LËp ph¬ng tr×nh bÆc hai cã hai nghiÖm lµ hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vuông nội tiếp đờng tròn đờng kính bằng 5 và diện tích tam giác đó bằng 3 Bµi 4: Cho tam giác ABC AB ≠AC nội tiếp[r]
(1)-1- së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ (§Ò thi gåm cã trang) đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:1997 - 1998 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn lý, ho¸, to¸n vßng Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: Cho biÓu thøc : −a √ a 1+a √ a M= +√ a : víi a ≥ 0;a≠ 1 −√a 1+ √ a 1/ Rót gän biÓu thøc M 2/ Tìm ggiá trị a để M = ( )( ) Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y + = y x ¿ x+ y=5 ¿ ¿{ ¿ ¿¿ ¿ √ √ Bµi 3: Một ôtô dự định từ A => B cách 148 km thời gian đã định Sau đợc ôtô bị chắn tàu hoả phút, đó đẻ đền B đúng hẹn, xe phải chạy thêm với vËn tèc km/h so víi vËn tèc tríc TÝnh vËn tèc cña «t« lóc ®Çu Bµi 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn ( M ≠ A;M ≠ B ) , đờng thẳng d tiếp súc vời nửa đờng tròntại M và cắt đờng trung trựccủa AB I Đờng tròntâm I tiếp súc với AB và cắt đờng thẳngd E và F (F nằm góc ∠ BOM ) a/Chøng minh OE vµ OF theo thø tù lµ ph©n gi¸c cña ∠ AOM vµ ∠ BOM b/ Chøng minh: EA EB= R2 3/ Xác định vị trí M trên nửa đờng tròn để diịen tích tứ giác AEFB nhỏ Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh x − x5 + x − x + x − x + =0 (2) -2- đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, thcb n¨m häc:1997 - 1998 m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) së gd&§t ninh b×nh Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh x 2+ ( − 4a ) x +3a − a=0 (x lµ Èn, a lµ tham sè) 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 2/ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ví mäi gi¸ trÞ cña a Bài 2: Trong phong trào đền ơn đàp nghĩa đợt 1, hai lớp 9A và 9B huy động đợc 70 ngày công để giúp đỡ các gia đìng thơng binh liệt sĩ Đợt lớp 9A huy động vợt 20% số ngày công, lớp 9B huy động vợt 15% số ngày công, đó hai lớp đã huy động đợc 82 ngày công Tính sem đợt lớp huy ffộng đợc bao nhiªu ngµy c«ng Bài 3: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AC Trong đoạn OC lấy điểm B và kẻ đờng tròn tâm I đờng kính BC Gọi Mlà trung điểm AB, từ Mkẻ dây DE vuông góc với AC, nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I F 1/ Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi 2/ Chøng minh ®iÒm B, E, F th¼ng hµng 3/ So s¸nh hai gãc ∠ EMF vµ ∠ DAE 4/ Xác định vị trí tơng đối đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: (1 − 21 )(1− 31 )(1− 41 ) (1 − n1 ) ≥ 12 (víi n∈ N ,n>2) 2 së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ 2 đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:1998 - 1999 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn lý, ho¸, to¸n vßng Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: 1/Chứng minh đẳng thức: 1 = +1 √ −1 √ 3+1 2/ Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh hai sè: 2+ √ vµ √ 14 Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ax + a +b = ( a; b lµ tham sè) 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 7; b = 2/ Tìm giá trị a và b để x1 = và x2 = là nghiệm phơng trình (3) -3- Bài 3: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Gọi C là trung điểm đoạn OA, D là điểm nằm trên đờng tròn cho BD = R Đờng trung trực đoạn OA c¾t AD t¹i E vµ BD t¹i F: 1/ TÝnh gãc ∠ BOD vµ ∠ BAD 2/ Tính độ dài các đoạn: AE; EC và theo R 3/ CM: ΔADB ΔFCB 4/ CM: BE⊥ AF 5/ Một điểm M