Bài 4: 2 điểm Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: có tất cả 2011 dấu căn thức... Lời giải vắn tắt..[r]
(1)PHÒNG GD BÁ THƯỚC TRƯỜNG PTCS LÂM TRƯỜNG ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6điểm) ¿ Cho biểu thức: A= ( x √x +2x −1 + x +√√ xx +1 + 1−1√ x ) : √ x2−1 ¿ Rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất? Tính giá trị A x = - Bài 2: (6 điểm) 4 x 1 x x x 2 1.Giải phương trình: 2.Chứng minh a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng a và c thì ta có: 1 a b b c c a Bài 3: (6điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm NAM, (điểm N nằm A và M), vẽ đường tròn (O) có đường kính AN Gọi F là giao điểm phân giác AD với (O), gọi E là giao điểm giác ngoài góc A với (O) Chứng minh: EF là đường kính đường tròn (O) Đường tròn (O) cắt AB K, cắt AC H, KH cắt AD I Chứng minh: FK2 = FI FA Chứng minh: NH.CD = NK BD Bài 4: (2 điểm) Tìm tất các nghiệm nguyên dương phương trình: (có tất 2011 dấu thức) √ x+ √ x + +√ x= y phân (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm (2,0 điểm) ĐK: x <1 0,5 x +2+ √ x ( √ x −1)−(x + √ x+1) x √ x −1 √x − √ x −1 ¿ (x + √ x+1) ¿ ¿ = ( √ x − √ x +1) ¿ A= ( Bài 1,0 (2,0 điểm) A= 0,5 2 ≤ =2 1+ √x+ + 4 1,0 ) Dấu "=" xảy Û = Û x =0 0,5 Vậy Max A = x = (2,0 điểm) 0,5 Với x = 7-2 = (-1)2 = -1 1,0 Ta có : A = (3,0 điểm) 1,0 x 1 x Û x1 x 2 (1) Û 2 x 3 2 y y 2 y x 0; x 0 (2) x x 2 Û 4 x1 0,75 y 1: y 0, y , nên (2) Û y y 2 Û y 1 (thoả ĐK) Û x 1 là nghiệm phương trình (1) y 3: y 0, y 0 , nên pt (2) y y 2 Û y 0 0,75 đó pt (2) có vô số nghiệm y ( y 3 ), suy pt (1) có vô số nghiệm x ( x 81 ) y 3: y 0, y , nên pt (2) Û y y 2 Û y 3 , pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm pt (1) là: S 1; 81 0,75 0,75 (3,0 điểm) 1 a b b c c a 1 Û a b c a c a (*) b c 0,5 (3) Ta có: a b A c a c a b b c a c b a b c a Theo giả thiết: A b b c a c Û a c 2b Û b a c b , nên: b a b c b a b a a b b c c a b a b c c a A b c c a b c c a c a b a b 0,5 c a Đẳng thức (*) nghiệm đúng Bài 1,0 c 1,0 (2,0 điểm) K A O B I E F D N M H 2,0 C Ta có: AE và AF là hai tia phân giác góc kề bù đỉnh A nên AE ^ AF ⇒ = 900 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn - Hay EF là đk đường tròn (O) - đpcm (2,0 điểm) Xét D AKF và DKIF có = 0,5 (Chắn cung nhau: = ) Mà = + = + và = số đo ; = ⇒ DAKF D KIF 0,5 số đo( + ) nên = 0,5 (4) ⇒ -c 0,5 (2,0 điểm) Xét DABM và DACM có: S DABM = S DACM mà S DNCM = SDNBM (Cùng đường cao và cạnh đáy nhau) Nên:SDANC = SDANB Û NH.AC = NK.AB Û (1) Bài 0,5 0,5 Áp dụng tính chất đường phân giác: (2) 0,5 Từ (1) và (2) ⇒ NH.CD = NK.BD - c 0,5 (2,0 điểm) √ x+ √ x + + √ x= y ⇒ √ x=m √ x+ √ x=k ¿{ với x,y Z+ với k,m N ⇒ x=m x + √ x=k ⇒ m(m+1)=k ⇒ m=0 ⇔ x=0 ⇒ y=0 ¿{ Vậy pt có nghiệm nguyên x=y=0 0,5 1,0 0,5 (5)