a Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A, song song với mpP và vuông góc với d b Viết phương trình mặt cầu S có tâm là A và tiếp xúc với P.. Chứng tỏ rằng S và d khôn[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 Môn: TOÁN – Giáo dục THPT Thời gian làm bài 150 phút – Không kể thời gian giao đề SỐ 24 I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN (7 điểm) Câu (3 điểm) Cho hàm số y x2 , có đồ thị là (C) 1 x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu (3 điểm) Giải phương trình : 9.4 x 5.6 x 4.9 x 2 Tính tích phân sin x (sin x cos x )dx Tìm GTLN, GTNN hàm số y ln x trên đoạn 1;e3 x Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC SB tạo với đáy góc SB = a , góc BCS Xác định góc để thể tích khối chóp lớn II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (3 điểm) A Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z và điểm 2 A(3;2;0) Tìm điểm H là hình chiếu điểm A trên đường thẳng d Chứng tỏ điểm A nằm trên mặt cầu (S): ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 3)2 26 Viết phương trình tiếp diện (S) điểm A Câu 5a (1,0 điểm) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phức phương trình x x Hãy tính x12 vaø x22 B Theo chương trình Nâng cao Câu 4b (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z , mặt phẳng(P): x – y –z – = và điểm A(1;1;–2) a) Lập phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm A, song song với mp(P) và vuông góc với d b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (S) và d không có điểm chung Câu 5b Tìm bậc hai số phức – 6i Lop12.net (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM CÂU (3,0) ĐIỂ M 2,0 điểm 0,25 ĐÁP ÁN Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1) Tập xác định: D \ 1 ● Giới hạn và tiệm cận: lim y lim x 1 x 1 x 1 x 1 ; lim y lim x 1 x 1 x x 1 Đường thẳng x = là tiệm cận đứng đồ thị (khi x 1 vaø x 1 ) lim y lim y 1 Đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang đồ thị (khi x 0,25 x x vaø x ) ● Bảng biến thiên: ( x 1)2 Ta có y với x D – Đạo hàm: y x y 0,5 + + + –1 + y –1 0,5 – Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (1 ; ) , hàm số không có cực trị 3) Vẽ đồ thị: Giao điểm với Ox: (–2;0) Giao điểm với Oy: (0;2) Một số điểm khác: (2;–4), (4;–2) Tâm đối xứng I(1; –1) 0,5 Lop12.net (3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Với x = y = Vậy giao điểm (C) với trục tung: A(0 ; 2) y 0,25 y (0) ( x 1)2 0,25 Phương trình tiếp tuyến (C) A(0 ; 2): y y (0)( x 0) 0,25 y 3x 2 (3,0) 0,25 Giải phương trình : 9.4 x 5.6 x 4.9 x 1,0 2x x 2 2 Chia hai vế phương trình cho , ta 3 3 x t 1 (loại) 2 Đặt t , t ta có 9t 5t t 3 x 0,25 0,25 x 1,0 0,25 2 2 t x 2 3 3 Vậy phương trình có nghiệm là x = 0,25 2 Tính tích phân I = sin x (sin x cos x )dx 1,0 0 I = sin xdx sin x cos xdx A B A = sin xdx (1 cos8 x )dx 0 B = sin x cos xdx Vậy I = A-B = 1 x sin x 2 0 0.25 11 (sin x sin x ) dx cos5 x cos3 x 0 25 15 15 0,25 0,25 3.Tìm GTLN, GTNN hàm số y y 0,25 ln x trên đoạn 1;e3 x ln x (2 ln x ) x2 1,0 0,25 Lop12.net (4) x ln x y ln x x e y (1) 0; y ( e ) ; y ( e3 ) e e Vậy f ( x ) 0; max f ( x ) x[1;e3 ] (1,0) x[1;e3 ] 0,25 0,25 e2 0,25 Tính thể tích khối chóp S.ABC Xác định góc để thể tích khối chóp lớn 1,0 Vì SA (ABC) AB là hình chiếu SB trên (ABC) Do đó, góc SB và (ABC) là góc SBA CB SA vaø CB AB CB (SAB) 450 nên cân B CB SB Vậy tam giác vuông SBC có góc BCS 0,25 BC SB a Trong tam giác vuông SAB ta có SA SB.sin a sin và AB SB.cos a cos 0,25 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là 1 1 V SABC SA a 2.a 2.cos .a 2.sin a3 2.sin 2 (đvtt) 3 0,25 V lớn sin2 lớn 2= 4a 0,25 Tìm điểm H là hình chiếu điểm A trên đường thẳng d x 1 t Phương trình tham số d là: y 3 2t z 2 2t 1,0 0,25 Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d (P) nhận VTCP u (1; 2; 2) d làm VTPT Vậy phương trình (P): (x – 3)+2(y–2) + 2(z–0) = Lop12.net 0,25 (5) x y 2z x 1 t y 3 2t H là hình chiếu A trên d tọa độ H thỏa mãn hệ: z 2 2t x y z 0,25 Giải hệ trên tìm t = 2, x = 1, y = 1, z = Vậy H(1;1;2) 0,25 Chứng tỏ điểm A nằm trên mặt cầu (S): ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 3)2 26 Viết phương trình tiếp diện (S) điểm A (S) có tâm I(–1;3;3) Thế tọa độ A vào phương trình (S), ta (3 1)2 (2 3)2 (0 3)2 26 (đúng) Vậy A nằm trên (S) Tiếp diện (S) A là mặt phẳng (Q) qua điểm A và nhận IA (4; 1; 3) làm VTPT Vậy phương trình (Q): 4( x 3) ( y 2) 3(z 0) x y 3z 10 5a Gọi x1, x2 là hai nghiệm phức phương trình x x Hãy tính x vaø x 2 8 8i Phương trình có hai nghiệm: x1 1 2i; x2 1 2i 4b (2,0) 1,0 0,5 0,25 2 0,25 1,0 0,25 0,25 x12 (1 2i)2 7 2i 0,25 x22 (1 2i)2 7 2i 0,25 a) Lập phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm A, song song với mp(P) và vuông góc với d 1,0 Đường thẳng d có VTCP: u (2;1;3) Mặt phẳng (P) có VTPT: n (1; 1; 1) / /( P ) v n Gọi v là VTCP , ta có: d v u 1 1 1 v n, u ; ; ( 2; 5;3) 3 2 Đường thẳng qua điểm A(1;1;–2) và có VTCP v =(–2;–5;3) nên có phương x 1 y 1 z trình chính tắc là: 2 5 b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P) Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (6) Mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với (P) nên bán kính mặt cầu là R = d(A; (P)) = 11 3 0,25 0,25 Phương trình mặt cầu (S): ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 0,25 Đường thẳng d qua điểm M(–1;1;2) và có VTCP u (2;1;3) AM , u Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: d ( A; d ) u 5b 216 14 Vì d(A,d) > R nên mặt cầu (S) và đường thẳng d không có điểm chung 0,25 Tìm bậc hai số phức – 6i Đặt z = x + yi là bậc hai – 6i Ta có z 6i ( x yi )2 6i 1,0 x y i xy 6i y x y y x x 2 xy x2 x x (1) x2 0,25 0,25 x y 1 Giải (1) ta x2 = –1 (loại); x2 = Suy x 3 y 0,25 Vậy có hai bậc hai – 6i là z = 3–i ; z = –3+i 0,25 Lop12.net (7)