Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy häc gãp phÇn h×nh thµnh vµ vµ p[r]
(1)Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS môc lôc a më ®Çu 1/ Lí chọn đề tài 2/ Mục đích nghiên cứu đề tài 3/ Ph¹m vi nghiªn cøu 4/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu b Nội dung đề tài 1/ C¬ së lý luËn 2/ T×nh h×nh thùc tiÔn 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh 3.1 Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ 3.2 Ph¬ng ph¸p chung 3.3 ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n a Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa b Phơng pháp đa pt chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối c Phơng pháp đặt ẩn phụ d Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch e Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh g Phơng pháp bất đẳng thức h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số i Ph¬ng ph¸p sö dông dÊu “ = ” ë B§Tkh«ng chÆt k Mét sè PP kh¸c 4/ KÕt qu¶ c kÕt luËn d - tµi liÖu tham kh¶o Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 10 Trang 13 Trang 16 Trang 18 Trang 20 Trang 21 Trang 23 Trang 24 Trang 26 Trang 27 a më ®Çu Lí chọn đề tài : To¸n häc lµ m«n häc cã øng dông hÇu hÕt tÊt c¶ c¸c ngµnh khoa học tự nhiên nh các lĩnh vực khác đời sống xã hội Vì toán học có vị trí đặc biệt việc phát triển và nâng cao dân trÝ To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh (ngêi häc )nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n,nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt mµ cßn lµ ®iÒu kiÖn chñ yÕu rÌn luyÖn kÜ n¨ng t logic,mét ph¬ng ph¸p luËn khoa häc Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy häc gãp phÇn h×nh thµnh vµ vµ ph¸t triÓn t cña häc sinh §ång thêi th«ng qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện phẩm chất đạo đức, các thao tác t để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ Hiện từ lớp học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R Trong đó giáo viên dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (2) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh gặp bài toán giải phơng trình vô tỉ là lúng túng cha biết cách giải giải đợc nhng cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm tìm tập xác định, nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ngoài dấu giá trị tuyệt đối V× vËy ph¸t triÓn n¨ng lùc t cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày phần nhỏ để khắc phục t×nh tr¹ng trªn vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng häc m«n to¸n cña häc sinh ë trêng THCS Mục đích nghiên cứu đề tài - Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh»m n©ng cao lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ - Gây đợc hứng thú cho học sinh làm bài tập SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc số bài tập - Giải đáp đợc thắc mắc, sữa chữa đợc sai lầm hay gặp giải phơng trình vô tỉ quá trình dạy học - Gióp häc sinh n¾m v÷ng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ ¸p dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích viÖc häc to¸n vµ häc tèt h¬n c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ §ång thêi gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc Ph¹m vi nghiªn cøu- §èi tîng nghiªn cøu : Ph¸t triÓn n¨ng lùc, t cña häc sinh th«ng qua c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng trình vô tỉ học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối các giê luyÖn tËp ,«n tËp cuèi k× ,cuèi n¨m vµ cho c¸c k× thi ë trêng ,thi vµo cÊp C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ tiÕn hµnh : 4.1 Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : Tham kh¶o thu thËp tµi liÖu Ph©n tÝch,tæng kÕt kinh nghiÖm KiÓm tra kÕt qu¶ chÊt lîng häc sinh 4.2.Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh : Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (3) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS Th«ng qua c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ®a ph¬ng ph¸p gi¶i vµ kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay gÆp , c¸c d¹ng bµi tËp tù gi¶i b- nội dung đề tài 1/ C¬ së lý luËn: Trong đề tài đợc đa số phơng trình vô tỉ phù hợp với trình độ cña häc sinh THCS Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ¸p dông để làm bài tập Rót mét sè chó ý lµm tõngph¬ng ph¸p Chän läc mét sè bµi tËp hay gÆp phï hîp cho tõng ph¬ng ph¸p gi¶i , c¸ch biến đổi Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ Tôi hi vọng đề tài này giúp ích cho học sinh trờng THCS việc học và giải phơng trình vô tỉ Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải bài toán sai còn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiểm tra 2/ T×nh h×nh thùc tÕ 2.1 KÕt qu¶: Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh sau: §iÓm díi SL % 20 50% SL 14 §iÓm - % 35% §iÓm - §iÓm - 10 SL % SL % 12,5% 2,5% 2.2 Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn: Đây là dạng toán tơng đối lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i , nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu kh«ng có lối thoát dẫn đến kết thấp và đặc biệt học sinh trung bình các em cµng khã gi¶i quyÕt Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (4) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh 3.1 Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ 3.1.1 Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn dÊu c¨n 3.1.2 C¸c vÝ dô : a) √ x −1=1 b) √ x +7 − √ x +1=2 c) x − x +3 ❑√ x2 − x +1 =3 d) ¿ 3 x √ x −1 √ x − − =4 √3 x −1 √3 x+ ¿ 2.Ph¬ng ph¸p chung : §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh - Biến đổi đa phơng trình dạng đã học - Giải phơng trình vừa tìm đợc - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm 3.3 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n: a Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ): a.1 C¸c vÝ dô : * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )=g(x ) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+1=x −1 (1) §KX§ : x+1 ⇔ x -1 Víi x -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm thì x-1 ⇒ x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1)2 ⇔ x2 -3x= ⇔ x(x-3) = ¿ x=0 x=3 ¿{ ¿ ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (5) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS VÝ dô 2: §KX§ : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ √ x −1=13 ¿ (1) ⇔ √ x − 1=13 − x ¿ ¿ x≥1 ⇔ x ≤ 13 ⇔ ¿{ ¿ ¿ x − 1≥ 13 − x ≥ ¿{ ¿ x ≤ 13 (2) Bình phơng hai vế (1) ta đợc : 13 − x ¿ x −1=¿ ⇔ x − 27 x+170=0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x 1=10 vµ x 2=17 ChØ cã x 1=10 tho· m·n (2) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=10 * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )+ √ h( x)=g (x) Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 1− x − √ 2+ x=1 (1) ⇔ √ 1− x=1+ √ 2+ x VÝ dô 3: 1− x ≥ 2+ x ≥0 §KX§: x≤1 x ≥ −2 ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤1 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc : 1− x=1+2 √2+ x +2+ x ⇔ x + x −1=0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x= −1− √ tho· m·n (2) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= −1− √ VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + √3 − x=2 Lập phơng trình hai vế (1) ta đợc: (1) x+ 1+7 − x+ √ (x+1)(7 − x ) 2=8 ⇔ (x-1) (7- x) = x =-1 ⇔ x =7 (đều thoả mãn (1 )) VËy x=−1 ; x=7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (6) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : VÝ dô5: ⇔ √ f ( x )+ √ h( x)=¿ √ g (x) Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+1 - √ x −7 = √ 12− x √ x+1 = √ 12− x + √ x −7 (1) §KX§: ¿ x+ 1≥ 12− x ≥ x −7 ≥ ⇔ ¿ x ≥ −1 x ≤ 12 x ≥7 ⇔ ≤ x ≤12 ¿{{ ¿ Bình phơng hai vế ta đợc: x- = √(12 − x)(x −7) (3) Ta thấy hai vế phơng trình (3) thoã mãn (2) vì bình phơng vế phơng trình (3) ta đợc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5x2 - 84x + 352 = Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x1 = 44 VËy x1 = 44 và x2 = thoả mãn (2) vµ x2 = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : √ f (x )+ √ h( x)=¿ √ g (x) + √ q(x ) VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+1 + √ x+10 = √ x+2 + √ x+5 (1) §KX§ : ¿ x+ 1≥ x+ 10≥ x+ 2≥ x+5 ≥ ¿{ { { ¿ ¿ x ≥ −1 x ≥ −10 x ≥ −2 x ≥ −5 ¿{{{ ¿ x ≥ -1 (2) Bình phơng hai vế (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + √ (x +1)( x +10) = x+2 + x+ + √( x +2)( x+5) (3) ⇔ 2+ √( x +1)( x +10) = √ (x +2)( x+5) Víi x -1 thì hai vế (3) dơng nên bình phơng hai vế (3) ta đợc √( x +1)( x +10) = 1- x §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x -1 (4) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (7) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4) ¿ x ≥ −1 x ≤ −1 ¿{ ¿ x = lµ nghiÖm nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1) a.2 NhËn xÐt : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải số dạng phơng tr×nh v« tØ quen thuéc, song qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phơng trình đó là vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phơng ph¸p nµy Ngoµi cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi a.3 Bµi tËp ¸p dông: √ x2 − = x- 2 = x+ √ 1+ x √ x + √ 1− √ x + √ 4+ x =3 √3 x+ 45 - √3 x −16 =1 √ 1− x = √ − x - √ −( x +5) 3 √ x −1 + √ x −2 = x √ x + √ x+ y = √ x −1 + √ x+ b Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : b.1 C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 −24 x +16=− x +4 (1) ¿ x −24 x+16 ≥ −x+4≥ ¿{ ¿ §KX§: Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ ⇔ x − ¿2 ≥ ∀ x ¿ x≤4 ¿ ¿ ¿ x≤4 |3 x − 4| = -x + Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (8) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔ ¿ x − 4=− x +4 x −4=x − ¿{ ¿ ¿ x=2 x=0 ¿{ ¿ Với x= x = là nghiệm phơng trình (đều thoả mãn x VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh : ) √ x2 − x=4 + √ x2 −8 x +16 = ¿ ∀x∉ R ¿ |x − 2| + |x − 4| = §KX§: Phơng trình tơng đơng : LËp b¶ng xÐt dÊu : x x- + + x- + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < ta cã (2) ⇔ 6-2x =5 2) ⇔ x = 0,5(tho¶ m·n x + Khi x ta cã (2) ⇔ 0x + =5 v« nghiÖm + Khi x > ta cã (2) ⇔ 2x – =5 ⇔ x =5,5 (tho¶ m·n x > ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x − √ x −1+3 + √ x −6 √ x − 1+ = §KX§: x Phơng trình đợc viết lại là : √( x − 1)− √ x −1+ + √ x −1 −2 ¿2 ¿ √¿ ( x 1) x = + √ x −1 −3 ¿2 ¿ =1 √¿ ⇔ |√ x −1 −2| + |√ x −1 −3| =1 (1) - NÕu x < ta cã (1) ⇔ 2- √ x −1 + - √ x −1 = ⇔ √ x −1 =2 ⇔ x= kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt - NÕu x 10 th× (1) ⇔ 0x = Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm - NÕu x> 10 th× (1) ⇔ -5 = ph¬ng trinh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : x 10 b.2 NhËn xÐt : Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (9) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song thùc tÕ cÇn lu ý cho häc sinh : -áp dụng đẳng thức √ A = | A| - Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm b.3 Bµi tËp ¸p dông : √ x2 −6 x +9 + √ x2 +10 x+ 25 = √ x2 +2 x+1 + √ x2 − x+ = √ x2 + x+ √ x+3+ √ x − + √ x+8 − √ x −1 = √ x+3+3 √2 x −5 + √ x −2 − √2 x −5 = √ 2 c.Phơng pháp đặt ẩn phụ: c C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 + 3x + √ x +3 x+ =33 §KX§ : ∀ x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + √ x +3 x+ - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chú ý học sinh thờng mắc sai lầm không đặt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta đợc phơng trình : y2 + y – 42 = ⇒ y1 = , y2 = -7 Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> Từ đó ta có √ x +3 x+ =6 ⇔ 2x2 + 3x -27 = Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - Cả hai nghiệm này chính là nghiệm phơng trình đã cho VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x + √4 x = 12 §KX§ : x o §Æt √4 x = y ⇒ √ x = y2 ta cã ph¬ng tr×nh míi y2 + y -12 = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ y= vµ y = - (lo¹i) √4 x = ⇒ x = 81 là nghiệm phơng trình đã cho VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + √ 3− x - √(x +1)( 3− x) = (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (10) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS §KX§ : ¿ x +1 ≥ 3−x≥0 ¿{ ¿ ¿ x ≥ −1 x≤3 ¿{ ¿ §Æt √ x+1 + √ 3− x = t ⇒ √( x +1)( 3− x) = t −4 -1 ≤ x ≤ ⇒ t2 = + √( x +1)( 3− x) (2) thay vào (2) ta đợc t2 – 2t = ⇔ t(t-2) = t=0 ¿ t=2 ¿ ¿ ¿ ¿ + Víi t = ph¬ng tr×nh v« nghiÖm +Víi t = thay vµo (2) ta cã : √( x +1)( 3− x) = ⇒ x1 = -1; x2 = (tho¶ m·n) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x3 +1 = 2( x2 + 2) Ta cã √ x3 +1 = √ x+1 √ x2 − x +1 §Æt √ x+1 = a ; √ x2 − x +1 = b vµ a2 + b2 = x2 + Phơng trình đã cho đợc viết là 5ab = 2(a2 + b2) ⇔ (2a- b)( a -2b) = a −b=0 ¿ a −2 b=0 ¿ ¿ ¿ ¿ + Trêng hîp: 2a = b ⇔ √ x+1 = √ x2 − x +1 ⇔ 4x + = x2 – x +1 ⇔ x2 – 5x -3 = Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = − √37 ; x2 = 5+ √ 37 + Trêng hîp: a = 2b ⇔ √ x+1 = 2 √ x2 − x +1 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (11) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔ x+ = 4x2 -4x + = ⇔ 4x2 -5x + = ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 5+ √ 37 và x= − √ 37 2 √ 1− x VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + (x+1) = x- + √ 1− x + (1) §Æt √ x+1 = u vµ √ 1− x = t §KX§: -1 x th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh u + 2u2 = -t2 + t +3ut ⇔ (u –t ) + u(u-t) + (u-t) = ⇔ (u-t)(2u – t +1 ) = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1 VÝ dô 6: ¿ u=t 2u+ 1=t ¿{ ¿ x ⇔ ¿ x+ 1= √ √ 1− x √ x +1+1=√ − x ¿{ ¿ ¿ x=0 24 x=− 25 ¿{ ¿ là nghiệm phơng trình đã cho Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −2 √ x −1 + ❑√ x+2 √ x −1 = x +3 §KX§ : x §Æt √ x −1 = t ⇒ x = t2 + phơng trình đã cho trở thành t+1 ¿2 t −1 ¿2 + ¿ ¿ √¿ √¿ ⇔ ⇔ = t +4 2 |t+ 1| + |t − 1| = t +4 ¿ t − t+ 4=0 t 2=0 ¿{ ¿ (t 1) ¿ t=2 t=0 ¿{ ¿ ¿ x=5 x=1 ¿{ ¿ §kX§: x≥ Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= c.2 NhËn xÐt : Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (12) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ Song để vận dụng phơng pháp này phải có nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng giải cách đặt ẩn nh nào cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3 Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – + √ x2 −6 = 2/ x √ x - 2x √3 x = 20 √3 x2 - √3 x =20 4/ √ x3 +8 = 2x2 – 6x +4 3/ 5/ √ x+6 √ x − + √ x −6 √ x − = x +23 d Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : d.