nằm trên đờng tròn CMR: Khi M thay đổi trên đờng tròn thì trung điểm I đoạn MD chạy trên đờng tròn cố định , sác định tâm và bán kính đờng tròn đó së gd&§t ninh b×nh đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, thcb n¨m häc:1998 - 1999 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn lý, ho¸, to¸n vßng Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: 1/ Thùc hiÖn phÐp tÝnh: √ −3 √ 20 2/ Rót gän biÓu thøc: √b+ 1+ √ b : √ a −1 víi a;b>0; a,b ≠1 √ a+1 √ b −1 3/ Chøng minh biÓu thøc: cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn √ √ 2− √ ( √ 3+1 ) Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 1/ 2x+ y=5 3x −2y=4 ¿ 2/ − =5 x+ y+ 3 − =4 x +1 y +3 ¿ ¿{ ¿ (4) -4- Bµi 3: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF; BC là dây cung cố định vuông gãc víi EF; A lµ ®iÒm bÊt kú trªn cung BFC ( A ≠ B, A ≠C ) 1/ CM: AE lµ ph©n gi¸c cña gãc BAC 2/ Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AB CM: BD// AE 3/ Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD CM: I, A, F th¼ng hµng 4/ M là điểm trên dây cung AB cho AM =k (k không đổi), MB qua M kẻ đờng thẳng d vuông góc với AC Chứng minh A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng d luôn qua điểm cố định Bµi 4: Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác có chu vi CNR: ab + ac + bc > abc đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:1999 - 2000 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn lý, ho¸, to¸n vßng Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ Bµi 1(3 ®iÓm) Hãy dùng ít phơng pháp khác để giải phơng trình sau: x+ x =8 x −1 ( ) Bµi (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: √ a −16 a+ : √ − √ a víi a ≥ ; a ≠16 a+ √a+ 16 a √ a −64 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc trªn a = 25 Bµi (4 ®iÓm) Tam giác ABC không vuông Đơng tròn đờng kính AB cắt đờng thẳng AB M, đờng tròn đờng kính AC cắt đờng thẳng AB N Gọi D là giao điểm thứ hai đờng tròn trên 1/ CM: ba đờng thẳng AD, BM, CN đồng quy 2/ So s¸nh hai gãc ADM vµ AND Bµi 4(1 ®iÓm): Cho a, b, c lµ sè d¬ng tho¶ m·n: abc = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = a + b + c + ab + ac + bc (5) -5- đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:1999 - 2000 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn v¨n, chuyªn ng÷ Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ Bµi 1: ®iÓm Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 2)x + 2m - = (1) 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2/ CMR: ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m 3/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình (1): Tìm m để: B = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) < Bµi 2: ®iÓm 2√x Cho biÓu thøc: A= 1+ √ x : + víi x ≥ 0; x ≠ x+1 √ x − 1+ x − x √ x − √ x 1/ Rót gän A 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña A x=3+2 √ 3/ Tìm giá trị x để A < Bµi 3: ®iÓm Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Từ A kẻ tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy điểm C cho AC > R Từ C kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đờng tròn M 1/ CM: ∠AOC =∠OBM 2/ §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNC lµ hbh 3/ AN c¾t OC t¹i K, CM c¾t ON t¹i I, CN c¾t OM t¹i J CM: K; I; J th¼ng hµng ( së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ )( ) đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:1999 - 2000 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n (vßng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: 2,5 ®iÓm T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: (6) -64 P( x)= x +16x +56x +80x +356 víi x ∈ R x 2+ 2x+5 Bµi 2: ®iÓm T×m x; y tho¶ m·n hÖ: ¿ x − y=x − y − √ x+ √ y (1) √ √ x = y + y (2) 3y ≥ x ≥ y ≥ (3) ¿{{ ¿ Bµi 3: ®iÓm Trên đờng thẳng a Lấy điểm A và B, gọi O là trung điểm AB, C lµ ®iÓm n»m ®o¹n OA Tõ C vÏ nöa mÆt ph¼ng bê a, tia Cm vµ Cn ^ m=B C ^ n=α (00 <α <900 ) Trªn tia Cm lÊy ®iÓm M, trªn tia Cn lÊy cho: A C điểm N cho điểm A, B, N, M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB 1/ Gọi P là giao điểm BM với AN CMR: Khi α thay đổi thì P chạy trên đờng thẳng cố định 2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña CN vµ BM, F lµ giao ®iÓm cña AN vµ CM CMR: NE > EF > FM Bµi 4: 1,5 ®iÓm Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nhất: √ 3+ x+ √ − x − √(3+ x)(6 − x)=m së gd&§ ninh b×nh §Ò chÝnh thøc đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt n¨m häc:1999 - 2000 m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx + ny=3 2mx − 3ny=− ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi n = m = Tìm giá trị n và m để x = 2; y = là nghiệm hệ phơng trình Bµi 2: (1 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= √ 4+2 √ 3+ √ −4 √3 Bµi 3: (2,5 ®iÓm) Hai ngời xe đạp trên quãng đờng AB Ngời thứ từ A=>B, cùng lúc đó ngời thứ hai từ B =>A với vận tốc 3/4 vận tốc ngời thứ (7) -7- Sau thì hai ngời gặp Hỏi ngời hết quãng đờng AB bao l©u Bµi 4: (3 ®iÓm) Trên cạnh AB tam giác ABC lấy điểm D cho hai đờng tròn nội tiếp hai tam giác ACD và BCD Gọi O, O1, O2 theo thừ tự là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ACD, BCD CM: Ba ®iÓm A,O1, O vµ B, O2, O th¼ng hµng CM: OO1 OB = OO2 OA §Æt AB = c, AC = b, BC = a TÝnh CD theo a, b, c Bµi 5: (1,5 ®iÓm) Cho bèn sè a, b, x, y tho¶ m·n: 0< a≤ x < y ≤ b Cm: 1, x +ab ≤(a+b) a+b ¿ ¿ ¿ ¿ 1 2,(x + y)( + )≤¿ x y së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:2000 - 20001 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n, lý, ho¸ Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ (1) 2x −3y=1 5x+ y =11 ¿ (2) 2x2 − 4x=3y2 −12y +11 5x2 −10x=− y 2+ 4y+ ¿ ¿{ ¿ Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M= a b a+b + − a;b> 0; a ≠b b+ √ ab √ ab − a √ ab a Rót gän M (8) -8- b Tính giá trị a và b để M = Bµi 3: (2 ®iÓm) Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 6m3 Sau đợc 1/5 dung tích bể chứa thì máy bơm chạy với công suất lớn hơn, bơm đợc 9m3, đó hoàn thành trớc 1h20’ so với quy định Tính dung tích bể Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho hai đờng thẳng xx’ yy’ A Trên tia Ay’ lấy điểm M Kẻ đờng tròn (C1) tâm M bán kính MA; trên xx’ lấy I, kẻ (C 2) là (I,R) cho đờng tròn náy tiÕp sóc víi(C1) t¹iT CMR: Tiếp tuyến chung hai đờng tròn T luôn qua điểm cố định Cho A ^ M I =60 TÝnh AM theo R Giả sử (C1) và (C2) Một đờng tròn (C3) có bán kính R tiếp súc ngoài với (C1) và (C2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng tròn (C1), (C2), (C3) Bµi 5: (1 ®iÓm): T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh √ x+ √ x + + √ x = y −2000 ⏟ 2000dÊu c¨n së gd&§t ninh b×nh đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt n¨m häc: 2000 - 2001 m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: ®iÓm Cho ph¬ng tr×nh: 2x +(2m− 1) x+ m−1=0 a, Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b, Cmr: ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cu¶ m c, Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1- 