Ngời ta muốn xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh trêng A vµ 6 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn, Hái cã bao nhiªu c¸nh xÕp trong mçi trêng hîp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc [r]
(1)I Các bài toán phép đếm, Chỉnh hợp và Tổ hợp A KiÕn thøc c¬ b¶n Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân Ho¸n vÞ, chØnh hîp, tæ hîp Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n 1) a) Ho¸n vÞ ĐN: Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A đợc gọi là hoán vị n phần tử đó Sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Pn Pn = n! = n(n-1) 2.1 P1 = 1; Quy íc: P0 = 0! = b) ChØnh hîp §N: Mçi bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö cña tËp A lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (cña tËp A) k Sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: An Ank n(n 1) (n k 1) n! ; ( n, k N * , k n) (n k )! ; Quy íc An 1 c) Tæ hîp ĐN: Mỗi tập gồm k phần tử tập A đợc gọi là tổ hợp chập k n phÇn tö k Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Cn Cnk Ank n! ; ( n, k N , k n) n k ! k !(n k )! ; Chó ý: C0 C1 Cn Cn 1 k n k TChÊt: Cn Cn ; B Bµi tËp Cnk1 Cnk Cnk k k Bài tập PT, BPT có liên quan đến các số Pn; Cn ; An Bµi Gi¶i c¸c PT, BPT: a) Cn Cn 3Cn1 n n §S: n = b) Cn2 Cn2 2,5 An §S: n Bµi Gi¶i bÊt PT hai Èn n, k víi n, k Pn 5 60 Ank32 ( n k )! §S: n = n d) An 2Cn 9n §S: n = {3; 4} §S: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3) M Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc n c) 23 An 24( An 1 Cn ) An41 An3 2 2 (n 1)! nÕu Cn 1 2Cn 2Cn3 Cn 4 149 §S: 3/4 Bµi Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n 4) BiÕt r»ng sè tËp hîp gåm phÇn tö cña A b»ng 20 lÇn sè tËp hîp gåm phÇn tö cña A §S: A cã 18 phÇn tö (2) Bµi Chøng minh r»ng: k k k1 A A kA n n n 1 a) n 2 n 1 n b) Ank Ank k Ank Các bài tập phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Bµi Cã phong b× th kh¸c vµ tem th kh¸c Ngêi ta chän vµ d¸n tem lªn b× th, mçi b× th gi¸n mét tem Hái cã bao nhiªu c¸ch lµm? §S: 1200 Bµi 7(§H K D - 2004).Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c gåm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hởi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít ĐS: 56.875 cách Bài (ĐH K B - 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh 4 miÒn nói, cho mçi tØnh cã nam vµ n÷ §S: C12C3 C8 C2 207.900 Bµi (§H K D- 2006) §éi niªn xung kÝch cña mét trêng phæ th«ng cã 12 häc sinh gåm häc sinh líp T, häc sinh líp L, vµ häc sinh líp H CÇn chän häc sinh ®i lµm nhiÖm vô, cho häc sinh thuéc kh«ng qu¸ ba líp trªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh vËy? §S: 225 c¸ch Bµi 10 Cã nhµ to¸n häc nam, nhµ to¸n häc n÷, vµ nhµ vËt lÝ nam LËp mét ®oµn c«ng t¸c gåm nguêi cã c¶ nam vµ n÷, cÇn cã c¶ nhµ to¸n häc vµ nhµ vËt lÝ Hái cã bao nhiªu c¸ch? §S: 90 c¸ch Bài 11 Có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến và cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu vừa khác màu vừa kh¸c sè? §S: 64 c¸ch Bài 12 Có bao nhiêu cách phân phối đồ vật khác cho ngời, cho ngời nhận đợc ít đồ vật §S: 150 c¸ch Bài 13 Trong chi đoàn có nam sinh và nữ sinh u tú (trong đó có nam sinh tên là Cờng, và nữ sinh tên Hoa) Cần lập ban cán lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm nguời với yêu cầu có ít nữ ngoài không có mặt đồng thời Hoa và C ờng Hỏi có bao nhiêu cách lập? §S: 260 c¸ch Bài 14 Cho hình thập giác 1) Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh thập giác, nhng cạnh tam giác không là cạnh nào thập giác đó? ĐS: 50 tam giác 2) Hỏi có nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh thập giác đó ? ĐS: 10 Bài 15 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh §S: 360 sè Bài 16 