Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán Đồng Nai có đáp án

Khi bắt đầu làm việc nhóm được bổ sung thêm học sinh nên mỗi giờ nhóm sắp xếp được nhiều hơn dự định 20 quyển sách, vì vậy không những hoàn thành trước dự định 1 giờ mà còn vượt mức được[r]

1/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu (1,75 điểm) 3x − 5y = 1) Giải hệ phương trình  x + y =  2) Giải phương trình x − 12x + 16 = 3) Giải phương trình 1 + = x − (x − 1)(x − 2) 2x Câu (2,0 điểm) x2 1) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = 2x và y = (m + m )x + cắt 3) Tìm các số thực a để biểu thức a −2 + − 2a xác định Câu (1,75 điểm) 1) Cho hình cầu có thể tích 288π (cm ) Tính diện tích mặt cầu 2) Một nhóm học sinh giao xếp 270 sách vào tủ thư viện thời gian định Khi bắt đầu làm việc nhóm bổ sung thêm học sinh nên nhóm xếp https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 2/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 nhiều dự định 20 sách, vì không hoàn thành trước dự định mà còn vượt mức giao 10 sách Hỏi số sách nhóm dự định xếp là bao nhiêu? 3) Cho x , x là hai nghiệm phương trình x − 2x − = Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm là (x )3 , (x )3 Câu (1,25 điểm)  a a − a + a +  1) Rút gọn biểu thức P =    (với a + a +  a −     a ≥ và a ≠ ) x = y + 18 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn  y = x + 18 Câu (2,75 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) có hai đường cao BE và CF cắt trực tâm H , AB < AC Vẽ đường kính AD (O ) Gọi K là giao điểm đường thẳng AH với đường tròn (O ), K khác A Gọi L , P là giao điểm hai đường thẳng BC và EF , AC và KD 1) Chứng minh tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn và tâm I đường tròn này thuộc đường thẳng BC 2) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AH = 2OM https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 3/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 3) Gọi T là giao điểm đường tròn (O ) với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK , T khác K Chứng minh ba điểm L , K , T thẳng hàng Câu (0,5 điểm) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh (a + b + c )3 ≥ 9(a + b + c) https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 4/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (1,75 điểm) 3x − 5y = 1) Giải hệ phương trình  x + y =  Lời giải 3x − 5y = 6x − 10y = 14 −22y = 11 ⇔ ⇔  x + y = x + 12 y =   2x + 4y =  y = − ⇔ ⇔ 2x + 4y =   y = − ⇔ ⇔ 2x = +  y = −  ⇔   1 2x +  −  =   2  y = −  2x − =    x =  y = − ⇔   2x = y = −  3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x ; y ) =  ; −  2 2 https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 5/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Giải phương trình x − 12x + 16 = Lời giải Đặt x = t , điều kiện: t ≥ Khi đó phương trình đã cho trở thành t − 12t + 16 = (1) Phương trình (1) có a = , b′ = −6 , c = 16 ∆′ = 62 − 16 = 20 > , ∆′ = Phương trình (1) có nghiệm phân biệt: t1 = + (thỏa điều kiện) t2 = − (thỏa điều kiện) • Với t = t1 = + ⇒ x = + ⇒ x = ( + 1)2 ⇒ x = ±( + 1) • Với t = t2 = − ⇒ x = − ⇒ x = ( − 1)2 ⇒ x = ±( − 1) Vậy tập nghiệm phương trình là: { } S = − − 1; − + 1; − 1; + https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 6/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 3) Giải phương trình 0888.014.879 1 + = x − (x − 1)(x − 2) 2x Lời giải x − ≠  Điều kiện: x − ≠ ⇔ 2x ≠  x ≠  x ≠ x ≠  1 + = x − (x − 1)(x − 2) 2x ⇔ 2x (x − 2) 2x 3(x − 1)(x − 