4x2= Bµi 2: 2,5 ®iÓm Đờng sông từ A đến B ngắn đờng 25km Để từ A đến B ô tô 2h30’, ca n« hÕt 4h10’ VËn tèc cña «t« l¬n h¬n vËn tèc cña ca n« 22km/h TÝnh vËn tèc cña «t« vµ ca n« Bµi 3: 3,5 ®iÓm Cho tam giác ABC, gọi O là trung điểm cạnh BC Vẽ góc xoy 600 cho 0x c¾t c¹nh AB t¹i M, 0y c¾t c¹nh AC t¹i N Chøng minh r»ng: a, Δ OBM ~ Δ NCO vµ BC2 = 4.BM.CN ^N b, MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B M c, Đờng thẳng MN luôn tiếp súc với đờng tròn cố định góc xoy b»ng600 quay quanh O cho Ox, Oy lu«n c¾t AB vµ AC Bµi 4: ®iÓm Cho a, b, c, p theo thứ tự là độ dài các cạnh và chu vi Δ CM : 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c §¼ng thøc s¶y nµo? ( ) (9) -9- đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:2001 - 2002 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n, lý, ho¸ Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ |x − 1|+ y=0 Bµi 2: Bµi 3: x +3y −3=0 ¿{ ¿ Chứng minh đẳng thức: √ 13− √160 − √53+ √ 90=−4 √5 LËp ph¬ng tr×nh bÆc hai cã hai nghiÖm lµ hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vuông nội tiếp đờng tròn đờng kính và diện tích tam giác đó Bµi 4: Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác góc BAC cắt đoạn BC D, cắt đờng tròn M, đờng phân giác ngoài góc BAC cắt đờng thẳng BC E, cắt đờng tròn N Gọi K là trung điểm cña DE Chøng minh r»ng: a, MN vu«ng gãc víi BC t¹i trung ®iÓm I cña BC b, Gãc ABN = gãc EAK c, KA là tiếp tuyến đờng tròn(O) Bµi 5: Cho đoạn thẳng AB cố định có độ dài a mặt phẳng chứa đoạn AB lấy điểm M thay đổi , đặt MA = b, MB = c CMR: a +b4 + c ≤2a b2 +2a c +2b2 c §¼ng thøc s¶y nµo? së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:2001 - 2002 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn v¨n, chuyªn ng÷ Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh bÆc hai: x 2+2( m+1) x+m2=0 a, Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, đó có nghiệm -2, đó tìm nghiệm còn lại Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (10) - 10 ¿ |x − 1|+ y=0 Bµi 3: Bµi 4: x +3y −3=0 ¿{ ¿ Chứng minh đẳng thức: √ 13− √160 − √53+ √ 90=−4 √5 Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác góc BAC cắt đoạn BC D, cắt đờng tròn M, đờng phân giác ngoài góc BAC cắt đờng thẳng BC E, cắt đờng tròn N Gọi K là trung điểm cña DE Chøng minh r»ng: a, MN vu«ng gãc víi BC t¹i trung ®iÓm I cña BC b, Gãc ABN = gãc EAK c, KA là tiếp tuyến đờng tròn(O) së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:2001 - 2002 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n vßng Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: Bµi 2: Chøng minh: M =√ − √❑ Cho sè thùc a, b, c tho¶ m·n: a = b + = c +2; c > CMR: 2( √ a − √ b)< < 2( √ b− √ c) √b Tìm a, b để hệ phơng trình sau có nghiệm nhất: Bµi 3: ¿ x y z + z=a x y z 2+ z=b x + y + z 2=4 ¿{ { ¿ Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R; AC là dây cung cho AC=R a Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB; vẽ đờng tròn tâm O’ qua điểm A;B;D Tính bán kình đờng tròn tâm O’ theo R b Tính diện tích phần tam giác ABC năm ngoài đờng tròn (O’) c Trên AB kéo dài lấy điểm K, kẻ hai tiếp tuyến KS với đờng tròn (O) và KS’ với đờng tròn (O’) So sánh KS và KS’ Bµi 4: Đờng tròn (O;R) tiếp súc với đờng thẳng x A; kể đờng kính AB và d©ycung bÊt kú Bc Gäi D lµ h×nh chiÕu cña C xuèng AB, kÐo dµi CD vÒ phÝa D lấy điểm E cho ED = BC Từ E kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn, tiếp tuyến nµy c¾t x t¹i K vµ N(N n»m gi÷a A vµ K).TÝnh KN theo R së