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xÕp chç ngåi cho häc sinh trêng A vµ häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn, Hái cã bao nhiªu c¸nh xÕp mçi trêng hîp sau: 1) Bất hai học sinh nào ngồi cạnh ngồi đối diện thì khác trờng 2) Bất hai học sinh nào ngồi đối diện thì khác trờng §S: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! Bài 17 ( chọn vị trí) Cho tập hợp A = { 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập A lập đợc bao nhiêu số: a) Có chữ số cho số đó số xuất đúng hai lần, các chữ số khác xuất đúng lần? (3) b) Có chữ số cho số đó chữ số xuất hai lần, số xuất ba lÇn cßn c¸c sè kh¸c xuÊt hiÖn kh«ng qu¸ lÇn? §S: a) 360; b) 1260 Bµi 18 ( chia trêng hîp) §éi «n thi HSG cã 12 häc sinh, gåm häc sinh líp A1, häc sinh líp A2, häc sinh líp A3 CÇn chän häc sinh ®i dù thi HSG cÊp thµnh phè, cho mçi líp cã Ýt nhÊt mét häc sinh Hái cã bao nhiªu c¸ch chän biÕt kh¶ n»ng mçi häc sinh lµ nh nhau? §S: 270 Bài 19 (tạo vách ngăn) Có học sinh nam và học sinh nữ đợc xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau? §S: 30240 Bµi 20 ( buéc c¸c phÇn tö) Mét nhãm häc sinh gåm häc sinh líp A1, häc sinh líp A2, häc sinh líp A3 Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp c¸c häc sinh trªn thµnh mét hàng ngang, cho học sinh lớp A3 đứng cạnh nhau? §S: 8!.5! Bµi 21 ( xÕp bµn trßn) Cã bao nhiªu c¸c xÕp häc sinh nam vµ häc sinh n÷ ngåi quanh mét bµn trßn cho kh«ng cã hai häc sinh n÷ nµo c¹nh nhau? §S: 1440 Bài 22 Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba 10 điểm đã cho Biết: a) 10 ®iÓm kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng b) Trong 10 điểm có đúng điểm thẳng hàng Bài 23 Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu số tự nhiên n có chữ số lập đợc từ X TÝnh tæng c¸c sè nµy Bài 24 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt đúng lần? ĐS: 5880 số Bµi 25 T×m sè c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng (x, y, z) cña ph¬ng tr×nh: x + y + z = 10 II Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton A KiÕn thøc c¬ b¶n C«ng thøc nhÞ thøc Newton: Víi mäi sè thùc a, b vµ n nguyªn d¬ng ta cã: a b n n Cnk a k b n k k 0 Sè h¹ng thø k+1 lµ Tk+1 = 1 x Khai triển đặc biệt: Cnk a k b n k n (1) k n (2) Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n (3) B Bµi tËp C¸c bµi tËp vÒ hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Bµi 26 (§H KB - 2007) T×m hÖ sè cña x10 khai triÓn nhÞ thøc (2+x)n , biÕt r»ng 3n Cn0 3n Cn1 3n Cn2 3n Cn3 ( 1)n Cnn 2048 §S: n = 11, hsè = 22 Bµi 27 (§H KD - 2007) T×m hÖ sè cña x khai triÓn biÓu thøc sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 §S: 3320 Bµi 28 (§H KA - 2006) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x26 khai triÓn nhÞ thøc n 7 x , biÕt r»ng Newton cña x §S: n =10, hsè = 210 C21n 1 C22n1 C23n1 C2nn1 220 (4) Bµi 29 (§H KA - 2004) T×m hÖ sè cña x8 khai triÓn thµnh ®a thøc cña biÓu thøc x (1 x) P= §S: 238 Bµi 30 (§H KD - 2004) T×m c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x khai triÓn nhÞ thøc 3 x4 x víi x > Newton §S: 35 Bµi 31 (§H KD - 2003) Víi n lµ sè nguyªn d¬ng, gäi a3n - lµ hÖ sè cña x3n -3 khai triển thành đa thức biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n ĐS: n = Bµi 32 T×m c¸c sè h¹ng lµ sè nguyªn khai triÓn ( 2) §S: vµ 4536 Bµi 33 XÐt khai triÓn (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + +a9x9 T×m Max{ai, i = 1, 9} §S: a5=a6 n Bài 34 Xét khai triển (x+2) = a0 + a1x + a2x + +anxn Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10 n Bµi 35(§H-KA-2012) Cho n lµ sè nguyªn d¬ng tháa m·n 5Cn Cn T×m sè h¹ng n nx 35 x 14 x , x 0 16 chøa x khai triÓn nhÞ thøc Nui-t¬n cña §S: (5) III X¸c suÊt A Tãm t¾t lÝ thuyÕt (SGK) B Bµi tËp Bµi 36 (§H-KB-2012) Trong mét líp häc cã 15 häc sinh nam vµ 10 häc