DeDA thi lop 10 Chuyen Thanh Hoa

Trên nữa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB.. Đường thẳng vuộng góc với CI tại C cắt By tại K.[r]

Đề thi toán chung Lam Sơn ngày 19/ / 2011 Câu 1: (2.0đ) 15 √ x − 11 √ x − 2 √ x +3 + − x +2 √ x −3 − √ x √ x +3 1/ Rút gọn biểu thức (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A 2/ Chứng minh A= Cho biểu thức: Câu 2: (2.0đ) x và đường thẳng y = mx –m + (m là tham số) 1/ Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hoành độ x = 2, Chứng minh với giá trị m (d) luôn cắt (P) hai điểm Câu 3: (2.0đ) 2  x  y 12     19  x y 1, GHPT Cho parabol (P) y = x 3x x2  6 2, GPT: Câu 4: (3.0đ) Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( C ≠ A, C ≠ B) Trên mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I ≠ A Đường thẳng vuộng góc với CI C cắt By K Đường tròn đương kính CI cắt IK P 1, CM: a, Tg CPKB nội tiếp đường tròn b,  APB vuông P 2, A, I, B cố định XĐ vị trí C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? Câu 5: (1.0đ) Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P ab bc ca + + biết P= √ ab+2 c √ bc +2 a √ ac+ 2b Hết Bµi tËp vÒ nhµ : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau x    x  x  16 x  66 a/ c/ ( x  2)( x  2)  4( x  2) e/ x2  x b/  x  x  x   ( x  2) 2 x d/  2 x  2 2 x 2 7 x  x 6  x 7 x  x 4 g/  x   x   x 4 f/  x   x   x 3 x x 3 x  Hướng dẫn giải đề thi toán chung Lam Sơn ngày 19/ / 2011 Câu 1: 1/ Rút gọn biểu thức: 15 x  11 x  2 x  A    x  x  1 x x 3 (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) 15 x  11 A=   x1 x 3     x 3  x 3 15 x  11  x   3x    x  1   x    x  1  x  3 = x1 A 2/ Chứng minh  x 2 Ta có: Do   x1    x  1  x  3 =   x 3 x 3   x  2 x 3  1 x x 3  x x 3  x1 x 3 15 x  11   x = 15 x  11 x 3  x   2x   x1  5x  x  =   x1 x 3   x 2 =  x 3  = − ( √ x +3 ) +17 17 =−5+ √ x +3 √ x+3 x   với x  Câu 2: 17 17 ≤ √ x +3 A Vậy  −5+ 17 17 ≤− 5+ = ∀ x 3 √ x+3 (với x t/m điều kiện) x và đường thẳng y = mx –m + 2 1/ Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hoành độ x = x =mx −m+2 (*) có nghiệm x = (d) cắt (P) điểm có hoành độ x =  pt 2 =m − m+2 ⇔ m=2  2 x =mx −m+2 ⇔ x − mx+ ( 2m −4 )=0 (*) 2, Pt có ’ = m2 – 2m + = (m – 1)2 + ≥ > m Câu 3: 1, GHPT Cho parabol (P) y = 2  x  y 12     19  x y 1 u  ;v  x y , Ta có HPT: ĐK: x, y ≠ Đặt 2u  3v 12 4u  6v 24 11u 33 u 3        5u  2v 19 15u  6v 57  2u  3v 12 v 2 1 3  x  Với u = => x 1 2  y  v = => y   x    y 1 Vậy hệ pt có nghiệm nhất:  2, 3x x x2  6 x 3 x     x3 ĐK : C1, 3x x 6 2 x2  <=> x x   3x 6 x  Đặt : t =  2t  xt  3x 6 2t x    t 3  2  x  t  x  t  => Thay (1) vào (2) ta có: x2  , t >  2t  72t 2   t    t  72t  9t  54t  81 t  6t  9t   t  6t   t 3   t  3  t  12t  3 0 <=> t  6t  54t  54t  81 0 <=> Do t > => t  12t   => C2,  t  3 0  t 3  x  3  x 3 2(t / m) x Nếu x < -3 : VT = Nếu x > 3x x 2 x  Ta có : Mà:  3x x2  0 => PT VN 3x2 x2  (1) (BĐT Cosi) x2 3x x  18 0  x 2.18 x   6  18 x2  x2  (2)    x Kết hợp (1) và (2) ta có => 3x x2  2 18 6 Dấu xảy  (1) và (2) xảy dấu  Vậy nghiệm PT là: x = Câu 4: 3x  x  x   x 3   x 18  x y I P K O O' A C B 1, CM: a, Tg CPKB nội tiếp đường tròn Gọi O là tâm đường tròn đường tròn đương kính IC  O là TĐ IC IPC nt chắn đường tròn (O)  IPC = 1v  CPK = 1v, CBK = 1v (gt)  hai điểm P và B cùng thuộc đường tròn đường kính CK tâm O’ là trung điểm BP  CPKB nt (O’) b, APC = AIC (nt chắn cung AC) AIC = KCB (góc có cạnh tương ứng vuông góc)  APC = KCB CPB = CKB (nt chắn cung BC) Cộng vế ta có: APC + CPB = KCB + CKB = 1v  APB = 1v   APB vuông P 2, A, I, B cố định XĐ vị trí C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? AI+BK S= AB BK CB AC CB = ⇒BK= AC AI AI Áp dụng