gd&§t ninh b×nh đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt n¨m häc:2001 - 2002 m«n thi: to¸n (11) - 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh x 2+ 5x −14=0 2x+ √ 2x − 1− 15=0 Bµi 2: ` Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ m2 x +(m−1) y =5 mx+(m+ 1) y=5 ¿{ ¿ Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 2 Tìm giá trị m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5 Víi a ≥ 0;a ≠ 4;a ≠ Rót gän biÓu thøc √ a− : √ a+2 − √ a+3 + √ a+2 P= 1√ a −2 − √a 2− √ a a − √a+ ( Bµi 4: )( ) Cho đờng tròn đờng kính AB trên tia AB lấy ddiẻem C cho B nằm AC, từ C kẻ đờng thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D (D≠C) Nối DA cắt đờng tròn M, nối DB cắt đờng tròn K CM: Tø gi¸c ADCN néi tiÕp CM: AC lµ ph©n gi¸c cña gãc KAD Kéo dài MB cắt đờng thẳng x s, C/m: S; A; N thẳng hàng Bµi 5: Cho Δ ABC A, kẻ đờng cao AH, đặt HB = x, HC = y, HA = z Chøng minh r»ng: NÕu x + y + z = x.y.z th× z √ §¼ng thøc s¶y nµo? së gd&§t ninh b×nh Trêngthpt Chuyªn l¬ng v¨n tuþ đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt hệ chuyên n¨m häc:2002 - 2003 m«n thi: to¸n Dµnh cho häc sinh thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: Bµi 2: Rót gän biÓu thøc: √3 − √ 2+ √ 11 −6 √ 2 √ x − √ x+ 1− √ x +2 √ x +1 Víi x> 1 Tam gi¸c vu«ng ABC cã diÖn tÝch b»ng 6, chu vi b»ng 12 T×m c¹nh huyền tam giác đó Víi a; b; c lµ sè kh«ng ©m Cho ph¬ng tr×nh ax 2+ 2bx+c=0 (1) bx2 +2cx+ a=0 (2) cx 2+ 2ax+b=0 (3) Bµi 3: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn ph¶i cã nghiÖm (12) - 12 - së gd&§t ninh b×nh đề thi chính thức đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt n¨m häc 2007 - 2008 m«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (§Ò thi gåm cã 01 trang) Bµi I(3 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ 2x+ y=4 − x − x +2y=1 ¿ a/ 2x − 2=0 b/x −7x +6=0 { c/ Rót gän c¸c biÓu thøc sau: x y xy a/A= + − √ Víi x >0;y> 0;x≠ y √ xy + x √ xy − y x − y b/B=√ +2 √ 3+ √ −2 √ c/C= √546 − 84 √ 42+ √ 253 −4 √ 63 Bµi II(3 ®iÓm): Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = mx - (d1) vµ 3x + my = (d2) a/ Khi m = 2, xác định hệ số góc và tìm toạ độ giao điểm hai đờng thẳng b/ Khi d1 và d2 cắt M(x0;y0), tìm m để x 0+ y 0=1 − m m2 +3 c/ Tìm m để giao điểm d1 và d2 có haònh độ dơng và tung độ âm Bµi III(3 ®iÓm): Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (Cthuộc cung AD) choCD = R Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB M TiÕp tuyÕn cña (O;R) t¹i A vµ B c¾t CD lÇn lît t¹i E vµ F, AC c¾t BD ë K a/ Chøng minh r»ng tø gi¸c AECM néi tiÕp vµ tam gi¸c EMF lµ tam gi¸c vu«ng b/ Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD c/ T×m vÞ trÝ d©y CD cho diÖn tÝch tø gi¸c KAB lín nhÊt Bµi IV(1 ®iÓm): Hai m¸y b¬m cïng b¬m níc vµo mét c¸i bÓ c¹n (kh«ng cã níc), sau giê th× ®Çy bÓ Biết đẻ máy thứ bơm đợc nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng m¸y thø nhÊt n÷a) th× sau giê bÓ sÏ ®Çy Hái nÕu mçi m¸y b¬m b¬m riªng th× mÊt thêi gian bao l©u sÏ ®Çy bÓ níc Bµi V(1 ®iÓm): T×m c¸c sè h÷u tØ x vµ y cho: √ √12 −3+ √ y √ 3=√ x √3 (13) - 13 - UBND TỈNH NINH BÌNH SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT Chuyên Lương Văn Tụy Năm học 2009- 2010 (Khóa ngày 30/9/2009) Môn thi: TOÁN- VÒNG I Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức: x 2 5 3 3 1 x x y y A x x xy y 250 y y Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – = (ẩn x, tham số m) a) Giải phương trình m = 1 x x b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x