Một số bài toán cực trị trong hình h ọc Xác định tọa độ của điểm, viết phương trình của đường, mặt phẳng đ ể một biểu thức hình học nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.. Phương pháp gi[r]
(1)A- Một số bài toán phơng pháp toạ độ không gian Bµi to¸n VÒ vÐct¬ 1) Chøng minh hai vÐct¬ cïng ph¬ng 2) Tính tích vô hớng hai véctơ, tính độ dài véctơ, đoạn thẳng 3) Chøng minh hai vÐct¬ vu«ng gãc 4) TÝnh gãc gi÷a hai vÐct¬ 5) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng 6) Chứng minh ba véctơ không đồng phẳng Bµi to¸n TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD Bài toán Tìm toạ độ điểm thoả mãn điều kiện cho trớc: Bµi to¸n LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng: 1) §i qua mét ®iÓm M0(x0 ; y0 ; z0) vµ - Vu«ng gãc víi vÐct¬ n ( A; B; C ) - Vuông góc với đờng thẳng d cho trớc - Song song víi mÆt ph¼ng cho tríc - Song song chứa - Vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng cho tríc - Song song với đờng thẳng d và vuông góc với mp(P) 2) MÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng 3) §i qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng 4) Chứa đờng thẳng d và song song (hoặc chứa) d’ 5) Chứa điểm A và đờng thẳng d (A d ) 6) Chứa hai đờng thẳng song song 7) Chứa đờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) 8) TiÕp diÖn cña mÆt cÇu (S) t¹i tiÕp ®iÓm A 9) TiÕp diÖn víi mÆt cÇu (S ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc Bài toán Viết phơng trình đờng thẳng 1) §i qua mét ®iÓm M0(x0 ; y0; z0) vµ - Cã vÐct¬ chØ ph¬ng u (a; b; c) - Song song với đờng thẳng cho trớc - Vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cho tríc - Vuông góc với hai đờng thẳng cho trớc - Vuông góc với đờng thẳng d và song song nằm trên mp(P) 2) §i qua hai diÓm ph©n biÖt M, N 3) Giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng 4) Đi qua A, vuông góc và cắt đờng thẳng d 5) Đi qua A, cắt hai đờng thẳng d1 và d2 6) §i qua A, c¾t d vµ song song víi (P) 7) H×nh chiÕu vu«ng gãc cña d trªn mÆt ph¼ng (P) 8) Vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đờng thẳng d1, d2 9) Đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chéo 10) §èi xøng víi d qua M0 11) §èi xøng víi d qua mÆt ph¼ng (P) Bài toán Xột vị trí tơng đối, điều kiện song song, vuông góc 1) Cña hai mÆt ph¼ng 2) Giữa đờng thẳng và mặt phẳng 3) Của hai đờng thẳng 4) MÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu Bµi to¸n TÝnh gãc 1) Giữa hai đờng thẳng 2) Gi÷a hai mÆt ph¼ng 3) §êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng 4) Bµi to¸n liªn quan: a) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua mét ®iÓm M vµ t¹o víi mÆt phẳng (Q) (hay đờng thẳng d) góc cho trớc (2) b) Lập phơng trình đờng thẳng d qua điểm M, d// (P) và tạo với mÆt ph¼ng (Q) mét gãc cho tríc Bµi to¸n TÝnh kho¶ng c¸ch 1) Từ điểm đến mặt phẳng 2) Giữa hai đờng thẳng song song 3) Gi÷a hai mÆt ph¼ng song song 4) Từ điểm đến đờng thẳng 5) Giữa hai đờng thẳng Bµi to¸n LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu 1) BiÕt t©m I(a; b ; c) vµ b¸n kÝnh R: Ph¬ng tr×nh lµ: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 - T©m I(a; b ; c) vµ ®i qua ®iÓm A(xA; yA; zA) th× b¸n kÝnh R2 = AI2 = (a - xA)2+(a - yA)2 + (a - zA)2 - T©m I(a; b; c) vµ tiÕp xóc víi mp(P) th× b¸n kÝnh R = d[A;(P)] 2) Đi qua bốn điểm không đồng phẳng (ngoại tiếp tứ diện) ABCD: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: x2 + y2 + z2 +2ax + 2by + 2cz + d = 0.Thay lÇn lît toạ độ A, B, C, D ta đợc hệ, giải hệ ta đợc a, b , c, d Bài toán 10 Một số bài toán cực trị hình h ọc Xác định tọa độ điểm, viết phương trình đường, mặt phẳng đ ể biểu thức hình học nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải: - Phương pháp hình học: Xác định vị trí điểm, đ ường hay m ặt b ằng phương pháp hình học từ đó tìm tọa độ điểm hay viết phương trình đ ường, mặt tương ứng - Phương pháp hàm số: Đặt đại lượng thay đổi biến t r ồi vi ết bi ểu thức cần khảo sát thành hàm biến t Chú ý các điều kiện đ ể có t ập kh ảo sát phù hợp với biến t - Phương pháp dùng bất đẳng thức: Khi biểu thức cần tìm cực trị phụ thuộc vào nhiều biến Ta có thể tìm cực trị cách sử dụng các bất đẳng thức cổ điển BĐT Cô-si, Bu-nhi-a, bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối B - Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz Bài Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(5; 3; 4), C(8; - 3; 2) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác vuông b)Tính diện tích và chu vi tam giác ABC c) Tìm tọa độ trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d)Gọi D là chân đường cao BD, tìm tọa độ điểm D Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0; 1), B’(2; 1; 2), D’(1; - 1; 1), C(4; 5; - 5) Tính các đỉnh còn lại hình hộp, tính thể tích khối hộp đã cho Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) biết: 1) (α) qua M(-1; 3; 2) và vuông góc với đường thẳng OM 2) (α) qua M và (α) song song với mặt phẳng (β): 2x – 3y + z – = (3) 3) 4) 5) 6) 7) 8) (α) là trung trực đoạn thẳng AB, A(1; 2; - 3), B(3; 0; 1) (α) qua ba điểm O, A, B (α) chứa trục Ox và điểm M (α) song song với trục Oy và chứa AB (α) chứa AB và (α) vuông góc với mặt phẳng (γ): - x + 3y + 4z – = (α) qua ba điểm M1; M2; M3 là hình chiếu M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Bài Xác định các giá trị m và m để hai mặt phẳng sau đây song song (α): 3x – 5y + mz – = và (β): 2x + ny – 3z + = Bài Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: 1) d qua M(2; - 3; 1) và d song song với trục Oz x y z 1 3 2) d qua M và d song song với d’: 3) d qua M và d vuông góc với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 4z – = 4) d qua hai điểm M, N: M(2; - 3; 1), N(0; 1; - 3) 5) d qua M, d song song với (α) và d vuông góc với trục Ox Bài Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu điểm M( 2; - 1; 0) trên m ặt ph ẳng (α): x + 3y – z – = Bài Tìm tọa độ điểm I là hình chiếu vuông góc điểm A(1; 0; 0) trên x y z đường thẳng d: x 1 2t y 3t x y z z 2 t Chứng minh Bài Cho hai đường thẳng d: và d’: d//d’, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và d’ x 1 at y t Bài Cho hai đường thẳng d: z 2t và d’: x 1 s y 2 s z 3 s Tìm a để d cắt d’ và viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và d’ chúng cắt Bài 10 Cho bốn điểm A(1; 0; - 1), B(3; 4; - 2), C(4; - 1; 1), D(3; 0; 3) a) b) c) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng Viết phương trình mp (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (4) d) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 11 Cho mặt phẳng (α): 2x – y + 2z + = và điểm I(1; 3; 2) Vi ết ph ương trình mặt cầu (S) tâm I, (S) tiếp xúc với (α) Bài 12 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – = và mặt phẳng (P): x – = a) Tìm tọa độ tâm và bán kính (S), chứng minh (P) cắt (S) b) Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao c (S) và (P) Bài 13 Cho hai mặt phẳng (α): 2x + 4y – z – = và (β): 4x + 5y + z – 14 = Chứng minh (α) và (β) cắt nhau, gọi giao tuyến là d Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I thuộc d và (S) tiếp xúc với hai mặt ph ẳng (P): x + 2y – 2z – = và (Q): x + 2y – 2z + = x 2 t y 2t Bài 14 Cho mặt phẳng (α): x + 3y – z – = và đường thẳng d: z 3t 1) Tìm tọa độ giao điểm d và (α) 2) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu d trên ( α) x y 3 z 2 và (P): 2x + 2y + z + = Bài 15 Cho điểm I(1; 2; - 2), đt d: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, cho (P) c (S) theo đ ường tròn có chu vi 8π Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với (S) C – Một số bài toán đề thi đại học (2m 1) x (1 m) y m 0 dm : mx (2m 1) z 4m 0 KD-2002: Cho ( P ) :2 x y 0 và Tìm m để d m / /( P ) x y z 0 1 : ; : x 1 t ; y 2 t ; z 1 2t x y z KA-2002: Cho 1) Viết pt (P) chứa 1 và song song với 2) Cho M (2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc cho MH nhỏ x 3ky z 0 dk : kx y z 0 Tìm k để d k ( P) : x y z 0 KD-2003: Cho A (2;0;0), B (0;0;8) KB-2003: Cho và điểm C cho AC (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến OA (5) KD-2004: Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C (1;1;1;), ( P) : x y z 0 Viết pt mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc (P) x 2t A( 4; 2;4), d : y 1 t z 4t KB-2004: Cho Viết pt qua A, cắt và ┴ d x y z 0 x y x 1 d1 : , d2 : 1 x y 12 0 KD-2005: Cho 1) CMR: d1 / / d Viết pt mp(P) chứa đường thẳng cho 2) Mp(Oxz) cắt d1, d2 A, B Tính diện tích OAB x y 3 z d: , ( P) : x y z 0 KA-2005: Cho 1) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho d ( I ,( P )) 2 2) Tìm tọa độ điểm A d ( P) Viết pt tham số : ( P ), qua A, d x y 2 z x y z 1 A(1;2;3), d1 : , d2 : 1 1 KD-2006: Cho Tìm tọa độ A’ đối xứng A qua d1 Viết pt qua A, vuông góc d1 và cắt d2 x y z 1 A(0;1;2), d1 : , d : x 1 t ; y 2t; z 2 t 1 KB-2006: Cho 1) Viết pt (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2 2) Tìm tọa độ M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng x y 2 z A(1;4;2), B( 1;2;4), : 1 KD-2007: Cho 1) Viết pt d qua trọng tâm G OAB và vuông góc mp(OAB) 2) Tìm tọa độ M thuộc cho MA2 + MB2 nhỏ 2 KB-2007: Cho ( S ) : x y z x y z 0, ( P) :2 x y z 14 0 Viết pt mp(Q) chứa Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b ằng Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn x y z A(1;1;3), d : 1 Viết pt (P) qua A và vuông góc với d CĐ-2008: Cho Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho MOA cân đỉnh O KD-2008: Cho A(3;3;0), B(3;0;3), C (0;3;3), D(3;3;3) Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC KB-2008: Cho A(0;1;2), B(2; 2;1), C ( 2;0;1) Viết pt mp(ABC) Tìm tọa độ M thuộc mp có pt: x y z 0 và MA MB MC (6) x y z 2 KA-2008: Cho 1) Tìm tọa độ hình chiếu A trên d 2) Viết pt mp ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn CĐ-2009: Cho ( P1 ) : x y z 0, ( P2 ) :3 x y z 0 Viết pt mp(P) qua A(1;1;1) , vuông góc mp (P ) và (P ) A(2;5;3), d : KD-2009: Cho A(2;1;0), B(1;2;2), C (1;1;0), ( P) : x y z 20 0 Tìm tọa độ D thuộc (AB) cho CD song song với (P) KB-2009: Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B( 2;1;3), C (2; 1;1), D(0;3;1) Viết pt (P) qua A, B cho d (C ,( P )) d ( D,( P)) 2 KA-2009: Cho ( P) : x y z 0, ( S ) : x y z x y z 11 0 (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Xác định tọa độ tâm và bán kính (C) KD-2010: Cho ( P ) : x y z 0, (Q) : x y z 0 Viết pt mp(R) vuông góc (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến mp(R) KB-2010: Cho A(1;0;0), B(0; b;0),C (0;0; c), (b, c 0), ( P ) : y z 0 Tìm b, c biết (ABC) vuông góc (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) x y z2 : , ( P ) : x y z 0 1 KA-2010: Cho Gọi C là giao và (P), điểm M thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC x 1 y z A(1;2;3), d : Viết pt qua A, d và cắt Ox KD-2011: Cho x y 1 z : , ( P ) : x y z 0 1 KB-2011: Cho Gọi I là giao và (P) Tìm tọa độ M thuộc (P) cho: MI , MI 4 14 KA-2011: Cho A(2;0;1), B(0; 2;3), ( P) : x y z 0 Tìm tọa độ M thuộc (P) cho MA = MB = KD-2012: Cho ( P) :2 x y z 10 0, I (2;1;3) Viết pt mặt cầu tâm I và cắt (P) theo đường tròn có bán kính x y z d: , A(2;1;0), B ( 2;3;2) 2 KB-2012: Cho Viết pt mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc d x 1 y z d: , I (0;0;3) KA-2012: Cho Viết pt mặt cầu (S) có tâm I và cắt d A, B cho IAB vuông I (7) Bài tập làm thêm Bài 1: Cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – = và hai đường thẳng d 1: x y z 3 ; d2: x = +6t; y = 4t; z = -5 – 5t Viết pt đường thẳng d cắt d 1, d2 , song song và cách (P) khoảng ĐS: (Q): 2x + 2y + z – = 0; d: x = + 4t; y = 4t; z = – 2t d’: x = + 4t’; y = – 3t’; z = -5t’ x y4 z 2 Viết pt đt ∆ Bài 2: Cho mp (P): 3x – 2y – 3z – = và đt d: qua A(3; - 2; - 4), song song với (P) và cắt d ĐS: x y 2 z 4 6 x y 1 z 2 và (S): x2 + y2 + z2 – 8x – 4y – 2z + 12 = Bài 3: Cho đt d: Viết pt mp(P) chứa d và (P) tiếp xúc với (S) Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A( - 1; 0; 2) mp (P): 2x – y – z + = và đường thẳng d: x = + 2t; y = + 4t; z = + t Viết pt đt qua A cắt d B, cắt AC AB 0 (P) C cho Bài 5: Cho mp(P): 2x – y – 2z – = và đt d: x = - t; y = - + 2t; z = + t Viết pt mặt cầu (S) tâm I thuộc d, cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính x y z 2 và d’: x = - + 2t; y = + t; z = CM d và d’ chéo Bài 6: Cho đt d: Trong các mặt cầu tiếp xúc với d và d’, viết ptrình mặt cầu có bán kính nhỏ Bµi 7: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a TÝnh k/c¸ch gi÷a A’B vµ B’D Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAC = 900, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2; 5; 3) và đờng thẳng d: x−1 y z−2 = = 2 Viết phơng trình mp( α ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( α ) lín nhÊt §S: ( α ): x - 4y + z - = Bài 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đờng thẳng x+ y+ z−3=0 Δ: y + x−1=0 ; vµ hai ®iÓm A(1; -2; -1), B(2- √ ; 2; -3 ) T×m M thuéc { Δ ; cho AM + BM nhá nhÊt §S: M(2; 2 2 2 theo B§T: √ a +b + √ c +d ≥√(a−c ) +(b−d ) − ) Chú ý có thể đánh giá (8) Bµi 11: Cho mÆt ph¼ng (P): x - y + 2z = vµ c¸c ®iÓm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) T×m ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng (P) cho 1) MA + MB nhá nhÊt 2) MA2 - MB2 - MC2 lín nhÊt.§S : a) M(13/5 ; ; -4 /5), b) M(2 ; -2 ; -2) Bài 12: Cho đờng thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng (P): x + y + z - = 0, (Q): x - y + z - = 0, và các điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0) Trong các đờng thẳng qua B và cắt , viết phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhÊt? BÐ nhÊt? §S: d1: x 1 y z 2 x 1 y z 2 2 vµ d2: Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; -2) và đường x y z 1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d Lập thẳng d: phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) điểm A và (S) qua N(0; 2; -1) Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ A(a; 0; ); B(0; - 2; 0); C(0; 0; c) Biết (P) song song với d: x 1 y z 1 và tạo với mặt phẳng Oxy góc ∝ cho cos∝ = (9)