Bất đẳng thức minimax ky fan và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC -— oaũJrc> - - TRỊNH THỊ HIỆP BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX KY FAN VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI - 2011 Lời nói đầu Bài tốn điểm cân hình thành từ khái niệm hữu hiệu ] Edgeworth Pareto đề xướng từ cuối kỷ XIX Sau nhi nhà toán học Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng mơ hì kinh tế mà năm cuối kỷ XX, nhiều nhà kinh giới quan tâm khai thác Để chứng minh tồn điểm c mơ hình kinh tế, người ta sử dụng định lý điểm ì động kiểu Brouwer [6], Kakutani[13], Ky Fan[10], Browder[7], Trong Nguyên lý điểm bất động Brouwer mở rộng theo hai giai đoạn B đầu, người ta mở rộng kết lớp không gian tổng qi là: định lý Schauder (1930, [22]) không gian định chuẩn, đị lý Tikhonov (1935, [25]) kliông gian lồi địa phương, Sau mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục, mở đầu kết c Kakutani (1941, [13]) đặc biệt kết Ky Fan (1952, [10]) Một điều thú vị vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuartowski Mazurkiewicz, dựa kết tổ hợp Speri đưa Bổ đề KKM Bổ đề mang lại cách chứng minh C giản cho Nguyên lý điểm bất động Brouwer mà trước Brouwer phải chứng minh phức tạp, dựa vào công cụ tôpô tinh tế thuyết bậc ánh xạ liên tục Hơn nữa, Bổ đề KKM tương đương Nguyên lý Brouwer Sự xuất Bổ đề KKM mở hướng nghiên cứu Lý thuyết KKM Ky Fan (1961) tạo bước ngoặt pi triển Lý thuyết KKM chứng minh dạng tương tự Bổ LỜI NÓI ĐẦU KKM cho không gian vô hạn chiều, gọi Nguyên lý ánh xạ KKM , c xem trung tâm Lý thuyết KKM Dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM, Ky Fan thiết lập bất để thức cầu nối Lý thuyết KKM với toán tồn nghi điểm cân (người ta gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Fan) Bất đẳng thức nhận quan tâm nhiều nhà tc học đạt nhiều cơng trình sâu sắc Nó th lập lớp không gian phi tuyến không gian nửa giàn tô] không gian metric siêu lồi Các giả thiết ánh xạ gi; nhẹ mở rộng sang hàm đa trị Đặc biệt, gần bất đẳng tl Ky Fan nghiên cứu cho ánh xạ không gian véctơ tôpô có t tự phận thu số định lý quan trọng Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức Ky Fan dạng cổ điển mở nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến tối ưu hóa Đ ịnh lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972) Cho K tập lồi compact, khác rỗng không gian đinh, chuẩn X If : K X K —» K hàm số thoả mãn: (i) Vy K , hàm ip(.,y) nửa liên tục trên K ; (ii) Vx G K , hàm tp(x, ) tựa lồi K ; (Ui) Vy e K , hàm ự>(y,y) > Khi đó, tồn X G K cho ip(x, y) > , Vy e K Sau đó, c L Yen tổng quát hóa kết Ky Fan cho trường I hai hàm số giảm nhẹ số điều kiện sau: Đ ịn h lý 2.2.6 (Yen) Cho c tập lồi không gian véctơ ti tách X Giả sử f , g hai hàm số xác định c X c thỏa mc (i) f( x , y ) < g{x, y ) với X, y G C; (ii) Với y € c ,g (x ,y ) tựa lõm theo x; (Ui) Với A € F{C), f nửa liên tục chuyển dịch theo y t coA; (iv) Với A G F{C), x ,y € coA dãy (yữ) c hội tụ tớĩ 11 LỜI NĨI ĐẦU f ( t x + ( l - t ) y , y a) < A, Ví e [0,1] suy f ( x , y ) < \ , v i X = g (x,x) < oo; x€C (v) Tồn tập compact B f ( x 0,y ) > A; Vy G C \B Khi ta có bất đẳng thức c Xo £ c n B c inf sup f( x , y ) < sup g(x, X) = A ycB xeC xeC Năm 1957, Sion chứng minh định lý minimax mở ứ dụng lý thuyết tối ưu Đ ịn h lý 2.3.2 (Sion, 1957) Cho X , Y hai tập hợp lồi, compact trc không gian véctơ tôpô tách, f : X x Y —» R hàm số thỏa mãn hai đ\ kiện sau: (i) Với i ễ I , hàm f ( x , ) tựa lồi nửa liên tục theo y; (ii) Với y ( z Y , hàm f ( , y ) tựa lõm nửa liên tục theo X Khi đó, ta có m ax/(x, y) = max minf( x ,y ) xeX yeY y€Y x€X Tiếp theo người ta mở rộng định lý Ky Fan cho trường hợp hi đa trị: Đ ịn h lý 3.2.1 Cho K tập lồi compact không gian véctơ u tách X hàm đa trị F : K X K —>• 2K thỏa mãn (i) Với y G K, F (x, y ) nửa liên tục theo X K ; (ii) Với X G K ,F { x ,y ) hàm lồi theo y K ; (iii) Với m,ọi y e K, F(y, y ) C R+ Khi đó, tồn t i x e K cho F (x,y) C R + 111 Vy G K LỜI NÓI ĐẦU Tương tự, người ta mở rộng kết toán minim cho hàm véctơ Ta biết rằng, M có thứ tự tồn phần nên Ế trị hàm số so sánh với Do ta có tốn tối I Trong khơng gian tơpơ để có khái niệm tốn tối ưu ì hàm nhận giá trị véctơ người ta phải dựa vào quan hệ thứ tự ph cách đưa vào khái niệm nón Đ ịnh lý 4.2.1 Cho X , Y không gian véctơ tôpô, c nón ỉ nhọn, đóng với phần in t c ^ 0, A tập lồi, compact ánh xạ f : A X A —> ■Y ánh xạ liên tục thỏa mãn: Vz e (maxu,)íe^ /( í, t), X G A, tập {y A : /(x , y) £ z + intC } lồi Khi (maxw)íe^ /( í, í) c maxwf( x ,y ) + Y \ ( —intC ) X^ A yeA Đ ịnh lý 4.2.3 Cho X , Y khơng gian véctơ tơpơ, c nón l nhọn, đóng với phần in t c ^ 0, A tập lồi, compact ánh xạ f : A x A —>Y ánh xạ liên tục với tính chất C — tựa lõm theo y X G A, f( x , y ) Khi đóminiumaxu;/(x , y ) c m ax/(í, t ) + Y \in tC xeA y€ Ả Do nhu cầu thực tế ngày nhiều nhà toán học t giới quan tâm nghiên cứu toán tối ưu liên quan tới hàm véc đa trị, chọn đề tài nghiên cứu "Bất đẳng thức minim Ky Fan ứng dụng" Nhằm hệ thống lại kết gần li quan tới kết Ky Fan cho ánh xạ đa trị ứng dụng Mục đích luận văn nghiên cứu bất đẳng thức Ky F với điều kiện giảm nhẹ so với toán tử đơn điệu mỏ' rộng bất đẳ thức Ky Fan sang ánh xạ đa trị, với ánh xạ giá trị véctơ thứ tự si nón C ấu trú c luận văn gồm p h ần mở đầu, chương (chươnỊ - 4), kết luận tài liệu tham khảo Nội dung tóm tắ t n sau: C hư ơng kiến thức chuẩn bị Trong phần đầu chưc iv LỜI NÓI ĐẦU này, nhắc lại số không gian thường dùng to; tối ưu véctơ Đó không gian metric, không gian Banach, khô: gian véctơ, khơng gian định chuẩn, khơng gian tơpơ tuyến tính lồi d phương Hausdorff Phần chương này, nhắc i số khái niệm ánh xạ đa trị: tính nửa liên tục trên, nửa liên t dưới; tính lồi, tính lõm; tính C — lồi, tính C — lõm; định nghĩa hàm đơn điệu, tựa đơn điệu; số khái niệm ánh xạ, hàm với nón troi khơng gian véctơ Phần cịn lại chúng tơi trình bày khái niệm m số kết điểm bất động ánh xạ đa trị: định lý điểm b động Browder- Fan (1968) Ky Fan (1952) C hương giới thiệu số kết bất đẳng thức minimax I Fan với điều kiện giảm nhẹ so với toán tử đơn điệu Ngồi ra, chú] tơi cịn đề cập đến ứng dụng tốn cân cổ điển C hư ơng dành cho việc trình bày kết mở rộng bất đa: thức Ky Fan sang hàm đa trị C hương dành cho việc trình bày số kết bất đẳng th minimax Ky Fan với ánh xạ giá trị véctơ thứ tự sinh nón Luận văn viết hướng dẫn GS TSKH Nguy Xuân Tấn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thí người hướng dần khoa học mình, người đưa đề tài tận tì] hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu tơi Đồng thời tơi cũ chân th àn h cảm ơn thầy cô phản biện đọc kỹ thảo luận V dẫn cho nhiều ý kiến quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học- Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, Trung tâm Đào tạo sau đại học, thầy chuy ngành tốn giải tích ứng dụng tạo điều kiện cho tơi tài li thủ tục hành để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường Cao đẳng nghề I điện Thủy lợi đoàn thể bạn đồng nghiệp trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập LỜI NĨI ĐẦU Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn tới gia đình, bạn bè, nhữ người thân lời khích lệ, động viên giúp đỡ tơi suốt qi trình học tập, để tơi vượt qua khó khăn đạt kết nl ngày hơm Do điều kiện thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn lui văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhí bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luế văn hồn thiện Tơi hy vọng tiếp tục nghiên cứu đề t thời gian tới Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2011 Học viên Trịnh Thị Hiệp vi Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên N* Tập số tự nhiên khác R Tập số thực R+ Tập số thực không âm E_ Tập số thực không dương r; Tập số thực dương R* Tập số thực âm dc(A) Bao đóng tập A c à Bao đóng tập A khơng gian tơpơ intA Phần tập A co(M ) Bao lồi tập M Ax B Tích đề hai tập A B ĩỉX i iel Khơng gian tích họ không gian Xị MỤC LỤC B ao h àm th ứ c K y F an to n cân b ằn g đ a 3.1 Bài t o n 3.2 Một số định lý tồn n g h iệ m 3.3 Các toán liên q u a n Bao hàm thức Ky Fan không gian nón tr ị í ỉ E 4.1 4.2 Một số khái niệm liên quan tới nón khơng gian véctơ Bao hàm thức Ky F a n 4.3 Bao hàm thức Ky Fan yếu Tài liệu tham khảo Chương Bao hầm thức K y Fan khơng gian nón Do B u hay z e B „ n ( i / - C ) = M - Vậy u = z hay V e m inB Suy G m inB + c hay B c m in B + c (iii) (iv) chứng minh tương tự (i) (ii) M ệnh đề 4.1.3 Cho X , Y không gian véctơ tơpơ, c nón lơi, nhọn, đóng tronq Y với phần in tc 7^ 0, A tập lôi, compact c ủ aX ánh xạ f : A X A -> Y ánh xạ liên tục Khi hai ánh xạ đa trị Fi, F2 : A -» 2y xác định bởi: Fi(x) = maxwf(x, A)\Fĩ{x) = mi nwf ( x , A ) , ánh xạ nửa liên tục với giá trị compact, khác rỗng C h ứ n g m inh Từ Mệnh đề 4.1.2, suy Fi(x),F (x) 7^ 0,Vx G A Ta chứng tỏ Fi(x) compact Đặt B = Ị (x, A) Lấy dãy (ya) c Fi(x),(ya) hội tụ tới y G B Theo Định nghĩa 4.1.1, ta có B n (ya + in t c ) = Giả sử tồn u £ B n (y + in t c ), suy u £ B u — y G in tc Do u - ya —>u - y in tc mở nên tồn a cho u - ya e in t c hay u € ya + intC Do u £ B n ( y a +intC) Điều Iiày mâu thuẫn với B n ( y a + in tC ) = Do B r\(y + in tc ) = hay y e Fị(x) Vậy Fị(x) đóng A compact nên Fi(x) compact Tương tự F2 (x) tập compact Dể chứng minh F\ nửa liên tục ta cân chưng minh F\ co đo thi đóng Lấy (xa, y„) —> (x, y) cho y„ G Fi(xa) hay f { x a, A ) n ( y —intC ) = Ta phải y e Fị(x) Giả sử trái lại y £ Fị(x) hay tồn u e f { x a,A) n {ya - intC ) Do 63 Ọhirơng Bao hàm thức K y Fan khơng gian nón u ^ f { x ữ,A), tồn G A cho u = f ( x, z ) Bởi / liên tục nên limf ( x a,z) = u Mặt khác lim [/(z0, z) - yữ\ = u - y e ( - in t c ) Ct Vì —in tc tập mở nên tồn a cho f ( x a, z) — ya (—intC) Suy e f ( x a,A) n (ya - intC) Điều vơ lí với giả thiết f ( x ữ, A ) n (ỉ/a —in tc ) = Vậy Fi nửa liên tục Tương tự F2 nửa liên tục 4.2 B ao hàm thức K y Fan Như ta biết Chương 2: cho c tập lồi không gian véctơ tô pô X hàm số / Bất đẳng thức Ky Fan cho ta điều kiện đủ tồn điểm " Ky Fan" X cho f ( x , y ) > 0,Vy e c Sau đó, nhu cầu thực tế khoa học người ta muốn mở rộng bất đẳng thức theo hai hướng: cho ánh xạ đa trị ánh xạ nhận giá trị véc tơ Khi mở rộng bất đẳng thức Ky Fan theo hướng cho ánh xạ nhận giá trị véctơ, ta bao hàm thức Ky Fan Cụ thể ta tìm hiểu tốn thơng qua định lý sau: Đ ịn h lý 4.2.1 Cho X , Y hai không gian véctơ tôpô, c nón lồi, nhọn, đóng với phần in tc Ỷ 0; A tập lồi, compact X ánh xạ f : A X A -» Y ánh xạ liên tục thỏa mãn: Với z £ (m a x w)teAf(t, t), x € A, tập {y e A : f ( x , y ) G z + intC } Khi (max w)ieAf ( t , t ) c max wf ( x, y) + Y \( - in t C ) xe A 64 y eA Chương Bao hàm thức Ky Fan khơng gian nón Chứng m inh Lấy z £ (maxw)teAf(t,t), định nghĩa điểm w - cực đại ta có f ( x , x ) ị z + in t c y x £ A Với X e A, đặt T(x) = {y e A : f{x, y) e z + in tc } Bây giờ, ta chứng minh tồn Xo € A cho T (x 0) = Giả sử trái lại, với X e A , T ( x ) Ỷ 0- Theo giả thiết T(x) tập lồi, khác rỗng Hơn nữa, với X X ta có T - \ x ) = {y e A : x e T{y)} = {y e A : f ( x, y) e z + intC } mở z + in t c mở / liên tục Do đó, theo Định lý 1.5.3, tồn x' € T(x') hay f(x' , x' ) £ + in tc Điều mâu thuẫn với f ( x , x ) ị z + intC, Vx e A Vậy tồn Xo cho T {xo) = Từ T (x o) = 0, ta có f ( x 0, y) Ệ z + intC,Vy G A Hay ị f{xo,y) - intC,Vy £ A.