thỏa mãn: Câu 3: (1,0 điểm) Khoảng cách hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 20 phút bến sông B và ngược dòng trở A Thời gian kể từ lúc khởi hành đến bến A tất 12 Tính vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp lần vận tốc dòng nước Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua tâm O cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường tròn đó b) Chứng minh MA.MB = MN2 c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Câu 5: (1 điểm) (14) - 14 - 23 x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: B 8x 18y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (15) - 15 - Gợi ý Bài 4: c Tam giác MNP OM = 2R d Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm bên đường tròn) Bài 5: B 8x 18y x y 2 2 5 8x 18y 8 12 23 43 x y x y 1 x; y ; 3 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ B là 43 Sở giáo dục và đào tạo NINH B×NH đề chính thức 1 ; 3 x; y kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn L¦¥NG V¡N TôY N¨M HäC: 2010-2011 M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (1,5 ®iÓm) 1 a 2 : 1 Cho H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn nhËn a lµ mét nghiÖm Bµi 2: (2,5 ®iÓm) (16) - 16 - xy xy a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x b) Tìm m để phơng trình x 16 y y x 2x 3x 6x m 0 cã nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n tho¶ m·n k vµ k 16 lµ c¸c sè nguyªn tè th× k chia hÕt cho b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi th× p a p b p c 3p Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O và dây AB không qua O Gọi M là điểm chính cung AB nhỏ D là điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB C Chøng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA cho h×nh c¹nh EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng Chứng minh độ dài các cạnh hình cạnh EFGHIJKM là các số hữu tØ th× EF = IJ HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: .Phßng thi sè: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ Híng dÉn chÊm thi (B¶n Híng dÉn chÊm thi gåm 04 trang) I Híng dÉn chung 1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶ Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống thực Hội đồng chấm thi (17) - 17 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn II §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi 1: (1,5 ®iÓm) a 2 : 1 2: 7 a= 2 : 1 7 1 0,5 ® 0,25 ® §Æt x a x x x 2x 7 x 2x 0 VËy ph¬ng tr×nh x 2x 0 nhËn lµm nghiÖm 0,5 ® 0,25 ® Bµi 2: (2,5 ®iÓm) xy xy x 16 x 16 xy y y y y x 5 x x y (1) 0,25 ® (2) §K: x, y 0 2 Gi¶i (2) 6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 3y 2x 3y 0 x * NÕu 3y 16 y 2 Thay vào (1) ta đợc a) 3y 23 (ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) 2y 3x 2y 0 x * NÕu 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® Thay vào (1) ta đợc y 9 y 3 - Víi y 3 x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) - Víi y x (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 0,25 ® VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) x 2x y x 1 y x 1 y (y 0) b) §Æt (*) y 1 y 1 m 0 Phơng trình đã cho trở thành: y 5y m 0 (1) 0,25 ® (18) - 18 - Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt thì phơng trình 0,25 ® (1) cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt S P 9 4m 5 m 0,25 ® m 4m m 4m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt VËy víi 0,25 ® Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) V× k > suy k 5; k 16 