nguyên lý bù trừ Để đếm số cách làm công việc A với tính chất b nào đó ngoài cách đếm trực tiếp ta còn có thể làm như sau: -đếm số cách làm công việc A bình thường không quan tâm đến b [r]
(1)Bài : Bài toán đếm A Tóm tắt lý thuyết Quy tắc cộng -Quy tắc cộng: giả sử công việc nào đó thức có thể thực theo phương án +Phương án A: có n cách thực +Phương án B : có m cách thực (không có cách nào phương án A trùng với cách nafoddos phương án B đó có m+n cách làm công việc trên ) VD: lớp 11a1 có 20 học sinh nam, 25 học sinh nữ Cần chọn em tham gia vào đội thiếu niên tiền phong nhà trường , hỏi có bao nhiêu cách chọn Giải: công việc trên làm có thể thực theo phương án Phương án A: chọn bạn học sinh nam : có 20 cách chọn Phương án B : chọn bạn học sinh nữ : có 25 cách chọn Theo quy tắc cộng có 20 + 25 = 45 cách chọn *Quy tắc cộng mở rộng Giả sử công việc nào đó thực có thể thực theo k phương án +Phương án : có n1 cách +Phương án có n2 cách ……… +Phương án n có nk cách Giả sử không có cách nào phương án này trùng với phương án khác Khi đó có n1 +n2 +…+nk (cách) quy tắc nhân giả sử công việc nào đó làm có thể thực theo công đoạn liên tiếp CĐ : có n cách với cách công đoạn CĐ có m cách thực Khi đó có n.m cách thực công việc trên VD: tủ quần áo bạn học sinh nào đó có 10 cái áo; cái quần Cần chọn quần áo để chọn học Hỏi có bao nhiêu cách chọn Giải: để chọn quần áo học ta thực công đoạn liên tiếp CĐ : chọn cái áo: có 10 cách CĐ : chọn cái quần : có cách Theo quy tắc nhân có 5.10=50 ( cách ) *Quy tắc nhân mở rộng Giả sử có công việc nào đó thực có thể thực theo k công đoạn liên tiếp CĐ 1: có n1 cách với cách công đoạn CĐ 2: có n2 cách với cách công đoạn CĐ k: có nk cách Khi đó có n1.n2 nk (cách) VD: cho các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7 (2) a) có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số b) có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác Giải a) giả sử số tự nhiên cần lập là abcd a a ∈ {1 ; ; 3; ; ; ; } { ; 1; ; ; } i Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực công đoạn sau: CĐ 1: chọn chữ số đặt vào a1: cách CĐ 2: chọn chữ số đặt vào a2: cách CĐ 3: chọn chữ số đặt vào a3: cách CĐ 4: chọn chữ số đặt vào a4: cách Theo quy tắc nhân có tất 7.8.8.8=3584 (cách ) ❑ b) giả sử số tự nhiên cần lập là abcd { 1; ; ; ; } aj { 1; ; ; ; } ;i= 2,4 aj với i j để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực công đoạn liên tiếp CĐ 1: chọn a1:7 cách CĐ 2: chọn a2: cách CĐ 3: chọn a3: cách CĐ 4: chọn a4 : cách Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5=1470(số) 3.hoán vị *Định nghĩa: cho tập hợp A có n phần tử (n N*).kết việc xếp n phần tử tập A theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử tập A VD: cho tập hợp A gồm chữ số 1;2;3;4 hãy liệt kê các hoán vị A Giải : 1234;1243;1324;1342;1432;1423;… *công thức tính số hoán vị n phần tử Kí hiệu : Pn là số hoán vị n phần tử tập A nào đó Khi đó Pn=1.2.3….n=n! VD: cho các chữ số 1;2;3;4;5 Hỏi có thể lập bao