2) + = 2x (x − 1)(x − 2) 2x (x − 1)(x − 2) 2x (x − 1)(x − 2) ⇒ 2x (x − 2) + 2x = 3(x − 1)(x − 2) ⇔ 2x − 4x + 2x = 3(x − 3x + 2) ⇔ 2x − 2x = 3x − 9x + ⇔ 3x − 2x + 2x − 9x + = ⇔ x − 7x + = ⇔ x − 6x − x + = ⇔ x (x − 6) − (x − 6) = ⇔ (x − 6)(x − 1) = ⇔ x − = x − = ⇔ x = (thỏa điều kiện) x = (không thỏa điều kiện) {} Vậy tập nghiệm phương trình là S = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 7/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Câu (2,0 điểm) x2 1) Vẽ đồ thị (P ) hàm số y = Lời giải o Tập xác định: x ∈ ℝ o a = > hàm số đồng biến x > , hàm số nghịch biến x <0 o Bảng giá trị: x −4 −2 x2 y= 4 1 x2 o Đồ thị hàm số y = là đường cong Parabol qua gốc tọa độ O , nhận Oy làm trục đối xứng https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 8/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng y = 2x và y = (m + m )x + cắt Lời giải Hai đường thẳng y = 2x và y = (m + m )x + cắt m2 + m ≠ ⇔ m2 + m − ≠ ⇔ m − m + 2m − ≠ ⇔ m(m − 1) + 2(m − 1) ≠ ⇔ (m − 1)(m + 2) ≠ m − ≠ ⇔ ⇔ m + ≠ m ≠  m ≠ −2 Vậy m ≠ và m ≠ −2 thì hai đường thẳng y = 2x và y = (m + m )x + cắt 3) Tìm các số thực a để biểu thức a −2 + − 2a xác định Lời giải Biểu thức a −2 a − > ⇔  − a ≥  + − 2a xác định khi: a > ⇔  a ≤  a >  a ≤ Vậy < a ≤ thì biểu thức https://chiasefull.com a −2 + − 2a xác định Thầy Phúc Toán Đồng Nai 9/2 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Câu (1,75 điểm) 1) Cho hình cầu có thể tích 288π (cm ) Tính diện tích mặt cầu Lời giải Thể tích mặt cầu là 288π (cm ) nên ta có: ⇒ R3 = π R = 288π 288π = 216 ⇒ R = 216 = 6(cm ) 4π Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = 4π 62 = 144π (cm ) https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 10/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Một nhóm học sinh giao xếp 270 sách vào tủ thư viện thời gian định Khi bắt đầu làm việc nhóm bổ sung thêm học sinh nên nhóm xếp nhiều dự định 20 sách, vì không hoàn thành trước dự định mà còn vượt mức giao 10 sách Hỏi số sách nhóm dự định xếp là bao nhiêu? Lời giải Gọi số sách nhóm dự định xếp vào tủ thư viện là x (quyển), điều kiện x > Thực tế, nhóm xếp số sách là: x + 20 Thời gian dự định xếp xong 270 sách là: 270 (giờ) x Thời gian thực tế xếp xong 280 sách là: 280 (giờ) x + 20 Vì thực tế hoàn thành trước dự định nên ta có phương 270 280 trình: − =1 x x + 20 ⇔ 270(x + 20) 280x x (x + 20) − = x (x + 20) x (x + 20) x (x + 20) ⇒ 270(x + 20) − 280x = x (x + 20) ⇒ 270x + 5400 − 280x = x + 20x ⇔ x + 20x − 270x − 5400 + 280x = ⇔ x + 30x − 5400 = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 11/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 ⇔ x − 60x + 90x − 5400 = ⇔ x (x − 60) + 90(x − 60) = ⇔ (x − 60)(x + 90) = ⇔ x − 60 = x + 90 = ⇔ x = 60 (thỏa điều kiện) x = −90 (không thỏa điều kiện) Vậy số sách nhóm dự định xếp là 60 https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 12/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 3) Cho x , x là hai nghiệm phương trình x − 2x − = Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm là (x )3 , (x )3 Lời giải Xét phương trình x − 2x − = có ac = −1 < nên phương trình x − 2x − = có nghiệm phân biệt x và x x + x = Theo hệ thức Viete, ta có:  x 1x = −1 Vì hai nghiệm x , x trái dấu, không tính tổng quát, giả sử x1 < < x S = (x )3 + (x )3 = −x 13 + x 23 S = (x − x )3 + 3x 1x (x − x ) S = (x − x )3 − 3(x − x ) (vì x 1x = −1) P = (x )3 (x )3 = −x 13 x 23 = −(x 1x )3 = −(−1)3 = Ta có: (x − x )2 = (x + x )2 − 4x 1x = 22 − 4.