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+10 x +21 = √ x+3 + √ x+7 - (1) §KX§ : x -3 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : √( x +3)(x+7) - √ x+3 + √ x+7 +6 = ⇔ √ x+3 ( √ x+7 − 3¿ -2( √ x+7 − 3¿ ) =3 ⇔ ( √ x+7 − 3¿ ( √ x+3 − ) =0 ¿ ⇔ √ x+7 − 3=0 √ x+3 − 2=0 ¿{ ¿ ¿ x +7=9 x+ 3=4 ¿{ ¿ ¿ x=2 x=1 ¿{ ¿ §KX§ Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √3 1− x + √ x+2 =1 §KX§ : x -2 §Æt √ x+2 = t Khi dã √3 1− x = Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ √3 3− t + t = ⇔ √3 3− t2 = 1- t ⇔ √3 3− t2 3- t3 = (1-t) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (13) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ⇔ t3 - 4t2 + 3t + =0 ⇔ (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= + √ là nghiệm phơng trình (1) VÝ dô3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (4x-1) ❑√ x2 +1 = 2(x2 + 1) + 2x - (1) §Æt ❑√ x2 +1 =y ; y (1) ⇔ (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 ⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= ⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = ⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) = Giải phơng trình này ta tìm đợc x = ; x = là nghiệm phơng trình (1) VÝ dô4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( √ 1+ x −1 )( √ 1− x +1 ) = 2x §KX§: -1 x (1) đặt √ 1+ x = u (0 u √2 ) suy x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : (u -1 ) ( √ 2− u2+ 1¿ = ( u2 -1) ⇔ (u -1 ){ ( ⇔ (+) (+) ⇔ √ 2− u2+ 1¿ - (u+1)} = (u-1) ( √ 2− u2 − 2u −1 ¿ = u −1=0 ¿ 2− u − 2u −1=0 √ ¿ ¿ ¿ ¿ u-1 = ⇒ u =1 ( tho¶ m·n u ) suy x = tho¶ m·n (1) √ 2− u2 − 2u −1 = ⇔ √ 2− u2 = 2u + ¿ u+1 ≥0 2− u2=(2u+ 1) ¿{ ¿ (tho¶ m·n v× u 0) 5u2 + 4u - = Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (14) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ u1=− 1< 0(loai) u2= ¿{ ¿ nªn cã x = u22 -1 = ( )2 – = − 24 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) 25 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = và x = − 24 25 d.2.NhËn xÐt : Khi sử dụng phơng pháp đa phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau + Tìm tập xác định phơng trình + Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình dạng f(x) g(x) ….= (gọi là phơng trình tích) Từ đó ta suy f(x) = ; g( x) = ; … là ph ơng tr×nh quen thuéc + NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = g( x) = ;… thuộc tập xác định + BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm các số hạng,tách các số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đa phơng trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải d.3.Bµi tËp ¸p dông: √ x3 −7 x − = √ x2 − x − - √ x2 − x +2 = √ x −1 x(x+5) = √3 x2 +5 x − 2− 2( x2 + 2x + 3) = √ x3 +3 x 2+ x +2 e Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 25− x - √ 15− x2 =2 §KX§: x2 15 §Æt: √ 25− x = a (a 0) (* ) √ 15− x2 = b ( b 0) ( ** ) Từ phơng trình đã cho chuyển hệ phơng trình : Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (15) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ ¿ a −b=2 (a − b)(a+b)=2(a+b) a+b ≠ ¿{{ ¿ ¿ a −b=2 a+b=5 ¿{ ¿ Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 = 49 ±√ 51 ( §kX§ ) VÝ dô 2: b= ¿{ ¿ a= ⇔ x2 = 51 ⇒ x= Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = ± √ 51 (5 − x) √ − x+( x −3) √ x − √ − x+ √ x −3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: §KX§ : §Æt x =2 (1) ¿ 5− x=u(u ≥ 0) √ √ x − 3=t (t ≥0) ¿{ ¿ Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ u2+ t 2=2 u2 − ut + t 2=2 ¿{ ¿ VÝ dô3: ut = ¿ u=0 t=0 ¿{ ¿ ¿ x=3 x=5 (thâa m·n ®iÒu kiÖn ) ¿{ ¿ VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= Gi¶i ph¬ng tr×nh: √3 2− x + √ x −1 = §KX§: x §Æt ¿ √ 2− x=u √ x −1=t(t ≥ 0) ¿{ ¿ Khi đó ta có u3 = – x ; t2 = x- nên u3 + t3 = Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (16) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ u+t=1(1) u3 +t 3=1(2) ¿{ ¿ Phơng trình đã cho đợc đa hệ: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ⇒ u = – t Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã : ( – t )3 + t2 = ⇔ t( t2 - 4t + = ⇔ ¿ t=0 t − t + 3=0 ¿{ ¿ t=0 t=1 t=3 ¿ no ¿{ ¿{ ¿ Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x đã cho VÝ dô 4: x+ 