Đang tải... (xem toàn văn)
Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt.. Suy ra 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I là trung điểm củ[r]
(1)Trường THPT Hậu lộc đề thi thử đại học lần thứ I m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 Thêi gian: 180 phót I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh C©u I (Khèi A;B:2 ®iÓm, khèi D:3®iÓm) Cho hàm số y = x ,đồ thị là đường cong (C) x -1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn C©u II (2 ®iÓm) ìx2 + y2 + x + y = Giaûi heä phöông trình : í î x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình : sin x 3p - cos x = + cos ( x - ) p C©u III (1 ®iÓm) Tính tích phân: I = ò tan x.ln(cos x) dx cos x C©u IV (1 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo x C©u V (1 ®iĨm) Chøng minh r»ng nÕu £ y £ x £ thì x y - y x £ Đẳng thức xảy nào? II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ lµm mét hai phÇn A hoÆc B A Theo chương trình chuẩn C©u VIa (3 ®iÓm) Cho đường tròn (T): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = và đường thẳng d: x + y - = Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A Î d ìx = 1- t ìx = t ï ï Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : í y = 2t và d : í y = + 3t Lập phương ï z = -2 + t ïz = 1- t î î trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung d1 và d2 n T×m phÇn thùc cña sè phøc z = (1 + i ) cho log ( n - ) + log ( n + ) = B Theo chương trình nâng cao (3 điểm) ( n Î ¥* ) C©u VIb (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 = 13 và (C2):(x 6)2 + y2 = 25cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng: x - y -1 z + x-2 y+3 z = = ; d2 : = = -1 -2 Trong tất các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhÊt Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c nhau? TÝnh tæng cña tÊt c¶ các số tự nhiên đó www.laisac.page.tl d1 : (2) Chó ý: ThÝ sinh thi khèi D kh«ng ph¶i lµm c©u V Trường THPT Hậu lộc Đáp án đề thi thử đại học lần thứ I m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 Thêi gian: 180 phót C©u I (2.0đ) §iÓm NỘI DUNG TXĐ : D = R\{1} 0.25 Chiều biến thiên lim f ( x) = lim f ( x) = nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x ®+¥ x ®-¥ lim f ( x ) = +¥, lim- = -¥ nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x ®1+ x ®1 <0 y’ = ( x - 1) 0.25 Bảng biến thiên x ¥ y' +¥ y (1.0đ) +¥ ¥ Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) và (1; +¥) Hàm số không có cực trị c.§å thÞ: Đồ thị nhận điểm I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0.25 y I O x 0.25 (1.0đ) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn x Phương trình tiếp tuyến d cña (C) M có dạng : y = ( x - x0 ) + ( x0 - 1) x0 - 1 x02 Ûx- y+ =0 ( x0 - 1)2 ( x0 - 1)2 0.25 (3) x0 - Ta có d(I ;d) = 1+ Xét hàm số f(t) = ( x0 - 1) 2t 1+ t4 (t > 0) ta có f’(t) = 2(1 - t )(1 + t )(1 + t ) (1 + t ) + t 0.25 f’(t) = t = Bảng biến thiên x f’(x) f(x) + +¥ Từ bảng biến thiên ta cã d(I ;d) lớn và t = hay é x0 = x0 - = Û ê ë x0 = + Với x0 = ta có tiếp tuyến d cã pt là y = x + Với x0 = ta có tiếp tuyến d cã pt là y = x+4 II (2,0®) (1,0®) 0.25 0.25 ìx + y + x + y = Giaûi heä phöông trình : (I) í î x( x + y + 1) + y ( y + 1) = ìï x2 + y + x + y = (I) Û í 2 ïî x + y + x + y + xy = Þ xy = -2 §Æt S = x + y; P = xy(S2 ³ 4P) Þ S2 = x + y + 2xy Þ x + y = S2 - 2P ì P = -2 ìïS2 - 2P + S = ï Vaäy ( I ) Û í Û íéS = ï ê S = -1 îïS - P + S = îë 0,5 ìx + y = vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X + 0X - = TH1 : í xy = î ìïx = ìïx = - Vaäy heä coù nghieäm í hay í ïîx = - ïîy = ì x + y = -1 vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình X + X - = TH : í î xy = -2 ìx = ì x = -2 Þ X = 1hay X = -2 Vaäy heä coù nghieäm í V í î y = -2 îy = ìïx = ìïx = - ìx = ì x = -2 Toùm laïi heä Pt (I) coù nghieäm í V í V í V í î y = -2 îy = ïîy = - ïîy = 0,5 (4) (1,0®) Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình : x 3p 4sin - cos x = + cos ( x - ) (1) 3p ö æ (1) Û (1 - cos x ) - cos 2x = + + cos ç 2x - ÷ ø è (1) Û - cos x - cos 2x = - sin 2x (1) Û -2 cos x = cos 2x - sin 2x Chia hai veá cho 2: (1) Û - cos x = pö æ cos 2x - sin 2x Û cos ç 2x + ÷ = cos ( p - x ) 2 6ø è 5p 2p 7p +k a ) hoÆc x = + h2p ( b ) ( 18 Do x Î ( 0, p ) neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn Ûx= h = Do đó pt(1) có ba nghiệm x thuộc ( 0, p ) là: x1 = III (1,0®) 0,5 5p 17p 5p , x2 = , x3 = 18 18 0,5 p (1,0®) Tính tích phân: I = ò tan x.ln(cos x) dx cos x Đặt t=cosx dt=sinxdx , đổi cận: x=0 thì t=1 , x = p thì t = 2 Từ đó I = - ò ln t dt = t2 ò ln t dt t2 0,5 dt t2 1 Suy I = - ln t + t 1 Þ du = dt ; v = t t *Đặt u = ln t ;dv = *Kết I = -1 - 1 ò1 t dt = - ln - t 2 ln 2 0,5 Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD IV S Ta có DSBD = DCBD (c.c.c) Þ SO = CO = AC Vậy tam giác SCA vuông S 1,0® Þ CA = SC + SA2 = + x Mặt khác ta có AC + BD = AB + BC + CD + AD 0,5 C Þ BD = - x (do < x < 3) D H O B A (5) 1 Þ S ABCD = BD.CO = + x2 - x 2 Gọi H là hình chiếu S xuống (ABCD) Vì SB = SD nên HB = HD Þ H Î CA Do tam gi¸c SCA vu«ng t¹i S vµ SH lµ ®êng cao nªn: 1 x = + Þ SH = 2 SH SC SA + x2 1 Vậy V = S ABCD SH = x - x ( dvtt ) V (1,0®) 1,0® 0,25 0,25 Chøng minh r»ng £ y £ x £ thì x y - y x £ Đẳng thức xảy naøo? Ta coù £ x £ Þ x ³ x2 (*) x y -y x £ 0,25 1 Û x y £ + y x (1) 4 Theo bất đẳng thức Cauchy vµ (*) ta có: y x+ 1 1 ³ yx2 + ³ yx = x y VËy x y - y x £ 4 4 ì ï £ y £ x £ ìx = ï ï Daáu “= ’’xaûy Û í x = x Ûí y= ï ï î ï yx2 = î VI.a (2,0®) (1,0®) Cho đường tròn (T): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = và đường thẳng d: x + y - = Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A Î d y x A D –3 –5 I B C Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Tọa độ I(4, –3) thỏa m·n phương trình (d): x + y – = Vậy I Î d Vậy AI là đường chéo hình vuông ngoại tiếp đường tròn (T), có bán kính R = 2.V× d song song víi ®êng th¼ng y=-x nªn gãc gi÷a d vµ Ox b»ng 450,do đó hình vuông ABCD có cạnh qua A và song song với Ox Hai ®êng th¼ng x = và x= là tiếp tuyến (T ) nên: Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = Þ A(2, –1) Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) 0,75 (6) (1,0®) (1,0®) Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = Þ A(6, –5) Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: ìx = 1- t ìx = t ï ï d1 : í y = 2t và d : í y = + 3t Lập phương trình mặt cầu có đường kính là ï z = -2 + t ïz = 1- t î î đoạn vuông góc chung d1 và d2 Gọi M (1 