(−1) = + = ⇒ x − x1 = ⇔ x − x = (vì x > x ) Khi đó: S = (x )3 + (x )3 = (x − x )3 − 3(x − x ) https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 13/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 S = ( 8)3 − = 8 − = = 10 Vậy (x )3 , (x )3 là nghiệm phương trình X − 10 2X + = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 14/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Câu (1,25 điểm)  a a − a + a +  1) Rút gọn biểu thức P =    (với a ≥ a + a +  a −     và a ≠ ) Lời giải  a a − a + a +  P =   a + a +  a −      a − 23   a + a + a +   P =   a + a +  a −4    ( a − 2)(a + a + 4)   a ( a + 2) + 3( a + 2)  P =   a −4 a +2 a +4     ( a + 2)( a + 3)  P = ( a − 2) ⋅    ( a + 2)( a − 2)  P = ( a − 2) ⋅ a +3 a −2 P = a +3 Vậy với a ≥ và a ≠ thì P = a + https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 15/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 x = y + 18 2) Tìm các số thực x và y thỏa mãn  y = x + 18  Lời giải x = y + 18 (1) Xét hệ phương trình  y = x + 18 (2)  Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) , ta x − y3 = y2 − x ⇔ (x − y )(x + xy + y ) = (y − x )(y + x ) ⇔ (x − y )(x + xy + y ) − (y − x )(y + x ) = ⇔ (x − y )(x + xy + y ) + (x − y )(y + x ) = ⇔ (x − y )(x + xy + y + x + y ) = x − y = ⇔ 2 x + xy + y + x + y = Với x − y = ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình (1), ta được: x = x + 18 ⇔ x − x − 18 = ⇔ x − 27 − x + = ⇔ (x − 27) − (x − 9) = ⇔ (x − 3)(x + 3x + 9) − (x − 3)(x + 3) = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 16/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 ⇔ (x − 3)(x + 3x + − x − 3) = ⇔ (x − 3)(x + 2x + 6) = x − = ⇔ ⇔ x + 2x + = x =  x + 2x + = • Xét phương trình: x + 2x + = ⇔ x + 2x + + = ⇔ (x + 1)2 + = Vì (x + 1)2 ≥ với x nên (x + 1)2 + > với x Suy phương trình x + 2x + = vô nghiệm • Với x = ⇒ y = Suy ra: Hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (3; 3) Với x + xy + y + x + y = Vì x = y + 18 ≥ 18 ⇒ x ≥ 18 > y = x + 18 ≥ 18 ⇒ y ≥ 18 > ⇒ x + y > và xy > Do đó: x + xy + y + x + y > Suy ra: Phương trình x + xy + y + x + y = vô nghiệm Vậy hai số thực x và y cần tìm là: x = và y = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 17/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Câu (2,75 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) có hai đường cao BE và CF cắt trực tâm H , AB < AC Vẽ đường kính AD (O ) Gọi K là giao điểm đường thẳng AH với đường tròn (O ), K khác A Gọi L , P là giao điểm hai đường thẳng BC và EF , AC và KD 1) Chứng minh tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn và tâm I đường tròn này thuộc đường thẳng BC Lời giải A E F O H L B N M C I K D P Ta có: BE là đường cao ∆ABC ⇒ BE ⊥ AC ⇒ BEC = 90° hay HEP = 90° Ta lại có: AKD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ AKD = 90° hay HKP = 90° Xét tứ giác EHKP có: HEP + HKP = 90° + 90° = 180° Mà HEP và HKP là hai góc đối Suy ra: Tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn đường kính HP https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 18/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 A E F O H L B N M C I K D P Gọi I là trung điểm HP , N là giao điểm AH và BC Ta có: EBC + ECB = 90° (vì ∆BCE vuông E ) Và CAN + ACN = 90° (vì ∆ACN vuông N) hay CAN + ECB = 90° ⇒ EBC = CAN (cùng phụ với ECB ) Mà tứ giác ABKC là tứ giác nội tiếp nên CAN = CBK (Hai góc nội tiếp cùng chắn CK ) ⇒ EBC = CBK ⇒ BN là phân giác HBK Xét ∆HBK có: BN ⊥ HK , BN là phân giác HBK ⇒ ∆HBK cân B ⇒ BC là trung trực đoạn thẳng HK Và IH = IK (vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHKP ) https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 19/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 ⇒ I thuộc đường trung trực đoạn thẳng HK Suy ra: I ∈ BC Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHKP thuộc đường thẳng BC https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 20/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 2) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AH = 2OM A E F O H L B N K M C I D P Vì ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ACD = 90° ⇒ AC ⊥ CD Và BH ⊥ AC (vì BE là đường cao ∆ABC ) AC ⊥ CD   ⇒ BH //CD (1) AC ⊥ BH  Tương tự: vì ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ABD = 90° ⇒ AB ⊥ BD Và CH ⊥ AB (vì CF là đường cao ∆ABC ) AB ⊥ CH   ⇒ BD //CH (2) AB ⊥ BD  Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác BHCD là hình bình hành https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 21/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 A E F O H L B N M K C I D P Theo giả thiết: M là trung điểm BC Suy ra: M là trung điểm HD Xét ∆ADH có: O là trung điểm AD (vì AD là đường kính đường tròn (O )) M là trung điểm HD (cmt) Suy ra: OM là đường trung bình ∆ADH ⇒ OM = AH hay AH = 2OM https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 22/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 3) Gọi T là giao điểm đường tròn (O ) với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK , T khác K Chứng minh ba điểm L , K , T thẳng hàng A E F O H L N B K M T≡J C I D P Gọi LK cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai là J Xét tứ giác BCEF có: E , F là hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh BC và BEC = BFC = 90° Suy ra: Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp ⇒ LFB = ECB (Góc ngoài góc đỉnh đối diện) Xét ∆LBF và ∆LEC có: BLF là góc chung LFB = ECB (cmt ) Do đó: ∆LBF ∽ ∆LEC (g.g ) ⇒ LB LE = ⇒ LB.LC = LE LF (3) LF LC https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 23/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Tương tự, vì tứ giác BKJC nội tiếp A E F O H L N B K M T≡J C I D P ⇒ LKB = BCJ (Góc ngoài góc đỉnh đối diện) Xét ∆LBK và ∆LJC có: BLK là góc chung LKB = BCJ (cmt ) Do đó: ∆LBK ∽ ∆LJC (g.g ) ⇒ LB LK = ⇒ LB.LC = LK LJ (4) LJ LC Từ (3) và (4) suy ra: LE LF = LK LJ ⇒ LK LF = LE LJ https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 24/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Xét ∆LKF và ∆LEJ có: FLK là góc chung LK LF = (cmt ) LE LJ Do đó: ∆LKF ∽ ∆LEJ (c.g.c) A E F O H L N B K M T≡J C I D P ⇒ LFK = LJE hay LFK = KJE Suy ra: Tứ giác EFKJ nội tiếp Do đó: T ≡ J https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai 25/ 25 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888.014.879 Câu (0,5 điểm) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh (a + b + c )3 ≥ 9(a + b + c) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương a , b , c ta có: a + b + c ≥ 3 abc = (vì abc = ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: (12 + 12 + 12 )(a + b + c ) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)2 ⇔ 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c)2 (a + b + c)2 ⇔ (a + b + c ) ≥ 2 (a + b + c)2  2 ⇔ (a + b + c ) ≥     (a + b + c)6 35 (a + b + c) ⇔ (a + b + c ) ≥ ≥ 3 33 2 ⇔ (a + b + c )3 ≥ 9(a + b + c) Dấu “=” xảy a = b = c = https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai