Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E.. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.[r]
(1)TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP A.PHẦN ĐẠI SỐ: Bài toán So sánh: và 20092009 2009 A Bài toán Tính tỉ số B , biết: 1 1 1 A= + + + + + + 2007 2008 2009 2008 2007 2006 B= + + + .+ + 2007 2008 ❑ Bài toán Cho x, y, z, t N ❑ x y z t Chứng minh rằng: M = x + y + z + x + y +t + y+ z+t + x + z +t có giá trị không phải là số tự nhiên 20 10 Bài toán Tìm x; y Z biết: a 25 – y = 8( x – 2009) b x y = x y + 1997 c x + y + = xy – Bài toán Tìm x biết : a |5(2 x +3)|+|2(2 x+3)|+|2 x +3|=16 b |x 2+|6 x − 2||=x +4 Bài toán Chứng minh : 19 + 2 + 2 + .+ 2 < 2 3 10 Bài toán Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x1.x2 + x2.x3 + + xn.x1 = thì n chia hết cho Bài toán Chứng minh rằng: 1 1 1 − + − .+ n −2 − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bài toán Tính giá trị biểu thức A = x n + n giả sử x 2+ x +1=0 x 3−4 x Bài toán 10 Tìm max biểu thức: x 2+1 S= Bài toán 11 Cho x, y, z là các số dương Chứng minh : x y z D = x + y + z + y + z + x + z+ x + y ≤ Bài toán 12 Tìm tổng các hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức : A(x) = ( - 4x + x2 )2004 ( + 4x + x2 )2005 Bài toán 13 Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn : a3 +3 a 2+5=5b và a + = 5c Bài toán 14 Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức : x 2005 − 2006 x 2004 +2006 x 2003 −2006 x 2002 + −2006 x 2+ 2006 x −1 x |x − 2| +12 x − Bài toán 15 Rút gọn biểu thức : N= x +8 x − 20 Bài toán 16 Trong số x, y, z có số dương, số âm và số Hỏi số đó thuộc loại nào biết : |x|= y − y z Bài toán 17 Tìm hai chữ số tận cùng tổng sau : B = 3+32 +33 +3 + +32009 Bài toán 18 Cho 3x – 4y = Tìm biểu thức : M = x 2+ y x2 y z2 x2 + y2 + z2 + + = Bài toán 19 Tìm x, y, z biết : 1 Bài toán 20 Tìm x, y biết : x ❑2 + y ❑2 + + x y =4 (2) Bài toán 21 Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + chữ số 1, c là số gồm n chữ số Chứng minh a + b + c + là số chính phương Bài toán 22 Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + là số chính phương Bài toán 23 Chứng minh các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab :cd=a: c thì abbb : bbbc=a : c Bài toán 24 Tìm phân số m n khác và số tự nhiên k, biết m m+k = n nk Bài toán 25 Cho hai số tự nhiên a và b (a < b) Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b Bài toán 26 Chứng minh rằng: A = + + + + + n là số chính phương (n lẻ) Bài toán 27 Tìm n biết rằng: n ❑3 - n ❑2 + 2n + chia hết cho n ❑2 + Bài toán 28 Chứng minh rằng: B = 22 +3 là hợp số với số nguyên dương n Bài toán 29 Tìm số dư chia (n ❑3 - 1)111 (n ❑2 - 1)333 cho n Bài toán 30 Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho Bài toán 31 a Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số thì a6 – chia hết cho b Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nghiệm c Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10 Bài toán 32 Tính giá trị biểu thức: A = y +7 x − z (x2 – 1) + (y – z)2 = 16 Bài toán 33 Chứng minh rằng: a 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là số nguyên 2n+ b M = 19862004 − 2004 1000 −1 không thể là số nguyên c Khi viết dạng thập phân thì số hữu tỉ đầu tiên sau dấu phẩy Bài toán 34 So sánh A và B biết : A= 1 1 + + + + 2 2 101 102 103 104 1052 và B = ( − ,81 11 2004 ) có ít 4000 chữ số 52 Bài toán 35 Tìm x biết : a x+ 2+7 x+1 +7 x x + 52 x+1 +52 x+3 = 57 131 b (4x – 3)4 = (4x – 3)2 Bài toán 36 Ba ô tô cùng khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ kém vận tốc ô tô thứ hai là 3km/h Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quảng đường AB là 40 5 phút, giờ, Tính vận tốc ô tô Bài toán 37 Chứng minh √ + a (a Z+) là số vô tỉ Bài toán 38 Cho các số thực a, b cho tập hợp { a2 + a ; b } và { b2 + b ; b } Chứng minh : a = b Bài toán 39 Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : ab = bc = cd = de = ea Chứng minh : a = b = c = d = e Bài toán 40 Tìm x, y biết: a 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy b x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192 ( xyz > 0) B Phần hình học Bài toán 41 Tính ^A tam giác ABC cân A biết đường thẳng d qua đỉnh A và chai tam giác ABC thành hai tam giác cân (3) Bài toán 42 Cho Δ ABC vuông cân A, trung tuyến AM