P2 cắt OM, OA lÇn lît t¹i N vµ B a) Chøng minh: OA OB = OM ON b) Gọi I, J là giao điểm đờng thẳng OM với cung nhỏ P1P2 và cung lớn P1P2 Chứng minh: I là tâm đờngtròn nội tiếp MP1P2 và P1J là tia phân giác góc ngoài cña gãc MP1P2 c) Chứng minh rằng: Khi M di động trên d thì P 1P2 luôn qua điểm cố định d) Tìm tập hợp điểm N M di động Bµi 5: So s¸nh hai sè: 2005 2007 vµ 2006 §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc 2x x 2x x x 1 x 1 x x A= a) Rót gän A 6 b) Tìm x để A = x x x 2 x là bất đẳng thức sai c) Chøng tá A Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Cã hai m¸y b¬m b¬m níc vµo bÓ NÕu hai m¸y cïng b¬m th× sau 22h55 phót ®Çy bể Nếu để máy bơm riêng thì thời gian máy bơm đầy bể ít thời gian máy hai b¬m ®Çy bÓ lµ giê Hái mçi m¸y b¬m riªng th× bao l©u ®Çy bÓ? Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng tròn đờng kính AB = 2R, góc vuông xOy cắt nửa đ- ờng tròn hai điểm C và D cho AC AD ; E là điểm đối xứng A qua Ox a) Chứng minh: Điểm E thuộc nửa đờng tròn (O) và E là điểm đối xứng với B (31) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) qua Oy b) Qua E vẽ tiếp tuyến nửa đờng tròn (O), tiếp tuyến này cắt các đờng thẳng OC, OD thø tù t¹i M vµ N Chứng minh : AM, BN là các tiếp tuyến đờng tròn (O) c)Tìm tập hợp điểm N M di động Bµi 5: T×m GTLN, GTNN cña: y= 1 x 1 x §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc x 3 x x 1 x 2 : x 2 x x x x x P= a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > x x 3 c) TÝnh gi¸ trÞ cña P, biÕt d) Tìm các giá trị x để : 2 x 2 p 5 x 2 2 x Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một đội công nhân xây dựng hoàn thành công trình với mức 420 ngày công thợ Hãy tính số ngời đội, biết đội vắng ngời thì số ngày hoàn thµnh c«ng viÖc sÏ t¨ng thªm ngµy x2 Bài 3: Cho parabol (P): y = và đờng thẳng (d): y = x + n a) Tìm giá trị n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm giá trị n để đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm c) Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) với (P) n = Bài 4: Xét ABC có các góc B, C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB và AC cát điểm thứ hai H Một đờng thẳng d bất kì qua A lần lợt cắt hai đờng tròn nói trªn t¹i M, N a) Chøng minh: H thuéc c¹nh BC b) Tø gi¸c BCNM lµ h×nh g×? T¹i sao? c) Gäi P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, MN Chøng minh bèn ®iÓm A, H, P, Q thuộc đờng tròn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn §Ò sè Bµi 1: Cho biÓu thøc (32) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) x 1 x 1 x x 1 x x : x 1 x 1 x x 1 x P= a) Rót gän P b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1 x 3 P x Tìm x để Q max c) BiÕt Q = Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một xe tải từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h Sau đó 30 phút, xe khởi hành từ A để đến B với vận tốc 60 km/h Hai xe gặp chúng đẫ đợc nửa quãng đờng Tính quãng đờng AB Bài 3: Xét đờng tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính cung AB và C là điểm bất kì nằm Avà B Tia MC cắt đờng tròn (O) D a) Chøng minh: MA2 = MC MD b) Chøng minh: MB BD = BC MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Chứng minh M di động trên AB thì các đờng tròn (O1), (O2) ngoại tiếp các tam giác BCD và ACD có tổng bán kính không đổi Bài 4: Tìm giá trị x để biểu thức: M= x 1 2x đạt giá trị nhỏ và tìm giá trị nhỏ đó Bài 5: vẽ đồ thị hàm số : y = x2 4x 4x2 4x 1 §Ò sè 10 Bµi 1: Cho biÓu thøc xy x xy y xy xy 1 : x xy y xy x y P= a) Rót gän P b) Tìm m để phơng trình P = m – có nghiệm x, y thoả mãn x y 6 Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một đội công nhân gồm 20 ngời dự đinh hoàn thành công việc đợc giao thời gian định Do trớc tiến hành công việc ngời đội đợc phân công làm việc khác, vì để hoàn thành công việc ngời phải làm thêm ngày Hỏi thời (33) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) gian dự kiến ban đầu để hoàn thành công việc là bao nhiêu biết công suất làm viÖc cña mçi ngêi lµ nh Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 và góc COD = 900 Gọi M là điểm trên nửa đờng trßn cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lît t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M và cắt các tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C và D cho điểm M, O, B, K, S cùng thuộc đờng tròn Bài 4: Cho Parabol y = x2 (P) Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A(-1; 1) và tiÕp xóc víi (P) Bài 5: Tìm giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm x (m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = §Ò sè 11 Bµi 1: Cho biÓu thøc 2x x x x x x x x x 2x x x x x1 P= a) Rót gän P P x x x b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = c) Tìm các giá trị m để x > ta có: P x x m x 1 x Bµi 2: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó ngời đi từ bến A dọc theo bờ sôngvề hớng bến B Sau chạy đợc 24 km, ca nô quay chở lại gặp ngời địa điểm D cách bến A khoảng km Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết vận tốc ngời và vận tốc dòng nớc và km/h Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và K là điểm chính cung Ab Trên cung KB lÊy ®iÓm M (kh¸c K, B) Trªn tia AM lÊy ®iÓm N cho AN = BM KÎ d©y BP song song với KM Gọi Q là giao điểm các đờng thẳng AP, BM a) So s¸nh hai tam gi¸c AKN, BKM b) Chøng minh: Tam gi¸c KMN vu«ng c©n (34) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) c) d) Gọi R, S lần lợt là giao điểm thứ hai QA, QB với đờng tròn ngoại tiếp tam giác Omp Chứng minh M di động trên cung KB thì trung điểm I RS luôn nằm trên đờng tròn cố định 1 2 x 2x Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 1 b c Bµi 5: Cho b, c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: Chøng minh r»ng hai ph¬ng tr×nh díi ®©y cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: ax2 + bx + c = vµ x2 + cx + b = §Ò sè 12 P= ( xx−2+√√xx−−34 + √3−x −1√ x ): (1− √√ xx −− 32 ) Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P < Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra, ngày còn lại họ đã làm vợt mức ngày 20 sản phẩm, nªn hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím ngµy Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy cÇn s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm Bµi 3: H×nh häc.( §Ò thi tèt nghiÖp n¨m häc 1999 – 2000) Cho đờng tròn (0) và điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm dây MN, I là giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đởng tròn a) C/m : Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc đờng tròn b) C/m : gãc AOC b»ng gãc BIC c) C/m : BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn §Ò sè 13 P= ( √ x1+1 − x √ x2−√√xx+− 2x −1 ) :( √ x1−1 − x −12 ) Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 120 sản phẩm thời gian dự định Khi làm đợc nửa số sản phẩm nhóm thợ nghỉ giải lao 10 phút Do đó, để hoàn thành số sản phẩm còn lại theo đúng thời gian dự định nhóm thợ tăng suất thêm s¶n phÈm TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn Bµi 3: H×nh häc Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt ph¼ng bê AB cã chøa M kÎ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F (35) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành §Ò sè 14 P= ( √xx+2+1 − √ x ): ( √1−x −x4 − √ √x+x ) Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm thời gian dự định Sau làm đợc với suất dự kiến, ngời đó đã cải tiến các thao tác hợp lý nên đã tăng suất đợc sản phẩm và vì ngời đó hoàn thành kế hoạch sớm dự định 1giờ 36 phút Hãy tính suất dự kiến Bµi 3: H×nh häc Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM t¹i P vµ Q a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) Xác định vị điểm S trên tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA §Ò sè 15 P= x +3 √ x+ x −√ − : (2− √ ) Bµi 1: To¸n rót gän ( x −5√ x+2 ) √ x+ − √ x √ x −3 √ x +1 Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm x để − P Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét tæ cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 350 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn NÕu t¨ng n¨ng suất 10 sản phẩm ngày thì tổ đó hoàn thành sản phẩm sớm ngày so với giảm n¨ng suÊt 10 s¶n phÈm mçi ngµy TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn Bµi 3: H×nh häc Cho đờng tròn (0) bán kính R, dây AB cố định ( AB < 2R) và điểm M trên cung lớn AB Gọi I là trung điểm dây AB và (0’) là đờng tròn qua M tiếp xúc víi AB t¹i A §êng th¼ng MI c¾t (0) vµ (0’) thø tù t¹i