SO PHUC ON THI DH 2012

Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi a, b thực và coi i như một tham số trong bài toán thực.. Sau khi biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải b[r]

VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Dạng Tìm phần thực, phần ảo số phức Bài 1: (A2010) Tìm phần ảo số phức z, biết  z 2 i   1 2i  ĐS: Phần ảo số phức z bằng:  Bài 2: (CĐ2010)   3i  z    i  z   1 3i  Cho số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo z ĐS: Phần thực là –2, phần ảo là Bài 3: (CĐA09) Tìm phần thực và  1 i    i  z 8 i   1 2i  z Tìm phần thực và phần ảo Cho số phức z thỏa mãn z ĐS: Phần thực là 2, phần ảo là –3 z Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo số phức (1 i)30 (1 i 3)15 30 ĐS: Phần thực là 0, phần ảo là  1 i  z    1 i    Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo số phức ĐS : ; Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + … + (1+i)20 ĐS: Phần thực 210, phần ảo: 210+1 Bài : Cho hai số phức z1 = + 5i và z2 = – 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 ĐS: + Phần thực: 26 + Phần ảo: Dạng Tìm môđun số phức Bài 1: (A2010) Cho số phức z thỏa mãn z  iz ĐS: 1 3i   z 1 i Tìm môđun số phức z  iz 8 Bài 2: Tìm môđun số phức z z Bài 3: Tìm môđun số phức (1 i)(2  i) z  1 2i ĐS: x2  y2  i 2xy (x  y)  2i xy ĐS: z 1 Bài : Tính môđun số phức z, biết: (2z - 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 - i)=2 – 2i ĐS : Dạng Tính giá trị biểu thức  i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = –1; i4n+3 = – i; n ¥ * Vậy in {–1; 1; – i; i}, n ¥ n   i i Nếu n nguyên âm: 1  n  1 n   i     i n Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A  1 i  1 i ĐS: A  Bài 2: Tính giá trị biểu thức: i  i   i2008 P i  i  i3   i2009 ; a) ĐS: a) P 0; b) Q i  i7  i   i 2009 i  i  i  i 2010 (i  1) 1 Q   i 2 b) Bài 3: Tính giá trị biểu thức: = 2010 A C02010  C22010  C 42010   C2008 2010  C 2010 ĐS: A n n1  i n2  i n3(n ¥ ) Bài 4: Tính s i  i 2010 Tìm phần thực, phần ảo số phức z 1 i  i   i HD: s 0 ; z i 105 23 20 34 Bài 5: Tính: S = i + i + i – i ĐS: S = Dạng Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước  2i (1 i) ;  2i (1 i)2 Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn z2  i ĐS: z  (1 i) 2 z Bài 2: (D2010) Tìm số phức z thỏa mãn: và z là số ảo ĐS: z = + i; z = – i; z = –1 + i; z = –1 – i z    i   10 Bài 3: (B2009) Tìm số phức z thỏa mãn: và z.z 25 ĐS: z 3 4i or z 5 Tìm số phức z thỏa mãn : z  (2  3i)z 1 9i ĐS : z = – i Tìm số phức z, biết : Tìm số phức z, biết : z2  z  z z ĐS : z 0; z  1 1  i; z   i 2 2 5 i  0 z ĐS : z  1 i 3; z 2  i z2  z 0 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: ĐS: z 0;z i;z  i Bài 5: Tính số phức sau: z = (1+ i)15 ĐS: z = 128 – 128i  1 i    1 i  Bài 6: Tính số phức sau: z =  16  1 i     1 i  ĐS: z =  z 1   z i   z  3i 1  zi Bài : Tìm số phức z thoả mãn hệ:  ĐS: z =1+ i Bài : Tìm số phức z biết a) e) z  z 0 z  2i  z và b) z 1 z i ; z i z z  3i 1 z i ;  z i    1 z  i   c) d) z  2i z   2i  z   4i f) và z  i là số ảo ; VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình: 2z2 – iz + = trên tập số phức z2   1 i  z   3i 0 Bài (CĐ2010) Giải phương trình trên tập hợp các số phức ĐS: z 1 2i và z 3i z z Bài 2: (A2009) Gọi và là hai nghiệm phức phương trình z  2z  10 0 Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 2 ĐS: A  z1  z2 20 4z  3 7i z  2i z i Bài 3: (CĐA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: ĐS: z 1 2i và z 3 i Bài 4: Giải phương trình : z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = ĐS: z1 2i ; z2  1 i Dạng 2: Phương trình quy bậc hai Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt có thể quy bậc hai Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc và bậc hai Đối với số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải 2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử Bài 