Lấy E BC BH, CK AE (H, K AE) Chứng minh Δ MHK vuông cân Bài toán 43 Cho Δ ABC có góc ABC = 50 ❑0 ; góc BAC = 70 ❑0 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 ❑0 Chứng minh : BN = MC Bài toán 44 Cho Δ ABC Vẽ phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Vẽ AH BC Đường thẳng AH cắt EF O Chứng minh O là trung điểm EF Bài toán 45 Cho Δ ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D và E Chứng minh : a Δ ABC = Δ MDE b Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng qua điểm Bài toán 46 Cho Δ ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N cho BM = BA ; CN = CA Tính M A N Bài toán 47 Cho Δ ABC có A = 90 ❑0 (AB < AC), phân giác AD Từ D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC M Tính M B D Bài toán 48 Δ ABC có B = 75 ❑o ; C = 60 ❑o Kéo dài BC đoạn thẳng CD cho CD = BC Tính A D B Bài toán 49 Cho Δ ABC cân, A = 80 ❑0 Trên cạnh BC lấy điểm I cho B A I = 50 ❑0 ; trên cạnh AC lấy điểm K cho A B K =300 Hai đoạn thẳng AI và BK cắt H Chứng minh Δ HIK cân Bài toán 50 Cho Δ ABC cân A Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC cho MB < MC Lấy ^ B> A O C điểm O trên đoạn thẳng AM Chứng minh A O Bài toán 51 Cho xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy các điểm A và B cho OA + OB = 2a Xác định vị trí A và B AB đạt Bài toán 52 Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M và N Trên cùng nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB cho góc đỉnh O 45 ❑0 Tìm vị trí O để AB Tính độ dài nhỏ đó Bài toán 53 Cho Δ ABC cân A có A = 100 ❑0 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài toán 54 Cho Δ ABC vuông có AC = 3AB Trên AC lấy các điểm D và E cho AD = DE = EC Chứng minh AEB + ACB = 45 ❑0 Bài toán 55 Cho tam giác ABC cân A, Â = 30 ❑0 , BC = 2cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 60 ❑0 Tính độ dài AD Bài toán 56 Cho tam giác ABC cân A, B = 75 ❑0 Kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh CH = AB Bài toán 57 Cho tam giác ABC vuông cân B và tồn điểm M nằm tam giác cho MA : MB : MC = : : Tính A M B Bài toán 58 Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a2 + b2 > 5c2 thì c là cạnh nhỏ Bài toán 59 Cho tam giác ABC cân A Trên trung tuyến BD lấy E cho cho DAE = ABD Chứng minh rằng: D A E=E C B (4) Bài toán 60 Cho Δ ABC có BAC = 40 ❑0 , ABC = 60 ❑0 Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AC và AB cho CBD = 40 ❑0 ; BCE = 70 ❑0 Giả sử BD cắt CE F Chứng minh rằng: AF BC Bài toán 61 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM hai điểm P và Q Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN O Chứng minh QO BC Bài toán 62 Cho Δ ABC Trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt I thỏa mãn IB = IC Từ A kẻ AH BC Chứng minh IM = IH Bài toán 63 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M là trung điểm BC, G là điểm trên cạnh AB cho GB = 2GA Các đường thẳng GM và CA cắt D Đường thẳng qua M vuông góc với CG E và cắt AC K Gọi P là giao điểm DE và GK Chứng minh rằng: a DE = BC b PG = PE Bài toán 64 Cho tam giác ABC vuông cân A Giả sử D là điểm nằm bên tam giác cho tam giác ABD cân và ADB = 150o Trên nửa mặt phẳng không chứa D có bờ là đường thẳng AC lấy điểm E cho tam giác ACE Chứng minh điểm B, D, E thẳng hàng Bài toán 65 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt J thỏa mãn điều kiện JB = JC Từ A kẻ AH vuông góc với cạnh BC Chứng minh JM = JH Bài toán 66 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, và AM = √ cm a Tính số đo góc BAC b Tính BC c Tính diện tích tam giác ABC Bài toán 67 Cho tam giác ABC có góc BAC 105o, đường phân giacstrong CD và đường trung tuyến BM cắt K thỏa mãn KB = KC Gọi H là chân đường cao hạ từ A tam giác ABC a Chứng minh HA = HB b Tính góc ABC và góc ACB.’ Bài toán 68 Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD = 2BD So sánh số đo hai góc BAC và CAD Bài toán 69 Gọi P là trung điểm cạnh BC tam giác ABC và BE, CF là hai đường cao Đường thẳng qua A, vuông góc với PE, cắt đường thẳng BE N Gọi K và G là trung điểm BM và CN Gọi H là giao điểm đường thẳng KF là GE CMR: AH EF Bài toán 70 Cho Δ DEF vuông D, có EK là phân giác Kẻ KM EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE I Chứng minh: a/ DK = KM ; DE = EM b/ EK IF DK c/ Nếu cho M là trung điểm EF Chứng minh: KF = Hết - (5)