Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox tại điểm A có hoành độ dương và OA =1.. Theo chương trình Nâng cao C©u VIb 2®iÓm 1.[r]
(1)Trường thpt cầu xe đề chính thức đề thi thử đại học lần M«n thi: to¸n N¨m häc 2011 2012 ( Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề ) PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I (2®iÓm) Cho hµm sè y = x3 - 2mx + 2mx - (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt A(1; 0), B và C cho K1 + K =BC Trong đó K1, K2 là hệ số góc tiếp tuyến điểm B và C đồ thị hàm số (1) C©u II (2®iÓm) Giải bất phương trình sau: 3x - - - x ³ x - với x ẻ Ă sin x + tan x = sin x sin x + tan x e ( x - 1) ln x + x C©u III (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n sau: I = ò dx x + x ln x Giải phương trình sau: Câu IV (1điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, điểm M nằm trªn c¹nh SC cho MC = 2MS, AB =a, BC = 2AD = 2a TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp MABCD theo a Biết SA = SB = SD và góc tạo cạnh bên SC và mặt đáy là 600 Câu V (1điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện: 1 + + £9 x y x Chøng minh r»ng: x + xy + y + y + yz + z2 + z2 + zx + x ³ PhÇn tù chän (3®iÓm) ThÝ sinh chØ ®îc lµm mét hai phÇn ( phÇn A hoÆc B) A Theo chương trình Chuẩn C©u VIa (2®iÓm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x + y - x - y + = và điểm M( m; -1 ) nằm ngoài đường tròn (C) Gọi A, B là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đường tròn (C) Hãy tìm m để khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng AB Giải phương trình sau: log 22 ( ) x - + 3log -2=0 2x -1 víi x Î ¡ Câu VIIa ( 1điểm) Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox điểm A có hoành độ dương và OA =1 B Theo chương trình Nâng cao C©u VIb (2®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 2), phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực ®o¹n th¼ng BC là x – y + = 0; 3x + 4y – = Tìm tọa độ các đỉnh B và C cña tam gi¸c x -x Giải phương trình sau: ( - 2 ) - ( - 1) + = với x ẻ Ă C©u VIIb (1®iÓm) Cho hµm sè y = x +1 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x -1 biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng điểm A, cắt tiệm cận ngang điểm B cho IA =2IB (víi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn) HÕt ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Cảm ơn vanhiencauxe@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl (2) Trường thpt cầu xe C©u đáp án và biểu điểm ý §¸p ¸n BiÓu ®iÓm 1 ®iÓm Víi m= hµm sè (1) trë thµnh: y = x - x + x - éx = Ta cã: y’ = 3x - 8x + 4; y’ = Û 3x - 8x + = Û ê êx = ë I 0,25 DÊu cña y’: x -¥ 2/3 +¥ y’ + 0 + *Từ đó ta có hàm số đồng biến trên khoảng (- Ơ ;2/3) và (2; + Ơ ); hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 2/3; 2) 0,25 æ2ö * Hàm số đạt cực đại x = và ta có yCĐ =y ỗ ữ = è3ø 27 Hàm số đạt cực tiểu x =2 và ta có yCT =y(2)= -1 4 *Ta cã: lim ( x - x + x - 1) = lim x æç - + - ö÷ = +¥ x®+¥ x®+¥ x ø è x x æ 4 ö lim ( x - x + x - 1) = lim x ç - + - ÷ = -¥ x®-¥ x®-¥ x ø è x x *B¶ng biÕn thiªn: x y’ -¥ + 2/3 - +¥ 0,25 + 27 +¥ y -¥ -1 * §å thÞ: C¾t trôc Oy t¹i ®iÓm ( 0; -1 ) C¾t trôc Ox t¹i ®iÓm ( 1; 0) 4.5 æ3± ö ;0 ÷÷ è ø y 3.5 vµ çç 2.5 1.5 0.5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 0,25 (3) T×m m ? Ta có phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox lµ: x - 2mx + 2mx - = Û ( x - 1) éë x + (1 - 2m) x + 1ùû = éx = Ûê ë x + (1 - 2m ) x + = 0(*) ®iÓm 0,25 Để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt thì pt(*) phải có nghiÖm phËn biÖt kh¸c Tøc lµ pt: x + (1 - 2m) x + = ph¶i cã nghiÖm phËn biÖt kh¸c ìé ïêm < - é ïê m<2 ê ìD = m m > ï ï Û íêm > Ûê Û í2 ê ïî1 + (1 - 2m).1 + ¹ êm > ïë êë ï m ¹ ï î 0,25 Gi¶ sö: B(xB ; 0); C(xC ; 0) vì xB, xC là nghiệm phân biệt pt(*) nên theo định lí viet ta có: xB + xC = 2m-1 vµ xBxC =1 2 Ta cã: BC = ( xC - xB ) = ( xC + xB ) - xB xC = 4m - 4m - 0,25 2 MÆt kh¸c: K1 + K2 = xB - 4mxB + 2m + xC - 4mxC + 2m = 3( xB + xC )2 - xB xC - 4m( xB + xC ) + 4m = 4m - 4m - Theo gi¶i thiÕt ta cã: K1 + K2 = BC Û m - m - = 5(4 m - m - 3) Þ m - m - = v× m - m - > é m = -1 (tho¶ m·n) Û m -m-2= Û ê ë m = (tho¶ m·n) é m = -1 VËy víi ê tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n ëm = Giải bất phương trình sau: 3x - - - x ³ x - với x ẻ Ă §K: £ x £ 0,25 II ®iÓm Ta cã bpt Û ( x - ) ³ ( x - ) ( x - + - x ) (*) v× x - + - x > víi mäi xÎ éê ;1ùú ë3 û TH1 NÕu 7x – = Û x = 6 thì bpt (*) luôn đúng đó x = 7 lµ mét nghiÖm cña bpt 0,25 (4) £ x < th× bpt(*) trë thµnh: TH2 NÕu 3x - + - x ³ giải bpt trường hợp này và kết hợp với điều kiện ta ®îc nghiÖm lµ: 0,25 £x< £x< < x £ th× bpt(*) trë thµnh: TH3 NÕu 3x - + - x £ ta ®îc 0,25 nghiệm trường hợp này là: x = é2 6ù KL: Vậy tập nghiệm bpt đã cho là: S = ; ỳ ẩ {1} ë3 7û Có cách khác để giải bài này Giải phương trình sau: sin x + tan x = sin x sin x + tan x ®iÓm p + kp ( k Î ¢) Khi đó pt trở thành: cos2 x(sin x + tan x) = sin x cos x §K: cosx ¹ Û x ¹ 0,25 0,25 Û cos x (sin x + tan x ) = sin x Þ cos x sin x + sin x = sin x ésin x = Û sin x (cos x - sin x + 1) = Û ê ëcos x - sin x + = 0,25 é x = lp é x = lp ê ésin x = p ê Ûê Ûê æ pö Û ê x = + 2mp cos x + ÷ = ê ë cos x - sin x + = êë çè 4ø ê x = -p + 2np ë đó k, m, n ẻ  III 0,25 Kết hợp nghiệm và so sánh với điều kiện ta nghiệm pt đã 0,25 cho lµ: x = lp (l Î ¢) e ®iÓm ( x - 1) ln x + x TÝnh tÝch ph©n sau: I = ò dx x + x ln x e Ta cã: I = ò e ( x - 1) ln x + x x (1 + ln x) - ln x dx = ò dx x + x ln x x(1 + ln x) e e I = ò xdx - ò 1 ln x dx x (1 + ln x ) 0,25 e e x2 e2 - TÝnh ®îc I1 = ò xdx = = 2 0,25 e TÝnh ®îc I2 = I = ò ln x dx = - ln x (1 + ln x ) 0,25 (5) VËy: I = I1 – I2 = IV e2 - e2 - (1 - ln2)= + ln2 2 0,25 ®iÓm TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABCD a A D a H B a I C a S M a A a D H O B 0,25 C I *Ta cã: diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD lµ: SY ABCD = 3a 3a a= 2 *V× SA = SB = SD vµ tam gi¸c ABD vu«ng t¹i A nªn h×nh chiÕu cña đỉnh S trùng với trung điểm H đoạn thẳng BD dođó SH ^ (ABCD) Gäi O lµ giao ®iÓm cña CH vµ DI ( I lµ trung ®iÓm cña BC), suy O 0,25 lµ träng t©m cña tam gi¸c BCD V× MC = 2.MS (gt) nªn MO song song với SH đó MO ^ (ABCD) VËy MO lµ chiÒu cao cña khèi chãp MABCD *TÝnh MO CH2= BC + CD BD 2a = a Þ OC = Trong tam gi¸c MOC vu«ng t¹i O ta cã: tan600 = MO OC 0,25 (6) suy ra: MO = 2a 2a 21 3= 3 *VËy thÓ tÝch cña khèi chãp MABCD lµ: 3a 2a 21 a3 63 = (®vtt) 3 3 VMABCD= SY ABCD MO = Có cách khác để giải bài này V Chøng minh Ta cã: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ x + xy + y = 1 x + xy + y = x + y + xy - xy + x + y 4 [ ( ) ( 0,25 ®iÓm ) 0,25 ] 3( x + y )2 + ( x - y )2 ³ ( x + y ) Þ x + xy + y ³ ( x + y ) (1) 4 Chứng minh tương tự ta được: = ( y + z ) (2) z + zx + x ³ ( z + x ) (3) y + yz + z ³ 0,25 Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ (2 x + y + z ) Û x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ 3( x + y + z ) MÆt kh¸c l¹i cã: ( x + y + z ) æç + + ö÷ ³ Þ x + y + z ³ v× èx y xø 1 + + £ (gt) x y x 0,25 Do đó: x + xy + y + y + yz + z2 + z2 + zx + x ³ (đpcm) DÊu "=" x¶y Û x = y = z = Có cách khác để giải bài này Tìm m để đường thẳng AB qua điểm I( -2; ) 0,25 ®iÓm Ta cã ®êng trßn (C) cã t©m I( ; 1) vµ ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (C) VIa Giả sử T(x0 ; y0) là tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đường tròn (C) Khi đó ta có: 2 ìï x 02 + y02 - x - y0 + = ïì T Î (C ) ïì x + y - x - y0 + = Ûí í uur uuur Û í ïî IT ^ MT ïî( x - 1)( x - m ) + ( y0 - 1)( y0 + 1) = îï x + y0 - ( m + 1) x + m - = Þ (m - 1) x - y0 - m + = (*) Như toạ độ các tiếp điểm A và B thoả mãn (*) Vậy phương trình đường thẳng AB là: (m - 1) x - y - m + = (AB) 0,25 0,25 0,25 (7) Theo bµi ta cã: d ( O; AB ) = Û (m - 1)2 + = Û (m - 1)2 + = 0,25 Û m =1 Có cách khác để giải bài này Giải phương trình sau: log 22 ( x - ) + 3log - = (x Î ¡ ) 2x -1 Víi ®iÒu kiÖn trªn pt trë thµnh: 2 log 22 (2 x - 1) - 3log (2 x - 1) - = ®iÓm §K: x > 0,25 é log (2 x - 1) = Ûê ê log (2 x - 1) = - ë 0,25 é é2x -1 = êx = ê Û Ûê ê2x -1 = êx = êë êë 0,25 1 + 2 é êx = KL: Vậy pt đã cho có nghiệm là: Û êx = êë C©u VIIa 2 + Viết PTTT đồ thị (C) Vì A có hoành độ dương và OA = nên A(1; 0) Do đó tiếp tuyến cần tìm qua điểm A(1; 0) Giả sử ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm tiếp tiếp cần tìm đó PTTT có dạng: y - y0 = y '( x0 )( x - x0 ) hay y - ( x03 - 3x02 + ) = ( 3x02 - x0 ) ( x - x0 ) mµ tiÕp tuyÕn cÇn t×m ®i qua ®iÓm A(1; 0) nªn ta cã: x03 - x02 + x0 - = Û x0 = VËy PTTT cÇn t×m lµ: y = - 3x +3 CâuVIb Tìm toạ độ đỉnh B và C tam giác §êng th¼ng AB qua A vuông góc với đường cao kẻ từ C có phương trình: x + y – = Gọi B(b; – b) thuộc AB, C(c; c + 2) thuộc đường cao kẻ từ C b+ c 4-b + c 0,25 ®iÓm 0,25 0,25 0,25 0,25 ®iÓm 0,25 ö Tọa độ trung điểm BC là M æç ; ÷ Vì M thuộc trung 0,25 è ø trực BC nên ( b + c ) + ( - b + c ) - = Û -b + 7c + 12 = (1) uuur BC = ( c - b; c + b ) là VTPT ®êng trung trực ®o¹n th¼ng BC nên 4(c – b) = 3(c +b) hay c = 7b (2) 0,25 (8) 7 ; b = - Vậy B æç - ; ö÷ ; C æç - ; ö÷ 4 è 4ø è 4ø Từ (1) và (2) suy c = x -x Giải phương trình sau: ( - 2 ) - ( - 1) + = với x ẻ Ă §Æt t = ( - 1) é - 2 x = t2 ê ( t > 0) đó -x ê -1 = ë t ( ( x 0,25 ®iÓm ) 0,25 ) Suy pt trë thµnh: 0,25 t - + = Û t + 2t - = (do t > 0) t 0,25 Û t =1 Từ đó ta có pt: C©u VIIb ( ) 0,25 x -1 = Û x = Viết PTTT đồ thị (C) ®iÓm Gäi a lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ trôc hoµnh suy a lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ tiÖm cËn ngang ( v× TCN song song víi trôc hoµnh ) IA 0,25 Do tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn ta cã: tan a = = ( gt ) IB nh vËy ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: k = ± tan a = ±2 Ta cã: y ' = -2 ( x - 1) < "x Giả sử ( x0 ; y0 ) , x0 là toạ độ tiếp điểm tiếp tiếp cần tìm đó ta có: k = 0,25 -2 ( x0 - 1) <0 TH1: k = (lo¹i) TH2: k = -2 ta cã: -2 ( x0 - 1) é x0 = 0(tm) = -2 Þ ( x0 - 1) = Û ê ë x0 = 2(tm) 0,25 Víi x0 = ta cã y0 = -1 suy PTTT lµ: y = - 2x - 0,25 Víi x0 = ta cã y0 = suy PTTT lµ: y = - 2x + y A α I O B α x Mỗi ý có ít hai cách làm Tuỳ theo cách làm học sinh đúng vÉn cho ®iÓm tèi ®a cña mçi ý (9)