Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn O;R sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn O;R tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E.. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) x A x x x x với x > 0, x Rút gọn biểu thức: 10 2 5 2 Chứng minh rằng: Bài (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k - 1)x + n và điểm A(0; 2) và B(-1; 0) Tìm giá trị k và n để : a) Đường thẳng (d) qua điểm A và B b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : y = x + – k Cho n = Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm C cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Bài ( 2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2mx +m – = (1) với m là tham số Giải phương trình với m = -1 Chứng minh phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với giá trị m 1 16 x x Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức Bài ( 3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN H ( H nằm O và B) Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt E Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK F Chứng minh NFK cân Giả sử KE = KC Chứng minh : OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2 Bài ( 0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: a 1 3 b 1 c 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài (2,0 điểm) Câu Nội dung Điểm (2) A= ( x −33 √ x + √ x+3 ) x√−x9 x x 3 x x ( x 3) x+ 9+ x − √ x ( √ x − 3)( √ x +3) A= √ √ x (√ x −3)(√ x+ 3) √x ( x+ 9).( √ x − 3)( √ x +3) A= √ x ( √ x −3)( √ x +3) √ x x +9 A= x 0,25 0,25 0,25 0,25 Biến đổi vế trái: 1 + ) √ −2 √ 5+2 √5 =10 = √5 5−4 VT =√ ( ¿ √5 √5+2+ √ −2 ( √5 −2)( √ 5+2) 0,5 0,5 Bµi (2,0 ®iÓm) C©u 1a 1b Néi dung §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(0; 2) ⇔ n = Đường thẳng (d) qua điểm B (-1; 0) ⇔ = (k -1) (-1) + n ⇔ = - k + +2 ⇔ k=3 Vậy với k = 3; n = thì (d) qua hai diểm A và B Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : y = x + – k ¿ k −1=1 ⇔ −k ≠ n ¿{ ¿ ¿ k =2 ⇔ n≠0 ¿{ ¿ ¿ k =2 Vậy với n ≠ thì Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) ¿{ ¿ Với n = phương trình (d) là: y = (k - 1) x + đường thẳng (d) cắt trục Ox ⇔ k - ≠ ⇔ k ≠ Giao điểm (d) với Ox là C( ; 0) −k §iÓm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) các Δ OAB và OAC vuông O y ( ) A(0;2) x C( 1-k ; 0) B(-1; 0) O 1 S OAC = OA OC ; S OAB = OA OB 2 ⇔ SOAC = 2SOAB OC = 2.OB ⇔ |x c|=2 | x B| =2 |−1| ⇔ 1− k =2 ⇔k =0 1−k ¿ =−2 ⇔ k =2 ( thoả mãn) ⇔ 1−k ¿ ¿ ¿ ¿ | | 0,25 Vậy với k = k = thì SOAC = 2SOAB Bài ( 2,0 điểm) Câu Nội dung Với m = -1 ta có pT: x + 2x -8 = Δ ' = 12 - 1(-8) = ⇒ x1 = - + √ = 2; x2 = -1 - √ = -4 Vậy với m = - 1phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2; x2= - Δ ' = m2 - m + 27 m− ¿ + ¿¿ 0,25 0,25 0,25 0,25 > với m 0,25 0,25 Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m ¿ x + x 2=2 m nên theo Viet ta có: x x 2=m− ¿{ ¿ 1 x1 + x2 16 ⇔ =16 x1 x2 Theo bài x1 x KL: m = Bµi ( 3,5 ®iÓm) C©u Điểm Néi dung 0,25 ⇔ 2m =16 m−7 ⇔ m=8 0,25 §iÓm (4) M M O A H B O A B E N E N T K K F H C C h1 Ta cã ∠ AKE = 900 (….) vµ ∠ AHE = 90o ( v× MN AB) ⇒ ∠ AKE + ∠ AHE = 1800 ⇒ AHEK lµ tø gi¸c näi tiÕp Xét Δ CAE và Δ CHK có : ∠ C là góc chung ∠ CAE = ∠ CHK ( cùng chắn cung KE) ⇒ Δ CAE ∞ Δ CHK (gg) ta có NF AC; KB AC ⇒ NF // KB ⇒ ∠ MKB = ∠ KFN (1)( đồng vị) và ∠ BKN = ∠ KNF (2) (slt) mà MN AB ⇒ Cung MB = cung NB ⇒ ∠ KFN = ∠ KNF Từ 1,2,3 ⇒ ⇒ Δ NFK cân K Δ KEC vuông cân K Nếu KE = KC ⇒ ⇒ ∠ KEC = 45 ⇒ ∠ ABK = 450 ⇒ Sđ cung AK = 900 ⇒ K là điểm chính cung AB ⇒ KO AB mà MN AB nªn OK // MN Kẻ đờng kính MT chøng minh KT = KN mà Δ MKT vuông K nên KM2 + KT2 = MT2 hay KM2 + KN2 = (2R)2 hay KM2 + KN2 = 4R2 Bài ( 0,5 điểm) h2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ∠ MKB = ∠ BKN (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: a 1 Câu 3 Nội dung Đặt x = a - 1; y = b - 1; z = c - Đ/K x -1 ; y - 1; z -1 ⇒ x+y+z=0 và VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz b 1 c 1 Điểm (6)