nhiêu só tự nhiên có chữ số khác từ các chữ số trên Giải : Mỗi số lập chính là hoán vị chữ số trên ⇒ số các số lập là : P5 = 5! =120 (số ) 4.chỉnh hợp Định nghĩa : cho tập hợp A có n phần tử (n N*);k N cho tập k và xếp chung theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp A VD: cho tập hợp A gồm chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8 hãy liệt kê số chỉnh hợp chập chữ số trên (3) Giải: 123;456;894;… * Công thức tính số chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp A(1 k ≤ n ) : A n! k ❑n = (n − k)! Quy ước : 0! =1; A ❑on =1 n! A ❑kn = (n − k)! ;k N ; 0≤ k ≤ n VD : cho tập A gồm các chữ số → Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số trên Giải : số lập là chỉnh hợp chập chữ số ban đầu ⇒ số các số lập là : 7! A ❑37 = (7 −3)! = 210 (số) tổ hợp *Định nghĩa : cho tập hợp gồm n phần tử (n N*) ; k N ; 1≤ k ≤ n Kết việc lấy k phần tử từ tập hợp A gọi là tổ hợp chập k n phần tử A VD: cho A= { a ; b ; c ; d } hãy liệt kê số tập hợp chập phần tử A Giải : Các tổ hợp chập phần tử A là : {a ; b } ; {a ; c } ; {a ; d } ; {b ; c } ; {b ; d } ; {c ; d } *công thức tính số tổ hợp chập k n phần tử Kí hiệu : C ❑kn là số tổ hợp chập k n phần tử n! k đó : C ❑n= (n − k)! k ! ( 1≤ k ≤ n ) n! k quy ước : C ❑0n = ⇒ C ❑n= (n − k) ! k ! k≤n VD: lớp có 20 học sinh cần chọn bạn tham gia đội xung kích Hỏi có bao nhiêu cách chọn Giải: Mỗi danh sách gồm bạn tham gia xung kích chính là tổ hợp chập 20 học sinh lớp ⇒ 20! Có số cách chọn là : C ❑20= (20 −2)! ! = 190 (cách ) phân biệt hoán vị và chỉnh hợp - Giống nhau: các phần tử lấy xếp theo thứ tự - Khác : + hoán vị lấy tất + chỉnh hợp lấy phận phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp - Giống : lấy phận các phần tử từ tập hợp ban đầu - Khác : + chỉnh hợp lấy phải xếp (4) + tổ hợp lấy là xong VD : lớp 11a có 20 học sinh a) cần xếp lớp này thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách b) cần lấy bạn lớp tham gia vào đội văn nghệ trường c) cần lấy bạn lớp và xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách Giải : a) Mỗi hàng dọc là hoán vị 20 học sinh ⇒ số hàng dọc là : P20 = 20! b)mỗi danh sách gồm bạn tham gia đội văn nghệ là tổ hợp chập ⇒ số cách chọn là C ❑420 = 4845 ( cách chọn ) 20 c) hàng ngang lập là chỉnh hợp chập 20 học sinh ⇒ số hàng ngang lập là A 20= 20 ! 20 ! = =116280 ( cách) (20 − 4) ! 16 ! nguyên lý bù trừ Để đếm số cách làm công việc A với tính chất b nào đó ngoài cách đếm trực tiếp ta còn có thể làm sau: -đếm số cách làm công việc A bình thường ( không quan tâm đến b) giả sử là n - đếm số cách làm công việc A với tính chất phủ định tính chất b , giả sử là m ⇒ số cách làm công việc A với tính chất b là n-m ( cách ) VD; lớp 11a có 10 nam; 10 nữ Cần chọn nhóm gồm người đó có ít bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách giải : cách 1:để làm công việc trên ta có phương án PA 1: nhóm có nam: có C110 C 410 = 2100 cách chọn PA : nhóm có nam: có C210 C 310 = 5400 cách chọn PA