Đồ thị nhận giao điểm I1;1 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.... ABCD lµ VS.[r]
(1)Đề Kiểm tra chất l−ợng Đại học, cao đẳng Lần N¨m häc: 2011 201111- 2012 2012 M«n: To¸n – Khèi A-B Thêi gian: 180 phót (kh«ng kể thời gian ph¸t đề) * PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 điểm) x−2 C©u I: (2 điểm) Cho hµm sè y = (1) x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( H ) hàm số (1) b) Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng d m : y = − x + m lu«n c¾t ( H ) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để các tiếp tuyến ( H ) A và B tạo với góc α thỏa mãn cos α = 17 C©u II: (2 điểm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + 2sin x = tan x + cos x cos x 1 + x − x + y = x3 y + x (với x, y ∈ ℝ ) Giải hệ phương tr×nh: 2 x xy + + x + = x y + x ) ( ) ( C©u III: (1 điểm) TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ x dx x + x + Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B AB = SD = 3a , AD = SB = a (víi a > ) §−êng chÐo AC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBD ) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S ABCD vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng SA vµ BD C©u V: (1 điểm) Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m·n x + y + z = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z biÓu thøc: P = + + 2 ( y + z ) ( z + x ) ( x + y )2 * PhÇn riªng (3 điểm): - ThÝ sinh lµm hai phần (phÇn A phÇn B) Phần A Theo chương tr×nh chuẩn C©u VI.A: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I (1;1) ; hai đ−ờng thẳng AB và CD lần l−ợt qua các điểm M ( −2;2) và N ( 2; −2) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD , biết C có tung độ âm Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt cÇu ( S ) : x + y + z − x − y + z + = , ®−êng th¼ng x −1 y + z vµ ®iÓm M ( 0; −2;0 ) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P ) ®i qua M , song song víi d d: = = −2 vµ tiÕp xóc víi ( S ) C©u VII.A: (1 điểm) T×m sè phøc z tháa m·n Phần B Theo chương tr×nh n©ng cao C©u VI.B: (2 điểm) ( z + 1)2 + z − − 10i = z + 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gi¸c ABC cã M ( −1; ) , N ; lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB 2 2 và CA Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết H ( 2;1) là trực tâm tam giác ABC Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt ph¼ng ( P ) : x − y + z − = vµ c¸c ®−êng th¼ng x −1 y − z x −5 y z +5 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng d1 : = = , d2 : = = −3 −5 d1, d ; song song víi ( P ) vµ c¸ch mÆt ph¼ng ( P ) mét kho¶ng b»ng C©u VII.B: (1 điểm) T×m m« ®un cña sè phøc z , biÕt r»ng z + ( − 3i ) z = 26 + 6i 2−i www.MATHVN.com Hết www.MATHVN.com (2) đáp án Bài kiểm tra chất l−ợng Đại học, cao đẳng – Lần www.MATHVN.com - N¨m häc 