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 10n k 5 0,25 ® k kh«ng lµ sè nguyªn tè 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 20n k 16 5 k 16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 30n k 16 5 k 16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 40n 16 k 5 k kh«ng lµ sè nguyªn tè Do vËy k 5 0,25 ® a b c 3 a b c2 (*) b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th× 2 2 2 ThËt vËy (*) a b c 2ab 2bc 2ca 3a 3b 3c 0,5 ® (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 (luôn đúng) ¸p dông (*) ta cã: p a p b p c Suy 3 3p a b c 3p p a p b p c 3p (®pcm) Bµi 4: (3,0 ®iÓm) 0,5 ® (19) - 19 - N D J I A O C B M a) XÐt MBC vµ MDB cã: BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD 0,5 ® Do MBC và MDB đồng dạng MB MD MB.BD MD.BC BD Suy BC 0,5 ® b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC BJC MBC hay 180 BJC BCJ c©n t¹i J CBJ 0,5 ® BJC 180 O BJC MBC CBJ 90 O MB BJ 2 Suy Suy MB là tiếp tuyến đờng tròn (J) 0,5 ® c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB là tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN Ta cã ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN 0,5 ® Chøng minh t¬ng tù: CI // JN Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) và (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bµi 5: (1,0 ®iÓm) 0,5 ® (20) - 20 - A E F a B b h M H g K d f D G c e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ c¸c sè h÷u tØ d¬ng) Do c¸c gãc cña h×nh c¹nh b»ng nªn mçi gãc cña h×nh c¹nh cã (8 2).180O 135O sè ®o lµ: 0,25 ® Suy góc ngoài hình cạnh đó là: 180O - 135O = 45O Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 0,5 ® h b f d a e 2 Ta cã AB = CD nªn: (e - a) = h + b - f - d NÕu e - a ≠ th× 2 h b f d e a (®iÒu nµy v« lý lµ sè v« tØ) 0,25 ® VËy e - a = e = a hay EF = IJ (®pcm) HÕt UBND TỈNH NINH BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT Chuyên Lương Văn Tụy Năm học 2011 - 2012 (Khóa ngày 21/6/2011) Môn thi: TOÁN - VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3,0 điểm) Đề thi gồm 04 câu 01 trang (21) - 21 x + 2y = a) Giải hệ phương trình: 3x - y = b) Giải phương trình: c) Rút gọn các biểu thức: x2 - 5x + = A = 12 - 12 + 48 14 - 15 - B = : -1 -1 - Câu 2: (2,5 điểm) Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x – m + với m là tham số a) Vẽ đồ thị (P): y = x2 b) CM: Với giá trị m thì đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng (d) điểm phân biệt c) Gọi A(XA,YA)và B(XB,YB) là giao điểm (P) và (d) Tìm Emin=YA+YB Câu 3: (1,5 điểm) Hai đội công nhân hợp tác làm cùng công việc Nếu đội cùng làm công việc đó thì sau 15 họ hoàn thành công việc Nếu đội làm mình nghỉ và đội làm tiếp công việc đó thì công việc hoàn thành 25% Tính thời gian đội làm riêng để hoàn thành công việc đó Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm S ngoài đường tròn.Kẻ tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O,R) (A,B là tiếp điểm) Điểm I thuộc đoạn AB (I khác A và B) đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt SA, SB M và N a) CM:4 điểm O,I,A,M cùng thuộc đường tròn b) CM: MI=NI c) Xác định vị trí điểm I trên đoạn AB cho tam giác SMN có diện tích lớn Hết -Cán coi thi không giải thích gì thêm! (22) - 22 - Họ và tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh: ………….… …… Họ và tên, chữ kí giám thị 1:………………………………… …………………………… Họ và tên, chữ kí giám thị 2:…………………………………….