nhóm có nam : có C310 C 210 = 5400 cách chọn PA nhóm có nam: có C104 .C 110 =2100 cách chọn PA nhóm có nam:có C510 =252 cách chọn Theo quy tắc cộng có : 2100.2+5400.2+252 =15252( cách chọn) Cách 2: - số cách lập nhóm có người là C ❑520 =15504( cách chọn ) - số cách lập nhóm có người không có bạn nam nào là : C ❑510 =252( cách chọn ) - theo nguyên lý bù trừ có : 15504-252=15252 ( cách ) B Các dạng toán khác Dạng 1: đếm số các số tạo thành Cho tập hợp X gồm các số nào đó Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số từ các chữ số tập hợp X thỏa mãn tính chất nào đó (5) *phương pháp - giả sử số cần lập có dạng a1 a2 an tập các chữ số mà a1; a2;…an có thể nhận - ta thực các công đoạn chọn các chữ số từ a1; a2;…an - Áp dụng quy tắc nhân suy số các chữ số lập *một số nguyên tắc - a1 không phép nhận chữ số - số cần lập không yêu cầu các chữ số khác thì chữ số chọn các công đoạn trước có thể chọn lại công đoạn sau - số cần lập yêu cầu các chữ số đôi khác thì chữ số chọn các công đoạn trước không chọn lại cho các công đoạn sau - ưu tiên chọn các vị trí a1: quan trọng trước chọn vào các vị trí còn lại - thấy có số số có vài trò và đôi khác thì thay vì chọn riêng lẻ thì có thể dùng hoán vị chỉnh hợp đẻ chọn tất VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho a)các chữ số có chữ số khác b) các chữ số khác và số đầu tiên là c)Các chữ số khác và không tận cùng là Giải : a) Cách 1: giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a a5 { 1; ; } ; i= 1,5 để lập số trên ta thực công đoạn CĐ 1: chọn a1: cách CĐ 2: chọn a2: cách CĐ : chọn a3: cách CĐ : chọn a4: cách CĐ : chọn a5: cách Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3=2520( cách) Cách 2: số lập là chỉnh hợp chập ⇒ Số các số lập là A ❑57 =2520 ( số) b)giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a4 { 1; ; ; .; } i= 1,4 số các số lập là chỉnh hợp chập : A ❑46 =360 (số ) c)giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a a5 số cách lập số không có là : C ❑46 = 360(số) số cách lập số có là : C ❑57 = 2520 theo nguyên lý bù trừ : 2520-360 =2160 (số) VD: từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác Giải : giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a (6) a1 ∈ {1 ; 2; ; } a ∈ { ; 2; ; } { ; 1; ; ; ;5 ; } i= 2,3 Theo quy tắc nhân có :4.4.5.5=400(số ) TH 1: a4=0 Để lập số trên ta cần chọn nốt a1; a2; a3 Số các số là A ❑36 =120 (số) TH 2: a4 để lập số trên ta thực theo công đoạn CĐ 1: chọn a4 : cách CĐ : chọn a1 : cách CĐ : chọn a2a3 : A ❑52 = 20 cách Theo quy tắc nhân 3.5.20=300 số Theo quy tắc công 120+300=420 số VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác cho luôn có mặt chữ số Giải: Vì vị trí chọn chữ số có cách Giả sử số cần lập là a1 a2 a3 ; = { 1; ; ; ; 5; ; } i= 1; Mỗi số lập là chỉnh hợp chập Số các số lập là A ❑36 = 120 (số ) ⇒ số các số lập có bốn chữ số là 4.120=480(số) VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác cho luôn có mặt chữ số và Giải: CĐ 1: chọn hai vị