t ; 2t ; 2 + t) Î d1 , N(t’ ; 1+3t’ 1 t’) Î d ur Đường thẳng d1 có vecto phương là u1 = ( -1; 2;1) , đường thẳng d2 có vecto uur phương là u = (1;3; -1) uuuur MN = (t '+ t - 1;3t '- 2t + 1; -t '- t + 3) MN là đoạn vuông góc chung d1 và d2 và uuuur ur ì ì2t '- 3t + = t'= ïìMN u1 = ï Ûí ï íuuuur uur Ûí î11t '- 4t - = ïîMN u2 = ït = ïî -2 14 -3 14 Do đó M( ; ; ), N( ; ; ) 5 5 5 MN 14 -1 Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = = và tâm I( ; ; ) có 2 10 10 14 1 phương trình ( x - ) + ( y - )2 + ( z + )2 = 10 10 0,75 T×m phÇn thùc cña sè phøc z = (1 + i) n : log ( n - ) + log ( n + ) = 4, n Î ¥ * Hàm số f(x) = log ( x - 3) + log ( x + ) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và f(19) = Do đó phương trình log ( n - ) + log ( n + ) = có nghiệm n = 19 p p w = + i = 2(cos + i sin ) Với n = 19 ¸p dụng c«ng thức Moavrơ ta cã: 4 19p 19p ö 3p 3p ö æ 19 æ z = w19 = ( 2)19 ç cos + i sin + i sin ÷ = ( 2) ç cos ÷ 4 ø 4 ø è è 19 3p Suy phần thực z là : cos = -( 2)19 = -512 1.Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 = 13 và (C2):(x 6)2 + y2 = 25cắt tạiA(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) là M và N Gọi M(x; y) Î (C1 ) Þ x + y = 13 (1) Vì A là trung điểm MN nên N(4 – x; – y) Do N Î (C2 ) Þ (2 + x ) + (6 - y ) = 25 (2) ( ) VI.b (2,0®) (1,0®) 0,25 0,5 0,5 (7) (1,0®) ìï x + y = 13 Từ (1) và (2) ta có hệ í 2 ïî(2 + x) + (6 - y ) = 25 -17 -17 Giải hệ ta (x = ; y = 3) ( loại) và (x = ; y = ) Vậy M( ; ) 5 5 Đường thẳng cần tìm qua A và M có phương trình : x – 3y + = ì x = 2+t x - y -1 z + ï d1 : = = ; d : í y = -3 + 3t -1 -2 ï z=t î 0.5 0,5 Trong tất các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2, viết phương tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt r Đường thẳng d1 qua điểm M1(4; 1; -5) vµ cã vÐctơ phương u = (3; -1; -2) r Đường thẳng d2 qua điểm M2(2; -3; 0) vµ cã vÐctơ phương u ' = (1;3;1) r ur uuuuuur r ur uuuuuur éu , u 'ù = ( 5; - 5;10 ) , M 1M = (-2; - 4;5) Þ éu , u 'ù M1 M = 60 ë û ë û r ur uuuuuur éu , u 'ù M M 60 60 ë û d ( d1 , d ) = = = =2 r ur 2 éu, u 'ù + ( 5) + 10 ë û 0,25 Giả sử S(I; R) là mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 tương ứng hai điểm A và B đó ta luôn có IA ^ d1, IB ^ d2 và IA + IB ≥ AB Suy 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy và I là trung điểm AB và AB là đoạn vu«ng gãc chung hai đường thẳng d1, d2 AÎd1, BÎd2 nªn A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’); uuur r uuur r ïì AB ^ u ïì AB u = íuuur ur Û íuuur ur ïî AB ^ u ' ïî AB u ' = 0,25 0,25 Gi¶i hÖ nµy t×m ®îc A(1; 2; -3) vµ B(3; 0; 1) Þ I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) , bán kính R = nên có phương trình là: ( x - ) + ( y - 1)2 + ( z + 1) = (1,0®) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên đó 0,5 Gäi sè tù nhiª n cÇn lËp lµ n = a4 a3 a2 a1a0 = a4 10 + a3103 + a2 102 + a1.101 + a0 Ta cã c¸ch chän a4 vµ ! c¸ch xÕp sè cßn l¹i VËy cã 4.4 !=96 sè n Có 24 số với số k (k=1,2,3,4) đứng vị trí a4 Có 18 số với số j ( j=1,2,3,4) đứng vị trí với i=0,1,2,3 VËy tæng cña 96 sè n lµ: 0,5 (1 + + + 4)[(24.10 + 18(10 + 10 + 101 + 100 )] = 2599980 Chó ý: 0,25 C©u I : Khèi A;B: ®iÓm Khèi D: (3®iÓm) : ý I.1: 2,0 ®iÓm, ý I.2: 1,0 ®iÓm (8)