N, P a) Chøng minh : IA2 = IP IM b) Chøng minh tø gi¸c ANBP lµ h×nh b×nh hµnh c) Chứng minh IB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP d) Chøng minh r»ng M di chuyÓn th× träng t©m G cña tam gi¸c PAB ch¹y trên cung tròn cố định §Ò sè 16 P=√ x : ( x+√ x√+1x +1 + 1−1√ x + x √x+x −12 ) Bµi 1: To¸n rót gän (36) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Cho biÓu thøc a/ Rót gän P b/ Tìm x để P = Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành đoàn xe đợc giao thêm 14 hàng đó phải điều thêm xe cùng loại trên và xe chở thêm 0,5 hàng Tính số xe ban đầu biết số xe đội kh«ng qu¸ 12 xe Bµi 3: H×nh häc Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là điểm chính cung AB K thuộc cung BM ( K kh¸c M vµ B ) AK c¾t MO t¹i I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P là hình chiếu cña K lªn AB) §Ò sè 17 Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc: P= 3(x + √ x −3) + √ x +3 − √ x − x +√ x − √ x +2 √ x − a/ Rót gän P b/ Tìm x để P< 15 Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một máy bơm dùng để bơm đầy bể nớc có thể tích 60 m3 với thời gian dự định trớc Khi đã bơm đợc 1/2 bể thì điện 48 phút Đến lúc có điện trở lại ngời ta sö dông thªm mét m¸y b¬m thø hai cã c«ng suÊt 10 m 3/h C¶ hai m¸y b¬m cïng ho¹t động để bơm đầy bể đúng thời gian dự kiến Tính công suất máy bơm thứ và thời gian máy bơm đó hoạt động Bµi 3: H×nh häc.( §Ò thi tuyÓn vµo trêng Hµ Néi – Amsterdam n¨m häc 97 – 98) Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng tròn này thứ tự D và E, hai tia phân giác này cắt F Gọi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diÖn tÝch gÊp lÇn diÖn tÝch tø gi¸c AIFK §Ò sè 18 Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc: P= ( x√−2x −√4x − −3√ x ) :( √ √x+x − √ x√−2x ) a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để P=3x - √ x b/ Tìm các giá trị a để có x thoả mãn : P( √ x+1)> √ x+ a Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i lÉn vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña tµu thuû níc yªn lÆng, biÕt vËn tèc cña dßng níc lµ km/h Bµi 3: H×nh häc.( §Ò thi tèt nghiÖp n¨m häc 2002 - 2003) Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E (37) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) a) b) c) d) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE AC Chøng minh : AE AC – AI IB = AI2 Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt §Ò sè 19 Bµi 1: To¸n rót gän Cho biÓu thøc: P= 3(x + √ x −3) √ x +1 √ x −2 − + −1 x +√ x − √ x +2 √ x 1− √ x ( a/ Rót gän P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; ) c/ Tìm các giá trị x để P=√ x Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một ngời xe máy từ A đến B cách 60 km quay trở lại A với vận tốc cũ Nhng lúc về, sau đợc thì xe hỏng nên phải dừng lại sửa 20 phút Sau đó ngời với vận tốc nhanh trớc km/h trên quãng đờng còn lại Vì thời gian ®i vµ vÒ b»ng TÝnh vËn tèc ban ®Çu cña xe Bµi 3: H×nh häc Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P là điểm chính cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chøng minh: IK // AB c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chøng minh: R1 + R2 = √ 4R2 − PA §Ò sè 20 (a 1) x y 3 Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : a.x y a a) Gi¶i hÖ víi a b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y > Bài : Một ngời xe máy từ A đến B đờng dài 120 km Khi từ B trở A, 1giê 40 phót ®Çu ngêi Êy ®i víi vËn tèc nh lóc ®i, sau nghØ 30 phót l¹i tiÕp tôc với vận tốc lớn vận tốc lúc trớc 5km/h, đến A thấy quá 10 phút so với thời gian từ A đến B Tính vận tốc lúc Bai : Cho tam giac ABC có góc A tù, đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O’) đờng kính AC giao điểm thứ hai là H Một đờng thẳng d quay quanh A cắt (O) vµ (O’) thø tù t¹i M vµ N cho A n»m gi÷a M vµ N a) Chøng minh H thuéc c¹nh BC vµ tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang vu«ng b) Chứng minh tỉ số HM: HN không đổi c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN, K lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh A, H, K, I cùng thuộc đờng tròn và I chạy trên cung tròn cố định d) Xác định vị trí đờng thẳng d để diện tích tứ giác BMNC lớn (38) THCS (Su tÇm vµ bæ sung) Chóc Kh¸nh thµnh c«ng ! (39)