sinh n÷ Gi¸o gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để học sinh đợc gọi có 443 §S: 506 c¶ nam vµ n÷ Bài 37 Cho hộp đựng 12 viên bi, đó có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh LÊy ngÉu nhiªn viªn bi TÝnh x¸c suÊt hai trêng hîp sau: 1) Lấy đợc ba viên bi màu đỏ 2) Lấy đợc ít hai viên bi màu đỏ §S: 1) 35/220; 2) 140/220 Bài 38 Một khách sạn có phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, đó có nam và nữ Ngời quản lí chọn ngẫu nhiên ngời Tính xác suất để 1) Cã kh¸ch nam vµ kh¸ch n÷ 2) Cã Ýt nhÊt hai kh¸ch n÷ §S: 1)3/7; 2) 27/42 Bài 39 Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, ngời độc lập với chọn nhẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có ngời, 1toa có ngời, hai toa còn lại không có ngời nào ngời đó §S: 3/16 Bài 40 Một ngời bỏ ngẫu nhiên ba lá th khác vào ba phong bì đã ghi địa Tính xác suất để ít có lá th bỏ đúng phong bì nó §S: 2/3 Bµi 41 Ngêi ta sö dông cuèn s¸ch To¸n, cuèn VËt lÝ, cuèn Ho¸ häc (c¸c cuèn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thởng cho học sinh, học sinh đợc hai cuèn s¸ch kh¸c lo¹i Trong sè häc sinh trªn cã hai b¹n Ngäc vµ Th¶o T×m x¸c suÊt để hai bạn đó có giải thởng giống §S: 5/18 Bài 42 Có hai hộp đựng bi Hộp I có viên bi màu xanh, viên bi màu đỏ, hộp II có viªn bi mµu tr¾ng, viªn bi mµu xanh LÊy ngÉu nhiªn mçi hép mét viªn bi BiÕt kÕt lấy bi hộp là độc lập, tính xác suất biến cố lấy đợc 1) A = “ hai bi cïng mµu” 2) B = “ hai bi kh¸c mµu” §S: Bài 43 Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm 25 §S: 216 trªn mÆt xuÊt hiÖn cña ba sóc s¾c b»ng Bµi 44 BiÕt 20 vÐ sè cã vÐ tróng thëng Chän ngÉu nhiªn vÐ, tÝnh x¸c suÊt để có hai vé trúng thởng Bµi 45 Cã häc sinh nam vµ hoc sinh n÷ xÕp thµnh mét hµng ngang mét c¸ch ngÉu nhiên Tính xác suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau? ĐS: 14 Bài 46 Một thí sinh tham dự kì thi gồm vòng, trợt vòng nào thì không đợc tham gia vßng sau BiÕt x¸c suÊt vît qua c¸c vßng lÇn lît lµ: vßng lµ 80%, vßng lµ 60%, vßng lµ 40% TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau: a) A = “ thÝ sinh nµy trît vßng 1” (6) b) B = “ thÝ sinh nµy vît qua vßng nhng kh«ng qua vßng 3” §S: P(A) = 20%; P(B) = 0,288 Bài 47 Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự kì thi Biết khả đỗ ngời t¬ng øng lµ 90% vµ 70% T×m x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau: 1) Cả hai đỗ 2) Có ít ngời đỗ 3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trợt §S: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27% Bài 48 Ba ngời A, B, C bắn súng độc lập với cùng nhằm vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng mục tiêu A, B, C tơng ứng là 0,7; 0,6; 0,5 Tính xác suất để A = “ A b¾n tróng cßn B vµ C b¾n trît”; B = “ Ýt nhÊt mét ngêi b¾n tróng” §S: a) 0,14; b) 0,94 Bµi 49 Cã ba l« hµng Ngêi ta lÊy mét c¸ch ngÉu nhiªn tõ mçi l« hµng mét s¶n phẩm Biết xác suất để đợc sản phẩm có chất lợng tốt lô hàng lần lợt là 0,7; 0,8; 0,9 Hãy tính xác suất để : a) Trong ba s¶n phÈm lÊy cã Ýt nhÊt mét s¶n phÈm tèt b) Trong ba sản phẩm lấy có đúng sản phẩm tốt §S: a, 0,994; b, 0,092 Bài 50 Trong trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trận là 0,4 ( không có hòa) Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít trận loạt chơi đó lớn 0,95? §S: n = Bài 51 Một xạ thủ đợc bắn hai viên đạn, xác suất bắn đợc điểm 10 lần bắn là 0,7 và 0,9 Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít lần bắn đạt điểm 10 §S: 0,27 Bài 52 Một xạ thủ đợc bắn viên đạn Xác suất để trúng viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để viên trúng vào vòng là 0,15, xác suất để viên trúng vào vòng dới điểm là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít 28 điểm (các vòng bắn độc lập với nhau) §S: 0,0935 (7)