Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a , SD a 2 và mặt phẳng SBD vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa h[r]
(1)TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I TỔ TOÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu1(2 điểm) Cho hàm số y x 3x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho y m x 1 b) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt M (1;0), A, B cho MA 2 MB Câu 2(1 điểm) Giải phương trình: sin x sin x sin x cos x sin x cos x cos x Câu (1 điểm) Giải phương trình: x x x 1 x 0 x x sin x I dx cos x Câu (1 điểm) Tính tích phân: Câu 5(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA SB a , SD a và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AC và SD a , b, c Câu 6(1 điểm) Cho ab bc ca abc b 2a c 2b a 2c ab bc ca Chứng minh rằng: Câu 7(1điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có điểm A(2;3) , đường phân giác góc A có phương trình x y 1 0 , tâm đường tròn ngoại I 6;6 tiếp tam giác ABC là điểm và diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC Viết phương trình đường thẳng BC Câu 8(1điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 43 ; 1) , trung điểm BC là M (1; 1) , phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x+ y − 7=0 Tìm tọa độ A , B , C ¿ x2 + y =( x +1)( y+ 2) Câu 9(1điểm) Giải hệ phương trình ( 1x ) log ( y +1)=1+log 2+ ( x , y ∈ R) ¿{ ¿ -Hết - (2) Câu a) Khảo sát Nội dung Điểm 1,0 x x3 3x mx m x x m 0 b) Pt hoành độ giao điểm m Điều kiện: m 9 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm pt x x m 0 A x1 ; mx1 m , B x2 ; mx2 m Khi đó x x2 0 MA 2MB x1 x2 0 Đáp số m 1; m 81 1,0 cos x 1 sin x cos x 0 Đưa 1,0 Điều kiện x 2x 2x Pt Xét: x 1 x 1 1 x Đáp số x sin x x sin x x sin x I1 dx dx dx 2 cos2 x cos x cos x 1,0 4 Đặt x t dx dt Đổi cận: x = I1 + I2 t ; x 0 t 0 4 0.25 Khi đó 0 4 2 x sin x t sin( t ) t sin t x sin x I1 dx d ( t ) dt dx 2 2 2cos x cos ( t ) cos t cos x Suy I1 0 0.25 1 I2 dx dx 2 cos x cos x 2 4 cos x t tan x dt dx cos x Đặt 1 dt x t 1; x t 1 I t 4 1 Đổi cận: Lại đặt t tan u dt 3(1 tan u )du Đổi cận: I2 t u ; t 1 u 6 3 du u 3 0.25 0.25 (3) Vậy I I1 I = (4) Theo giả thiết (ABCD) (SBD) theo giao tuyến BD Do đó dựng AO (SBD) thì O BD Mặt khác AS = AB = AD OS = OB = OD hay SBD là tam giác vuông S S H D C O B A 0.25 2 2 Từ đó: BD SB SD a 2a a 3a a AO AB OB a 2 2 0.25 Suy thể tích khối chóp S.ABD tính bởi: 1 a a3 VS ABD VA.SBD S SBD AO SB.SD AO a.a 6 12 a VS ABCD 2VS ABD (đvtt) 0.25 Trong SBD dựng OH SD H (1) H là trung điểm SD Theo chứng minh trên AO (SBD) AO OH (2) (1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung AC và SD a d ( AC , BD ) OH SB 2 Vậy 1 x = ,y = ,z = a b c Đặt thành 0.25 thì x,y,z > và x + y + z = Bất đẳng thức trở x2 y y 2z z 2x2 Ta có x2 y x y y Suy Tương tự ( x y y )2 x2 y ( x y) y2 2z2 ( y z) z 2x2 ( z x) Và Cộng vế theo vế ta đpcm 1.0 Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (C) có bán kính 2 x y 25 R=IA=5 (C) có pt Gọi D là giao điểm phân giác góc A và (C) Toạ độ điểm D x y 0 2 x y 25 là nghiệm hệ Suy D(9;10) 0.5 (5) ID 3; là vectơ pháp tuyến BC BC : x y m 0 d(A, BC)=3d(I, BC) m 54; m 36 Vậy BC: 3x y 54 0 BC: 3x y 36 0 MA=3 ⃗ MG ⇒ A(2 ; 1) Từ tính chất trọng tâm ta có ⃗ B ∈ BH : y=− x+ ⇒ B (b , −b+ 7) Vì M (1;1) là trung điểm BC nên C( 2− b ; b −5) Suy ⃗ AC=(− b ; b −6) ⃗ u BH AC=0 ⇔ b+(b −6)=0 ⇔b=3 BH ⊥ AC nên ⃗ Suy B (3 ; 4), C(− 1; − 2) 0.5 0.5 0.5 1 Điều kiện: 2+ x >0 ⇔ x <− x> Từ phương trình thứ hai hệ ta có ⇔ y +1=4+ x ( 2x ) log ( y 2+ )=log + hay y x=3 x +2 ¿ x 2+ y =xy +2 x+ y +2 Hệ trở thành y x=3 x +2 ¿{ ¿ Từ hai phương trình ta x 2+ y =xy +2 x+ y + y x − x ⇔ x ( x − y)+ y ( y − x )+ x − y=0 ⇔ ( x − y)(x − y +1)=0 ⇔ x= y ¿ x+1= y ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Với x= y ta có x= y=− x= y=2 * Với x+ 1= y ta có nghiệm (1− √ 3; ± √ 2− √ 3),(1+ √ ; ± √2+ √ 3) Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm (x; y) hệ là (−1 ; −1),(2; 2), (1− √ 3; ± √ 2− √ 3), (1+ √ 3; ± √ 2+ √ 3) 0.5 0.5 (6)