Khi đi ngược trở lại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h nên thời gia về ít hơn thời gian đi là 30 phút.. Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 05 câu trên 01 trang Câu (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức a) A a b B + a b - b a ab-b ab-a b) với a 0, b 0, a b 2x + y = x - y = 24 Giải hệ phương trình sau: Câu (3,0 điểm): 2 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = (1), đó m là tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt: 2 b) Gọi x , x là hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x1 + x 20 2 Cho hàm số: y = mx + (1), đó m là tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + = Câu (1,5 điểm): Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km Khi ngược trở lại từ B A người đó tăng vận tốc thêm (km/h) nên thời gia ít thời gian là 30 phút Tính vận tốc người xe đạp lúc từ A đến B Câu (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn D (D khác B) Nối AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là K Nối BK cắt AC I Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn Chứng minh : IC2 = IK.IB · Cho BAC 60 chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng Câu (1,0 điểm): x, y, z 1: 3 2 x + y + z 3 Cho ba số x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng: x + y + z 11 HẾT (2) (3) Hướng dẫn và đáp án câu nội dung a) A= √ 2+ √ 2=(1+2)√ 2=3 √ √a √b ( a √ b −b √ a ) − b) B= √ b(√ a − √ b) √ a( √ a− √ b) = ( (√ ) a− b ab( √ a − √ b) ) √ ab(√ a − √b)=a −b điểm 0,5 0,5 2 ¿ x + y=9 x − y =24 ⇔ ¿ x + y =9 x=33 ⇔ ¿ 11+ y =9 x=11 ⇔ ¿ y=−13 x=11 ¿{ ¿ Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (11;-13) −1 ¿2 − [ −(m2 +4) ]=m2+5 a) Δ' =¿ Vì m ≥ 0, ∀ m ⇒ Δ' >0, ∀ m Vậy pt (1) luôn có nghiệm phân biệt với m ¿ x + x 2=2 b) Áp dụng định lý Vi –ét x x 2=−(m2+ 4) ¿{ ¿ x 21+ x22 =20 ⇔ ( x 1+ x )2 −2 x1 x 2=20 ⇒ 22 +2 m2 +8=20 ⇔ m2=8 ⇔ m=±2 m= ± 2 a) Vì đồ thị hàm số (1) qua A(1;4) ⇒ 4= m.1+1 ⇔ m=3 Với m = hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) (d) : y = - x – ⇒ m=−1 Vì đồ thị hàm số (1) song song với (d) ≠− ¿{ Vậy m = -1 thì đồ thị hàm số (1) song song với (d) 0,5 (4) Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B là x (km/h, x>0) Khi từ B A vận tốc người đó là x + (km/h) 30 ( h) thời gian từ A đến B là x 30 (h) thời gian từ B A là x +3 (h) nên ta có pt vì thời gian ít thời gian là 30 phút = 30 30 − = x x +3 ⇒ 60 x+ 180− 60 x=x 2+3 x ⇔ x 2+3 x −180=0 Δ=9+720=729 ⇒ Δ> ⇒ x 1=12( TM) x2 =−15(KTM) Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B là 12km/h 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B D K A O I C ¿ AB ⊥ BO a) Ta có AC ⊥ CO ( t/c tiếp tuyến) ¿{ ¿ ⇒ ∠ABO=900 ∠ACO=900 ⇒∠ ABO+∠ ACO=900 +90 0=1800 ¿{ Vậy tứ giác ABOC nội tiếp ( định lý đảo tứ giác nội tiếp) b) xét Δ IKC và Δ IC B có ∠ Ichung ; ∠ ICK =∠IBC ( góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CK) IC IK ⇒ Δ IKC ∞ Δ ICB(g − g)⇒ = ⇒IC =IK IB IB IC 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 (5) 0 ∠ BOC=360 −∠ ABO− ∠ ACO −∠ BAC=120 c) ∠ BDC= ∠ BOC=600 (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung BC) Mà BD//AC (gt) ⇒ ∠C =∠BDC=60 ( so le trong) ⇒ ∠ODC=∠OCD=900 −600 =300 0,25 ⇒ ∠BDO =∠ CDO=300 ⇒ ∠BOD =∠COD=1200 ⇒ Δ BOD=Δ COD(c − g − c) ⇒ BD=CD Mà AB = AC (t/c 2tt cắt nhau); OB = OC = R Do đó điểm A, O, D cùng thuộc đường trung trực BC Vậy điểm A, O, D thẳng hàng Vì x , y , z ∈ [ −1 ; ] x 3 ( x 1)( y 1)( z 1) 0 y 3 z 3 (3 x)(3 y )(3 z ) 0 xyz xy yz xz x y z 0 2( xy yz xz ) 27 9( x y z ) 3( xy yz xz ) xyz 0 x y z 2( xy yz xz ) x y z ( x y z ) x y z 32 x y z x y z 11 Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max { x , y , z } ⇒ 3= x+y+z 3x nên x ⇒ ( x -1 ) (x - 3) (1) Lại có: x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + ( y + z ) + = x2 + ( - x )2 + ( 3- x) + = x2 - 8x + 17 = ( x -1 ) (x - 3) + 11 (2) Từ (1) và (2) suy x + y2 + z 11 Dấu đẳng thức xảy x = max { x , y , z } ( x -1 ) (x - 3) = ⇒ Không xảy dấu đẳng thức (y +1) (z+1) = x+y+z =3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)