Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN TỰ CHỌN 3 điểm: Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần phần A hoặc phần B.. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y=x +(1 −2 m) x 2+(2 −m) x +m+2 (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+ y+ 7=0 cos α = √ 26 góc α , biết Câu II (2 điểm) Giải bất phương trình: √ log ( 42−xx ) − ≤ √5 √ sin2 x ( cos x+ )+ 2=cos x +cos x −3 cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I ¿∫ x+ dx ( 1+ √1+2 x ) Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB ¿ a √ Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: ⃗ IA=−2 ⃗ IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x 2+ y + z ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= x y z + + x + yz y + zx z + xy PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+ y+ 1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) √ Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển: ( 1+2 x )10 ( x2 + x +1 ) =a0 +a1 x+ a2 x + +a 14 x 14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x+ y − 4=0 Tìm tọa độ đỉnh C 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+ y − z +1=0 ,đường thẳng d: Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng I khoảng √ Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức: x −2 y − z −1 = = −1 −3 Δ nằm (P), vuông góc với d và cách z +i =1 i− z ( ) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (2) Câu I(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x ❑2 + a) TXĐ: R b) SBT Điểm 0,25 lim y ; lim y x •Giới hạn: x •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2 x + y’ + + + y Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) y 0,25 0,25 I 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m n1=(k ; −1) Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗ ⃗ n =(1 ;1) d: có véctơ pháp n1 ⃗ n2| |⃗ |k −1| cos α = ⇔ = ⇔12 k −26 k+ 12=0 ⇔ n1||n⃗2| √ 26 √2 √ k +1 |⃗ k 1= ¿ Ta có k 2= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ❑ Yêu cầu bài toán thỏa mãn ít hai phương trình: y =k ❑ (1) và y =k (2) có nghiệm x 3 x2 +2(1 −2 m) x +2− m= ❑ có nghiệm Δ ≥0 ¿ ¿ ❑ có nghiệm 2 Δ ≥0 x +2(1 −2 m) x +2− m= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,5 0,25 (3) 1 m≤ − ; m ≥ m − 2m −1 ≥0 ¿ ¿ 1 m − m−3 ≥ m≤ − ; m≥ m≤ − m≥ ¿ 4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1(1đ) Giải bất phương trình ⇔ 2x log −4≥0 4−x 2x log 21 ≤9 4−x ⇔ 2x Bpt −3 ≤ log − x ≤− 2(1) ¿ ¿ 2x ≤ log ≤3 (2) 4− x ¿ ¿{ ¿ ¿¿ 2x ⇔ 4≤ ≤8⇔ 4−x x−8 ≥0 4−x x −16 Giải (1): (1) ≤0 4−x 16 ⇔ ≤ x≤ ¿{ 2x ⇔ ≤ ≤ ⇔ 4− x 17 x − ≥0 4− x x−4 Giải (2): (2) ≤0 4− x 4 ⇔ ≤ x≤ 17 ¿{ 4 16 ; ∪ ; Vậy bất phương trình có tập nghiệm 17 2(1đ) Giải PT lượng giác Pt ⇔ √ sin x (2 cos x +1)=(cos x −cos x )+(cos x −1)−(2 cos x+ 1) ⇔ √ sin x (2 cos x +1)=− sin x cos x −2 sin2 x −(2cos x+1) ⇔ (2 cos x+1)( √ sin x +2 sin2 x +1)=0 II(2đ) [ ][ ] 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (4) • π √ sin2 x+ 2sin x +1=0 ⇔ √3 sin x − cos x=− ⇔sin(2 x − )=−1 0,25 π ⇔ x=− +kπ cos x+1=0 ⇔ 2π x= +k π ¿ 2π +k π • x=− ¿ (k ∈ Z) ¿ ¿ ¿ Vậy phương π x=− + kπ trình 0,25 có nghiệm: x= 2π 2π + k π ; x=− +k π 3 và (k Z ¿ III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân x+ dx I ¿∫ ( 1+ √ 1+2 x ) •Đặt t=1+ √ 1+ x ⇒ dt= dx ⇒ dx=(t − 1)dt √ 1+2 x và x= t −2 t Đổi cận x t •Ta có I 4 2 (t −2 t+ 2)(t −1) t −3 t + t −2 dt= ∫ dt=¿ ∫ t −3+ − dt 2 22 22 t t t t ( ) 0,25 = 0,5 ¿ 2∫ = t − t + ln |t |+ ∨¿ 2 t ( = ln 2− IV (1đ) ) Tính thể tích và khoảng cách 0,25 (5) S •Ta có ⃗ IA=−2 ⃗ IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB √2 AH = AI + IH = IA ¿ a ; AI= a ; IH= = 0,25 a K 3a A B I H C 2 •Ta có HC =AC + AH −2 AC AH cos 45 ⇒HC= ❑ a √5 0,25 ❑ Vì SH ⊥(ABC)⇒ (SC;(ABC))=SCH =60 a 15 SH=HC tan60 0= √ a √ 15 a √ 15 = • 1 V S ABC= S Δ ABC SH= ¿ 3 a √ ¿2 0,25 BI ⊥ AH BI ⊥ SH • } ⇒ BI ⊥(SAH) V (1đ) 0,25 a B ; (SAH)= BI= 2 Ta có d ( K ; (SAH)) SK 1 = = ⇒d ( K ;(SAH))= d ¿ d (B ; (SAH)) SB Tim giá trị lớn P P= x y z + + x + xy y +zx z + xy x ; y ; z> , Áp dụng BĐT Côsi ta có: Vì ¿ ( 2 + + √ yz √ zx √ xy P≤ x + y z + ) 2 1 1 1 1 yz+ zx+ xy x + y + z + + + + + = ≤ y z z x x y xyz xyz ( xyz = xyz ( ) = 0,25 2 √ x yz √ y zx √ z xy ) ( ) ( ) 0,5 (6) Dấu xảy ⇔ x= y =z=3 Vậy MaxP = PHẦN TỰ CHỌN: 0,25 (7) Câu VIa(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Viết phương trình đường tròn… KH: d : x + y +1=0; d :2 x − y −2=0 d có véctơ pháp tuyến ⃗ n1=(1 ;1) và d có véctơ pháp tuyến ⃗ n2=(1 ;1) n1=(1 ;1) ⇒ phương • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương ⃗ trình AC: x − y − 3=0 ¿ x − y −3=0 x − y −2=0 C=AC ∩ d2 ⇒ Tọa độ C là nghiệm hệ: ⇒ C (−1 ; −4 ) ¿{ ¿ xB+ yB • Gọi B ( x B ; y B ) ⇒ M( ; ) ( M là trung điểm AB) 2 ¿ x B + y B +1=0 yB x B +3 − −2=0 d d Ta có B thuộc và M thuộc nên ta có: 2 ⇒ B(−1 ; 0) ¿{ ¿ • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x 2+ y +2 ax +2 by +c=0 Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có ¿ a+ c=− − 2a+ c=−1 −2 a −8 b +c=−17 ⇔ ⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là: ¿ a=−1 b=2 c=− ¿{{ ¿ 2 x + y −2 x+ y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = √ 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) ⃗ là véctơ pháp tuyến (P) •Gọi ⃗n=(a ; b ; c)≠ O Điểm 0,25 0,25 0,5 Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c 0,25 Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 a −2 c ¿2 +c ¿ a +¿ • d(C;(P)) = √¿ |2 a+c| √3 ⇔ ¿ 0,5 (8) -Hết - (9)