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1) 1) Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo 2) Giải phương trình (1) ĐS: 1) (1) có nghiệm ảo z = 2i ; 2) z 2i;z  1 2i;z  1 2i Bài 2: Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, đó z = x + yi ; x, y  ¢ ĐS: z = + i Bài 3: 1) Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 2) Giải phương trình: z3 + 3z2 + 3z – 63 =0 ĐS: 1) a 6;b 21; 2) z 3; z  3 3i; z   3i Bài 4: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) ĐS: z 1; z 3; z 2i; z  2i Bài 5: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + = 3 z  1, z   i, z   i 2 2 ĐS: Bài 6: Giải phương trình z  (1 2i)z  (1 i)z  2i 0, biết phương trình có nghiệm ảo HD: Giả sử nghiệm ảo là z yi Thay vào phương trình  y 1 Bài 7: Giải phương trình z  (5  i)z  4(i  1)z  12  12i 0, biết phương trình có nghiệm thực HD: (z  6)(z  (1 i)z  2i  2) 0 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Đối với các bài toán số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi (a, b thực) và coi i tham số bài toán thực Sau biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải bài toán phức Đây coi phương pháp vạn cho bài Bài 1: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 =  1 23i  1 23i ;z  ;z 1;z  2 ĐS: Bài 2: Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = z ĐS: z  1 5i; z  1 5i; z   3; z   Bài 3: Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + =  1i 3 2 ĐS: z = ; z= z2 Bài 4: Giải phương trình: z4 – z3 + + z + = 1 1   ĐS: z1 = 1+ i ; z2 = + i ; z3 = 1– i ; z4 = – i  zi   1 i z  Bài 5: Giải phương trình: ĐS: z 0; z  Dạng 3: Hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 3 i 3 i ; )  z1z2   z  2z   3 i 3 i ; ) và ( ĐS: (  3x  y 3 x  2 x y  (x,y  ¡ )  x  3y y  0 2  x  y Bài 2: Giải hệ phương trình:  ĐS: (x,y) (2,1);(1,  1) z  w  zw 8  z  w    Bài 3: Giải hệ phương trình:   3i  5m3i   3 29 3m 29  (z;w)  ; ;  ; (z;w)       2 2     ĐS: Bài 4: Tìm tất các số phức cho số liên hợp với lập phương nó ĐS: có số phức : z 0; z 1; z i VẤN ĐỀ : TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Giả sử z = x + yi (x,y ¡ ) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức z x2  y2 điểm M(x;y) Ta có: OM = = Sử dụng kiện đề bài để tìm mối liên hệ x và y từ đó suy tập hợp điểm M Cơ cần biết: z  Với số thực dương R, tập hợp các số phức với = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R z  Các số phức z, < R là các điểm nằm đường tròn (O;R) z  Các số phức z, >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R) Bài 1: (D2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số z    4i  2 phức z thoả mãn điều kiện ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, –4), bán kính R= Bài 2: (B2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số z  i   1 i  z phức z thỏa mãn: ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, –1), bán kính R= Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn các điều kiện sau đây: z  1 i  z  1 i 2 z  z  z  4i  z  4i 10 1) =2; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1≤ z  1 i 2 ĐS: 1) đường tròn có tâm I(1; –1) và bán kính R = 2) đường thẳng 4x + 2y + = 3) nửa mặt phẳng bên phải trục tung x2 y2  1 4) Elip (E) là: 16 5) hình vành khăn tâm A(–1;1) và các bán kính lớn và nhỏ là và z 2 z Bài 3.1 : a) |z – 2| = 3; b) |z + i| < 1; c) |z–1+2i| > 3; d) Bài 4: Xác định các điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn các điều kiện sau đây: 1) |z + z +3| = ; 2) |z + z + – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ; 4) |z2 – z 2| = x  ;x  2 ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: 1 2) hai đường thẳng song song với trục hoành y = x2 3) parabol y = 4) hai nhánh Hypecbol: xy = và xy = –1 Bài 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = Tìm số phức z có môđun nhỏ 2 z   3i  x  2   y  3   2 …  HD: * Gọi z = x+yi * Vẽ hình |z|min  z ĐS: z 26  13 78 13  i 13 26