……… ………………… (23) - 23 - ĐÁP ÁN (Tôi xin trình bày đáp án thân, thời gian làm tương đối gấp nên có gì sai sót mong quý thầy cô cùng các bạn thông cảm và đóng góp ý kiến) Câu 1: a) Giải hệ phương trình: x + 2y = x = - 2y x = - 2y x = - 2y x = - 2y x = 3x - y = 3x - y = 15 - 6y - y = -7y = -14 y = y = b) Giải phương trình: 52 6 1 x2 - 5x + = Vậy phương trình có nghiệm phân biệt 1 x1 3 x 2 2 c) Rút gọn các biểu thức: A = 12 - 12 + 48 14 - 15 - B = : -1 -1 - A 3 - 12 + 16 A 6 - 12 + 24 7- - 5 B = : -1 -1 - -1 -1 : B= -1 -1 - A = 18 B= 7+ - =7 - B=2 Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P): y = x2 TXĐ: x R Bảng giá trị x y = x2 Đồ thị: -3 -2 -1 0 1 (24) - 24 - b) Hoành độ giao điểm đồ thị (P) và đường thẳng (d) là nghiệm phương trình x m 1 x – m x m 1 x m = (*) Ta có: ' (m -1) - m m - 2m 1- m 3 ' m 3m m m 4 3 ' m 2 Với m ' phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm phân biệt, hay đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng (d) điểm phân biệt c) Gọi A(XA,YA)và B(XB,YB) là giao điểm (P) và (d) Tìm Emin=YA+YB Ta có X A2 YA X B2 YB YA YB X A2 X B2 X A X B 2X A X B (**) Trong đó XA, XB là nghiệm phương trình (*), áp dụng hệ thức Viet ta có: X A X B 2m X A X B m Thế vào biểu thức (**) (25) - 25 YA YB 2m 2m 4m 8m 2m 25 15 YA YB 4m2 10m 10 2m 2.2m 4 15 15 YA YB 2m 2 4 15 E YA YB m Vậy Câu 3: Gọi x là thời gian đội làm riêng để hoàn thành công việc: x (giờ; x>15) Gọi y là thời gian đội làm riêng để hoàn thành công việc: y (giờ; y>15) Gọi số công việc là A Công việc đội làm là: A/x Công việc đội làm là: A/y Vì đội cùng làm công việc đó thì sau 15 họ hoàn thành công việc A A 1 15 A x y 15 nên ta có phương trình 1: x y Nếu đội làm mình nghỉ và đội làm tiếp công việc đó thì công việc hoàn thành 25% nên ta có phương trình 2: A A 25 A 5 x y 100 x y Kết hợp phương trình ta có hệ: 1 1 x y 15 1 x y 1 1 1 1 1 1 x 15 y x 15 y x 15 y 1 1 21 x y 15 y y y 20 1 1 1 1 x 24 x 15 y x 15 40 y 40 y 40 y 40 Nghiệm thỏa mãn điều kiện vậy: - Thời gian đội làm riêng để hoàn thành công việc là 24 - Thời gian đội làm riêng để hoàn thành công việc là 40 Câu 4: (26) - 26 - a) CM:4 điểm O, I, A, M cùng thuộc đường tròn Ta có: MIO vuông I (vì MN vuông góc với OI) Nên MIO thuộc đường tròn đường kính OM MAO vuông A (TC tiếp tuyến vuông góc với bán kính tiếp điểm) Nên MAO thuộc đường tròn đường kính OM Vậy điểm O, I, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (ĐPCM) b) CM: MI = NI Tương tự ý a) ta chứng minh điểm O, I , N, B cùng thuộc đường tròn đường kính ON µ ¶ Ta có: A1 M (Cùng chắn cung OI đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIAM) (I) µ N ¶ B 1 (Cùng chắn cung OI đường tròn ngoại tiếp tứ giác OINB) (II) µ µ Mặt khác AOB cân O (OA=OB=R) nên A1 B1 (III) ¶ ¶ Từ (I), (II), (III) ta suy M N1 Xét tam giác vuông OIM và OIN có: OI chung ¶ N ¶ M 1 (Chứng minh trên) Vậy OIM = OIN và MI = NI (ĐPCM) Và ta có luôn OM = ON (27) - 27 - c) Xác định vị trí điểm I trên đoạn AB cho tam giác SMN có diện tích lớn Xét tam giác vuông OAM và OBN có: OM = ON (Chứng minh ý b) AO = OB = R (bán kính đường tròn) Vậy OAM = OBN và AM = BN (IV) · SM.SN.SinMSN Diện tích tam giác SMN là: SSMN= · SinMSN không đổi SSMN lớn tích SM.SN lớn Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho SM và SN ta có: SM SN SM.SN SA + AM +SB - BN 2 SM.SN SA = SB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) AM = BN (Chứng minh trên (IV)) Nên 2SA 2 SM.SN SM.SN SA dấu xảy SM = SM hay M trùng với A, N trùng với B và I là trung điểm AB · SA SinMSN Vậy diện tích lớn tam giác SMN = Khi I nằm trung điểm đoạn AB -Hết (28)