(*) Vì A compact, / liên tục nên / (.To, i4) compact Do maxwf (xo, A) 7^ Từ (*), ta có z G m a x wf ( x 0, Á) + Y \( - in tC ) c U m a x wf ( x, A ) + Y \( - in tC ) Bởi tính chất nón ta có Y \ ( - i n t C ) = Y \( - in t C ) + c Kết hợp tính chất Mệnh đề 4.1.2, suy z £ u ma x wf ( x , A) + Y \ ( —i nt C) c max wf (x, y ) + Y \ ( —m tC ) xgA yeA Vậy (max w)tẼAf ( t , t ) c max wf ( x , y ) + Y \( - in tC ) Định lý chứng xeA y e j4 65 Chương Bao hàm thức Ky Fan khơng gian nón _ minh Theo Mệnh đồ 1.4.23, điều kiện định lý trên: tập {y E A : /( x , y ) G z + in t c } lồi thay với X G A, Ị {x, y) C — tựa lõm theo y H ệ 4.2.2 Cho X , Y hai không gian véctơ tơpơ, c nón lồi, nhọn, đóng với phần in t c ^ ty, A tập lồi, compact X va anh xạ f : A X A —» Y ánh xạ liên tục với X € A, f ( x, y ) C —tựa lõm theo y Khi (maxw)teAf ( t , t ) c maxwf ( x , y ) + Y \( - in tC ) xeA y &A Đ ịn h lý 4.2.3 Cho X , Y hai không gian véctơ tôpô, c nón lồi, nhọn, đóng với phần in tc 7^ 0, A tập lồi, compact X ánh xạ f : A x A —>Y ánh xạ liên tục với X € A, f ( x, y) có tính chất C —tựa lõm theo y Khi minU)maxĩtJ/(x ,y ) c m ax /(í,í) + Y \in tC x €.A yeA t£ A C h ứ n g m in h Từ A compact, / liên tục Mệnh đề 4.1.2, ta có với X G X tập maxwf(x, A) Ỷ min!j;m axu;/( x , ỳ) Ỷ 0XGẢ yeA Với X € A, tồn yx e maxwf ( x, A) Lấy G minimax wf ( x , y ) Ỷ xeA yeA Theo định nghĩa điểm w -cực tiểu, ta có f ( x , y x) ị (z - intC) Do với X € X , ta đặt T(x) = {y A : f (x, y) ị z - in tC ) Bây ta chứng minh tồn Xq G A cho Xo £ T (x o) Lấy e e i n t c , đặt a = z —e hàm hea : Y —►K xác định he a(z) = m in {t G R : € a + te — C} 66 Ọhương Bao hầm thức K y Fan khơng gian nón VớineN*, đặt T„(x) = {y £ A : hefiự ( x , y)) > l - i } = { y e A : g ( x , y ) > - i} Bây ta Tn thỏa mãn điều kiện Định lý 1.5.3 Thật vậy, cách xác định ta có T{x) c Tn{x) suy Tn[x) Ỷ 0' Bởi giả thiết f(x, y ) có tính chất C - tựa lõm theo y (iii) Mệnh đề 1.4.21, hàm g(x,y) tựa lõm theo y Sử dụng Mệnh đề 1.4.22 định nghĩa hàm tựa lõm, suy Tn(x) tập lồi Vậy điều kiện (i) Định lý 1.5.3 thỏa mãn Với y A ,T ~ (y) = {x e A : y e Tn(x)} = {x G A : g(x, y) > - ì} mở g liên tục Vậy điều kiện (ii) Định lý 1.5.3 thỏa mãn Theo Định lý 1.5.3, tồn xn G A cho xn G Tn{xn) hay g(xn, x n) > n Do A compact, nên tồn dãy dãy {xn} hội tụ tới Xo € A Lấy giới hạn qua dãy với g liên tục g(xn, x n) > — suy g(xo,Zo) > hay x £ T( xo) Do / ( x 0, x ữ) ị z - in tc hay z Ệ f ( x 0, Xo) + in tc Bởi / liên tục, A compact nên tập ị f ( t , t) : t A} compact Theo tính chất (iii) Mệnh đề 4.1.2, ta có /(xo, Xo) {/(í, t ) : t e A } C max f(t, t) - c Mặt khác, theo tính chất nón c ta có in tc + c = in tc , suy (Y\intc) - c = Y\intc Do z € f ( x ,x )+ Y \in tC c max f ( t ,t) - C + Y \i n tC = max f( t,t) + Y \in tC 67 Chương Bao hàm thức K y Fan không gian nón Do đó, z e m inim axwf {x, y) suy 2Te max f ( t , t ) + Y \m tC xeA y&A Vậy minu,maxt„ /(x ,y ) c m a x /(í, í) + Y \in tC xeA y&A teA Đ ịnh lý 4.2.4 Cho X không gian véctơ tôpô lồi địa phương, V không gian véctơ tôpô, c nón lồi, nhọn, đóng Y với phần in tc Ỷ 0,A tập lồi, compact X ánh xạ f : A X A -> Y ánh xạ liên tục Giả sử tồn ZQ £ Y cho VỚI X € X , tạp {y e A : f (x, y) e z0 + C) tập lồi, khác rỗng Khi zữ e max f (x, x) — c teA C h ứ n g m inh Ta định nghĩa ánh xạ T : A —>2A, xác định T( x) = {y A : f ( x , y ) e z + c } Bây ta T thỏa mãn điều kiện Định lý 1.5.2 Bởi giả thiết T(x) tập lôi, khác rong Do / liên tục c đóng nên T(x) đóng Do A compact, nên để T nửa liên tục ta cân chi co đo thị T hật vậy, giả sử (xa,yQ) € Gr(T) , nghĩa ya € T x (a) , hội tụ tới ^ (x,y) G A X A Vì yn e T x (a) nên f{x„ ,ya) G z + c Do / liên tục c đóng suy f(x, y) = lim /(ia Va) € z0 + c Hay y e T(x) Vậy đồ thị Gr(T) đóng Theo Định lý 1.5.2, tồn x * Y t(x * ) Do z0 e f ( x * , x ' ) - c c { / ( í, t ) : t e A } - C c m ax/(í, t) - c Dịnh lý chứng minh C hý ý- Nếu ta giả thiết với X e A, f { x , y ) C —tựa lõm theo y zo £ f ( x ' À) — c điều kiện tập {y € Ả : y) € ZQ+ c } tập lơi, khác rỗng thỏa mãn Do ta nhận hệ sau 68 Chương Bao hàm thức Ky Fan khơng gian nón Kệ 4.2.5 Cho X không gian véctơ tôpô lồi địa phương, Y khơng gian vỀciơ tơpơ, c nón lồi, nhọn, đóng Y với phần m tc Ỷ 0, A tập lồi, compact X ánh xạ f : A X A —>Y ánh xạ liên tục thỏa mãn: (l) Với X E A, f ( x, y) C — tựa lõm theo y; (*) nnrynax wf ( x , y ) c f ( x , A ) - c , với X £ A X£A yeA Khi min^maXu, f(x, y) c m ax/(x, x) - c xeA 4.3 y£A X^ A Bao hàm thức K y Fan yếu Bài toán cân đa trị mở rộng cách tự nhiên tốn cân vơ hướng Bài toán véctơ đa trị thu liút quan tâm nhiều tác giả mà chúng tơi muốn kể đến nhà tốn học Ky Fan Người có nhiều cơng trình to lớn liên quan đến toán cân đa trị Ta biết toán cân véctơ đa trị bao gồm: (1) Bài toán cân lý tưởng nón C; (2) Bài tốn cân lý tưởng nón C; (3) Bài tốn cân yếu nón C; (4) Bài tốn cân Pareto nón c Các kết mục Ky Fan nhằm phục vụ cho vấn đề (3) mở rộng bất đẳng thức Ky Fan theo hướng cho ánh xạ đa trị Khi thay gọi bất đẳng thức Ky Fan cho ánh xạ đa trị ta gọi bao hàm thức Ky Fan yếu Ta có tốn sau: Cho X, Y hai khơng gian véctơ tơpơ, c nón lồi, nhọn khác rỗng Y với A tập X ánh xạ đa trị F :A X A —>• 2Y Bao hàm thức Ky Fan yếu liễn quan đến toán cân yếu nón c là: tìm X E X cho F(x, y) n intc = 'XYước đề cập đến kết ta cần hai bổ đề sau Ịịẻ đề 4.3.1 (Bổ đề hình học Ky Fan) Cho X tập lồi, 69 Ọhỵơng Bao hàm thức Ky Fan khơng gian nón c°mpact không gian véctơ tôpô tách A tập X X X thỏa mãn: (i) Với y X , tập Ay = {x £ X : (X, y) £ A} làđóngtrong X ; (ii) Với X e X , tập Ax = {y € X : (x, ỳ) ị A} lồi; (Hi) Với X e X , (x, X) € A Khi đó, tồn Xo £ X cho {xo} X X c A Bổ đề 4.3.2 Cho X , Y hai khơng gian véctơ tơpơ tách c nón lồi, nhọn, đóng Y với phần in tc Ỷ 0- Giả sử A tập lồi X ánh xạ đa tn F : A 2V C - nửa liên tục A Khi đó, tập B = {x £ A : F(x) c Y \in tC } t.ậpcon đóng A C h ứ n g minh Lấy dãy (x a) B hội tụ tới X G A.Giả sử trái lại X Ệ B, nghĩa F(x) X u tập mở chứa X nên tồn Q cho x a