trí để xếp chữ số 1;5 có tất A ❑52 (cách) CĐ : chọn vị trí còn lại là A ❑35 (cách) Theo quy tắc nhân có A 25 A35 =1200 (số ) VD: chọn tập A= { ; 1; ; ; ;5 ; } hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho a) các chữ số khác và số lập chia hết cho b) các số 1;2 đứng cạnh Giải: a) giả sử số cần lập là a4 = { ; } ; a1= { 1; ; ; ; 5; } ; = { ; 1; ; ; ;5 ; ; } ; i= 2,4 TH 1: a4 =0 Để lập số trên a1;a2;a3 ; có tất A ❑36 = 120 (số ) TH : a4 Để lập số trên ta phải lập trên công đoạn CĐ : chọn a1 có cách CĐ : chọn a2;a3 có cách (7) Theo quy tắc nhân có A ❑52 =100 (số) Theo quy tắc cộng có 120+100=220 (số) b) giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a a1= { 1; ; ; ; 5; } ; = { ; 1; ; ; ;5 ; ; } ; i= 2,4 TH1 : chữ số 1;2 đặt vị trí a1 a2 Để lập số trên ta thực công đoạn CĐ 1: xếp chữ số và vào a1 a2 : có cách CĐ 2: chọn a3 có cách CĐ 3: chọn a4 có cách Theo quy tắc nhân có : 2.7.7=98 (số) TH 2: chữ số và đặt vị trí a2 a3 Để lập số ta thực công đoạn CĐ 1: xếp và vào a2 a3 : có cách CĐ 2: chọn a1 có cách CĐ : chọn a4 có cách Theo quy tắc nhân có : 2.6.7=84 số TH : chữ số và đặt vị trí a3 a Cũng có 84 số Theo quy tắc cộng có 84.2+98 = 266 (số) VD: từ các số 1;2;3;4;5 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đó chữ số xuất lần, chữ số còn lại xuất lần Giải: Chọn số cần lập là a1 a2 a3 a a5 a6 ∈ {1 ; ;3 ; ; } và i=1 ;6 Để lập só trên ta thực công đoạn CĐ 1: chọn vị trí đặt chữ số 1: có C ❑26 =15 (cách) CĐ 2: chọn vị trí đặt các chữ số còn lại : có 4!=24 cách Theo quy tắc nhân có: 15.25= 360 số VD : từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho chữ số xuất lần các chữ số còn lại xuất lần Giải : Gọi số cần tìm là a1 a2 a8 a1 ∈ {1 ; 2; ; ; } ; ∈ {0 ; ; 2; ; ; } ; i= 2,8 Để lập số thỏa mãn ta thực công đoạn CĐ 1: chọn vị trí đặt chữ số 0: cách CĐ 2: chọn vị trí đặt chữ số : C37 cách CĐ 3: chọn vị trí còn lại : 4! Cách Theo quy tắc nhân có C37 4! = 5880 (cách VD có thể lập bao nhiều số tự nhiên có chữ số phân biệt nhỏ 6543 Giải : gọi số cần lập là a1 a2 a3 a (8) TH 1: a1<6 để lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực công đoạn CĐ 1: chọn a1: cách CĐ : chọn a2 a3 a : A ❑39 cách Theo quy tắc nhân có : A ❑39 =2520 (số ) TH 2: a1 = ; a2 < để lập số thỏa mãn ta thực công đoạn CĐ 1: chọn a2 : cách CĐ 2: chọn a3 a : A ❑28 cách Theo quy tắc nhân có A ❑28 = 280 (số ) TH 3: a1 = ; a2=5 ; a3 < để lập số trên ta thực công đoạn CĐ 1: chọn a3 : cách CĐ 2: chọn a4 : cách Theo quy tắc nhân 4.7 = 28 (số ) TH4 : a1 = ; a2=5 ; a3 = ; a4 <3 có số Theo quy tắc cộng : 2520+280+28+3= 2831(số ) VD: cho các số 1;2;3;…;9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên cso chữ số khác cho tổng chữ số hàng chục , hàng trăm, hàng nghìn Giải: Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a a5 a6 ∈ { 0; ; ; 3; ; ; ; ; ; } i=1 ; ; Theo giả thiết : a3+ a4 + a5 = Có hai gồm số tự nhiên khác có tổng là : { 1; ; } { 1; ; } Để lập số trên ta thực công đoạn liên tiếp CĐ 1: chọn trên : cách