1¿ ¿ √¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh: + §Æt: √3 x+1 = a ; a = x+ 1¿2 ¿ √¿ b = x −1 ¿ ¿ √ ¿ ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x −1 ¿ ¿ √¿ + √3 x2 −1 = √3 x −1 = b nªn ta cã: 2 ab = √3 x2 −1 Ta đợc phơng trình : a2 + b + ab = ( 1) ¿ a3=x +1 b3 =x −1 ¿{ ¿ Ta đợc phơng trình : a3 – b3 = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ a2 +b 2+ ab=1 a3 − b3 =2 ¿{ ¿ Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (17) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy a –b = ⇒ b = a – Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = ⇒ a =1 Từ đó ta đợc x = VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = e.2.NhËn xÐt : Qua vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi Ta cần chú ýmột số điểm sau: + T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh + Biến đổi phơng trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình việc giải hệ phơng trình quen thuéc Ngoµi ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng đẳng thức e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1 + x √2 − x =2 2 √3 x −1 = x3+ √3 1− x + √3 1+ x =1 √3 x −1 + √3 x −21 = √3 x −3 √ − √ 4+ x = x g Phơng pháp bất đẳng thức : g.1 Phơng pháp chứng tỏ tập giá trị hai vế là rời , đó phơng tr×nh v« nghiÖm g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1 - √ x −1 = √ x −2 (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (18) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS ¿ x −1 ≥ x −1 ≥ x −2 ≥ ¿{{ ¿ §KX§: ¿ x ≥1 x≥ x≥ ¿{{ ¿ Víi x thì x < 5x đó √ x −1 < √ x −1 Suy vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 −6 x +11 + √ x2 −6 x +13 + √4 x2 − x+5 = + √ x − 3¿ 2+ + ¿ √¿ ⇔ Mµ x − 3¿ 2+ + ¿ √¿ x − 3¿ 2+ ¿ √¿ x − 3¿ 2+ ¿ √¿ + x − 2¿ 2+1 ¿ √ ¿ = + √2 (*) x − 2¿ +1 ¿ √¿ + √2 + √4 + = + √2 ⇒ Vế phải phơng trình đã cho lớn vế trái Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: ❑√ x −1 - ❑√ x+1 = 2 √ x2 +6 = x - √ x2 −1 ❑√ − x + ❑√ x+2 = x2 - 6x +13 g.2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế : g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x +6 x +7 + (1) Ta cã vÕ tr¸i cña (1) √ x +10 x+14 = – 2x – x2 √ x +6 x +7 + √ x +10 x+14 = x+ 1¿ + 3¿ √¿ + √ 5(x+ 1)+9 √4 + √9 =5 VÕ ph¶i cña (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2 Vậy hai vế x = -1 Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (19) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x − + √ − x = x2 -10x + 27 (1) §KX§: x XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) ( √ x − − √ − x )2 x−1 ¿ −4 ¿2 √ ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ =1 hay √ x − + √ − x V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ : ¿ x −10 x+27=2(∗) √ x − 4+ √ − x =2(**) ¿{ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**) VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) g.2.2 Bµi tËp ¸p dông : √ x −12 x +16 + √ y − y +13 = √ x +6 x +12 + √ x −10 x+9 = 3-4x -2x2 x −3 x +3,5 = √ (x − x +2)(x − x +4) h Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : h.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √3 x −2 + √ x+1 = (1) §KX§: x Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phơng trình (1) Víi x > th× √3 x −2 > , √ x+1 > nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n Víi x< vµ x -1 ⇔ -1 x th× √3 x −2 < 1, √ x+1 < nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n VËy x= lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √5 x2 +28 + √3 x2 +23 + √ x −1 + √ x = √ + (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (20) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS §KX§: ¿ x −1 ≥ x≥0 ⇔ x≥1 ¿{ ¿ Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm chúng Rồi tìm cách chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c h.3.Bµi tËp ¸p dông : √3 x2 +26 + √ x + √ x+3 = 2 2 2 x + x 3x = √ x +2 x +3 + √ x − x +1 i Phơng pháp sử dụng điều kiện xảy dấu “ =” bất đẳng thức không chặt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −2 + √ y+ 1995 + √ z −1996 = (x+y+z) §KX§ : x 2; y -1995; z 1996 Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x+y+z = √ x −2 + √ y+ 1995 + √ z −1996 √ x −2 −1 ¿2 + √ y+ 1995− 1¿ + √ z −1996 − 1¿2 = ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ x=3 y=− 1994 z=1997 ¿{{ ¿ √ x −2=1 √ y +1995=1 √ z −1996=1 ¿{{ ¿ Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 ⇔ x+ 1¿ + 3¿ √¿ ¿ ( tho· m·n §KX§ ) √ x +6 x +7 + √ x +10 x+14 = – 2x – + x+ 1¿ + 5¿ √¿ = – (x+1)2 (*) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (21) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS VÕ tr¸i cña (*) x+ 1¿2 + 3¿ √¿ x+ 1¿2 + 5¿ √¿ + 2+3=5 VÕ ph¶i cña (*) – (x+1)2 V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm vµ chØ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) b»ng vµ b»ng ⇔ x+ = ⇔ x = -1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =-1 VÝ dô3: x √ x −1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + √ x −1 =2 (1) x §KX§: x> áp dụng bất đẳng thức a + b víi a,b > b a x¶y dÊu “=” vµ chØ a =b DÊu “=” cña (1) x¶y x= √ x −1 ⇔ x2 - 4x +1 = (do x> ) Giải phơng trình này ta tìm đợc x= 2± √ (thoả mãn ĐKXĐ) VËy x= 2± √ lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh i.2 NhËn xÐt : Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý c¸c bíc sau : + Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a (a lµ h»ng sè ) Nghiệm phơng trình là các giá trị x thoả mãn đồng thời f(x) =a vµ g(x) = a + Biến đổi phơng trình dạng h(x) = m (m là số ) mà ta luôn có h(x) m hoÆc h (x) m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu đẳng thức xảy + áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki i.3 Bµi tËp ¸p dông: √ x − x+12 = - √4 x −12 x +13 √ x −2 + √ 10− x = x2 -12x + 40 19√ x −1 + 5√ x −1 + 95√ x − x+2 = 4 x −6 x+ 15 = x −6 x +11 √ x2 −6 x +18 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (22) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS k Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c : k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 + √ x+1 − √ − x − √ 18− x =9 (1) Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = √ x −1 + √ x+1 − √ − x − √ 18− x =9 trên tập xác định [ 1; ] ta có: y, = 1 + + + √ x+1 √ x − √ − x √ 18− x Do hàm số y liên tục và đồng biến trên > víi mäi x − =2 x x −2 nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ √ x ¿ √ x= y , y ≥ hay √ x − √ Suy y = vµ √ 3=z ¿{ ¿ ymax = + [ ( y − z )( y + z ) ]2 + ( y − z )2 víi mäi x [ 1; ] §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y ∀ y , z √ ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng x¶y v× y = < vµ ymax = + √ x −2 < Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn giá trị x √ x −1 để y(xi) = k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè: VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 +1 = √ x2 +7 x +7 (1) Ta cã: (1) ¿ 2− √ x=a √ x −1=b ¿{ ¿ ¿ a+b=1(2) a3 +b 2=1(3) b≥ (4) ¿{{ ¿ Đặt y = √ 2< x< √ hàm số có đạo hàm y, = x nên đơn điệu tăng và liên tục R √ 2− x2= y √ 2− x2 víi mäi Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (23) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS y = y=1 ¿ y=− loai ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x 2+ y =2 1 + =2 cã hµm ngîc y = x y ¿{ ¿ x= √ x2 +7 x +7 (v× y = √ x2 +7 x +7 √ x2 +7 x +7 ) Do đó nghiệm phơng trình là x +1 =√3 x −1 là nghiệm phơng ¿ √ 2− x=a √ x −1=b ¿{ ¿ tr×nh √3 2− x+ √ x − 1=1 = x x3 -2x + = x = hoÆc x = ¿ a+b=1(2) a3 +b 2=1(3) b≥ (4) ¿{{ ¿ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= vµ x = a=0 ⇒b=1⇒ x=2 ¿ a=1⇒ b=3⇒ x=10 ¿ a=−2 ⇒b=0 ⇒ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ k.3 NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (24) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m cách đa phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS Ch¼ng h¹n nh vÝ dô ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau: 1 =2 x3 + = x + √2 − x §Æt t = √ 2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + = 3t 2x -1 = t3 x3 – t3 + (x-t) = x1 =1 ; x2,3 = √ 4/ KÕt qu¶ 4.1/ NhËn xÐt: Trªn ®©y t«i giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tỉ, kết thu đợc rõ ràng đã có thể vận nhiều dạng toán, và ứng dụng c¸c bµi to¸n nµy kh«ng ph¶i lµ Ýt NÕu nh rÌn luyÖn cho häc sinh d¹ng to¸n nµy thì chúng ta đã trang bị cho các em lợng kiến thức không phải là nhỏ Trong chơng trình toán phổ thông chúng ta còn nhiều phơng pháp Trên đây tôi chØ tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dông ch¬ng tr×nh trung häc c¬ së Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tợng nào tiếp thu cách dÔ dµng, v× vËy gi¸o viªn ph¶i khÐo lÐo lång vµo c¸c tiÕt d¹y nh»m thu hót vµ phát huy sáng tạo cho học sinh Đây là vấn đề hoàn toàn mẻ và hết søc khã kh¨n cho häc sinh ë møc trung b×nh, gi¸o viªn nªn cho c¸c em lµm quen dÇn D¹ng to¸n nµy cã t¸c dông t¬ng hç, cao dÇn tõ nh÷ng kiÕn thøc rÊt c¬ b¶n s¸ch gi¸o khoa, gióp häc sinh kh¾c s©u kiÕn thøc biÕt t s¸ng t¹o, biÕt tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” các vấn đề 4.2 Kết sau áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài tôi thấy chất lợng qua kiểm tra đã đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt §iÓm díi §iÓm - §iÓm - §iÓm - 10 SL % SL % SL % SL % 12,5% 20 50% 10 25% 12,5% Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (25) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS c- kÕt luËn : Trên đây là số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế trờng THCS cho học sinh đại trà nh quá trình ôn luyện , bồi dỡng học sinh giỏi Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu đợc kÕt qu¶ sau : + Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dÔ hiÓu h¬n, høng thó tÝch cùc häc tËp vµ yªu thÝch bé m«n to¸n + Học sinh tránh đợc sai sót bản, và có kĩ vận dụng thành thạo nh phát huy đợc tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn , đòi hỏi ngời giáo viên cần hÖ thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò đến kiến thức từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Ngời thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải toán đúng đắn Làm đợc nh là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhµ trêng Trong đề tài này chắn không tránh khỏi hạn chế định Vậy tôi mong đợc giúp đỡ nh góp ý các thầy ,cô giáo cho tôi để tôi rút kinh nghiệm quá trình giảng dạy năm học sau Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận đợc giúp đỡ các đồng nghiệp ,các thầy cô giáo tổ toán trờng ĐHSP Hà Nội I ,đặc biệt là giúp đỡ tận tình thầy giáo Lê Anh Dũng trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Ngêi thùc hiÖn: Ph¹m §×nh S¬n D tµi liÖu tham kh¶o - SGK To¸n 7-Nhµ xuÊt b¶n GD 2003 SGK §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 To¸n båi dìng §¹i sè - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (26) Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng phæ th«ng cÊp THCS - Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 §Ó häc tèt §¹i sè - Nhµ xuÊt b¶n GD 1999 Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000 Những đề thi và tài liệu khác có liên quan Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa (27)