BĐT: (AC – BC)2 ≥  AC2 + BC2 - AC BC ≥  AC2 + BC2 + AC BC ≥ AC BC  (AC + BC)2 ≥ AC BC ( AC+BC )2 AB2  AC BC ≤ = 4 Dấu  AC = BC hay C là trung điểm AB AC CB AB Khi đó BK= = AI AI  CBK S= S  IAC  AI+BK AB= AB ( AI 2+ AB2 ) AB AI AB= AI AI+ Câu 5: Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P ab bc ca + + biết P= √ ab+2 c √ bc +2 a √ ac+ 2b * Vì a + b+ c = ⇒ 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 > và > áp dụng cosi ta có +¿ vì a ; b ; c > nên a+c b+c a+c b+c 1 =¿ ⇒ a+c=b+c ⇒ a=b dấu (=)  a+c b+c (a+c )(b+ c) 1 1 ≤ ( + ) hay √(c +a)(c +b) c +a c+ b ab ab ab ab (1) dấu  a = b = ≤ + ⇒ √ c +ab √ ( c+ a ) ( c+b) c + a c +b bc cb bc ≤ + Tương tự: (2) dấu  b = c √ bc+2 a a+b a+c ac ca ca ≤ + (3) dấu  a = c √ b+ca c +b b+a cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca ab ab cb cb + + + + ⇒ : P= ( + + c+ a c +b b+a c+ a √ab+ c √ bc+2 a √ ca+2 b ac ac + ) b+a c+ b cb ac + a+b a+b ⇒ P ab cb ab ac ( + )+( + )+¿ c+ a c +a b+ c c+ b ¿ 1 (a+c ) b a (b+ c) c (b+ a) ¿ ( a+b+ c )= 2=1 + + = 2 c+ a b+ c a+ b ab bc ca + + ⇒ P= ≤ dấu  a = b = c = √ab+2 c √ bc+2 a √ ca+2 b Vậy P = a = b = c = √ ( ( ( [ ) ) ) ] Hết Hớng dẫn làm các câu đề số 01 mà cha làm đợc C©u ( ý 2) x Ta có hoành độ giao điểm Parabol (P) y = và đờng thẳng y = mx – m + là nghiệm ph¬ng tr×nh : x mx  m  2 x  2mx   2m   0 <=> PT có ’ = m2 – 2m + = (m – 1)2 + > m Nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 víi mäi m VËy Víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm x C©u (ý 2) : Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3 x     x3 ĐK : 3x 6 x2  C1 x 3x x2  6 2 <=> x x   3x 6 x  Đặt : t =  2t  xt  x 6 2t (1) x    t 3  2  x  t (2)  x  t  => Thay (1) vào (2) ta có: x2  , t >  2t  72t 2  t  72t  9t  54t  81 t  6t  9t    t  t  6t   t 3  t  3  t  12t  3 0  t  t  54 t  54 t  81  <=> <=> t  12 t   Do t > =>  t  3 => 0  t 3  x  3  x 3 2(t / m) C2 x Nếu x < -3 : VT = Nếu x > 3x x 2 x  Ta có : 3x x2  0 3x x2  => PT VN (1) (BĐT Cosi) Mà: x     18 0  x 2.18 x   x Kết hợp (1) và (2) ta có => 3x x2  x2 x2  6  3x2 x2  18 (2) 2 18 6 3x  x  x   x 3   x 18  Dấu xảy  (1) và (2) xảy dấu  Vậy nghiệm PT là: x = C©u ( ý 2) : A, I, B cố định XĐ vị trí C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? AI+BK Ta cã : S= AB o      XÐt CBK vµ IAC cã A B 90 ( gt ) ; KCB CIA ( Cïng phô víi ACI ) BK CB AC CB = ⇒BK= AC AI AI 2 Áp dụng BĐT: (AC – BC) ≥  AC + BC - AC BC ≥  AC2 + BC2 + AC BC ≥ AC BC  (AC + BC)2 ≥ AC BC ( AC+BC )2 AB2  AC BC ≤ = 4 Dấu  AC = BC hay C là trung điểm AB AB AI  AI  AB AB AC CB AB2 AI  BK AI BK= = S  AB  AB  AI AI => max 2 AI Khi đó =>CBK S IAC    Câu 5: Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết ab bc ca P= + + √ ab+2 c √ bc +2 a √ ac+ 2b * Vì a + b + c = => 2c + ab = c(a + b + c) + ab = ca + cb + c2 + ab = (ca + c2) + ( bc + ab) = c(a + c) + b(a + c) = (c + a)(c + b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 > và > áp dụng cosi ta có vì a ; b ; c > nên a+c b+c 1 1 dấu “=”  +¿ =¿ ⇒ a+c=b+c ⇒ a+c b+c a+c b+c (a+c )(b+ c) a=b 1 1 ≤ ( + ) hay √(c +a)(c +b) c +a c+ b ab ab ab ab (1) dấu  a = b = ≤ + ⇒ √2 c +ab √ ( c+ a ) (c+b) c + a c +b bc cb bc ≤ + Tương tự: (2) dấu  b = c √ bc+2 a a+b a+c ac ca ca ≤ + (3) dấu  a = c √ b+ca c +b b+a Cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca ab ab cb cb ac ac + + + + + ⇒ : P= ( + + ) c+ a c +b b+a c+ a b+a c+ b √ ab+ c √ bc+2 a √ ca+2 b √ ( ( ( ) ) ) ⇒ cb ac + a+b a+b P ab cb ab ac ( + )+( + )+¿ c+ a c +a b+ c c+ b ¿ 1 (a+c ) b a (b+ c) c (b+ a) ¿ ( a+b+ c )= 2=1 + + = 2 c+ a b+ c a+ b ab bc ca + + P= ≤ dấu  a = b = c = √ ab+ c √ bc+2 a √ ca+2 b Vậy Pmax = a = b = c = [ ⇒ ]