2011-2012 - www.MATHVN.com M«n thi : To¸n – Khèi A C©u Néi dung §iÓm PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh TX§: ℝ \ {1} x −2 = −∞ , lim− y = +∞ Tiệm cận đứng: x = x→1 x →1 x →1 x − x −2 lim y = lim = TiÖm cËn ngang: y = x →±∞ x →±∞ x − Ta có y ' = > ∀x ≠ Hàm số đồng biến trên (−∞;1) và (1; +∞) ( x − 1)2 Ta cã lim y = lim + 0,25 + Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ −∞ x C©u I.1 (1 ®) y' + y +∞ + +∞ 0,25 0,25 −∞ 3) §å thÞ: +) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0;2), c¾t trôc hoµnh t¹i (2;0) Đồ thị nhận giao điểm I(1;1) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y 0,25 −2 −1 O x −1 −2 Ta cã x − = − x + m ⇔ x − mx + m − = (2) x −1 0,25 x ≠ Ta cã ∆ = m2 − 4m + = ( m − )2 + > 0∀m vµ x = kh«ng tháa m·n (2) nªn d m lu«n c¾t ( H ) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m 0,25 x −1 + x −1 = m − Khi đó theo Viete ta có x A + xB = m ⇔ ( A ) ( B ) x x = m − A ( x A − 1)( xB − 1) = −1 B TiÕp tuyÕn cña ( H ) t¹i A vµ B cã hÖ sè gãc lÇn l−ît lµ k A = y ' ( x A ) = C©u I.2 (1 ®) vµ kB = y ' ( xB ) = ( xB − 1) Suy k A k B = ( x A − 1)2 0,25 = =1 ( x A − 1)( xB − 1) ( x A − 1) ( xB − 1) Ta cã vect¬ ph¸p tuyÕn cña c¸c tiÕp tuyÕn lÇn l−ît lµ nA = ( k A ; −1) vµ nB = ( k B ; −1) §Ó gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn lµ α tháa m·n cos α = th× 17 ⇔ ( )( ) k A2 + kB2 + = k A k B + k A2 + k B2 +1 = 17 x − + x −1 17 17 ⇔ kA + kB = ⇔ + = 17 ⇔ ( A ) ( B ) = 17 2 4 ( xA −1) ( xB −1) ( xA −1)2 ( xB −1)2 17 ( xA −1) + ( xB −1) − ( xA −1)( xB −1) 17 ⇔ [ m − 2] + = ⇔ m − = ± ⇔ m = ∨ m = ⇔ = 2 ( xA −1)2 ( xB −1)2 π Câu II.1 Điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ + mπ ( m ∈ℤ ) (*) Khi đó (1 ®) (1) ⇔ sin3x + 2sin4x = sin x + 3cos x cos2x ⇔ ( sin3x − sin x) − 3cos x cos2x + 2sin4x = ( ) ⇔ 2cos2x sin x − 3cos x cos2x + 4sin2x cos2x = ⇔ 2cos2x sin x − 3cos x + 2sin2x = 0,25 0,25 0,25 (3) cos x = ⇔ sin x − cos x + 2sin x = www.MATHVN.com TH1: cos x = ⇔ x = π + k π ( k ∈ℤ ) (tháa m·n (*)) 0,25 TH2: sin x − cos x + 2sin x = ⇔ sin x = cos x − sin x ⇔ sin x = sin π − x 2 π π 2π (tháa m·n (*)) x = − x + k 2π x = + k ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) x = π − π + x + k 2π x = 2π + k 2π 3 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ x = π + k π , x = π + k 2π , x = 2π + k 2π ( k ∈ℤ ) 3 0,25 Tõ pt (2) ta cã x ( xy + 1) + ( x − 1)2 − x ( xy + 1) = ⇔ x ( xy + 1)( x − 1) + ( x − 1) = 0,25 x = ⇔ ( x − 1) x + x − 1 = ⇔ x y + 2x −1 = Víi x = thay vµo (1) ta ®−îc − + y = y + ⇔ + y + y + 1 = ⇔ y = −1 0,25 Do đó ( x; y ) = (1; −1) C©u II.2 (1 ®) Víi x y + x − = ⇔ y = − 22 x (Do x = kh«ng tháa m·n hÖ pt) x thay vµo (1) ta ®−îc + x − x + − x = x3 − x + x 2 x x ⇔ + x − x2 ⇔ 0,25 x −1 x −1 x −1 x −1 = x (1 − x ) + x2 ⇔ ( x −1)2 − 2x2 =0⇔ −2 =0 x x x x 1− x 1− x 1 x −1 x −1 = hoÆc = ±2 ⇔ x ∈ 1; −1; − 2 = ⇔ x x 3 x x Do đó ( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ; ;3 Vậy hệ pt có nghiệm I =∫ x x + x2 + dx = x ∫0 ( ) 4 1 x + − x dx = ∫ x x + 9dx − ∫ x 2dx 0 C©u III (1 ®) ( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ; ;3 TÝnh I = x x2 + 9dx §Æt t = x2 + ⇒dt = ∫ x x +9 0,25 0,25 ( dx ⇒ x x2 + 9dx = x2 + ) x x +9 dx = t 2dt 0,25 Đổi cận: Ta có x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = Do đó I = t dt = t = 98 ∫ 3 0,25 TÝnh I = x 2dx = x3 = 64 VËy I = [ I − I ] = 98 − 64 = 34 2 ∫ 9 3 V× AC ⊥ ( SBD ) nªn ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) Trong S mp ( SBD ) kẻ SH ⊥ BD H Khi đó C©u IV (1 ®) SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ AC 0,25 27 SH ⊥ ( ABCD ) nªn SH lµ ®−êng cao cña 4a 3a C h×nh chãp S ABCD V× ∆ABD vu«ng t¹i A nªn BD = AB + AD = 5a V× SB + SD = ( 4a )2 + 3a = ( 5a )2 = BD nªn ( ) 5a 0,25 3a H D A 4a E ∆SBD vuông S Do đó SH = SB.SD = 4a.3a = 12a BD B K F V× AC ⊥( SBD) nªn AC ⊥ BD Gäi K = AC ∩BD Trong ∆ABD ta cã AK = AB.AD = 12a BD Trong ∆ABC vu«ng t¹i B ta cã AK AC = AB ⇒ AC = AB = 15a AK 0,25 (4) 1 15a 75a Suy diện tích đáy ABCD là S 5a = ABCD = AC BD = 2 www.MATHVN.com VËy thÓ tÝch khèi chãp S ABCD lµ VS ABCD = S ABCD SH = 75a 12a = 15a 3 * Qua A kÎ ®−êng th¼ng d song song víi BD , qua H kÎ ®−êng th¼ng song song víi AC cắt d E Vì AC ⊥ BD nên hình bình hành HKAE là hình chữ nhật Do đó AE ⊥ HE MÆt kh¸c AE ⊥ SH nªn AE ⊥ ( SHE ) Trong ( SHE ) kÎ HF ⊥ SE t¹i F Suy 0,25 HF ⊥ ( SAE ) và đó d ( H , ( SAE ) ) = HF V× BD // ( SAE ) nªn d( BD, SA) = d( BD,(SAE)) = d( H,(SAE)) = HF Trong ∆SHE vu«ng t¹i H 0,25 ta cã = + = + = 2 ⇒ HF = 6a VËy d ( H ,( SAE ) ) = 6a 2 2 12a HF SH HE SH AK ( )( ) ( Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có ( y + z )2 ≤ 12 + 12 y + z = − x (Đẳng thức xảy y = z ) Do đó x ( y + z) ≥ ( x 1− x ) 0,25 (1) ) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số d−ơng x , − x , − x ta đ−ợc ( ) ( ) 2 2 2x + − x + − x = ≥ x − x2 3 C©u V (1 ®) ( ) ( ) ⇔ x − x2 ≤ (§¼ng thøc x¶y x = − x ⇔ x = ) x 3 Tõ (1) ,(2) suy T−¬ng tù ≥ x (3) ( y + z) Tõ (3), (4), (5) suy P = x ( y + z) + y ( z + x) + 3 ⇔ y ( z + x) z ( x + y) 2 ≥ ( x 1− x ≥ ) ≥ 3 x 3 ⇔ ≥ x 2 1− x ( 3 vµ y (4) ( ) z ( x + y) ≥ (2) 3 z (5) ) 3 3 x + y2 + z2 = 4 0,25 0,25 0,25 §¼ng thøc x¶y x = y = z = VËy P = 3 x = y = z = 3 PhÇn A Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn Gọi M ' đối xứng với M qua I Ta có M ' ( 4;0 ) thuộc đt A B x = 4+t CD §t CD ®i qua N , M ' nªn nã cã pt lµ 0,25 Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I trªn CD, suy H ( + h; h ) , IH = ( h + 3; h − 1) V× IH ⊥ CD nªn IH NM ' = ⇔ h = −1 VËy H ( 3; −1) vµ IH = 2 0,25 V× C thuéc CD nªn C ( + c; c ) Tõ HC = IH = 2 suy c = ( lo¹i ) vµ c = −3 (tm) 0,25 Víi c = −3 suy C (1; −3) , D ( 5;1) , A (1;5 ) , B ( −3;1) d ®i qua A(1; −1;0) vµ cã vt chØ ph−¬ng u = ( 2;1; −2) ( S ) cã t©m I (1;2; −3) vµ b¸n kÝnh R = Gäi vect¬ ph¸p tuyÕn cña ( P ) lµ n = ( a; b; c ) víi a + b + c ≠ V× ( P ) // d nªn n.u = ⇔ 2a + b − 2c = ⇔ b = 2c − 2a (*) 0,25 y = t I C©u VI.A.1 (1 ®) C©u VI.A.2 (1 ®) M M' D H N C 0,25 V× ( P ) ®i qua M ( 0; −2;0 ) nªn ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ ax + b ( y + ) + cz = V× ( P ) tiÕp xóc víi ( S ) nªn d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ a + 4b − 3c = (**) a +b +c 2 0,25 a − 2c = 2a + 5c = Thay (*) vµo (**) ta ®−îc 4a + 2ac − 20c = ⇔ ( a − 2c )( 2a + 5c ) = ⇔ TH1: a − 2c = vµ b = ( c − a ) ta chän c = suy a = 2, b = −2 0,25 (5) Pt cña ( P ) lµ x − y + z − = V× ( P ) ®i qua A nªn d ⊂ ( P ) (kh«ng tháa m·n) TH2: 2a + 5c = vµ b = ( c − a ) ta chän a = 5; c = −2 suy b = −14 Pt cña ( P ) lµ x − 14 y − z − 28 = V× A ∉ ( P ) nªn d // ( P ) (tháa m·n) 0,25 VËy ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ x − 14 y − z − 28 = Gäi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) Ta cã ( z + 1)2 + z − + 10i = z + 0,25 ⇔ ( a + 1) + ( a + 1) bi − b2 + ( a − 1) + b2 + 10i = a − bi + VII.A (1 ®) ( ) ⇔ 2a − a − + ( 2ab + 3b + 10 ) i = 0,25 2a − a − = ⇔ 2ab + 3b + 10 = www.MATHVN.com ⇔ ( a; b ) = (1, − ) hoÆc ( a; b ) = − , − VËy z = − 2i hoÆc z = − − 5i 2 A N M C©u VI.B.1 (1 ®) H PhÇn B Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao 5 Ta cã MN = ; , suy vect¬ chØ ph−¬ng cña AH lµ u = (1; −1) 2 2 x = + t Pt tham sè cña AH lµ y = 1− t V× A ∈ AH nªn A ( + a;1 − a ) Suy B ( −4 − a;3 + a ) , C (1 − a;8 + a ) HB = ( −6 − a; + a ) , AC = ( −1 − 2a;7 + 2a ) V× BH ⊥ AC nªn HB AC = ⇔ ( −6 − a )( −1 − 2a ) + ( + a )( + 2a ) = B C ⇔ a + 6a + = ⇔ a = −1 hoÆc a = −5 Víi a = −1 ta ®−îc A(1;2) , B ( −3;2) , C ( 2;7) Víi a = −5 ta ®−îc A( −3;6) , B (1; −2) , C ( 6;3) Mp(P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = (1; −2; ) Gäi giao ®iÓm cña ∆ víi d1 , d lÇn l−ît lµ A vµ B C©u VI.B.2 (1 ®) Ta cã A(1+ 2a;3 − 3a;2a) , B ( + 6b;4b; −5 − 5b) ⇒ AB = ( − 2a + 6b; −3 + 3a + 4b; −5 − 2a − 5b ) V× ∆ // ( P ) nªn AB.n = ⇔ a + b = (1) V× = d ( ∆;( P) ) = d ( A;( P) ) nªn −6 + 12a = ⇔ 2a − = ⇔ a = a = Víi a = ta ®−îc b = ⇒ AB = ( 4; −3; −5 ) Pt ∆ lµ: x − = y − = z −3 −5 x − y z − Víi a = th× b = −1 ⇒ AB = ( −4; −4; −2 ) Pt ∆ lµ: = = Gäi z = a +bi ( a,b∈ℝ) Ta cã C©u VII.B (1 ®) z + ( − 3i) z = 26 + 6i −i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔( +i)( a +bi) + 5( −3i)( a −bi) = 5( 26 + 6i) 0,25 ⇔ ( 22a −16b) + ( −14a −18b) i = 130 + 30i 0,25 22a − 16b = 130 a = ⇔ ⇔ −14a − 18b = 30 b = −4 0,25 VËy z = − 4i ⇒ z = 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh giải cách khác, đúng thì cho điểm tối đa ! TÜnh Gia, ngµy 28 th¸ng 02 n¨m 2012 Lª Thanh B×nh www.MATHVN.com (6)