CĐ 2: xếp chữ số đã chọn a3 a a5 : 3! cách CĐ 3: chọn các vị trí còn lại : A 36 cách Theo quy tắc nhân có 2.3! A 36 = 1440 ( số ) VD: từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và số đó chia hết cho Giải: Gọi số cần lập là: a1 a2 a3 a1 ∈ {1 ; 2; ; ; } ∈ {0 ; ; 2; ; ; } i=2 ; Theo giả thiết : ( a1 + a2 +a3) ⋮ Dễ thấy : a1 + a2 +a3 12 ⇒ a1 + a2 +a3 = Có ba gồm ba chữ số tự nhiên khác có tổng là : {1;3;5} ; {0;4;5} ; {2;3;4} TH 1: Sử dụng {0;4;5} Để lập số ta thực công đoạn (9) CĐ 1: chọn a1 : có cách CĐ 2: chọn a2a3: có 2! Cách Theo quy tắc nhân: 2.2!= số TH : sử dụng {1;3;5} {2;3;4} để lập số ta thực hai công đoạn CĐ 1: chọn trên : cách CĐ 2: xếp số trên vào a1 a2 a3 : có 3! Cách Theo quy tắc nhân có 2.3! = 12 số Theo quy tắc cộng có 4+12=16 số VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác cho tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị Giải : Giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a a5 a6 ∈ {1 ; ;3 ; ; ; } ; i= 1; Theo giả thiết a1 + a2 +a3 +1 = a4+a5+a6 Do số cần lập có chữ số khác và đầu bài cho chữ số nên chữ số có mặt lần số cần lập ⇒a 1+ a2+ a3 +a +a5 + a6=21 ⇔ ( a1+ a2 +a 3) + 1=21 ⇔ a1 + a2 +a3 =10 ⇒ có ba gồm ba chữ số khác có tổng là 10 là {1;4;5} ; {1;3;6} ; {2;3;5} Để lập số trên ta thực ba công đoạn CĐ 1: chọn trên: cách CĐ 2: xếp ba chữ số đã chọn vào a1 a2 a3 : cách CĐ 3:chọn ba vị trí còn lại : 3! Cách Theo quy tắc nhân có : 3.3.3!=108 cách VD: từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và không chia hết cho Giải : Giả sử số cần lập là a1 a2 a3 a1 ∈ {1 ; 2; ; ; ; } ; ∈ {0 ; ; 2; ; ; ; } ; i= ;3 +Lập số tự nhiên có chữ số khác nhau: để lập số này ta thực theo công đoạn CĐ 1: chọn a1 : cách CĐ 2: chọn a2 a3 : A ❑52 cách Theo quy tắc nhân có A ❑52 = 100 số + lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho a1 + a2 +a3 ⋮ dễ thấy : a1 + a2 +a3 12 ⇒ a1 + a2 +a3 {3;6;9;12} (10) Có tám gồm chữ số khác thỏa mãn {0;1;2}; {0;4;5} ; {0;1;5} ; {0;2;4} ; {1;2;3} ;{2;3;4} ; {3;4;5} ; { 1;3;5} TH 1: sử dụng {0;1;2} để lập số ta thực công đoạn CĐ 1: chọn a1 : cách CĐ 2: chọn a2 a3 có 2! Cách Theo quy tắc nhân có 2.2!=4 ( số ) TH2 :sử dụng {1;2;3} Chọn a1 a2 a3 = 3!=6(số) Theo quy tắc cộng có : 4.4+4.6=40 (số) Theo nguyên lý bù trừ có:100-40=60 số VD: từ các chữ số 0;1;2;…;9 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho chữ số sau lớn chữ số liền trước Giải: Chữ số không thể có mặt số ta lập chữ số bất kì từ đến luôn xếp số thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ các số thỏa mãn : C59 =126 (số) VD: cho các chữ số 1;2;…;9 lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác tính tổng các số nhận Giải: Số các số lập : A ❑49 =3024 (số) Cách 1: giả sử n= a1 a2 a3 a là số bất kì 3024 số trên Ta đặt b1=10-a1 ; b2=10-a2 ; b3=10-a3 ; b4=10-a4 Dễ thấy : b1 ; b2 ; b3 ; b4 { 1; ; ; } Do a1 ; a2 ; a3 ; a4 đôi khác lên b1 ; b2 ; b3 ; b4 đôi khác ⇒ n’= b1 b2 b3 b4 chính là số 3024 số trên Có n+n’=11110 Mỗi số n có (11)